TELAAH MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH I: TRANSFORMASI GEOMETRI

(1)

TELAAH MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH I TRANSFORMASI GEOMETRI

OLEH:

1. RATMI QORI (06081181320002)

2. FAUZIAH (06081181320015)

3. NYAYU ASTUTI (06081281320018) 4. ISKA WULANDARI (06081281320038)

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAR SRIWIJAYA

2014

(2)

Penjumlahan &

Pengurangan Matriks Perkalian Matriks

TRANSFORMASI

Translasi (Pergeseran)

T=(a,b) Pengertian

Refleksi (Pencerminan)

Terhadap sumbu x atau

sumbu y

Terhadap titik (0,0)

Terhadap garis y=x atau y=-x

Terhadap garis y=mx+c Pengertian

Rotasi (Perputaran)

Sejauh  dengan pusat

(a,b) Sejauh  dengan pusat

(0,0) Pengertian

Dilatasi (Peskalaan/Perkali

an)

Dengan pusat (a,b) dan faktor

skala k Dengan pusat (0,0) dan faktor

skala k Pengertian

PENGERTIAN

Determinan

Matriks Invers Matriks

PETA KONSEP

Grafik Matriks

Koordinat

PETA KONSEP

syara t

- Garis

- Pers.kuadrarat - Trigonometri

(3)

Penjumlahan &

Pengurangan Matriks Perkalian Matriks

TRANSFORMASI

Translasi (Pergeseran)

T=(a,b) Pengertian

Refleksi (Pencerminan)

Terhadap sumbu x atau

sumbu y

Terhadap titik (0,0)

Terhadap garis y=x atau y=-x

Terhadap garis y=mx+c Pengertian

Rotasi (Perputaran)

Sejauh  dengan pusat

(a,b) Sejauh  dengan pusat

(0,0) Pengertian

Dilatasi (Peskalaan/Perkali

an)

Dengan pusat (a,b) dan faktor

skala k Dengan pusat (0,0) dan faktor

skala k Pengertian

PENGERTIAN

Determinan

Matriks Invers Matriks

TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

 Translasi (Pergeseran)

 Refleksi (Pencerminan)

 Rotasi (Perputaran)

 Dilatasi (Penskalaan)

1.TRANSLASI / PERGESERAN

Translasi adalah pemindahan atau pergeseran suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.

a.Tranlasi oleh titik :

dimana :

a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)

Dari gambar disamping, terdapat titik (x,y) yang ditranlasikan oleh (a,b) maka di dapatlah sebuah titik baru (x’,y’).

Jadi, untuk mencari hasil tranlasi (x,y) oleh titik (a,b) :

(4)

b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-) b.Tranlasi pada garis

CONTOH SOAL (translasi oleh titik):

Tentukan koordinat bayangan titik A (2, 4) yang ditranlasikan oleh titik (3,6) Jawab :

T=(3 6)

A(2,4) A ’(2+3,4+6) jadi ,

A ’=(5,10)

Dari gambar disamping merupakan tranlasi pada garis y = mx+c terhadap (a,b)

Sama halnya dengan translasi pada titik,

x ’=x+a atau x=x ’−a y ’=y+b atau

y=y ’−b

untuk mendapatkan hasil tranlasi garis y = mx + c oleh (a,b) sunstitusi x’ dan y’ ke persamaan garis tersebut, didapat:

(5)

CONTOH SOAL (tranlasi pada garis)

Tentukan bayangan persamaan garis y + 2x +3 ditranlasikan oleh titik (3,2) Jawab :

x ’=x+3atau x=x ’−3 y ’=y atau y=y−2

Jadi, bayangannya adalah y ’−2=2(x ’−3)+3y=2x−1

2.REFLEKSI / PENCERMINAN

Refleksi adalah transformasi yang memindahkan setiap titi pada bidang dengan sifat pencerminan.

