Matematikastudycenter.com- Contoh soal Pembahasan Ulangan Harian Transformasi Geometri, materi matematika SMA Kelas 12.
Translasi, rotasi, pencerminan atau refleksi, dan komposisi transformasi yang melibatkan matriks.
Soal No. 1
a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)
b) Tentukan bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi
c) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)
Pembahasan
Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:
Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga: a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)
b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi
Soal No. 2
Disediakan suatu persamaan garis lurus Y = 3x + 5
Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (2, 1)
Pembahasan
Ada beberapa cara diantaranya:
Cara pertama:
Posisi titik (x, y) oleh translasi T = (2, 1) adalah: x’ = x + 2 → x = x’ – 2
y’ = y + 1 → y = y’ – 1
Masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal y = 3x + 5
(y’ – 1 ) = 3(x’ – 2) + 5
Tinggal selesaikan, ubah lambang y’ dan x’ ke y dan x lagi: y – 1 = 3x – 6 + 5
y = 3x – 6 + 5 + 1 y = 3x
Cara kedua:
Ambil dua buah titik dari persamaan y = 3x + 5 Misal:
Titik A, untuk x = 0 → y = 5 dapat titik A (0, 5) Titik B, untuk Y = 0 → x = – 5 /
3 dapat titik B (– 5/3 , 0)
Translasikan Titik A dan B dengan T = (2,1) A’ (0 + 2, 5 +1) = A’ (2, 6)
B’ (-5/3 + 2, 0 + 1) = A’ (1/3, 1)
Cara ketiga
Dengan rumus yang sudah jadi atau rumus cepat:
ax + by = c Translasi T (p, q) Hasil :
ax + by = c + ap + bq
Rumus ini untuk bentuk seperti soal di atas, jangan terapkan pada bentuk-bentuk yang lain, nanti salah.
y = 3x + 5 atau
3x − y = − 5 oleh T = (2,1)
Hasil translasinya adalah: 3x − y = − 5 + (3)(2) + (− 1)(1) 3x − y = − 5 + 6 − 1
3x − y = 0 atau y = 3x Soal No. 3
Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A: a) Terhadap garis x = 10
b) Terhadap garis y = 8
Pembahasan
Pencerminan sebuah titik terhadap garis x = h atau y = k a) Terhadap garis x = 10
(a, b) ---> (2h − a, b) x = h
(3, 5) ---> ( 2(10) − 3, 5) = (17, 5) b) Terhadap garis y = 8
y = k
(a, b) ---> (a, 2k − b) y = k
(3, 5) ---> ( 3, 2(8) − 5) = (3, 11) Soal No. 4
Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A: a) Terhadap garis y = x
b) Terhadap garis y = − x
Pembahasan
a) Terhadap garis y = x y = x
(a, b) ---> ( b, a) y = x
(3, 5) ---> (5, 3) b) Terhadap garis y = − x y = − x
(a, b) ---> ( − b, − a) y = − x
(3, 5) ---> (− 5, − 3) Soal No. 5
Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik P'. Tentukan koordinat dari titik P'.
