Page | i
Transformasi Geometri | ii Untuk SMA/MA Kelas XII Semester 2
Page | i KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirant Tuhan Yang Maha Esa yang dengan berkat dan rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan Buku kami yang berjudul “Transformasi Geometri” tepat pada waktunya.
Buku ini kami buat sesederhana mungkin, dengan bahasa dan pola pengkajian yang sederhana pula, agar anda mudah memahami dan mengerti isi dari Buku yang kami buat ini. Buku ini membahas tentang Translasi, refleksi, Dilatasi, Rotasi dan komposisi transformasi dengan matriks. Agar anda dapat dengan mudah menentukan komposisi dan beberapa transformasi geometri beserta matriks geometrinya.
Penyusun menyadari bahwa buku ini jauh dari sempurna.
Oleh karena itu, penyusun mengharapkan kritik dan saran yang membangun, sehingga kami dapat membuat Buku yang lebih baik lagi. Akhirnya, kami berharap kiranya Buku ini dapat bermanfaat dan dapat menjadi referensi yang berguna.
Penulis
Transformasi Geometri | ii Kata-Kata Motivasi
Rasa malasmu tak akan membunuhmu jika kamu mampu melawannya
Bertindaklah ketika anda termotivasi
Jangan menunggu termotivasi lalu bertindak
Transformasi Geometri | iii Tujuan Pembelajaran
Tujan Pembahasan dari buku ini yaitu :
Peserta didik dapat menjelaskan arti geometri dari suatu tansformasi Translasi , refleksi , Dilatasi, Rotasi dan komposisi transformasi dengan matriks.
Peserta didik dapat menjelaskan operasi translasi , menentukan persamaan transformasi refleksi , menentukan transformasi rotasi , menentukan persamaan transformasi dilatasi , pada bidang serta aturan dan matriksnya.
Peserta didik dapat menentukan aturan transformasi dari komposisi berapa transformasi.
Transformasi Geometri | iv Daftar Isi
Kata Pengantar...i
Kata Motivasi ... ii
Tujuan Pembelajaran ... iii
Daftar Isi ...iv
Materi dan Contoh soal A. Translasi ... 1
B. Refleksi ... 5
C. Rotasi .... ... 11
D. Dilantasi ... 16
E. Komposisi Transformasi dengan Matriks .. ... 20
Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari ... 26
Soal Latihan ... 26
Daftar Pustaka . ... v
Biodata .. ...vi
Page | 1
Gambar di samping
Niko Sentera
dan kawan-
kawan sedang belajar
A.Translasi
Materi dan Contoh Soal
Translasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu.Minggu lalu, Niko Sentera duduk di pojok kanan baris pertama dikelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Ucok. Ucok sendiri berpindah ke baris kedua lajurkedua yang minggu lalu ditempati Martina.
Sumber: smpstece1yk.tripod.com
Transformasi Geometri | 2
Gambar di samping Perpindah an tempat duduk
Niko Sentra dan
Ucok
Perhatikan perpindahan tempat duduk Niko Sentera dan Ucok ini
Niko Sentera berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat
berpindah ini, Niko Sentera telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai
(−22)
Kemudian, Ucok berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat
berpindah ini, Ucok telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1
satuan ke bawah yang ditulis sebagai (−2−1).
Transformasi Geometri | 3
Gambar di samping, Translasi (−22)
titik N pada koordinat Cartesius
Misalkan, tempat duduk Niko Sentera minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius.
Dengan translasi (−22) diketahui tempat duduknya minggu ini pada titik N’(a-2 , b-2).
Kalian dapat menulis translasi ini sebagai berikut:
𝑁(𝑎, 𝑏)(
−2 2)
→ 𝑁′(𝑎 − 2, 𝑏 + 2)
Dengan prinsip yang sama, jika titik P(a, b) ditranslasikan dengan 𝑇1 = (ℎ𝑘) maka diperoleh bayangan 𝑃′(𝑎 + ℎ, 𝑏 + 𝑘).
