Transformasi Geometri

TELAAH MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH I

TRANSFORMASI GEOMETRI

OLEH:

1. RATMI QORI

(06081181320002)

2. FAUZIAH

(06081181320015)

3. NYAYU ASTUTI

(06081281320018)

4. ISKA WULANDARI

(06081281320038)

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAR SRIWIJAYA

2014

PETA

KONSEP

Penjumlahan &

Pengurangan

Matriks

Perkalian

Matriks

TRANSFORMA

SI

Translasi

(Pergeseran)

T=(a,b)

Pengertian

Refleksi

(Pencermina

n)

Terhadap

sumbu x

atau sumbu

y

Terhadap

titik (0,0)

Terhadap

garis y=x

atau y=-x

Terhadap

garis

y=mx+c

Pengertian

Rotasi

(Perputaran)

Sejauh



dengan

pusat (a,b)

Sejauh



dengan

pusat (0,0)

Pengertian

Dilatasi

(Peskalaan/Perk

alian)

Dengan

pusat (a,b)

dan faktor

skala k

Dengan

pusat (0,0)

dan faktor

skala k

Pengertian

PENGERTIAN

Determinan

Matriks

Matriks

Invers

Grafik

Matriks

Koordinat

PETA KONSEP

syar at

- Garis

- Pers.kuadrarat

-

Trigonometri

Dari gambar disamping, terdapat titik (x,y) yang ditranlasikan oleh (a,b) maka di dapatlah sebuah titik baru (x’,y’). Jadi, untuk mencari hasil tranlasi (x,y) oleh titik (a,b) :

TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke

himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang

dapat dilakukan antara lain :



Translasi (Pergeseran)



Refleksi (Pencerminan)



Rotasi (Perputaran)



Dilatasi (Penskalaan)

1.TRANSLASI / PERGESERAN

Translasi adalah pemindahan atau pergeseran suatu objek sepanjang

garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.

a.Tranlasi oleh titik :

dimana :

b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)

b.Tranlasi pada garis

CONTOH SOAL (translasi oleh titik):

Tentukan koordinat bayangan titik A (2, 4) yang ditranlasikan oleh titik (3,6)

Jawab :

T =(3

6

)

A (2,4)

A ’(2+3,4 +6)

jadi ,

A ’=(5,10)

Dari gambar disamping merupakan tranlasi pada garis y = mx+c terhadap (a,b)

Sama halnya dengan translasi pada titik,

x ’=x +a

atau

x=x ’−a

y ’= y+b atau

y= y ’−b

untuk mendapatkan hasil tranlasi garis y = mx + c oleh (a,b) sunstitusi x’ dan y’ ke persamaan garis tersebut, didapat:

CONTOH SOAL (tranlasi pada garis)

Tentukan bayangan persamaan garis y + 2x +3 ditranlasikan oleh titik (3,2)

Jawab :

x ’=x +3 atau x=x ’−3

y ’= y atau y= y−2

Jadi, bayangannya adalah y ’−2=2 (x ’−3)+3 y=2 x−1

2.REFLEKSI / PENCERMINAN

Refleksi adalah transformasi yang memindahkan setiap titi pada bidang

dengan sifat pencerminan.

Refleksi terhadap sumbu x

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu x, maka :

x ’=x

y ’=−y

persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk :

x ’=1. x+0. y

y ’=0. x +(−1). y

atau dalambentuk matriks :

(

x '

y '

)

=

(

1

0

0 −1

)(

x

y

)

Refleksi terhadap sumbu y

Refleksi terhadap garis y = x

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y, maka :

x ’=−x

y ’= y

persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk :

x ’=(−1). x +0. y

y ’=0. x +1. y

atau dalambentuk matriks :

(

x '

y '

)

=

(

−1 0

0

1

)(

x

y

)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y=x, maka :

OA=OB atau x ’= y

AP ’=BPatau y ’=x

persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk :

x ’=0. x +1. y

y ’=1. x +0. y

atau dalambentuk matriks :

