Transformasi Geometri
RESTU PRABOWO, S.Pd
• Menganalisis dan membandingkan transformasi dan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks.
• Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan matriks
transformasi geometri (translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi).
Kompetensi Dasar
• Mengamati dan mengidentifikasi fakta pada transformasi geometri dan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks serta masalah yang terkait.
• Mengumpulkan dan mengolah informasi untuk membuat
kesimpulan, serta menggunakan prosedur untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan transformasi geometri dan
komposisi transformasi dengan menggunakan matriks.
• Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan transformasi geometri dan komposisi transformasi dengan menggunakan matriks.
Pengalaman Belajar
Gambar di samping yang
merupakan salah satu karya M.C.
Escher.
Seorang pelukis yang bernama M.C.
Escher banyak menciptakan lukisan yang menggunakan unsur
transformasi.
Translasi adalah transformasi di mana semua titik pada bangun datar
dipetakan secara garis lurus dalam arah yang sama dan jarak yang sama yang tidak menyebabkan perubahan bentuk geometri.
Translasi adalah transformasi di mana semua titik pada bangun datar
dipetakan secara garis lurus dalam arah yang sama dan jarak yang sama yang tidak menyebabkan perubahan bentuk geometri.
4.1 TRANSLASI
Translasi disebut transformasi isometri karena tidak merubah bentuk dan ukuran bangun yang ditranslasi.
Translasi disebut transformasi isometri karena tidak merubah bentuk dan ukuran bangun yang ditranslasi.
Bangun datar yang ditranslasi dengan bayangannya merupakan bangun yang
kongruen.
Bangun datar yang ditranslasi dengan bayangannya merupakan bangun yang
kongruen.
4.1 TRANSLASI
4.1.1 Komponen Translasi
Titik P dipetakan ke P′ oleh suatu translasi yang dapat dinyatakan sebagai berikut.
Vektor translasi atau vektor kolom Vektor translasi di mana h mewakili pergeseran horizontal dan k mewakili pergeseran vertikal.
Pergeseran arah ke kanan dan ke atas bertanda positif, sedangkan pergeseran arah ke kiri dan ke bawah bertanda negatif.
Catatan
Contoh
Jawab Jawab
4.1.2 Translasi yang Diwakili oleh Notasi Pemetaan dan Persamaan Matriks
Koordinat titik pemetaan hasil translasi adalah:
Contoh
Diketahui P(–3, 7), Q(3, 2), dan R(–6, –2) adalah titik-titik segitiga PQR. Jika segitiga PQR ditranslasikan menjadi segitiga P Q R′ ′ ′ dengan translasi 4 satuan ke kanan dan 3 satuan ke bawah, tentukan
koordinat P , Q , ′ ′ dan R .′ Jawab
Jawab
Notasi pemetaan Persamaan Matriks
Contoh
Jawab Jawab
Kamu bisa menguji pemahaman tentang TRANSLASI
dengan mengerjakan soal Latihan 1 pada halaman 153
4.2.1 Pengertian dan Sifat-sifat Pencerminan
4.2 REFLEKSI (PENCERMINAN)
Pada transformasi penserminan ,
diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
1. Semua titik pada gambar dipindahkan menurut suatu garis yang tegak lurus terhadap garis yang invarian (tetap).
2. Segitiga dan bayangannya berjarak sama terhadap garis invarian.
3. Kedudukan gambar berubah tanpa terjadi perubahan panjang sisi atau
ukuran sudut serta luas. Transformasi seperti uraian di atas disebut refleksi.
4. Panjang sisi, besar sudut, dan bentuk segitiga tidak berubah oleh transformasi itu.
4.2.2 Refleksi Terhadap Garis x = h dan y = k
Contoh
Diketahui ∆ABC dengan A(4, 6), B(–5, 2), dan C(–3, –4). Tentukan bayangan titik-titik tersebut pada ∆ABC jika dicerminkan terhadap:
a. garis x = 2, b. garis y = –2.
Jawab Jawab
Jadi, koordinat titik A′(0, 6), B′(9, 2), dan C′(7, –4).
Jadi, koordinat titik A′(4, –10), B′(–5, –6), dan C′(–3, 0).
4.2.3 Refleksi Terhadap Sumbu X dan Sumbu Y
Persamaan matriks pencerminan terhadap sumbu X.
Persamaan matriks pencerminan terhadap sumbu Y.
Contoh
a. Diketahui ∆ABC dengan A(–2, 4), B(5, 6), dan C(7, 2). Tentukan koordinat bayangan ∆ABC oleh pencerminan terhadap sumbu X.
b. Diketahui ∆PQR dengan P(8, –3), Q(1, 3), dan R(–3, –5). Tentukan koordinat bayangan PQR oleh pencerminan terhadap sumbu Y.
