PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4
Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
T - 31
KURVA PARAMETRIK DAN TRANSFORMASINYA
UNTUK PEMBENTUKAN MOTIF DEKORATIF
Veronica Suryaningsih1, Hanna Arini Parhusip2, Tundjung Mahatma3 1
Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW
2, 3
Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW
Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
1
s_veronica71@yahoo.com, 2hannaariniparhusip@yahoo.co.id,
3
t.mahatma@staff.uksw.edu
Abstrak
Dalam makalah ini ditunjukkan bahwa dengan menggunakan persamaan matematika yang sederhana dapat dibuat bentuk motif dekoratif yang menarik. Persamaan-persamaan yang digunakan dalam makalah ini adalah persamaan parametrik, diambil dari kalkulus. Persamaan parametrik berbentuk = = ( ). Jadi pasangan titik ( , ) yang membentuk motif-motif tersebut. Motif-motif diperoleh dengan memvisualisasikan persamaan parametrik dengan menggunakan program MATLAB. Kurva parametrik yang diperoleh dikembangkan dengan berbagai transformasi. Transformasi yang digunakan adalah fungsi kompleks � =1 dan � = cos( ) , tranformasi refleksi, rotasi, translasi, dilatasi dan komposisi transformasi. Hasil visualisasi persamaan dipilih yang mempunyai bentuk simetri dan banyak dijumpai di alam sekitar.
Kata kunci : persamaan parametrik, fungsi kompleks, transformasi refleksi, rotasi, translasi, dilatasi dan komposisi transformasi
A. PENDAHULUAN
Matematika merupakan salah satu ilmu yang tidak begitu banyak diminati sebagian besar orang karena dianggap tidak menarik. Namun dengan penelitian ini, akan ditunjukan bahwa matematika sebenarnya memiliki unsur seni yang menarik pula. Seperti halnya batik fraktal yang telah dikenal sebagai seni matematika, di sini ditunjukkan pula berbagai motif yang dapat digunakan sebagai motif dekoratif yang berasal dari berbagai persamaan sederhana dalam matematika. Persamaan-persamaan yang akan digunakan untuk pembuatan motif ini adalah persamaan parametrik.
Ada berbagai persamaan parametrik yang kemudian divisualisasikan dengan program MATLAB. Software yang ingin dikerjakan di sini adalah software untuk membuat motif-motif dekoratif yang disusun atau dirancang dengan kalkulus, khususnya dengan menggunakan persamaan parametrik. Berbagai persamaan parametrik akan dipelajari dan divisualisasikan sehingga menghasilkan sebuah motif dekoratif.
PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4
– – – –
Persamaan parametrik yang telah dikenal dari literatur (Stewart, 2001) diantaranya adalah Hiposikloid, Episikloid, Bézier, Kokleoid, dan Strofoid Folium Descartes. Pada penelitian ini ditunjukkan cara memvisualisasikan persamaan-persamaan parametrik tersebut dengan menggunakan MATLAB. Kurva parametrik yang diperoleh kemudian diolah kembali dengan mengunakan berbagai macam transformasi sehingga menghasilkan motif-motif menarik.
Dalam makalah ini ditunjukkan transformasi persamaan parametrik dengan fungsi kompleks � =1 dan � = cos( ). Selain itu, kurva-kurva parametrik yang telah diperoleh, dikerjakan kembali dengan menggunakan berbagai transformasi. Transformasi-transformasi yang dikerjakan di antaranya adalah refleksi, rotasi, translasi, dilatasi serta komposisi transformasi (Web 1).
B. DASAR TEORI
Persamaan Parametrik dan Koordinat Kutub
Pada persamaan parametrik nilai dan muncul secara eksplisit. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut
= ( ) (1)
= ( ), ≤ ≤ (2)
Persamaan parametrik mempunyai titik awal ( , ( )) dan titik akhir ( , ( ))
(Stewart, 2001). Pasangan titik ( , ) pada persamaan parametrik adalah titik-titik yang membentuk motif-motif tersebut.
Sedangkan dalam koordinat kutub nilai dan tidak muncul secara eksplisit sehingga untuk dapat menggambarkannya perlu mengubahnya ke dalam bentuk persamaan parametrik. Koordinat kutub umumnya dituliskan dalam bentuk
�=�(�,�) dan �=�(�) (3)
dimana �= � tan dan �= 2+ 2. Koordinat kutub dapat dituliskan dalam bentuk
persamaan parametrik sebagai
=�cos� =� sin� (4) Beberapa bentuk persamaan parametrik akan digambarkan dengan menggunakan program MATLAB sehingga akan menghasilkan sebuah kurva.
