TRANSFORMASI GEOMETRI

TRANSFORMASI GEOMETRI

A. TRANSLASI

Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.

 Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini, Candra

telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai

 

 





2 2

 Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini,

Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis sebagai 



 





1 2

 Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius.

Dengan translasi 



 





2

2 , diketahui tempat duduknya inggu ini pada titik N

^’

(a-

2,b+2).Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut

  ,

²

'  2 , 2 

2







 



^

 



 

b a N b

a N

Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan  

 



  b

T

₁

a maka

diperoleh bayangannya P

^'

 x  a , y  b  . Secara matematis, ditulis sebagai berikut.

  x y P  x a y b 

P

^b

T a







 



^

 





,

,

^{1 '}

Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh dengan  

 



  d T

₂

c

Didapat, P  x a y b 

^d

P  x a c y b d 

T c











 







^

 





,

,

^''

' ²

Perhatikan bahwa

 x a c y b d  P  x  a c  y  b d  

P

^''

  ,   

^''

  ,  

Ini berarti P

^''

 x  a  c , y  b  d  diperoleh dengan mentranslasikan P ,   x y dengan

 

 







  d b

c

T a Translasi T ini merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan T2, yang ditulis

sebagai T 

₁

T

₂

Oleh karena 



 



  b

T

₁

a dan 



 



  d

T

₂

c maka 



 







  d b

c T a

T

₁



₂

Akibatnya, titik P ,   x y ditranslasikan dengan T1 dilanjutkan dengan translasi T2 menghasilkan bayangan P

^''

sebagai berikut

  x y P  x a c y b d 

P

^{b d}

c T a

T

       



^

 









,

,

^{1 2 ''}



Sifat:



Dua buah translasi berturut-turut  

 



 b

a diteruskan dengan  

 



 d

c dapat digantikan

dengan translasi tunggal  

 







 d b

c a



Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.

Contoh:

1. Translasi  

 



  q

T

₁

p memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6)

a. Tentukan translasi tersebut !

b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan C( 5, 6) oleh translasi tersebut.

c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan

 

 







  1 1

T

2

Tentukan bayangannya!

d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 ◦T1. Samakah jawabannya dengan jawaban c?

Jawaban

a. A   1 , 2

^{1 q}

A

^'

 1 p , 2 q  A

¹

  4 , 6

T p









 



^

 





Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 3 2+q = 6 sehingga q = 4 Jadi translasi tersebut adalah 



 



  4 3 T

1

b. translasi 



 



  4 3

T

1

artinya artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik A', B', dan C' dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut

     

     

 5 , 6  '  5 3 , 6 4  '  2 , 10 

8 , 6 ' 4 4 , 3 3 ' 4

, 3

6 , 4 ' 4 2 , 3 1 ' 2

, 1

4 3 4 3 4 3

1 1 1













 













 











 





 







 







 





C C

C

B B

B

A A

A

T T T

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(4,6), B'(6,8), dan C'(- 2,10)

c. '   4 , 6

¹

' '  4     1 , 6 1  ' '   3 , 5

1

2

A A

A

T

       



^

 









         

  4 , 6 ''      2 1 , 10   1  ''  3 , 9 

'

7 , 5 '' 1 8 , 1 6 '' 8

, 6 '

1 1 1 1

2 2

















 















 





 











 









A A

A

B A

A

T T

Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(3,5), B''(5,7) dan

C''(-3,9)

d. translasi titik  

  ^ _ ^{  } _ ^{ } _ ^

 









 

3 2 1 4

1 3

2

1

T

T 

  ^{1 , 2}

³²

^{A '}  ^{1 2 , 2 3}  ^{A '}   ^{3 , 5}

A  

^

  

 





  ^{3 , 4}

³²

^{B '}  ^{3 2 , 4 3}  ^{B '}   ^{5 , 7}

B  

^

  

 





  ^{5 , 6}   

^32

^'   ⁵  ^{2 , 6}  ³   ^'   ^{3 , 9} 

 





C C

C

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(3,5), B'(5,7) dan C'(- 3,9) Perhatikan bahwa segitiga yang kalian peroleh pada jawaban c sama dengan segitiga yang kalian peroleh pada jawaban d.