Jawab Jawab
4.2.4 Refleksi Terhadap Sumbu y = x dan Sumbu y = –x
Contoh
Diketahui koordinat titik A(–5, 1) dan B(1, 6). Jika titik A′ dan B ′ masing-masing adalah bayangan dari A dan B oleh pencerminan pada garis y = x, tentukan:
a. koordinat A′ dan B′,
b. persamaan garis yang melalui AB dan persamaan garis yang melalui A B . ′ ′
Jawab Jawab
Kamu bisa menguji pemahaman tentang REFLEKSI
(PENCERMINAN)
dengan mengerjakan soal Latihan 2 pada halaman 166
4.3.1 Rotasi pada Pusat O (0,0) dengan Sudut Rotasi θ
4.3 ROTASI
Contoh
Tentukan bayangan titik (5, 2) oleh rotasi a. R90° b. R–90° c. R180°
Jawab Jawab
4.3.2 Rotasi pada Pusat (a, b) dengan Sudut Rotasi θ
Contoh
Tentukan bayangan titik P(8, 1) jika dirotasi pada pusat A(2, 3) dengan sudut rotasi 90°.
Jawab Jawab
Kamu bisa menguji pemahaman tentang ROTASI
dengan mengerjakan soal Latihan 3 pada halaman 174
4.4 DILATASI
Dilatasi adalah Transformasi-transformasi seperti yang ditunjukkan pada
Gambar 4.16 dan Gambar 4.17 di mana panjang sisi dan luas gambar diperbesar atau diperkecil dari suatu titik tertentu, tetapi bentuk dan ukuran sudut-sudut pada gambar tidak berubah
Dilatasi adalah Transformasi-transformasi seperti yang ditunjukkan pada
Gambar 4.16 dan Gambar 4.17 di mana panjang sisi dan luas gambar diperbesar atau diperkecil dari suatu titik tertentu, tetapi bentuk dan ukuran sudut-sudut pada gambar tidak berubah
4.4.1 Dilatasi pada Pusat O(0, 0) dan Faktor Skala k
Contoh
Diketahui lingkaran L ≡ x2 + y2 = 4. Tentukan persamaan bayangan
lingkaran L jika didilatasikan pada pusat O(0, 0) dengan faktor skala 3.
Jawab Jawab
4.4.1 Dilatasi pada Pusat (a, b) dan Faktor Skala k
Contoh
Lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y – 2)2 = 4 dipetakan ke bayangannya L′ oleh dilatasi pada pusat P(–2, 1) dengan faktor skala 2. Tentukan
persamaan lingkaran L′.
Jawab Jawab
Kamu bisa menguji pemahaman tentang DILATASI
dengan mengerjakan soal Latihan 4 pada halaman 183
4.5.1 Dua Translasi Berurutan
4.5 KOMPOSISI TRANSFORMASI
Contoh
Jawab Jawab
Kamu bisa menguji pemahaman tentang KOMPOSISI
TRANSFORMASI
dengan mengerjakan soal Latihan 5 pada halaman 186
4.5.2 Dua Refleksi terhadap Dua Garis Sejajar
Contoh
Tentukan bayangan titik (3, 4) oleh refleksi terhadap garis x = 6 dan dilanjutkan terhadap garis x = −2.
Jawab Jawab
4.5.3 Dua Refleksi terhadap Dua Garis Saling Tegak Lurus
Contoh
Tentukan bayangan titik (3, 4) oleh refleksi terhadap garis x = 5 dan dilanjutkan terhadap garis y = −4.
Jawab Jawab
4.5.4 Dua Refleksi terhadap Dua Garis Saling Berpotongan
Contoh
Suatu titik dalam koordinat kutub (4, 30°) dicerminkan terhadap
garis y = x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu Y.
Tentukan bayangannya.
Jawab Jawab
4.5.5 Dua Rotasi Berurutan dengan Pusat yang Sama
Contoh
Suatu titik dalam koordinat kutub (4, 30°) dirotasikan berturut-turut sebesar 25° dan 65° terhadap titik O. Tentukan bayangannya.
Jawab Jawab
Kamu bisa menguji pemahaman tentang KOMPOSISI
TRANSFORMASI
dengan mengerjakan soal Latihan 6 pada halaman 191
4.5.6 Komposisi Transformasi dengan Matriks
Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan beberapa
matriks tertentu yang dapat dihubungkan dengan transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi).
Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan beberapa
matriks tertentu yang dapat dihubungkan dengan transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi).
Contoh
Tentukan persamaan bayangan garis 2x + y – 3 = 0 oleh rotasi pada pusat O(0, 0) dengan sudut rotasi 270° dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X.
Jawab Jawab
Kamu bisa menguji pemahaman tentang KOMPOSISI
TRANSFORMASI
dengan mengerjakan soal Latihan 7 pada halaman 194