Refleksi terhadap sumbu x

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu x, maka :

x ’=x y ’=−y

persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk: x ’=1.x+0.y

y ’=0.x+(−1). y

atau dalambentuk matriks:

(

^{x '}y '

)

⁼

(

¹0 −1⁰

)(

^xy

)

(6)

Refleksi terhadap sumbu y

Refleksi terhadap garis y = x

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y, maka :

x ’=−x y ’=y

persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk: x ’=(−1). x+0.y

y ’=0.x+1.y

(

^{x '}y '

)

⁼

(

^{−1 0}0 1

)(

^xy

)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y=x, maka :

OA=OB atau x ’=y AP ’=BPatau y ’=x

persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk: x ’=0.x+1.y

y ’=1.x+0.y

(

^{x '}y '

)

⁼

(

^{0 1}1 0

)(

^xy

)

(7)

Refleksi terhadap garis y = -x

Refleksi terhadap (0,0)

Refleksi terhadap garis x = h

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y=-x, maka

AP ’=BPatau−x ’=y atau x ’=−y OA=OB atau−y ’=x atau y ’=−x

persamaantersebut dapat ditulis dalam b entuk: x ’=0.x+(−1). y

y ’=(−1). x+0.y

(

^{x '}y '

)

⁼

(

−1⁰ ⁻¹0

)(

^xy

)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap titik (0,0) maka:

OA=BP atau−x ’=x atau x ’=−x AP ’=OB atau – y ’=y atau y ’=−y

persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk: x ’=(−1). x+0.y

y ’=0.x+(−1). y

(

^{x '}y '

)

⁼

(

⁻¹0 −1⁰

)(

^xy

)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap garis x = h maka:

Untuk sumbu x :

(8)

Refleksi terhadap garis y = k

CONTOH SOAL

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap garis y = k maka:

Untuk sumbu x:

CP’=AP x ’=x

Untuk sumbu y:

OA=y dan OB=k AB=OB – OA=k – y BC=AB=k – y OC=OB+BC

y ’=k+k – y

(9)

Jika titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis x=7 , maka bayangan titik A adalah titik A’

dengan koordinat….

Jawab: A(15,8) direfleksikan terhadap garis x=7 A’( a^', b '¿

(

^{a '}b '

)

⁼

(

^{−1 0}0 1

)(

¹⁵8

)

⁺

(

²⁽⁷⁾0

)

¿

(

⁻8¹⁵

)

⁺

(

¹⁴0

)

¿

(

⁻8¹

)

A(15,8) direfleksikan terhadap garis x=7 A’( −1,8¿

Jadi bayangan titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis x=7 adalah A’( −1,8¿ b.Refleksi pada garis

sama halnya dengan rotasi oleh titik, hanya saja hasil rotasi di substitusikan ke persamaannya. Misalkan garis Ax+By+c=0 direfleksikan terhadap :

e. t itik(0,0)

Dengan : x ’=−x dan y ’=−y

bayangannya adalah : A(−x)+B(−y)+c=0 f. garis x=h

Dengan : x ’=2h – x dan y ’=y

bayangannya adalah : A(2h – x)+B(y)+c=0 g. garis y=k

Dengan : x ’=x dan y ’=2k – y

bayangannya adalah : A(x)+B(2k – y)+c=0 a . s umbu x

Dengan : x ’=x dan y ’=−y

bayangannya adalah : A(x)+B(−y)+c=0 b. s umbu y

Dengan : x ’=−x dan y ’=y

bayangannya adalah : A(−x)+B(y)+c=0 c. garis y=x

Dengan : x ’=y dan y ’=x

bayangannya adalah : A(y)+B(x)+c=0 d. garis y=−x

Dengan : x ’=−y dan y ’=−x

bayangannya adalah : A(−y)+B(−x)+c=0

(10)

3.ROTASI / PERPUTARAN

Rotasi adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu Rotasi dengan pusat (0,0)

x ’=xcos−ysin y ’=xsin+ycos

dalam bentuk matriks:

(

^{x '}y '

)

⁼

(

^cossinθ^θ ^−sinθcosθ

)(

^xy

)

Rotasi dengan pusat M(a , b)