Secara matematis, ditulis sebgai berikut:
Transformasi Geometri | 4 Pertanyaan:
Translasi 𝑇₁ = (𝑝𝑞) memetakan titik A(1, 2) ke A’(4, 6).
a. Tentukan translasi tersebut.
b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut !(1, 2), B(3, 4) dan C(-5, 6) oleh translasi tersebut.
Penyelesaian:
a. 𝐴(1, 2)𝑇
1=(𝑝𝑞)
→ 𝐴′(1 + 𝑝, 2 + 𝑞) = 𝐴′(4,6)
Diperoleh 1 + p = 4. Sehingga, p = 3 2 + q = 6. Didapat, q = 4 Jadi, translasi tersebut adalah T₁= (34)
b. Translasi T₁ = (34) artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titik-titik A’, B’, dan C’ dari segitiga ABC dengan translasi T₁, kalian memperoleh segitiga A’B’C’ sebagai berikut.
Contoh
Transformasi Geometri | 5
B. Refleksi
𝑨(𝒂, 𝒃)𝑺𝒖𝒎𝒃𝒖 𝑿→ 𝑩(𝒂, −𝒃) 𝐴(1,2)
𝑇1=(3 4)
→ 𝐴′(1 + 3, 2 + 4) = 𝐴′(4,6) 𝐵(3,4) ⟶ 𝐵′(3 + 3, 4 + 4) = 𝐵′(6, 8) 𝐶(−5, 6) ⟶ 𝐶′(−5 + 3, 6 + 4) = 𝐶′(−2,10)
Jadi, bayangan segitiga ABC adalah segitiga A’B’C’
dengan titik A’(4, 6), B’(6, 8), dan C’(-2, 10).
Refleksi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan sifat pencerminan. Terdapat macam-macam refleksi, sebagai berikut:
1. Terhadap sumbu X
Pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu X menghasilkan bayangan titik B(a’, b’) dengan a’= a dan b’ = b.
𝑎′= 𝑎 ⇒ 𝑎′= 1 . 𝑎 + 0. 𝑏, 𝑏′= −𝑏 ⇒ 𝑏′= 0. 𝑎 − 1. 𝑏
Transformasi Geometri | 6 𝑨(𝒂, 𝒃)𝑺𝒖𝒎𝒃𝒖 𝒀→ 𝑪(−𝒂, 𝒃)
𝑨(𝒂, 𝒃)𝑮𝒂𝒓𝒊𝒔 𝒚=𝒙→ 𝑫(𝒃, 𝒂)
Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah [1 0
0 −1] sehingga 𝐵 = (𝑎′𝑏′) = [1 0 0 −1] (𝑎𝑏) 2. Terhadap sumbu Y
Pencerminan titik A(a, b) terhadap sumbu Y menghasilkan bayangan titik C(a’, b’) dengan a’ = -a dan b’ = b.
𝑎′ = −𝑎 ⇒ 𝑎; = −1. 𝑎 + 0. 𝑏
𝑏′ = 𝑏 ⇒ 𝑏′= 0. 𝑎 + 1. 𝑏
Matriks transformasi untuk pencerminan itu adalah [−1 0
0 1], sehingga 𝐶 = (𝑎′𝑏′) = [−1 0 0 1] (𝑎𝑏) 3. Garis y=x
Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y= x menghasilkan bayangan titik D(a’, b’) dengan a’= b dan b’= a.
𝑎′= 𝑏 ⇒ 𝑎′ = 0. 𝑎 + 𝑎. 𝑏
Transformasi Geometri | 7 𝑨(𝒂, 𝒃)𝑮𝒂𝒓𝒊𝒔 𝒚=−𝒙→ 𝑬(−𝒃, − 𝒂)
𝑏′= 𝑏 ⇒ 𝑏′ = 0. 𝑎 + 1. 𝑏
Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah [0 1
1 0], sehingga 𝐷 = (𝑎′𝑏′) = [0 1 1 0] (𝑎𝑏) 4. Garis y= -x
Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y= -x menghasilkan bayangan titik E(a’, b’) dengan a’= -b dan b’ = -a.
