isometri_bidang

Isometri Bidang

Isometri Bidang

Oleh : Oleh : Tarkinih Tarkinih Ipah Masripah Ipah Masripah Ian Sugiana Ian Sugiana Asep Rahmat H. Asep Rahmat H. Matematika 2i Matematika 2i Semester IV Semester IV

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI

CIREBON

CIREBON

2012

2012

Qꞌ  _Q  P  Pꞌ   M  N

Isometri Bidang

A.

Pengertian Isometri

Isometri adalah suatu transformasi atas Refleksi (pencerminan), Translasi (pergeseran), dan Rotasi (perputaran) pada sebuah garis yang mempertahankan jarak (panjang suatu ruas garis). Transformasi U merupakan Isometri bila dan hanya bila pasangan

titik P dan Q dipenuhi P’Q’ =PQ dengan P’ = U (P) dan Q’ = U (Q).

Contoh soal 1:

Misalkan diketahui garis  g   pada bidang V dan transformasI T di tetapkan sebagai  berikut:

i. Jika p

ϵ

 g maka T (p) = p

ii. Jika p

ϵ

 g maka T (p) = pꞌ  ,sehingga g sumbu dari ppꞌ  Apakah tras formasi T ini merupakan suatu isometri?

 Penyelesaian:

Ambil dua titik sebarang P dan Q anggota V misalkan T (p) =

 pꞌ

dan T (Q) =

Qꞌ

, sehingga di peroleh :

1. g sumbu dari  ppꞌ , misalkan g



 ppꞌ  =

*+

 , maka PN =

 Npꞌ

2. g sumbu dari



̅

, misalkan g

 

̅

=

*+

 ,maka QM = M

Qꞌ

Perhatikan gambar berikut:

1. Perhatikan



 PNM dengan



Pꞌ

 NM. Karena PN =

 NPꞌ,



 PNM 

 

Pꞌ

 NM (siku-siku), maka

∆

 PNM



∆ Pꞌ

 NM akibatnya :

a. PM = PꞌM

 b.



 PNM 

 

Pꞌ

 NM

2. Perhatikan

∆

 PQM dengan

∆ PꞌQꞌ

M.

Karena P

M = PꞌM,



PMQ

 

PꞌQꞌM

dan QM =

Qꞌ

M, maka

∆

 PQM



∆ PꞌQꞌM

 , akibatnya PQ =

PꞌQꞌ

Karena P dan Q di ambil sembarang titik pada V dapat di simpulkan bahwa untuk setiap pasangan titik P dan Q pada V ,di peroleh

PꞌQꞌ

  = PQ sehingga transformasi T yang ditetapkan di atas adalah suatu isometri .

Contoh soal 2:

Asumsi bahwa sebuah sistem koordinat membangun sebuah budang (datar). Daqn  pemetaan T didefinisikan untuk suatu titik P (x,y) oleh :

T (P) = P' = (x,-y)

Apakah T suatu isometric ?  Penyelesaian:

Akan dibuktikan bahwa T suatu transformasi menunjukkan T suatu isometri, ambil sepasang titik A' (a1,-a2) dan B' (b1,-b2), kemudian akan dibuktikan bahwa A' B' = AB.

Y A (a1,a2)

B (b1,b2)

x

B' (b1,-b2)

A' (a1,-a2)

Dengan rumus jarak, diperoleh : A' B' =



a_{1 }



b₁ 2 _



_a_{1 }(_b₂)



2

A’ A B B ‘  g h =



a_{1 }b₁

 

2 _ a_{2 }b₂



2 =



a_{1 }b₁

 

2 _ a_{2 }b₂



2 = AB

Jadi , T adalah isometri.

Sofat-sifat isometri :

Teorema 1 :

Setiap isometric bersifat : 1. Isometri adalah kolineasi

Suatu Transformasi dikatakan kolineasi bila hasil Transformasi sebuah garis lurus akan tetap berupa garis lagi atau jika g   sebuah garis dan T suatu isometri. Kita akan membuktikan bahwa T(g) = h adalah suatu garis juga.

Bukti :

Andaikan g  sebuah garis dan T suatu isometri.

Akan dibuktikan bahwa T( g  ) = h adalah suatu garis juga.

Ambil sembarang A

ϵ

 g 

dan B

ϵ

 g

. Maka Aꞌ  = T ( A )

ϵ

h

,  Bꞌ  = T ( B )

ϵ

h ;

melalui Aꞌ  dan Bꞌ ada suatu garis, misalnya hꞌ .