2. Tentukan bayangan lingkaran (x-3)

²

+ (y+1)

²

= 4 jika ditranslasikan  

 



 

2 T 5 !

Jawab

Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)

²

+ (y+1)

²

= 4 sehingga diperoleh (a- 3)

²

+ (b+1)

²

= 4

Translasikan titik P dengan  

 



 

2

T 5 sehingga diperoleh

  ,

²

''  5 , 2 

5







 



^

 



 

b a P b

a P

Jadi titik P'(a-5, b+2)

Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a' 5.

b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat b = b' - 2.

Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan Diperoleh (a' 5-3)

²

+ (b' - 2+1)

²

= 4

(a' 2)

²

+ (b' - 1)

²

= 4

Jadi bayangan dari (a' + 5-3)

²

+ (b' - 2+1)

²

= 4 jika ditranslasikan

dengan 



 



 

2

T 5 adalah (a' + 2)

²

+ (b' - 1)

²

= 4

B. REFLEKSI

Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan bayangan kalian.

Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak diri kalian ke cermin.

Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kalian akan menemukan beberapa sifat pencerminan.

Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:

• Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’

• Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B.

• Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku.

Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi.

Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri

Refleksi Rumus Matriks Refleksi

terhadap sumbu-x

  x y A  x y 

A , 

^sb

 

^.x

' , 

 

 



 



 





 

 

 





y x y

x

1 0

0 1 ' '

Refleksi terhadap sumbu-y

  x y A  x y 

A , 

^sb

 

^.y

'  ,

 

 



 



 



 

 

 





y x y

x

1 0

0 1 '

'

Refleksi terhadap garis y=x

  ^{x y A}   ^{y x}

A , 

^y

 

^x

' ,

 

 



 



 



 

 

 





y x y

x

0 1

1 0 ' '

Refleksi terhadap garis y=-x

  x y A  y x 

A , 

^y

 

^



^x

' , 

 

 



 



 







 

 

 





y x y

x

0 1

1 0 ' '

Refleksi terhadap garis x=k

  x y A  k x y 

A , 

^x

 

^k

' 2  ,

Refleksi terhadap garis y=k

  x y A  x k y 

A , 

^y

 

^k

' , 2 

Refleksi terhadap titik (p,q)

  x , y

^{ , }

A '  x ' , y ' 

A   

^p



^q

Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚

 

 







 



 













 

 

 









q y

p x q

y p x

180 cos 180

sin

180 sin 180

cos '

'

Refleksi terhadap titik pusat (0,0)

  x y

^{ }

A  x y 

A ,   

⁰



^,0

'  , 

 

 



 



 







 

 

 





y x y

x

1 0

0 1 '

'

Refleksi terhadap garis

y=mx,m=tan α

   









2 cos 2

sin '

2 sin 2

cos '

' , ' ' ,

y x

y

y x

x dengan

y x A y

x

A

^{y mx}











 



^

 

 



 



 





 

 

 





y x y

x









2 cos 2

sin

2 sin 2

cos '

'

Refleksi terhadap garis y=x+k

   

k x y

k y x dengan

y x A y

x

A

^{y x k}











 



^{ }

'

'

' , ' '

, 



 



 

 

 





 



 



 

 

 





k k y

x y

x 0

0 1

1 0 ' '

Refleksi terhadap garis y=-x+k

   

k x y

k y x dengan

y x A y

x

A

^{y x k}

















 



^{ }

'

'

' , ' '

, 



 



 

 

 





 



 







 

 

 





k k y

x y

x 0

0 1

1 0 ' '

SIFAT-SIFAT

a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.

b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:



Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.



Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.

c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus,

menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.

d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:



Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.



Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.



Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

C. ROTASI

Rotasi Rumus Matriks

Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α

 

^{ }

 











cos sin

'

sin cos

'

' , ' '

,

^0,

y x

y

y x

x dengan

y x A y

x

A

^R











 

  

 



 



 



 

 



 





y x y

x







 cos sin

sin cos

' '

Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α

 

^{ }

 

   

     







cos sin

'

sin cos

'

' , ' '

,

^,

b y a

x b y

b y a

x a x dengan

y x A y

x

A

^RP























 

  

 



 

 

 







 



 



 

 



 





b a b y

a x y

x







 cos sin

sin cos

' '

Keterangan

α + : arah putaran berlawanan putaran jarum jam α - : arah putaran searah putaran jarum jam

SIFAT-SIFAT

Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar

dsama dengan

jumlah kedua sudut putar semula.Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.

Catatan:

Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya.

Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.

D. DILATASI

Aini dan teman-temannya berkunjung ke IPTN. Di sana, mereka mengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat terbang ini mempunyai bentuk yang sama dengan pesawat terbang sesungguhnya, tetapi ukurannya lebih kecil. Bentuk seperti miniatur pesawat terbang ini telah mengalami dilatasi diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasi diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k.

• Jika k > 1 atau k < -1, maka hasil dilatasinya diperbesar

• Jika -1 < k < 1, maka hasil dilatasinya diperkecil

• Jika k =



1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan

Dilatasi Rumus Matriks

Dilatasi dengan pusat (0,0)

dan faktor dilatasi k ^A   ^{x , y} 

^{ }



⁰



^,k

^{A '}  ^{kx , ky} 

 

 



 



 



 

 

 





y x k k y x

0 0 '

'

Dilatasi dengan pusat P(a,b)

dan faktor dilatasi k  

^{ }

 

 

 ^{y b} 

k b y

a x k a x dengan

y x A y

x

A

^Pk















 

 '

'

' , ' '

,

^,

 

 



 

 

 







 



 



 

 

 





b a b y

a x k k y x

0 0 '

'

E. KOMPOSISI TRANSFORMASI DENGAN MARIKS Matriks yang bersesuaian dengan transformasi geometri

Transformasi Rumus Matriks

Identitas A   x , y  

¹

A '   x , y

 

 



 



 



 

 

 





y x y

x

1 0

0 1 ' '

Translasi

  x y A  x p y q 

A

^q

p











^

 





, '

,  

 



 

 

 



 

 

 





q p y x y x ' '

Refleksi terhadap sumbu-x

  x y A  x y 

A , 

^sb

 

^.x

' , 

 

 



 



 





 

 

 





y x y

x

1 0

0 1 ' '

Refleksi terhadap sumbu-y

  x y A  x y 

A , 

^sb

 

^.y

'  ,

 

 



 



 



 

 

 





y x y

x

1 0

0 1 '

'

Refleksi

terhadap garis y=x

  x y A   y x A ,  

^y



^x

' ,

 

 



 



 



 

 

 





y x y

x

0 1

1 0 ' '

Refleksi

terhadap garis y=-x

  ^{x y A}  ^{y x} 

A ,   

^y



^x

' , 

 

 



 



 







 

 

 





y x y

x

0 1

1 0 ' '

Refleksi

terhadap garis x=k

  ^{x y A}  ^{k x y} 

A , 

^x

 

^k

' 2  ,

Refleksi

terhadap garis y=k

  x y A  x k y 

A ,  

^y



^k

' , 2 

Refleksi

terhadap titik (p,q)

  x , y

^{ , }

A '  x ' , y ' 

A   

^p



^q

Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚

 

 







 



 













 

 

 









q y

p x q

y p x

180 cos 180

sin

180 sin 180

cos '

'

Refleksi

terhadap titik pusat (0,0)

  x y

^{ }

A  x y 

A ,   

⁰



^,0

'  , 

 

 



 



 







 

 

 





y x y

x

1 0

0 1 '

'

Refleksi

terhadap garis y=mx,m=tan α

   









2 cos 2

sin '

2 sin 2

cos '