𝑎′ = −𝑏 ⇒ 𝑎′= 0. 𝑎 − 1. 𝑏 𝑏′ = −𝑎 ⇒ 𝑏′= −1. 𝑎 + 0. 𝑏
Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah [ 0 −1
−1 0 ],sehingga 𝐸 = (𝑎′
𝑏′) = [ 0 −1
−1 0 ] (𝑎 𝑏) 5. Titik O(0,0)
Pencerminan titik A(a, b) terhadap titik asal menghasilkan bayangan titik F(a’, b’) dengan a’ = -a dan b’ = -b.
Transformasi Geometri | 8 𝑨(𝒂, 𝒃)𝑶(𝟎,𝟎)→ 𝑭(−𝒂, − 𝒃)
Titik asal
𝑨(𝒂, 𝒃)𝑮𝒂𝒓𝒊𝒔 𝒙=𝒉→ 𝑮(𝟐𝒉 − 𝒂, 𝒃) 𝑎′ = −𝑎 ⇒ 𝑎′= −1. 𝑎 + 0. 𝑏
𝑏′ = −𝑏 ⇒ 𝑏′= 0. 𝑎 − 1. 𝑏
Matriks transformasi untuk pencerminan ini adalah [−1 0
0 −1], sehingga 𝐹 = (𝑎′𝑏′) = [−1 0 0 1] (𝑎𝑏) 6. Garis x = h
Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis x = h menghasilkan bayangan titik G(a’, b’) dengan a’ = 2h – a dan b’ = -b.
𝑎′= 2ℎ − 𝑎 ⇒ 𝑎′= (−1. 𝑎 + 0. 𝑏) + 2ℎ 𝑏′= 𝑏 ⇒ 𝑏′ = (0. 𝑎 + 1. 𝑏) + 0
Jika ditulis dalam matriks transformasi sebai berikut: 𝐺 = (𝑎′𝑏′) = [−1 0
0 1] (𝑎𝑏) + (2ℎ0)
Transformasi Geometri | 9 𝑨(𝒂, 𝒃)𝑮𝒂𝒓𝒊𝒔 𝒚=𝒉→ 𝑯(𝒂, 𝟐𝒌 − 𝒃)
7. Garis y= k
Pencerminan titik A(a, b) terhadap garis y = k menghasilkan bayangan titik H(a’, b’) dengan a’ = a dan b’ = 2k –b.
𝑎′= 𝑎 ⇒ 𝑎′= (1. 𝑎 + 0. 𝑏) + 0 𝑏′= 𝑏 ⇒ 𝑏′= (0. 𝑎 + 1. 𝑏) + 0
Jika ditulis dalam matriks transformasi sebagai berikut: 𝐻 = (𝑎′𝑏′) = [1 0
0 −1] (𝑎𝑏) + (2𝑘0)
Pertanyaan:
Tentukan bayangan jajarangenjang ABCD dengan titik sudut A(-2, 4), B(0,-5), C(3, 2) dan D(1, 11) jika:
a. Dicerminkan terhadap sumbu x b. Dicerminkan terhadap sumbu y
Contoh
Transformasi Geometri | 10 Penyelesaian:
a. Pencerminan terhadap sumbu x (𝑥1′ 𝑥2′ 𝑥3′
𝑦1′ 𝑦2′ 𝑦3′ 𝑥4′
𝑦4′) = (1 0
0 −1) (−2 0 3
4 −5 2
1 11)
= (−2 0 3
−4 5 −2 1
−11)
Jadi, bayangan jajaran genjang ABCD oleh pencerminan terhadapsumbu x adalah jajarangenjang A’B’C’D’
dengan titik sudut A’(-2, -4), B’(0, 5), C’(3, -2) dan D’(1, -11).
b. Pencerminan terhadap sumbu y (𝑥1′ 𝑥2′ 𝑥3′
𝑦1′ 𝑦2′ 𝑦3′ 𝑥4′
𝑦4′) = (−1 0
0 1) (−2 0 3
4 −5 2
1 11) Jadi, bayangan jajaran genjang ABCD oleh pencerminan terhadapsumbu x adalah jajarangenjang A’B’C’D’
dengan titik sudut A’(2, 4), B’(0, -5), C’(-3, 2) dan D’(-1, 11).