Untuk ini akan dibuktikan h' h dan h h' 1) Bukti h' h

Ambil X’ є h’. oleh karena bidang kita adalah

  Bidang Euclides, maka kita

andaikan (A’ X’ B’),

  artinya :

A’ X’+ X’B’ = A’ B’. oleh karena T suatu

isometri. Jadi suatu transformasi maka ada X sedemikian

sehingga T (X) = X’

dan Oleh karena T suatu isometric maka AX =

A’X’ ; begitu pula XB

=

X’B’.

Jadi pula AX + BX = AB Ini berarti bahwa A, X, B segaris pada g. Ini berarti

lagi bahwa X’

=

T(X) є h.

  Sehingga h' h  sebab Bukti serupa berlaku untuk

 posisi X’ dengan (X’ A’ B’) atau (A’ B’ X’)

2) Bukti h h' Ada lagi

Y’ є h

Maka ada Y є g sehingga T(Y)=Y’ dengan Y misalnya (A Y B), artinya Y є g

dan AY + YB = AB. Oleh karena T sebuah

Isometri maka A’Y’

  = AY,

Y’B’= AB. Sehingga A’Y’+Y’B’ = A’B’.Ini berarti bahwa A’, Y’, B’ segaris,

yaitu garis yang melalui

A’ dan B’.

Oleh karena h’ satu

-

satunya garis yang melalui A’ dan B’. Maka Y’ є h’,

Jadi haruslah Bukti h h'

Bukti serupa berlaku untuk keadan (Y A B) atau (A B Y) sehingga h h'. jadi kalau g sebuah garis maka h = T (g) adalah sebuah garis.

2. Mengawetkan besarnya sudut antara dua garis Ambil sebuah sudut ABC

Perhatikan ∆ABC dan ∆A’B’C’

Karena U isometric berarti

A’B’=

 AB

A’C’=

 AC

B’C’=

 BC

Karena sisi, sisi, sisi berarti _ABC _{ }A'B'C'

Akibatnya m_CAB_m_C ' A'B'

'

'

'

 BC   A m  ABC  m_{  } ' ' 'C B  A m  ACB m_{  }

Jadi isometri mempertahankan besar sudut.

3. Isometri Mengawetkan kesejajaran dua garis

Kita harus memperlihatkan bahwa a’ ⁄⁄ b’

 .

Andaikan a’ memotong b’ disebuah titik

P’ jadi P’ є a’ dan P’ є b’. ole

h karena T sebuah transformasi maka ada P

sehingga T(P) = P’

dengan P є a dan P є b.

 Ini berarti bahwa a memotong b di P ; jadi bertentangan dengan yang

diketahui bahwa a ⁄⁄ b Maka Pengandaian bahwa a’ memotong b’ SALAH

. Jadi haruslah

a’ ⁄⁄ b’

.

Contoh soal:

Diketahui garis g =

{    }

, dan garis h =

{      }

. Apabila Mg adalah refleksi pada garis g. Tentukanlah persamaan garis h' = Mg (h).

 Penyelesaian :

Oleh karena Mg sebuah refleksi pada g jadi suatu isometri, maka menurut sifat isometri h' adalah sebuah garis. Garis h' akan melalui titik potong antara h dan g.

Persamaan y = 2x

 – 

 3 Misalkan, y = 0 y = 2x

 – 

 3 0 = 2x

 – 

 3 -2x = -3 x =





 (





 , 0 ) Misalkan, x = 0 y = 2x

 – 

 3 y = 2 (0)

 – 

 3 y = -3  (0, -3 )

kemudian di refleksikan menjadi (0,







 ) dan ( 3, 0)

rumus persamaan garis :

 







 



=



  



 





 



_



  



_



 =

  



 



_







=





3

(  





)

 =







 

3y

+





=





 

kedua ruas di kali 2

6y + 9 = 3x

-3x + 6y + 9 = 0 kedua ruas di kali -3

x

 – 

 2y -3 = 0

dengan demikian persamaan h' adalah : h' =

{      }

seperti pada gambar berikut :

k

m k’

m’

Teorema 2 :

Apabila garis g dan h saling tegak lurus dan T suatu isometri maka T(g) dan T(h)  juga saling tegak lurus .

Bukti:

Ambil garis k, l, m sehingga antara sudut k dan m adalah 90 ke A. Menurut teorema 8.1 bagian 2) karena T kesebangunan, maka T mengawetkan ukuran sudut. Karena

T(k) = k’ dan T(m) = m’ dan sudut antara k dan m adalah 90

⁰

maka sudut antara k’ dan m’

adalah 90

⁰

atau k’ m’. Jadi mengawetkan ketegaklurusan dua buah garis.

Teorema 3

Komposisi dua buah isometri adalah sebuah isometri .