Pembahasan
Rotasi sebuah titik dengan sudut sebesar α
Catatan:
sudut α positif → berlawanan arah jarum jam sudut α negatif → searah jarum jam
Soal No. 6
Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah.... A. x + y − 3 = 0
B. x − y − 3 = 0 C. x + y + 3 = 0 D. 3x + y + 1 = 0 E. x + 3y + 1 = 0
(UN Matematika Tahun 2010 P04)
Pembahasan
Transformasi oleh matriks
dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan matriksnya Gabungan dua transformasi:
Terlihat bahwa y' = − y
x' = x + 2y x' = x + 2(− y') x' = x − 2y' x = x' + 2y' Jadi:
x = x' + 2y' y = − y'
Masukkan ke persamaan awal y = x + 1
(− y') = (x' + 2y' ) + 1 x' + 3y' + 1 = 0
Sehingga bayangan kurva yang diminta adalah x + 3y + 1 = 0 Soal No. 7
Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks
dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah.... A. (−11, 6)
B. (−6, 11) C. (−5, 11) D. (11, −5) E. (11, −6)
Pembahasan
Titik A, dengan transformasi matriks
akan menghasilkan titik A', yang koordinatnya:
Jadi A" koordinatnya adalah (11, −6) Soal No. 8
Lingkaran (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 ditransformasikan oleh matriks
dilanjutkan oleh matriks
maka bayangan lingkaran itu adalah.... A. x2 + y2 + 6x − 4x − 12 = 0
B. x2 + y2 − 6x − 4x − 12 = 0
C. x2 + y2 − 4x − 6x − 12 = 0
D. x2 + y2 + 4x − 6x − 12 = 0
E. x2 + y2 + 4x + 6x − 12 = 0 Pembahasan
(x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik P (2, − 3) dan berjari-jari r
= √25 = 5. Ingat kembali topik persamaaan lingkaran.
Setelah diitransformasi, jari-jarinya tidak berubah, tetap r = 5, jadi cukup dengan transformasi titik pusatnya, kemudian dipasang lagi di persamaan umum lingkaran akan diperoleh hasilnya. Titik P (2, − 3) oleh transformasi
akan menjadi P':
Titik P' ini oleh transformasi kedua
Pusat lingkaran yang baru diperoleh adalah (3, 2) dengan jari-jari r = 5, hingga persamaan lingkarannya menjadi:
GEOMETRI TRANSFORMASI
Tugas Ini Dibuat Untuk Memenuhi Tugas Geometri Transformasi
Yang Dibimbing Oleh Ibu Welas Lsitiani
MAKALAH
GEOMETRI TRANSFORMASI
Pencerminan (Refleksi), Pergeseran (Translasi), Perputaran (Rotasi), dan
Perbesaran (Dilatasi)
Disusu oleh kelompok 4 matematika 2012D Nama anggota kelompok :
FAKULTAS PENDIDIKAN ILMU EKSAKTA dan KEOLAHRAGAAN
IKIP BUDI UTOMO MALNG
NOVEMBER 2013
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas karunia, yang telah dilimpahkan-Nya, sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Makalah ini disusun dengan maksud untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi tentang Refleksi, Translasi, Rotasidan Dilatasi
penulis pun menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih banyak kesalahan disana sini baik dari segi isi penulisan maupun kata-kata yang digunakan yang didasari oleh terbatasnya referensi yang digunakan. Oleh karena itu segala kritik dan saran yang bersifat membangun guna perbaikan makalah ini lebih lanjut akan penulis terima dengan senang hati.
BAB II PEMBAHASAN
Belajar matematika merupakan sebuah proses perubahan tingkah laku Individu. Belajar ilmu matematika merupakan hal yang sangat penting dan harus di jalani oleh setiap manusia. Dengan Ilmu Matematika seseorang bisa membedakan mana yang baik dan mana yang buruk, dengan Ilmu Matematika seseorang bisa membedakan mana yang boleh dan mana yang tidak boleh, dan dengan Ilmu Matematika juga seseorag bisa merumuskan tujuan hidup.
Matapelajaran matematika merupakan yang sangat penting, dengan Ilmu Matematika kita mengetahui adanya geometri transformasi yang memuat refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi. Dimana refleksi adalah pencerminan, yaitu proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu terhadap garis tertentu (sumbu cermin / sumbu simetri). Translasi adalah transformasi yang memindahakan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Rotasi adalah
transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu. Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran bangun tetapi tidak mengubah bentuknya.
Maka dari itu kami menulis makalah tentang geometri transformasi yang didalamnya memuat refleksi(pencerminan), translasi (pergeseran), rotasi (perputaran), dan dilatasi (pembesaran).
B. Rumusan masalah
Dalam membuat suatu makalah masalah sangatlah penting karena adanya masalah akan memberikan penuntun bagi pembahasan selanjutnya, untuk menentukan suatu masalah hendaknya memberikan petunjuk tentang pengumpulan data.