Transformasi Geometri | 11
C. Rotasi
Rotasi adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu.
Posisi awal pensil jangka ini dapat ditulis dalam koordinat kutub, A(r cos𝞱, r sin 𝞱). Adapun posisi pensil jangka setelah diputar sebesar 𝞪 dengan arah berlawanan dengan arah perputaran jarum dapat ditulis sebagai A’(r cos(𝞱+𝞪)).
Jadi, dinyatakan dalam bentuk matriks, persamaan tersebut manjadi matriks berikut:
𝐴′ = (𝑎′
𝑏′) = [𝑟 cos(𝜃 + 𝛼) 𝑟 sin(𝜃 + 𝛼)]
Transformasi Geometri | 12
= [𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 cos 𝛼 − 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 cos 𝛼 + 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝛼]
= [𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝛼]
= [𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼] [𝑎
𝑏]
Jadi, posisi pensil jangka setelah diputar sebesar 𝞪 tersebut adalah [𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼] [𝑎 𝑏]
Uraian ini menggambarkan rumus rotasi sebesar 𝞪 dengan pusat titik O(0,0) sebagai berikut.
Adapun untuk rotasi sebesar 𝞪 dengan pusat titik P(m, n) dapat ditentukan sebagai berikut.
Nilai 𝞪 bertanda positif jika arah putaran sudut berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dan bertanda negatif jika arah putaran sudut searah dengan arah perputaran jarum jam.
𝐴′= [𝑎′
𝑏′] = [𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼] [𝑎
𝑏]
𝐴′ = [𝑎′
𝑏′] = [𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼] [𝑎 − 𝑚𝑏 − 𝑛]+[𝑚𝑛]
Transformasi Geometri | 13 Bagaimana jika titik A(a, b) dirotasikan sebesar 𝞪 dengan pusat titik O(0, 0). Kemudian rotasi lagi sebesar 𝞫 dengan pusat yang sama? Perhatikan gambar berikut!
Tampak bahwa posisi rotasi sebesar 𝞪 dengan pusat titik O(0, 0). Kemudian dilanjutkan rotasi sebesar 𝞫 dengan pusat yang sama diwakili oleh rotasi sebesar ( 𝞪 + 𝞫) dengan pusat titik O(0, 0).
Akibatnya, bayangan titik A dapat kalian tentukan sebagai berikut:
𝐴′′= [𝑎′′
𝑏′′] = [cos(𝛼 + 𝛽) − sin(𝛼 + 𝛽) sin(𝛼 + 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽)] [𝑎
𝑏]
Transformasi Geometri | 14 Pertanyaan:
1. Tentukan bayangan titik A(-1, -2) yang dirotasi berturut-turut sebesar 180˚ dan 90˚ berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat yang sama, yaitu titik O(0, 0).
2. Tentukan bayangan parabola y=x2 + 1 yang dirotasi sebesar 90˚ searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat titik P(1, -2).
Penyelesaian:
1. Merotasikan titik A(-1, -2) berturut-turut sebesar 180˚ dan 90˚ berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat yang sama, yaitu titik O(0, 0) sama artinya dengan merotasi titik A sebesar 270˚ dengan pusat O(0, 0). Banyaknya titik A adalah sbg berikut:
𝐴′′ = [𝑎′′
𝑏′′] = [𝑐𝑜𝑠 270˚ − sin 270˚
sin 270˚ + 𝑐𝑜𝑠270˚] [−1
−1]
Contoh
Transformasi Geometri | 15 Jadi, bayangan titik A(-1, -2) adalah A”(-2, 1).
2. Ambil sebarang titik A(a, b) pada y=x2 + 1 sehingga b
= a2 + 1. Rotasikan titik A sebesar 90˚ searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat titik P(1, - 2). Dengan rotasi ini, kalian memperoleh titik A’(a’, b’).