Bukti : Ambil dua isometri , T 1dan T 2 terjadi komposisi dari , T 1 dan T 2 yaitu:

a. T 1



T 2

A R P

Pꞌ

Rꞌ

Karena T 1



T 2 = T 2  T ₁ adalah isometric maka akan di buktikan T ₁  T ₂  adalah

isometric. Ambil dua titik sebarang A, B

ϵ 

  V, misalkan T 2 (A) =  A1, T 2(B) =  B1  dan

T 1(A1 ) = Aꞌ , T 1(B1 ) = Bꞌ  . Maka

T 1



T 2 (A) = T 1[ T 2 (A)] = T 1(A1 ) = Aꞌ 

T 2



T 1 (B)= T 2[ T 2 (B)] = T 1(B1 ) = Bꞌ 

Karena T 2  isometri, maka  Aꞌ Bꞌ   = AB, dan karena T 1 isometri maka Bꞌ  Aꞌ =

 A1 B1 , karena Aꞌ  Bꞌ  = A1 B1 ,dan  A1 B1 = AB, maka Aꞌ  Bꞌ  = AB. Jadi T 1



T 2 suau isometric.

Contoh soal:

1. Misalkan v bidang Eucilid,A sebuah titik tertentu pada v.Transpormasi T yang di tetapkan sebagai berikut:

a. T(A) = A

 b. Apabila p

∈

v dan p ≠ A, T(P) = Q dengan Q merupakan titik tengah ruas

garis

 

̅

apakah transformasi T ini suatu isometri ?

2. Di berikan suatu titik A dan transformasi T yang di tetapkan sebagai berikut , p

∈

 v a. Apabila p = A maka T (p) = p

 b.

Apabila p ≠ A maka T(p)

= Q dengan A titik tengah PQ . Apakah transformasi T ini merupakan isometri ?

Penyelesaian

 :

1.

Ambil P, R

ϵ

V, misalkan Q = T (P) dan

Rꞌ =

T ®, maka AQ = QP dan A

Rꞌ

 =

Rꞌ

R. Akibatnya

Rꞌ P ꞌ

 =



Rꞌ

A

P 2. Perhatikan gambar di bawah ini P,Q

∈

 v

Misalkan T (P) = Q dan T (R) =

Rꞌ

 ,sehingga QA = AP dan P,A,Q kolinear , dan RA = A

Rꞌ

 R,A,

Rꞌ

 kolinear .

∆

 RAP dan

∆

 QA

Rꞌ ,

karena QA = AP,



 PAR



QA Rꞌ

dan RA = A

Rꞌ

  maka

∆

 RAP



∆

 QA

Rꞌ

 , akibatnya PR =

Rꞌ

 Q. Jadi T suatu isometri.

Teorema 4

Transformasi yang inversnya adalah transformasi itu sendiri dinamakan involusi. Suatu isometri involusi langsung adalah setengah putaran : suatu isometri involusi lawan adalah refleksi.

Bukti :

Terdapat dua transformasi T dan I serta komposisi TL. Berdasarkan pengetahuan yag lalu maka dapat dinyatakan

(TL)-1 = L-1T-1 Maka (TL) = (L-1 T-1) = [(TL)L-1] T-1 = [T(LI-1)] T-1 = [TI] T-1 = TT-1 = I

Dengan cara yang sama diperoleh (L-1T-1) (TL) = I

Teorema 5 :

Jika P sebuah titik, m sebuah garis dan T isometric maka TS pT-1 = ST(P) dan

TMmT-1= MT(m).

Q

Bukti :

 Akan dibuktikan TS pT-1= ST(P)

Ambil T isometric langsung (atau lawan)

TS pT-1

isometri langsung ………….. (1)

( TS pT-1) . ( TS pT-1) = TSp( T-1.T ) S pT-1 = T S p

│

 S pT-1 = T ( S p .Sp ) T-1

= T │T

-1 = T.T-1

= 1………. (2)

Dari (1) dan (2) didapat TS pT-1adalah isometric involusi langsung, berarti TS pT-1

adalah setengah putaran atau TS pT-1= Sxuntuk



 x

∈

 V.

Ambil y = x



 TS pT-1(x) = Sx(x) T-1.