Model Persamaan 1. = + . cos − . cos + .
= + . sin − . sin( + . )
untuk = 3, = 1, dan 0 ≤ ≤ 500� dengan 500 titik Model Persamaan 2. =�. cos 2� , =�. sin 2� , �= 2 + sin 20�
untuk 20 ≤ ≤ � 2 dengan 500 titik Model Persamaan 3. = cos , = sin + sin 5∗
untuk 5≤ ≤ 50� dengan 500 titik
PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4
– – – –
Program MATLAB yang digunakan adalah sebagai berikut.
%untuk model persamaan 1
figure %menggambar persamaan dengan warna plot(x,y,'--ks','LineWidth',2,...
'MarkerEdgeColor','g',... 'MarkerFaceColor','g',...
'MarkerSize',10)
Hasil keluaran program ditunjukkan pada Gambar 2. Kurva persamaan parametrik ada juga yang mempunyai bentuk bunga yang sama dengan yang ada di alam. Contohnya pada Gambar 2 (paling kiri) menyerupai bentuk bunga pada Gambar 3.
Transformasi Kurva Parametrik dengan Fungsi Kompleks
Berbagai fungsi kompleks seperti � = 1 , � = cos( ), � = sin ( ),
� = tan ( ), � = telah divisualisasikan dengan MATLAB untuk beberapa
domain bilangan kompleks (Parhusip, 2010).Seluruh domain bilangan kompleks adalah sebagai bidang kartesian jelas tidak mungkin dapat divisualisasikan. Untuk itu, hasil-hasil kurva persamaan dianggap sebagai domain bilangan kompleks. Hal inilah yang akan ditunjukkan pada makalah ini. Untuk memvisualisasikan hasil transformasi bilangan kompleks �( ) selalu perlu disusun dalam bentuk
� =� +���( ( )) (5)
dimana � = ( , ) dan �� = ( , ) sedangkan ( , ) merupakan titik-titik hasil kurva parametrik.
Sebagai contoh, persamaan parametrik dan akan ditransformasikan terhadap fungsi kompleks � = 1 dengan = ( , ( )). Bentuk umum bilangan kompleks
Persamaan baru dari transformasi fungsi kompleks adalah bagian real ( , ) = 2
− 2 dan
bagian imaginer ( , ) = 2
− 2. Persamaan baru dan ini akan digambarkan sebagai
transformasi persamaan parametrik terhadap fungsi kompleks � = 1 .
PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4
– – – –
Secara sama, persamaan parametrik dan dapat ditransformasikan juga dengan fungsi kompleks � = cos( ). Bentuk trigonometri dari fungsi kompleks umumnya
Tabel 1. Program MATLAB untuk Transformasi Persamaan Parametrik ke Fungsi Kompleks
Program MATLAB untuk � � =� � Program MATLAB untuk � � =���(�)
Hasil keluaran program ditunjukkan pada Gambar 4.
Transformasi fungsi kompleks terhadap persamaan parametrik dan di atas telah memberikan hasil gambar-gambar yang menarik sebagai motif dekoratif.
PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4
– – – –
Transformasi Refleksi, Rotasi, Transalasi dan Dilatasi
Hasil kurva-kurva tersebut dapat ditransformasikan untuk mendapatkan motif-motif yang lebih bervariasi.
Refleksi adalah transformasi yang memindahkan objek dengan menggunakan sifat bayangan cermin (Web 1). Ada beberapa matriks yang dapat digunakan untuk merefleksikan kurva parametrik yang telah di dapatkan. Diantaranya adalah :
a. Refleksi terhadap sumbu digunakan matriks 1 0
0 −1
b. Refleksi terhadap sumbu digunakan matriks −1 0
0 1
c. Refleksi terhadap titik asal atau setengah putaran digunakan matriks
−01 −01
Rotasi adalah transformasi yang memindahkan suatu objek dengan cara memutar pada pusat tertentu, dengan tidak merubah ukuran dan bentuk objek (Web 1). Matriks yang bersesuaian dengan transformasi rotasi terhadap titik O sebesar � adalah
cos� −sin�
sin� cos� .
