BAB 18 Transformasi Geometri fixs

(1)

BAB 18

TRANSFORMASI GEOMETRI

Pada bab ini akan dipelajari mengenai Translasi (pergeseran), Refleksi (pencerminan), Rotasi (perputaran), Dilatasi (perbesaran/pengecilan), transformasi matriks, komposisi dua transformasi.

A. TRANSLASI (PERGESERAN) 1. Translasi pada titik

Titik A (x,y) ditranslasi oleh

 

a

b _{maka akan menghasilkan bayangan} titik A’(x + a, y + b)

Contoh :

Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5). Tentukan koordinat bayangan segitiga OAB tersebut jika

ditranslasi oleh T =

 

1 3 jawab :

titik O (0,0)

 

1 T 3

��_{O’(0+1, 0+3) = O’(1,3)}

titik A (3,0)

 

1 T 3

��_{A’(3+1, 0+3) = A’(4,3)}

titik B (3,5)

 

1 T 3

��_{B’ (3+1, 5+3) = B’(4,8)}

2. Translasi pada garis

Garis Ax + By + C = 0 ditranslasi oleh

 

a

b _{maka akan menghasilkan} bayangan garis : A(x – a) + B(y – b) + C = 0

Contoh :

Bayangan persamaan lingkaran x2_{+ y}2_{= 25 oleh translasi T =}

 

1 3



! adalah….

Jawab :

(2)



 

2



2 1. Refleksi Pada Titik

Misalkan titik A (x,y) akan direfleksi terhadap : a. Sumbu x

Menghasilkan bayangan titik A’ (x,– y)

 

sumbu x





A x,y ��A' x, y

b. Sumbu y

Menghasilkan bayangan titik A’(– x, y)

 

sumbu y





A x,y ��A' x,y

c. Garis y = x atau y – x = 0

Menghasilkan bayangan titik A’ ( y, x)

 

garis y x

 

A x,y _��_�A' y,x d. Garis y = – x atau x + y = 0

Menghasilkan bayangan titik A’(–y,–x)

 

garis y x





A x,y _{��}  A' y, x_{ } e. Garis x = h

Menghasilkan bayangan titik A’ (2h – x, y)

 

garis x h





A x,y _�� _�A' 2h x, y_{ } f. Garis y = k

Menghasilkan bayangan titik A’(x,2k– y)

 

garis y k





A x,y _��_�A' x, 2k y_ g. Titik asal (0,0)

Menghasilkan bayangan titik A’(–x,–y)

 

titik asal





2. Refleksi Pada Garis

(3)

a. Sumbu x



x, y



Bayangannya : 3(x) + 4( - y) – 12 = 0 atau 3x – 4y – 12 = 0 b. Sumbu y



x,y



Bayangannya : 3(- x) + 4( y) – 12 = 0 atau – 3x + 4y – 12 = 0 c. Garis y = x ( y,x)

Bayangannya : 3(y) + 4(x) – 12 = 0 atau 4x + 3y – 12 = 0 d. Garis y = x ( - y, - x)

Bayangannya : 3(- y) + 4(- x) – 12 = 0 atau – 3y – 4x – 12 = 0 e. Garis x = k

Bayangannya : 3(2.k – x) + 4(y) – 12 = 0 f. Garis x = h

Bayangannya : 3(x) + 4(2.h – y) – 12 = 0 g. Titik asal ( - x, - y)

Bayangannya : 3(- x) + 4(- y) – 12 = 0 atau – 3x – 4y – 12 = 0 C. ROTASI (PERPUTARAN)

adalah perputaran. Rotasi ditentukan oleh pusat rotasi dan besar sudut rotasi.

1. Rotasi Pada Titik

a. Rotasi dengan pusat (0,0) dan besar sudut 

 



  

 

R 0, cos sin x

M _sin _cos _y

Metode supertrik :

- Jika titik A (x,y) dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 900

berlawanan arah dengan jarum jam akan menghasilkan bayangan titik A’(- y,x).