(

x '

y '

)

=

(

0 1

1 0

)(

x

y

)

Refleksi terhadap garis y = -x

Refleksi terhadap (0,0)

Refleksi terhadap garis x = h

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y=-x, maka

AP ’=BPatau−x ’= y atau x ’=− y

OA=OB atau− y ’=x atau y ’=−x

persamaantersebut dapat ditulis dalam b entuk :

x ’=0. x +(−1). y

y ’=(−1). x +0. y

atau dalambentuk matriks :

(

x '

y '

)

=

(

0

−1

−1

0

)(

x

y

)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap titik (0,0) maka:

OA=BP atau−x ’=x atau x ’=−x

AP ’=OB atau – y ’= y atau y ’=− y

persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk :

x ’=(−1). x +0. y

y ’=0. x +(−1). y

atau dalambentuk matriks :

(

x '

y '

)

=

(

−1

0

0

−1

)(

x

y

)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap garis x = h maka:

Untuk sumbu x : OA=x dan OB=h

AB=h – x

BC= AB=h – x

OC=OB+BC

x ’=h+h – x

x ’=2 h – x

Untuk sumbu y: CP’= AP

y ’= y

Refleksi terhadap garis y = k

CONTOH SOAL

Jika titik A(15,8) dicerminkan terhadap

garis x=7 , maka bayangan titik A adalah titik A’ dengan koordinat….

Jawab: A(15,8) direfleksikan terhadap garis x=7 A’( a

'

, b '

¿

(

a '

b '

)

=

(

−1 0

0

1

)(

15

8

)

+

(

2(7)

0

)

¿

(

−15

8

)

+

(

14

0

)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap garis y = k maka:

Untuk sumbu x: CP’= AP

x ’=x

Untuk sumbu y: OA= y dan OB=k

AB=OB – OA=k – y

BC= AB=k – y

OC=OB +BC

¿

(

−1

8

)

A(15,8) direfleksikan terhadap garis x=7 A’( −1,8

¿

Jadi bayangan titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis x=7 adalah A’(

−1,8

¿

b.Refleksi pada garis

sama halnya dengan rotasi oleh titik, hanya saja hasil rotasi di substitusikan ke persamaannya. Misalkan garis Ax +By+c =0 direfleksikan terhadap :

3.ROTASI / PERPUTARAN

Rotasi adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat

tertentu

Rotasi dengan pusat (0,0)

e. t itik (0,0) Dengan :

x ’=−x dan y ’=− y

bayangannya adalah :

A (−x)+B(− y)+c=0

f. garis x=h Dengan :

x ’=2 h – x dan y ’= y

bayangannya adalah :

A (2 h – x )+B( y)+c=0

g. garis y =k Dengan :

x ’=x dan y ’=2 k – y

bayangannya adalah :

A (x )+B(2k – y)+c =0

a . s umbu x Dengan :

x ’=x dan y ’=− y

bayangannya adalah :

A (x )+B(−y )+c=0

b. s umbu y Dengan :

x ’=−x dan y ’= y

bayangannya adalah :

A (−x)+B( y )+c=0

c. garis y =x Dengan :

x ’= y dan y ’= x

bayangannya adalah :

A ( y )+B (x)+c=0

d. garis y =−x Dengan :

x ’=− y dan y ’=−x

bayangannya adalah :

 Di dalam segitiga OAP : OA=OP cos−¿x=r cos

AP=OP sin−

¿

y=r sin



Di dalam segitiga OBP :



_{OB=OP ’ cos}

+

¿

_¿

+¿ x ’=r cos¿

x ’=r cos cos−r sin sin

x ’=x cos− y sin 

_{BP ’=OP ’ sin}

+

¿

_¿

+¿ y ’=r sin¿

y ’=r sin cos +r cos sin

y ’= y cos +x sin

x ’=x cos− y sin

y ’=x sin+ y cos

dalam bentuk matriks :

(

x '

y '

)

=

(

cos θ −sinθ

sin θ

cos θ

)(

x

y

)

Rotasi dengan pusat M(a , b)

CONTOH SOAL

Tentukanlah bayangan P(3,-5) jika dirotasi 90

o

_{dengan pusat rotasi di A(1,2)}

dilengkapi dengan gambarnya!