Translasi adalah transformasi yang mengubah kedudukan suatu objek dengan jarak dan arah tertentu dengan tidak mengubah bentuk dan ukuran objek tersebut (Web 1). Translasi �= pada titik ( , ) akan menjadi + dan + . Sehingga dapat dituliskan sebagai berikut :
�= ∶ ( , ) → ′( + , + )
Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk (Web 1). Dalam hal ini untuk mengubah skala dari kurva parametrik yang telah diperoleh maka digunakan sebuah konstanta yang akan dioperasikan terhadap dan .
Tabel 2. Program MATLAB untuk Transformasi Refleksi, Rotasi, Translasi, dan Dilatasi
Jenis Transformasi Program MATLAB
Refleksi
%refleksi thdp sumbu y
PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4
– – – –
Translasi
%translasi
T=[100 200]; %besar perpindahan x dan y for i=1:nm
D=1/2; %memperkecil ukuran objek ½ kali nya
Komposisi transformasi adalah transformasi yang dilakukan lebih dari satu kali secara berurutan. Misalkan kurva parametrik yang telah ditransformasikan terhadap fungsi kompleks � = cos( ) direfleksikan terhadap sumbu kemudian hasil refleksinya dirotasikan sebesar �. Contoh program di MATLAB adalah sebagai berikut.
%komposisi rotasi kemudian direfleksikan for i=1:nm
vh=[u2(i);v2(i)];
komposisi=A*(B*vh); %A matriks refleksi, B matriks rotasi Mk(i,:)=komposisi';
end figure
plot(Mk(:,1),Mk(:,2),'--ko')
C. METODE PENELITIAN
Penelitian disusun dalam 2 bagian yaitu visualisasi sederhana persamaan parametrik (Bagian I) dan memvariasikan kurva parametrik dengan berbagai transformasi (Bagian II).
Bagian I
Langkah 1. Mengumpulkan berbagai persamaan parametrik yang terkenal dari literatur.
Langkah 2. Memvisualisasikan persamaan parametrik dengan menggunakan software MATLAB.
Langkah 3. Mentransformasikan persamaan parametrik dan dengan beberapa fungsi kompleks dengan persamaan baru dalam dan sehingga menghasilkan motif yang lainnya
PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4
– – – –
Bagian II
Langkah5. .Mendapatkan motif dengan berbagai transformasi dengan mengembangkan domain mula-mula.
Langkah 6. Mengubah parameter sehingga menghasilkan motif terbaik yang mungkin untuk digunakan sebagai suatu motif.
D. HASIL DAN PEMBAHASAN
Sebuah persamaan parametrik divisualisasikan dengan menggunakan MATLAB menghasilkan sebuah kurva parametrik. Kurva yang terbentuk kemudian dikerjakan kembali dengan berbagai transformasi. Kurva-kurva inilah yang kemudian akan dijadikan sebagai motif kain. Pada model-model persamaan sebelumnya, telah didapatkan tiga macam motif untuk masing-masing model. Ketiga motif tersebut adalah motif persamaan parametrik ( , ), transformasinya terhadap fungsi kompleks � = 1 dan � = cos( ).
Selanjutnya, motif dapat divariasi dengan transformasi lainnya untuk mendapatkan bentuk motif yang lebih bervariasi.
Model Persamaan 1
Motif yang dijadikan domain adalah motif transformasi fungsi kompleks � =
cos( ). Motif ini akan direfleksikan terhadap sumbu sehingga akan menghasilkan motif
yang ditunjukkan pada Gambar 5.
Untuk mendapatkan motif dalam bentuk (arah) berbeda, tidak perlu menggambarkan ulang dengan mencari persamaan yang memenuhi namun cukup hanya dengan menggunakan transformasi saja.
Motif lain yang dapat dikerjakan adalah dengan mentransformasikan motif
� = cos( ) dengan fungsi kompleks � = 1 . Motif yang terbentuk ditunjukkan
pada Gambar 6.
Hasil transformasi dua kali terhadap fungsi kompleks di atas dapat divariasi kembali dengan komposisi transformasi. Disini akan digabungkan hasil transformasi � = 1
dengan refleksinya terhadap sumbu . Kemudian ditambahkan dengan hasil rotasinya sebesar 90° dan refleksi dari rotasinya terhadap sumbu . Motif yang terbentuk ditunjukkan pada Gambar 7.