- Jika titik A (x,y) dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 900_searah

dengan jarum jam akan menghasilkan bayangan titik A’( y, - x).

- Jika titik A (x,y) dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 1800_akan

menghasilkan bayangan titik A’( - x, - y) b. Rotasi dengan pusat P(a,b) dan besar sudut 

 

_

_

















R P,

A x,y A' x',y'

dengan x' a x a cos y b sin y' b x a sin y b cos



��

      

      

(4)

a. Rotasi dengan pusat (0,0) dan besar sudut  900_{berlawanan arah dengan jarum jam akan menghasilkan}

bayangan garis : ay – bx + c = 0

- Jika garis ax + by + c = 0 dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 900_{searah dengan jarum jam akan menghasilkan bayangan}

garis : – ay + bx + c = 0

- Jika garis ax + by + c = 0 dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 1800_{akan menghasilkan bayangan garis : – ax – by + c = 0.}

b. Rotasi dengan pusat (a,b) dan besar sudut 

 

_

_

Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya. 1. Dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala k

Rumus :

 

_�� 0,k

_

_

A x,y A' kx,ky

2. Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor skala k Rumus :

3. Dilatasi pada titik Contoh :

Tentukan bayangan titik A (3, - 4) oleh dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 2 !

Jawab :

Bayangan titik A adalah A’ (3.2, - 4.2) atau A’ (6, - 8) 4. Dilatasi pada garis

 

  ��0,k  

(5)

Contoh :

Tentukan bayangan garis 3x + 4y – 12 = 0 yang didilatasikan dengan pusat (0,0) dan faktor skala 3 !

Jawab :

Bayangan garis 3x + 4y – 12 = 0 adalah 3x + 4y – 12(3) = 0 atau 3x + 4y – 36 = 0

5. Dilatasi pada kurva

Dilatasi pada kurva y = ax2_{+ bx + c oleh D[0,n] menghasilkan}

Tentukan bayangan kurva y = x2 – 2x + 5 oleh dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 3 !

Jawab :

Metode supertrik pada dilatasi kurva :

(6)

Refleksi faktor dilatasi k

(

x'

(7)

1. UN 2011

Bayangan garis x – 2y = 5 jika ditransfomasikan dengan matriks

transformasi

 

3 5

1 2 _{dilanjutkan dengan pencerminan terhadap} sumbu x adalah…

A. 11x + 4y = 5 B. 4x + 2y = 5 C. 4x + 11y = 5 D. 3x + 5y = 5 E. 3x + 11y = 5

Pembahasan :

Cari invers matriks terlebih dahulu :

 

3 5 1



2 5 x

   

2x 5y

1 2 �_{6 5}_ 1 3 y   x 3y

Maka bayangan garis x – 2y = 5 menjadi (2x – 5y) – 2(3y – x) = 5 4x – 11y = 5 kemudian direfleksi terhadap sumbu x :

 

_{ }

sb.x x, y

4x 11y 5 4 x 11 y 5

4x 11y 5



  ��   

 

Jawaban:C

2. UN 2012

Persamaan bayangan lingkaran x2_{+ y}2_{= 4 jika dicerminkan terhadap}

garis x = 2 dilanjutkan dengan translasi

 

3 4



adalah… A. x2    y 2x 8y 13 02

B. x2    y 2x 8y 13 02 C. x2    y 2x 8y 13 02 D. x2    y 2x 8y 13 02 E. x2    y 8x 2y 13 02

Pembahasan :

Metode supertrik :

(8)

   









Jadi, bayangan pusat lingkaran = (1,4) Trik : yang ditengah =



2a, 2b



Bayangan kurva y = 3x – 9x2_{jika dirotasi dengan pusat O (0,0) sejauh}

900_{dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O (0,0) dan faktor skala}

3 adalah…

bayangan kurva menjadi x 3 y 9 y atau x 3y 9y

Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 karena refleksi terhadap garis x + y = 0, dilanjutkan refleksi terhadap garis y – x = 0 adalah…