Adapun masalah yang akan kami bahas dalam makalah ini adalah tentang Geometri
C. Tujuan
1. Mengetahui apa itu Refleksi
2. Mengetahui apa itu Translasi
3. Mengetahui apa itu Rotasi
4. Mengetahui apa itu Dilatasi
5. Dapat memahami apa yang dimaksud dengan refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi dan dapat
menyelesaikan soal-soal yang tentang itu. D. Manfaat
Adapun manfaat dari makalah ini, tidak lebih hanya untuk mengetahui apa itu refleksi, transformasi, rotasi, dan dilatasi. Yang dapat mempermudah dalam mempelajari Geometri Transformasi tentang refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi tersebut.
1
BAB II
PEMBAHASAN
A.
Refleksi (Pencerminan)
Refleksi / pencerminan suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu terhadap garis tertentu (sumbu cermin / sumbu simetri).
Macam-macam Refleksi
1) Pencerminan Terhadap Sumbu X
Y C
A B
X
A’ B’
C’
Misalnya :
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap sumbu x, P(x,y) P’(x,-y).
2) Percerminan Terhadap Sumbu Y
Pencerminan P(x,y) terhadap sumbu Y, P(x,y) P’(-x,y). 3) Pencerminan Terhadap Sumbu Y = X
Pencerminan P(x,y) terhadap garis Y= X, P(x,y) P’(y,x).
B’ A’
Pencerminan P(x,y) terhadap garis Y=-x, P(x,y) P’(-y,x).
5) Pencerminan terhadap garis x = h
Pencerminan P(x,y) terhadap garis x=h, P(x,y) P’(2h-x, y).
6) Pencerminan Terhadap Garis y = h
Pencerminan P(x,y) terhadap garis y=h, P(x,y) P’(x, 2h - y).
B.
Tranlasi (pergeseran)
Tranlasi adalah transformasi yang memindahakan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah
Memetakan titik P(x,y) ke P’(x’,y’) P(x,y)
1. Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5). Tentukan koordinat
Karena T =
Rotasi atau perputaran ditentukan oleh pusat dan besar sudut putar. Rotasi Pusat O(0,0)
Y P(x’,y’)
Titik P(x,y) dirotasi sebesar berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0) dan diperoleh bayangan P’(x’,y’)
sudut putaran -90o , adalah….
R-90o berarti:
Jika sudut putar = π (rotasinya dilambangkan dengan H)
maka x’ = - x dan y’ = -y
dalam bentuk matriks: Jadi H =
Contoh
Persamaan bayangan parabola y = 3x2 – 6x + 1 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat
dengan sudut putaran +180o, adalah….
Penyelesaian
Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu
bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya. 8
Dilatasi Pusat O(0,0) dan faktor skala k
Jika titik P(x,y) didilatasi terhadap pusat O(0,0) dan faktor skala k didapat bayangan P’(x’,y’) maka x’ = kx dan y’ = ky dan dilambangkan dengan [O,k] atau,
Contoh
Hitunglah luas segitiga OA’B’ Penyelesaian
garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A(3,0) memotong sumbu Y di B(0,2) karena dilatasi [O,-2] maka A’(kx,ky)→ A’(-6,0) dan B’(kx,ky) → B’(0,-4)
Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga seperti pada gambar: Y
Titik A(-5,13) didilatasikan oleh [P, ]⅔ menghasilkan A’. Jika koordinat titik P(1,-2),maka koordinat titik A’ adalah…. Penyelesaian
Adapun secara ringkas kesimpulan materi tentang transformasi geometri sebagai berikut :
a. Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang memidahkan setiap titik pada bidang dengan
jarak dan arah tertentu.
b. Refleksi (pencerminan) adalah translasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan sifat
pencerminan.
d. Dilatasi (perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran bangun, tetapi tidak mengubah
ukuran bentuknya.
B. Saran