' , ' ' ,

y x

y

y x

x dengan

y x A y

x

A

^{y mx}











 



^

 

 



 



 





 

 

 





y x y

x









2 cos 2

sin

2 sin 2

cos '

'

Refleksi

terhadap garis y=x+k

   

k x y

k y x dengan

y x A y

x

A

^{y x k}











 



^{ }

'

'

' , ' '

, 



 



 

 

 





 



 



 

 

 





k k y

x y

x 0

0 1

1 0 ' '

Refleksi

terhadap garis y=-x+k

   

k x y

k y x dengan

y x A y

x

A

^{y x k}

















 



^{ }

'

'

' , ' '

, 



 



 

 

 





 



 







 

 

 





k k y

x y

x 0

0 1

1 0 ' '

Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α

 

^{ }

 











cos sin

'

sin cos

'

' , ' '

,

^0,

y x

y

y x

x dengan

y x A y

x

A

^R











 

  

 



 



 



 

 



 





y x y

x







 cos sin

sin cos

' '

Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α

 

^{ }

 

   

     







cos sin

'

sin cos

'

' , ' '

,

^,

b y a

x b y

b y a

x a x

y x A y

x

A

^RP























 

  

 



 

 

 







 



 



 

 



 





b a b y

a x y

x







 cos sin

sin cos

' '

Dilatasi dengan pusat (0,0) dan factor dilatasi k

  x y

^{ }

A  kx ky 

A ,  

⁰



^,k

' ,

 

 



 



 



 

 

 





y x k k y x

0 0 '

'

Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k

 

^{ }

 

 

 y b 

k b y

a x k a x dengan

y x A y

x

A

^Pk















 

 '

'

' , ' '

,

^,

 

 



 

 

 







 



 



 

 

 





b a b y

a x k k y x

0 0 '

'

Komposisi transformasi

1. komposisi dua translasi berurutan Diketahui dua translasi





 



  b

T

₁

a

dan





 



  d

T

₂

c

. Jika translasi

T

₁ dilanjutkan translasi

T

₂

maka dinotasikan ”

T 

₁

T

₂” dan translasi tunggalnya adalah T=T1+T2=T2+T1(sifat komutatif).

2. komposisi dua refleksi berurutan

a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis x=b. Maka bayangan akhir A adalah

^{A '}  ^{x ' , y '} 

yaitu:

x'=2(b-a)+x

y'=y

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y=a dilanjutkan terhadap garis y=b. Maka bayangan akhir A adalah

^{A '}  ^{x ' , y '} 

^yaitu:

x'=x y'=2(b-a)+y

b. refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis y=b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah

A '  x ' , y ' 

sama dengan rotasi titik A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan sudut putar 180˚

c. refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan

Jika titik A(x,y) direleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h, maka bayangan akhirnya adalah

A '  x ' , y ' 

dengan pusat perpotongan garis g dan h dan sudut putar 2α(α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis g ke h.

Catatan

k garis gradien m

l garis gradien m

m m

m m

k l

l k

l k









  tan 1

d. sifat komposisi refleksi

Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu yang saling tegak lurus).

3. rotasi berurutan yang sepusat

a. Diketahui rotasi R1(P(a,b),α) dan R2(P(a,b),β), maka transformasi tunggal dari komposisi transformasi rotasi R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi R(P(a,b),α+β)

b. Rotasi R₁ dilanjutkan R₂ sama dengan rotasi R₂ dilanjutkan R₁ 4. komposisi transformasi

Diketahui transformasi

 

 



 

 

 



 

s r

q T p

d dan c

b

T

₁

a

₂ maka transformasi tunggal dari

transformasi:

a. T₁ dilanjutkan T₂ (T₂ ◦T₁) adalah T=T₂ . T₁ b. T2 dilanjutkan T1 (T1 ◦T2) adalah T=T1 . T2

Catatan T1 . T2 = T2 . T1

5. bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih

Contoh: Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis y=x dilanjutkan translasi

 

 



 2 3

!

Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5

P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x) P'(y,x) ditranslasi





 



 2

3

. Bayangannya P''(y+3, x+2)=P''(x'',y'')

Jadi x'' = y +3 → y = x''-3 y'' = x +2 → x = y'' -2

persamaan -4x+y=5 → -4(y'' -2) + (x'' - 3) = 5 -4y'' + 8 + x'' – 3 = 5

x'' - 4y''= 0 jadi bayangan akhirnya adalah x - 4y= 0

6. luas bangun hasil tranformasi

Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan maka:

a. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi, dan rotasi.

b. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu jika luas bangun mula- mula L setelah didilatasi oleh [P(a,b),k], maka luas bangun bayangannya adalah L'=k² +L

SOAL TRANSFORMASI GEOMETRI (1)

Transformasi geometri yang akan kita pelajari ada 4

Yaitu 1. Translasi ( pergeseran ) 2. Dilatasi ( perbesaran ) 3. Refleksi ( pencerminan) 4. Rotasi ( perputaran ) 1. TRANSLASI

Notasi : P (x,y )  P ( x,y ) x = x + h y = y + k

Bila dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi :





 





1 1

y

x

=





 







 k y

h x

 

 





1 1

y

x

=

 

 



 

 

 





k h y

x



matriks translasi koordinat titik asal

koordinat bayangan / peta Contoh

1. Sebuah titik A( 3,5 ) ditranslasikan menjadi titik A dengan translasi T =

 

 





 3 2

Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

2. Sebuah titik A( -3,15 ) ditranslasikan menjadi titik

A dengan _aying translasi T =

 

 





3 2

Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

3. Diketahui sebuah garis x + 3y = 6 Tentukan bayangannya jika garis itu ditranslasikan oleh T =

 

 



 4 3

Jawab :

4. Diket sebuah garis 3x – 2y = 6 Tentukan bayangannya jika garis itu ditranslasikan oleh T =

 

 





1 2

Jawab :

5.Sebuah lingkaran ( x – 3 ) ² + ( y + 2 ) ² = 9 ditranslasikan oleh T =





 





 1

3

Tentukan

bayangannya . Jawab :

KOMPOSISI 2 TRANSLASI

Jika T1 adalah translasi 1 dan T2 adalah translasi 2 Maka jika titik A (x,y)

ditranslasikan oleh T1 =

 

 



 b

a

dan dilan jutkan

oleh T2 =

 

 



 d

c

maka bayangannya adalah

T2 ● T1

A (x,y ) A ( x,y )

 

 





`

`

y

x

=

 

 



 d

c

+

 

 



 b a

x` = a + c Y` = b + d Contoh

Sebuah titik A( -3,15 ) ditranslasikan menjadi titik A dengan translasi T1 =

 

 





3

2

dilanjutkan T2 =

 

 





 1 3

Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

T2 ● T1

A (x,y ) A ( x,y )

 

 





`

`

y

x

=

 

 





1

3

+

 

 





3 2

x` = 3 + (-2) = 1 Y ‘ = -1 + 3 = 2 Jadi A’ ( 1,2 )

2. Sebuah lingkaran x ² + y ² – 6 + 4y + 4 = 0 ditranslasikan oleh T1 =

 

 





 1

3

dilanjutkan

T2 =

 

 



 3

5

Tentukan bayangannya .

Jawab : x ² + y ²

– 6

^x

+ 4

^y

+ 4

^{= 0}

 ^{: - 2}  ^{: -2} 

Pusat ( 3 , - 2 ) 

 



^{; -1}

Jari –jari r =

3

²

 (  2 )

²

 4

= 3

Untuk mencari bayangan lingkaran kita

translasikan Pusat lingkarannya sbb :

T2 ● T1

P (3,- 2) P ( x,y )





 





`

`

y

x

=





 



 3

5

+





 





 1 3

x` = 5 + 3 = 8 Y ‘ = 3 - 1 = 2 P’( 8 , 2 )

Persamaan lingkaran : x ² + y ² + 2x - 6y + 4 = 0 Bayangannya : ( x – 8 ) ² + ( y – 2 ) ² = 3²

x ² + y ² – 16x - 4y + 59 = 0 Kerjakan seperti contoh di atas

1.Sebuah lingkaran x ² + y ² – 6x + 4y - 3 = 0 ditranslasikan oleh T1 =

 

 





 3

2

dilanjutkan T2 =

 

 



 2

1

Tentukan bayangannya .