[𝑎′
𝑏′] = [ cos(90) ˚ − sin(−90)˚
sin(−90)˚ + cos(−90) ˚] [ 𝑎 − 1
𝑏 − (−2)] + [ 1
−2]
= [ 0 1
−1 0] [𝑎 − 1
𝑏 + 2] + [ 1
−2] = [ 𝑏 + 3
−𝑎 − 1]
Jadi titik A’(b+3, -1-1).
Perhatikan bahwa a’ = b+3, dari persamaan ini didapat b= a’-3 dan dari b’= -a-1 didapat a= -b’-1. Dengan mensunstitusikan nilai a dan b ini ke persamaan (*), kalian memperoleh:
a’-3 = (-b-1)2+1 a’-3 = (b’)2 + 2b’ + 2 a’ = (b’)2 + 2b’ + 5
Transformasi Geometri | 16
D. Dilantasi
jadi, bayangan parabola y= x2 + 1 yang dirotasi sebesar 90˚ searah dengan arah perputaran jarum jam dengan titik P(1, -2) adalah x= y2 + 2y +5.
Ani dan teman-temannya berkunjung ke IPTN.
Di sana, mereka mengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat terbag ini mempunyai bentuk yang sama denghan pesawat terbang sesungguhnya. Tetapi ukurannya lebih kecil. Bentuk seperti miniaur pesawat terbang ini telah mengalami dilantasi diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya.
Selain dilantasi diperkecil, terdapat pula dilantasi diperbesar, misalnya pencetakaan foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini
Transformasi Geometri | 17 disebut faktor dilantasi. Faktor dilantasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misal k.
Jika k < -1 atau k > 1, maka hasil dilantasinya diperbesar
Jika -1 < k < 1, maka hasil dilantasinya diperkecil
Jika k = 1, maka hasil dilantasinya tidak mengalami perubahan.
perhatikan lingkaran disamping yang berpusat di titik P(4, 2) dan melalui titik Q(4, 4) berikut yang dilantasi terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor skala 12. Bayanngan yang diperoleh adalah lingkaran yang berpusat di titik P’(2, 1) dan melalui titik Q’(2, 2).
Lingkaran ini sebangun
Transformasi Geometri | 18 dengan lingkaran P dengan ukuran diperkecil.
Kalian dapat menentukan lingkaran hasil dilantasi ini dengan menggunakan matriks seperti berikut:
(𝑥1′ 𝑥2′
𝑦1′ 𝑦2′) = [ 1 2 0 0 1 2
] [4 4
2 4] = [2 2 1 2]
Dengan dilantasi terhadap pusat O(0, 0) dan faktor skala 12 diperoleh lingkaran dengan titik pusat P’(2, 1) dan melalui titik Q’(2, 2).
Secara umum, dilantasi ini sebagai ini sebagai berikut.
Titik P(a, b) dilantasi terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor skala k menghasilkan titik P’(ka, kb). Secara matematis, ditulis:
Kalian dapat menyatakan dalam bentuk matriks berikut.
𝑃′= [𝑎′
𝑏′] = [𝑘 0 0 𝑘] = [𝑎
𝑏]
𝑃(𝑎, 𝑏)
[𝑂,𝑘]→ 𝑃′(𝑘𝑎, 𝑘𝑏)
Transformasi Geometri | 19
Titik P(a, b) dididlantasi terhadap pusat F(m, n) dengan faktor skala k menghasilkan titik P’ (k ( a - m) + m, k (b –n) + n). Secara matematis ditulis:
Kalian dapat menyatakannya dalam bentuk matriks berikut.