Jawab:

P(3, -5) = P(a, b)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang dirotasikan dengan pusat M(a,b) maka:

x ’ – a=(x – a)cos−( y – k)sin

y ’ – b=(x – b)sin+( y – b)cos

A(1, 2) = A(x, y)

a’ = (a – x) cos a – (b – y) sin a + x

b’ = (a – x) sin a + (b – y) cos a + y

a’ = (3 – 1) cos 90

o

_{– (-5 – 2) sin 90o + 1 = 0 + 7 + 1 = 8}

b’ = (3 – 1) sin 90

o

_{– (-5 – 2) cos 90o + 2 = 2 + 0 + 2 = 4}

Jadi, bayangan P(3, 5) adalah P’(8, 4)

4.DILATASI / PENSKALAAN

Dilatasi dengan pusat (0,0)

Dilatasi dengan pusat (a,b)

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang didilatasikan dengan pusat (0,0) maka:

OP’=k x OP−

OP '

OP

=k



OP 1'

OP 1

=

OP '

OP

→

x '

x

=k → x '=kx



P ' P 1'

PP1

=

OP '

OP

→

y '

y

=

k → y '=ky

persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk :

x ’=k . x +0. y

y ’=0. x +k . y

atau dalambentuk matriks :

Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang didilatasikan dengan pusat (a,b) maka:

x ’=a+k (x – a)

y ’=b+k ( y – b)

CONTOH SOAL:

Tentukan persamaan peta dari garis 3 x−5 y+15=0 oleh dilatasi terhadap

pusat O(0,0) dengan faktor skala 5!

Jawab:

3 x−5 y+15=0

didilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5, maka:

(

x '

y '

)

=

(

5 0

0 5

)(

x

y

)

=

(

5 x

5 y

)

→

(

x

y

)

=

(

1

5

x '

1

5

y '

)

Sehingga diperoleh x=

1

5

x ' dan

¿

1

5

y ' . Maka bayangannya adalah :

3(

1

5

x ' )−5(

1

5

y

'

₎₊₁₅₌₀

3

5

x '−

5

5

y

'

+

15=0

3 x '−5 y '+75=0 → 3 x−5 y+75=0

LATIHAN SOAL

1. Bayangan persamaan lingkaran x

2

_+y

2

_{=25 oleh translasi T =}

(

−1

3

)

adalah …

2. Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5) adalah (7.-8). Bayangan kurva y = x2 ₊

4x – 12 oleh translasi tersebut adalah….

3. Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah di rotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran 90o _adalah….

4. Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu x di A dan memotong sumbu y di B. karena dilatasi [0, -2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’. Hitunglah luas segitiga OA’B’…

5. Persamaan bayangan parabola y =3x2 _{– 6x + 1 setelah di rotasikan pada}

pangkal koordinat dengan sudut +1800 _{adalah …}

6. Titik B(1,3) dirotasikan terhadap titik (0,0). Tentukan bayangan titik B apabila titik B dirotasikan

7. Bayangan titik P(3,5) oleh translasi

[

−2

3

]

adalah….

8. Bayangan garis y=2x -3 yang dicerminkan terhadap garis y=-x adalah…. 9. Bayangan titik B(-1,2) dilatasi terhadap titik pusat A(2,3) dengan faktor

sekala -

1

2

adalah….

10.Hasil transformasi matriks

[

2 4

DAFTAR PUSTAKA

Wirodikromo, Sartono. 2008. Matematika 3A untuk SMA Kelas XII IPA

Semester 1. .Jakarta:Erlangga

http://www.academia.edu/5672247/BAB_18_Transformasi_Geometri_fixs

http://rumus-matematika.com/lebih-mengenal-transformasi-geometri/