Jawab :

2. Diket sebuah garis 4x –3y = 12 Tentukan bayang-

annya jika garis itu ditranslasikan oleh T1 =

 

 





1 2

dilanjutkan T2 =

 

 





 2 3

Jawab :

Dilatasi

Dilatasi dengan pusat O (0,0)

 ^{O ( 0 , 0 ), k} 

P (x,y ) P ( x,y ) x = k x

y = k y k adalah faktor skala O(0,0) adalah pusat dilatasi Contoh :

1. Sebuah titik A( 3,5 ) didilatasikan menjadi titik A dengan pusat dilatasi O(0,0) dan faktor skala 7. Tentukan koordinat bayangannya

Jawab :

 O ( 0 , 0 ), 7 

A (3,5 ) A ( x,y ) x = 7. 3 = 21

y = 7. 5 = 35 jadi A( 21,35)

2. Sebuah titik A( -3,2 ) didilatasikan menjadi titik A dengan pusat dilatasi O(0,0) dan faktor skala 2. Tentukan koordinat bayangannya

Jawab :

3. Sebuah titik A( -4,6 ) didilatasikan menjadi titik A dengan pusat dilatasi O(0,0) dan faktor skala -2. Tentukan koordinat bayangannya

Jawab :

4. Sebuah titik A( 6,-6 ) didilatasikan menjadi titik A dengan pusat dilatasi O(0,0) dan faktor skala -

2

1

. Tentukan koordinat

bayangannya Jawab :

Dilatasi dengan pusat P (a,b)

 ^{P ( a , b ), k} 

A (x,y ) A ( x,y ) x - a = k ( x – a )

y - b = k ( y – b )

5. Sebuah titik A( 1,-3 ) didilatasikan menjadi titik A dengan pusat dilatasi P(2,3) dan faktor skala 4 Tentukan koordinat bayangannya

Jawab :

 ^{P ( 2 , 3 ), 4} 

A (1, -3) A ( x,y ) x - 2 = 4(1 – 2 )

= -4 + 2 x = -2

y - (-3) = 4 (-3 – 3 ) y= - 24 – 3 = 27 jadi A(- 2,27)

6. Sebuah titik A( 2,-3 ) didilatasikan menjadi titik A

dengan pusat dilatasi P(4,-1) dan faktor skala -3 Tentukan koordinat bayangannya

Jawab :

7. Sebuah titik A( 4,-3 ) didilatasikan menjadi titik A

dengan pusat dilatasi P(-3,2) dan faktor skala

2 1

Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

8. Sebuah titik A( 2,-3 ) dan B( -3.2) didilatasikan menjadi titik Adan B dengan pusat dilatasi P(3,1) dan faktor skala 5 Tentukan panjang hasil transformasi . Jawab :

9. Diketahui M1 adalah refleksi terhadap garis x = 5, D1 adalah dilatasi dengan pusat P(- 2,3) dan factor skala 6. Tentukan bayangan titk A( 2,-4) oleh M1 dilanjutkan D1 gambarkan Jawab :

10. Garis x + 5y – 3 = 0 dirotasikan dengan pusat O bersudut  , dilanjutkan refleksi

terhadap sumbu x

Tentukan persamaan bayangan garis tersebut Jawab :

11. Diketahui lingkaran ( x – 1 )² + ( y + 2 )² = 4 Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis y = - x dilanjutkan didilatasikan dgn faktor skala 3 dan dan pudat (2,3 ) gambarkan

Jawab :