𝑃′ = [𝑎′
𝑏′] = [𝑘 0
0 𝑘] [𝑎 − 𝑚 𝑏 − 𝑛] + [𝑚
𝑛]
Pertanyaan:
Tentukan bayangan titik P(5, 6) jika didilantasikan oleh:
1. [0, 3]
2. [F(2, 3), 4]
Penyelesaian:
1. 𝑃(5, 6)[𝑂,3]→ 𝑃′(3.5, 3.6) = 𝑃′(15, 18) Jadi titik P’(15, 18)
𝑃(𝑎, 𝑏)
[𝐹(𝑚,𝑛),𝑘]→ 𝑃′(𝑘(𝑎 − 𝑚) + 𝑚, 𝑘(𝑏 − 𝑛) + 𝑛)
Contoh
Transformasi Geometri | 20
E. Komposisi Transformasi dengan Matriks
2. 𝑃(5, 6)
[𝐹(2,3),4]
→ 𝑃′(4(5 − 2) + 2, 4(6 − 3) + 3) = 𝑃′(14, 15) Jadi titik P’(14, 15)
Transformasi T memetakan titik P(x, y) → P’(x’, y’).
Hubungan antara (x’, y’) dengan (x, y) ditentukan oleh:
𝑥′ = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑦′ = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦
Dengan demikian, matriks yang bersesuaian dengan transformasi T adalah 𝑀 = [𝑎 𝑏
𝑐 𝑑].
Berikut ini adalah tabel matriks-matriks transformasi gometri berodo 2 x 2.
Transformasi Geometri | 21 No Transformasi Pemetaan Matriks
transformasi 1. Identitas (I) (x, y) → (x, y) [1 0
0 1] 2. Dilantasi
dengan faktor skala k
(x, y) → (kx, ky) [𝑘 0 0 𝑘]
3. Refleksi (M) a. Terhadap
sumbuX (Mx)
b. Terhadap sumbuY (My)
(x,y) → (x, -y)
(x,y) → (-x, y)
[1 0 0 −1]
[−1 0 0 1]
Transformasi Geometri | 22 c. Terhadap
garis y= x (My=x)
d. Terhadap garis y=-x (My=-x)
(x, y) → (y, x)
(x, y) → (-y, -x)
[0 1 1 0]
[ 0 −1
−1 0 ] 4. Rotasi
terhadap titik asal O(0, 0) a. Sebesar 𝞱
(R𝞱)
b. Sebesar
𝜋
2(+90˚)
c. Sebesar –𝜋
2(−90˚)
(x, y) → (x’, y’) 𝑥′ = 𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sin 𝜃 𝑦′ = 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃
(x, y) → (-y, x)
(x, y) → (y, -x)
[𝑐𝑜𝑠𝜃 − sin 𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 ]
[0 −1 1 0 ]
[ 0 1
−1 0]
Transformasi Geometri | 23 d. Sebesar 𝜋
(setengah putaran)
(x, y) → (-x, -y)
[−1 0 0 −1]
Jika T1 dan T2 masing-masing adlah transformasi yang bersesuaian dengan matriks-matriks.
𝑀1 = [ 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑] 𝑑𝑎𝑛 𝑀2 = [𝑒 𝑓 𝑔 ℎ]
Maka komposisi transformasi yang dinyatakan dengan:
a. T2 ◦ T1 bersesuaian dengan perkalian matriks 𝑀2. 𝑀1 = [ 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ] 𝑥 [𝑎 𝑏 𝑐 𝑑]
b. T2 ◦ T2 bersesuaian dengan perkalian matriks 𝑀1. 𝑀2 = [ 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑] 𝑥 [𝑒 𝑓 𝑔 ℎ]
Hasil perkalian M1.M2 belum sama dengan hasil perkalian M2.M1.
Transformasi Geometri | 24
Contoh
Pertanyaan:
1. Diketahui T1 dan T2 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks.
𝑀1 = [ 0 2
3 0] 𝑑𝑎𝑛 𝑀2 = [0 1 1 1]
Dengan menggunakan matriks-matriks yang bersesuaian, tetntukanlah koordinat bayangan yang dinyatakan dengan komposisi transformasi berikut ini.
a. T2 ◦ T1 (2, 3) b. T2 ◦ T1 (-1, 4)
2. T1 adalah transformasi pencerminan terhadap garis y= -x. T2 adalah transformasi perputaran setengah putaran terhadap titik asal. Tentukan bayang titik P(3, -5) yang ditransformasikan terhadap T1 dan dilanjutkan terhadap T2.