(9)

C. 2y + x – 3 = 0

5. Bayangan kurva y = x2_{– x + 3 yang ditransformasikan oleh matriks}

 

0 1

(10)

1. Bayangan garis 3x + 4y – 12 = 0 ditranslasikan oleh T=

 

1

2

 _adalah…

A. 4x + 3y – 7 = 0 B. 4x + 3y + 7 = 0 C. 3x + 4y – 7 = 0 D. 3x + 4y + 7 = 0 E. 3x + 4y + 14 = 0

2. Bayangan garisk 3x – 5y + 15 = 0 yang didilatasikan oleh [O,5] adalah… A. 3x – 5y – 10 = 0 D. 15x – 25y + 75 = 0

B. 3x – 5y + 25 = 0 E. 8x + 10y + 20 = 0 C. 3x – 5y + 75 = 0

3. Garis 2x + 3y = 6 ditranslasikan dengan matriks

 

3 2



dan dilanjutkan

dengan

 

1

 _{. Bayangan garis tersebut adalah…}

A. 2x + 3y + 5 = 0 D. 3x + 2y – 5 = 0 B. 2x + 3y – 5 = 0 E. 3x + 2y + 5 = 0 C. 2x – 3y + 5 = 0

4. Persamaan bayangan lingkaran



x 2

 

2  y 3



2 25 oleh rotasi dengan pusat (0,0) sejauh setengah putaran searah dengan jarum jam, dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = 2 adalah…

A.



 



2 2

x 2  y 3 25

B.



x 2

 

2  y 3



2 25

C.



 



2 2

x 2  y 3 25

D.



x 3

 

2 y 2



2 25

E.



 



2 2

x 3  y 2 25

5. Jika titik (p,q) direfleksikan terhadap sumbu Y kemudian dilanjutkan

dengan transformasi matriks

 

2 1 1 2



menghasilkan titik (1, - 8), maka nilai p + q = …

A. 2 D. – 2

B. 1 E. – 3

(11)

6. Persamaan bayangan parabola y = 2x2_{– 4x + 3 jika dicerminkan terhadap}

sumbu x dilanjutkan dengan rotasi pusat O sejauh 900_{, dan dilanjutkan}

dilatasi terhadap pusat O faktor skala 2 adalah…

A. x = y2_{+ 2y – 6} _{D. x = y}2_{– 4y – 6}

B. x = y2_{+ 4y – 6} _{E. x = y}2_{– 4y + 6}

C. x = y2_{+ 4y + 6}

7. Bayangan segitiga ABC, dengan titik A (2,1), B (6,1), dan C(5,3) oleh pencerminan terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi

 

O, adalah…

A. A" 2, 1 , B" 6, 1 ,C" 5,3











  

B. A" 1,2 , B" 1,6 ,C" 3,5











  

C. A" 2, 1 , B" 6, 1 ,C" 5,3



 





 

 





D. A" 2,1 , B" 6,1 ,C" 5, 3

 

  





E. A" 1, 2 , B" 1, 6 ,C" 3,5











 





8. Bayangan kurva y = x2_{+ x + 3 yang ditransformasikan oleh matriks}

 

0 1

1 0 _{dilanjutkan oleh matriks}

 

0 11 0 _adalah…

A. y x x 3  2 D. y  x x 32 B. x  y2 y 3 E. x y  2 y 3 C. x y  2 y 3

9. Bayangan titik B oleh pencerminan terhadap garis x = – 2 dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu y adalah (– 3, 4), koordinat titik B adalah…

A. (7, – 4) D. (– 4, 7)

B. ( – 7, 4) E. (– 4,– 7) C. (7,4)

10. Bayangan titik P (4,6) oleh refleksi garis y = x + 3 adalah…

A. P’ (3,6) D. P’ (7,3)

B. P’ (3,7) E. P’ (6,3)