4 REFLEKSI ( PENCERMINAN )

A. Terhadap garis x = h Notasi M _{x = h}

M x = h

P (x,y ) P ( x, y ) x = x + 2( h – x )

= 2h - x y = y

6. Sebuah titik A( 3,8 ) dicerminkan terhadap garis

x = 5

Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

B. Terhadap garis y = k Notasi M y = k

M y = k

P (x,y ) P ( x, y ) x = x

y = y + 2( k – y ) = 2k – y

7. Sebuah titik A( 3,- 4 ) dicerminkan terhadap garis

x = - 5

Tentukan koordinat bayangannya Jawab

8. Diket sebuah garis 3x - 2y = 6 Tentukan bayangan

nya jika garis itu dicerminkan terhadap garis x = 5

Jawab :

9. Sebuah titik A( -2,7 ) dicerminkan terhadap garis

y = -5

Tentukan koordinat bayangannya Jawab :

10. Sebuah titik A( 3, 4 ) dicerminkan terhadap garis

x = - 5 dilanjutkan dicerminkan terhadap grs y = 2

Tentukan koordinat bayangannya Jawab

11.Diket sebuah garis -3x + 2y = 6 Tentukan bayangan

nya jika garis itu dicerminkan terhadap garis y = 5

Jawab :

Pencerminan terhadap 2 sumbu yang sejajar A. Pencerminan terhadap 2 sumbu yg sejajar dng sb y

M x = k  M x = h

P ( x,y ) M x = k  M x = h P`(

x` , y` )

Artinya pencerminan terhadap garis x = h dilanjut-

kan terhadap garis x = k , yang dikerjakan dulu ditu-

lis dibelakang.

Rumus :

M x = k  M x = h P ( x,y ) P`(

x` , y` )

X ` = x + 2 ( k – h ) Y ` = y

B. Pencerminan terhadap 2 sumbu yg sejajar dng sb x

M y = k  M y = h

P ( x,y ) M y = k  M y = h P`( x` , y`

)

Artinya pencerminan terhadap garis y = h dilanjut-

kan terhadap garis y = k , yang dikerjakan dulu ditu-

lis dibelakang.

Rumus :

M y = k  M y = h

P ( x,y ) P`( x` , y`

)

x ` = x

y ` = y + 2 ( k – h ) 4. Diketahui titik P( 2, - 4 )

1. Diketahui titik P(3,6 )

Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis x = 5 dilanjutkan terhadap garis x = 8

Jawab :

M x = 8  M x = 5 P ( 3,6 ) P`( x`, y`) X ` = x + 2 ( 8 – 5 )

= 3 + 2.3 = 9 Y ` = 6 Jadi koordinat P` ( 9,6 ) 2. Diketahui titik P(3,- 4 )

Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis x = 2 dilanjutkan terhadap garis x = 7

Jawab :

3. Diketahui garis x + y = 3

Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis x = 2 dilanjutkan terhadap garis x = 7

Jawab :

Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan

terhadap garis y = 2 dilanjutkan terhadap garis y = 5

Jawab :

M y = 5  M y = 2

P ( 2,-4 ) P`( x` , y`) X ` = x

= 2

Y ` = y + 2 ( 5 – 2 ) = - 4 + 2.3 = 2 Jadi koordinat P` ( 2,2 ) 5. Diketahui titik P( -1, 5 )

Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis y = 3 dilanjutkan terhadap garis y = 8

Jawab :

6. Diketahui garis 2 x + y = 6

Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis y = 1 dilanjutkan terhadap garis y = 3

Jawab :

Pencerminan dengan matriks

Transformasi Matriks Transformasi Matriks

Mx =





 





 1 0

0

1

My= x =





 



 0 1

1 0

My =





 





1 0

0

1

My= -x =





 







 0 1

1 0

M x=h =





 



 

y x h

2

M y=k =





 





 y k

x 2

9. Diketahui titik P( -3, 5 )

Ditanyakan bayangannya jika dicerminkan terhadap garis y = x dilanjutkan terhadap garis x = 3 dan gambarkan

Jawab :