Transformasi Geometri | 25 Penyelesaian:
1. A. T2 ◦ T1 (2, 3)
= [0 2
3 0] [0 1 1 1] [2
3] = [2 2 0 3] [2
3] = [10 9]
Jadi, T2 ◦ T1 (2, 3) = (10, 9) B. T2 ◦ T1 (-1, 4)
= [0 1
1 1] [0 2 3 0] [−1
4 ] = [3 0 3 2] [−1
4 ] = [−3 5 ]
2. M1 = [ 0 −1
−1 0 ] M2 = [−1 0 0 −1] Transformasi T2 ◦ T1
𝑃(3, −5)T2 ◦ T1 → 𝑃"
𝑃" = [−1 0
0 −1] [ 0 −1
−1 0 ] [ 3
−5]
= [0 1 1 0] [ 3
−1]
= [−5 3 ]
Jadi, bayangan akhir titik P(3, -5) terhadap transformasi T1 dan T2 adalah (-5, 3).
Transformasi Geometri | 26 Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari
Dalam materi transformasi geometri dapat di aplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. misal, yang ada di sekeliling kita suatu bangunan di bawah permukaan air merupakan bayangan dari bangunan di daratan atau cerminan/ refleksi.
Soal Latihan
1. Bayangan titik A oleh translasi 𝑇 = ( 4
−2) adalah A’(2,3). Koordinat titik A adalah . . . .
2. Jika garis y = x + 5 ditranslasikan oleh 𝑇 = ( 2
3 ) maka persamaan bayangannya . . .
3. Bayangan titik A jika dicerminkan terhadap garis y = -x adalah ( -5 , 4 ). Jika dicerminkan terhadap garis x = 5 maka bayangan titik A adalah . . . .
4. Bayangan titik (4, -1) oleh dilatasi [P(2,3), 5] adalah.
5. Jika garis 2x + y = 1 didilatasi dengan pusat (1,3) dan faktor skala 2, maka persamaan bayangannya adalah..
Transformasi Geometri | 27 6. Bayangan titik B oleh rotasi [O,180˚] adalah B’(-9,5).
Koordinat titik B adalah . . .
7. Garis g dicerminkan terhadap garis y = x dilanjutkan rotasi [O,90˚] menghasilkan garis 3x+y-2 = 0.
Persamaan garis g adalah .
8. Bayangan garis x + 3y = 0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks (2 3
1 2) dilanjutkan matriks (1 2
3 4) adalah..
Page | v Daftar Pustaka
Ari Damari.2007. Kupas Matematika SMA Untuk Kels X, XI, dan XII. Jakarta : PT Wahyu Media.
Cecep Anwar H.F.S.2008. Matematika Aplikasi untuk SMA dan MA Kelas XII Program IPA. Jakarta : Pusat Perbukuan BSE Depdiknas
Sartono Wirodikromo.2004. Matematika SMA Kelas XII IPA. Jakarta : PT Erlangga.
Siswanto. 2005.Matematika Inovatif 3 Konsep dan Aplikasinya Untuk Kelas XII SMA Program IPA. Solo : PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri
Page | vi Nama lengkap : Ade Ghaida Thursina
Nama Panggilan : Deghai Tempat, tanggal
Lahir : kuningan , 14 januari 1996
Alamat : Ds. Cikaso kec.kramatmulya kab.kuningan
Hobby : Membaca
Cita – cita : Guru
Motto hidup : Beyourself
No HP : 089675449035
PIN BB : 76AE0642
Email : adeghaida900@yahoo.com
Prodi : Matematika
Kelas : 2A
Transformasi Geometri | vii Nama lengkap : Vinni Chika Elvianni
Nama Panggilan : Vinoy Tempat , tanggal
Lahir : kuningan,26 Desember 1994
Hobby : Travelling
Cita – cita : Guru
Motto hidup : Nothing imposible
No HP : 085793255257
PIN BB : 76360257
Email : vinni.chika@yahoo.co.id
Prodi : Matematika
Kelas : 2B