Gambar 6. Motif � = cos( ) dari model persamaan 1
ditransformasikan terhadap fungsi kompleks � = 1 . Gambar 5. Motif � = cos( )
PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4
– – – –
Model Persamaan 2
Kurva parametrik ( , ) akan ditransformasi dengan dilatasi sebesar 1 1.25 dan
1
5. Kurva-kurva yang diperoleh kemudian akan digabungkan untuk menghasilkan suatu
motif baru. Namun karena motif ini belum terisi penuh, maka akan ditambahkan dengan motif persamaan parametrik ( , ) yang telah ditransformasikan terhadap fungsi kompleks
� = 1 . Kurva ini juga akan ditransformasikan dengan dilatasi sebesar 1 2. Sehingga disini akan ada lima buah motif yang akan digabungkan menjadi satu buah motif baru. Motif-motif yang akan digabungkan dapat diberikan variasi warna. Motif baru ditunjukkan pada Gambar 9 dan bunga natural yang mungkin serupa ditunjukkan pada Gambar 8.
Model Persamaan 3
Pada persamaan parametrik ( , ) akan dilakukan penggabungan kurva parametrik yang telah ditransformasikan dengan fungsi kompleks � = cos( ) . Untuk menggabungkan kurva-kurva pamametrik ini perlu dilakukan komposisi parametrik.
Gambar 7. Komposisi transformasi � = cos( ) terhadap
� = 1 yang kemudian di gabungkan.
Gambar 9. Motif dari persamaan parametrik ( , ) ditransformasikan dengan dilatasi dan fungsi kompleks � = 1 yang kemudian digabungkan.
PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4
– – – –
Transformasi yang digunakan diantaranya adalah refleksi terhadap sumbu , rotasi sebesar
90° dan rotasi sebesar 45°. Disini diperlukan translasi untuk mengatur axis dari masing-masing motif agar ketika digabungkan gambar tidak menumpuk. Translasi yang digunakan adalah [1.4 2.7] dan [2.8 0].
Disini akan digabungkan tiga buah kurva hasil transformasi terhadap fungsi kompleks
� = cos( ) sehingga ada tiga jenis transformasi yang harus dikerjakan. Yang pertama
adalah komposisi transformasi dengan merefleksikan kurva terhadap sumbu yang kemudian dirotasikan sebesar 90°. Komposisi pertama ini kemudian ditranslasikan dengan T [1.4 2.7]. Transformasi kedua adalah dengan merotasikan kurva sebesar 45°. Dan yang ketiga merupakan komposisi dari rotasi sebesar 45° yang kemudian direfleksikan terhadap sumbu dan ditranslasi sebesar [2.8 0]. Gabungan ketiga hasil transformasi ini memberikan bentuk motif yang baru yang ditunjukkan pada Gambar 11 dan bentuk natural yang dianggap serupa adalah Gambar 10. Akan tetapi warna masih
Persamaan parametrik sederhana dalam matematika dapat divisualisasikan dengan menggunakan MATLAB sehingga menghasilkan kurva-kurva menarik.
Kurva-kurva parametrik dapat ditransformasikan kedalam fungsi kompleks � =1
dan � = cos( ).
Hasil transformasi fungsi kompleks dapat ditranformasikan kembali dengan transformasi refleksi, rotasi, translasi, dan dilatasi.
Untuk mentransformasikan kurva lebih dari satu kali maka digunakan komposisi transformasi.
Saran :
Motif-motif yang diperoleh dapat digunakan juga sebagai motif kain dan batik. Untuk motif kain batik memang diperlukan satu cuplikan yang dipenuhi oleh motif yang dipilih. Sedangkan pada persamaan sebelumnya hanya ada satu motif yang telah mengisi seluruh cuplikan agar dapat diulang pada seluruh ukuran kain yang dikehendaki.
Koleksi gambar dari kurva-kurva mungkin digunakan dengan GUI dari MATLAB. Namun masih ada gambar yang ketika menggunakan GUI hasilnya tidak sesuai dengan gambar yang dihasilkan pada program MATLAB.
F. DAFTAR PUSTAKA
Beem JK. 2006. Geometri Connections. Mathematics Departement, University of Missourri-Columbia. New Jersey 07458 : Pearson.
Parhusip HA. 2010. Learning Complex Function and Its Visualization with MATLAB. Department of Industrial Mathematics and Statistics, Science and Mathematics Faculty-Satya Wacana Christian University.
Gambar 11. Motif baru dari gabungan hasil transformasi kurva parametrik ( , ) terhadap � = cos( ) yang dikerjakan dengan beberapa transformasi
kembali. Gambar 10. Ubur-ubur
PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4
– – – –
Pesta ES, Anwar C. 2008. Matematika Aplikasi Jilid 3 untuk SMA & MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Stewart J. 2001. Kalkulus Jilid II: Penerjemah I Nyoman Susilo. Jakarta : Erlangga.