{ 

_





}

 = T-1(x) ( T-1. T )

{

_





}

 = T-1(x)











 = T-1(x) T-1= P T

*



+

 = T(P1) (TT-1) (x) = T(P) x = T(P) Jadi, terbukti bahwa TS pT-1= ST(P)

 Akan dibuktikan TMmT-1= MT(m)

Ambil T isometric langsung (atau lawan)

Maka TMmT-1

adalah isometric lawan ………(1)

(TMmT-1). (TMmT-1) = TMm (T-1T) MmT-1

T (m)

= TMm. MmT-1

= T (Mm Mm)T-1

= T

│T

-1

= 1 ……….(2)

Dari (1) dan (2) didapat TMmT-1 adalah isometric involusi lawan, berarti TMmT-1

adalah isometric involusi lawan. Brarti TMmT-1  adalah refleksi. Atau TMmT-1 =

Mkuntuk k sembarang garis

∈

 V.



 P

∈

 V



 T MmT-1 (P) = Mk P Jika P

∈

 k



 TMmT-1(p) = p T-1{ TMmT-1(p)} = T-1(p) {(T-1T) (MmT-1(p))} = T-1(p) MmT-1(p) = T-1(p)



 T-1 (p)

∈

 m T . T-1(p)

∈

 T(m) P

∈

 T(m) P

∈

 T(m) P

∈

 k Jadi, TMmT-1= MT(m)

B.

PARITY

Parity adalah kesamaan suatu isometri dalam bentuk komposit refleksi-refleksi. Suatu isometri yang merupakan komposisi sejumlah genap dari refleksi-refleksi disebut isometri langsung, sedangkan isometri yang merupakan komposisi sejumlah ganjil dari refleksi-refleksi disebut isometri lawan.

Definisi :

Misalkan ( P, Q, R ) adalah ganda tiga titik yang tidak koliniear (tidak segaris). Apabila urutan perputaran P, Q, R sesuai dengan perputaran jarum jam maka P, Q, R di sebut memiliki orientasi negatif. Sedangkan apabila urutan perputaran P, Q, R berlawanan dengan arah perputaran jarumjam maka P, Q, R memilki orientasi positif.

Definisi :

Suatu Transformasi T disebut langsung jika dan hanya jika transformasi itu mempertahankan orientasi. Sedangakan Transformasi T disebut transformasi lawan jika dan hanya jika transformasi itu mengubah arah orientasi.

Definisi :

Misalkan T suatu transformasi. T disebut mempertahankan orientasi apabila untuk setiap Ganda tiga titik A, B, C yang tidak koliner(tak segaris) orientasinya sama dengan orientasi dari petanya. Sedangakan lainnya disebut mengubah orientasi.

 Isometri lawan

misalnya sebuah refleksi (pencerminan)

P R P' Q'

∆

  PQR berlawanan dengan

 jarum jam (+) sedangkan ∆

  P'Q'R' searah dengan  jarum jam (-).

 Isometri langsung

misalnya suatu rotasi (perputaran)

P R'

Q R P' Q'

∆

 PQR berlawanan d

engan jarum jam (+) sedangkan ∆

P'Q'R' tetap  berlawanan dengan jarum jam (+).

Sifat yang penting dalam geometri transformasi ialah :

a. Setiap refleksi (pencerminan) pada garis adalah suatu isometri lawan.

 b. Akan tetapi tidak setiap isometri adalah isometric lawan, ini dapat dilihat pada gambar di atas yaitu rotasi (perputaran) adalah isometri langsung.

c. Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sedbuah isometri lawan.

Contoh Soal:

Perhatikan transformasi yang ditetapkan dalam gambar di bawah ini, sudah ditentukan bahwa transformasi T ini merupakan suatu isometri. Apakah T ini merupakan isometric langsung atau isometric lawan?

 Penyelesaian:

Misalkan ambil tiga titik koliner sebarang, A,B,dan C. Kemudian kita cari T(A), T(B), dan T(C).

Misalkan : T(A) =

Aꞌ

, T(B) =

Bꞌ

, dan T(C) =

Cꞌ

.

Kerena (A,B,C) be

rorientasi positif,sedangkan (Aꞌ, Bꞌ , Cꞌ) berorieantasi negative

, maka transformasi T merupakan transformasi lawan.Akibatnya T suatu isometri lawan .

C.

Persamaan isometric

Teorema 1:

Persamaan isometric dari GAB dengan A( a1, a2) dan B( b1, b2) adalah :

x ꞌ = x + ( b

1 - a1)

yꞌ =

y + ( b2 - a2)

Teorema 2:

 Persamaan umum untuk isometric pada bidang Cartesius adalah :

x ꞌ = ax +

 by + c

yꞌ =



bx



ay + d dengan: a2 + b2= 1

 Persamaan umum isometric

x ꞌ = ax + by + c

yꞌ =



bx



ay + d

dapat dinyatakan dengan bentuk matriks :

(

_)

=

 



     





 +



 Persamaan matriks isometric :

 

 _{   }



 = A

 Untuk isometric langsung, det (A) = a2 + b2= 1