 Di dalam segitiga OAP: OA=OPcos→x=rcos AP=OPsin→y=rsin

 Di dalam segitiga OBP:

 +¿

OB=OP ’cos¿ +¿ x ’=rcos¿

x ’=rcos cos−rsin sin x ’=xcos−ysin

 +¿

BP ’=OP ’sin¿ y ’=r+¿sin¿

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang dirotasikan dengan pusat M(a,b) maka:

x ’ – a=(x – a)cos−(y – k)sin y ’ – b=(x – b)sin+(y – b)cos

(11)

CONTOH SOAL

Tentukanlah bayangan P(3,-5) jika dirotasi 90^o dengan pusat rotasi di A(1,2) dilengkapi dengan gambarnya!

Jawab:

P(3, -5) = P(a, b) A(1, 2) = A(x, y)

a’ = (a – x) cos a – (b – y) sin a + x b’ = (a – x) sin a + (b – y) cos a + y

a’ = (3 – 1) cos 90^o – (-5 – 2) sin 90o + 1 = 0 + 7 + 1 = 8 b’ = (3 – 1) sin 90^o – (-5 – 2) cos 90o + 2 = 2 + 0 + 2 = 4 Jadi, bayangan P(3, 5) adalah P’(8, 4)

4.DILATASI / PENSKALAAN

Dilatasi dengan pusat (0,0)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang didilatasikan dengan pusat (0,0) maka:

OP’=k x OP−OP ' OP =k

 OP1' OP1 =OP '

OP →x '

x =k → x '=kx

 P ' P1' PP1 =OP '

OP → y '

y =k → y '=ky

persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk: x ’=k . x+0.y

y ’=0.x+k . y

(12)

Dilatasi dengan pusat (a,b)

CONTOH SOAL:

Tentukan persamaan peta dari garis 3x−5y+15=0 oleh dilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5!

Jawab:

3x−5y+15=0 didilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5, maka:

(

^{x '}y '

)

⁼

(

^{5 0}0 5

)(

^xy

)

⁼

(

5⁵^xy

)

^→

(

^xy

)

⁼

(

¹5¹⁵^{x '}y '

)

Sehingga diperoleh x=1

5x ' dan ¿1

5 y ' . Maka bayangannya adalah : 3(1

5x ')−5(1

5 y^')+15=0 3

5 x '−5

5y^'+15=0

3x '−5y '+75=0→3x−5y+75=0

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang didilatasikan dengan pusat (a,b) maka:

x ’=a+k(x – a) y ’=b+k(y – b)

(13)

(14)

LATIHAN SOAL

1. Bayangan persamaan lingkaran x²+y²=25 oleh translasi T =

(

⁻¹3

)

^{adalah …}

2. Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5) adalah (7.-8). Bayangan kurva y = x²+ 4x – 12 oleh translasi tersebut adalah….

3. Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah di rotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran 90^o adalah….

4. Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu x di A dan memotong sumbu y di B. karena dilatasi [0, -2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’. Hitunglah luas segitiga OA’B’…

5. Persamaan bayangan parabola y =3x² – 6x + 1 setelah di rotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut +180⁰ adalah …

6. Titik B(1,3) dirotasikan terhadap titik (0,0). Tentukan bayangan titik B apabila titik B dirotasikan 7. Bayangan titik P(3,5) oleh translasi

[

⁻²³

]

^adalah….

8. Bayangan garis y=2x -3 yang dicerminkan terhadap garis y=-x adalah….

9. Bayangan titik B(-1,2) dilatasi terhadap titik pusat A(2,3) dengan faktor sekala - 1

2 ^adalah….

10. Hasil transformasi matriks

[

^{3 5}^{2 4}

]

terhadap titik B(2,3) adalah….

(15)

DAFTAR PUSTAKA

Wirodikromo, Sartono. 2008. Matematika 3A untuk SMA Kelas XII IPA Semester 1. .Jakarta:Erlangga

http://www.academia.edu/5672247/BAB_18_Transformasi_Geometri_fixs http://rumus-matematika.com/lebih-mengenal-transformasi-geometri/