MATH-LAB
http://m4th-lab.blogspot.co.id [email protected] Line@ : @llj1225w
TRANSFORMASI GEOMETRI A. Pengertian Transformasi Geometri
Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang membahas tentang perubahan (letak, bentuk , penyajian) yang didasarkan dengan gambar dan matriks.
B. Jenis-jenis Transformasi dan Matriksnya 1. Translasi (Pergeseran)
Misal suatu titik ( ) di translasikan oleh ( ) maka hasil translasinya adalah ( )
( ) (→ ) ( )
2. Refleksi (Pencerminan)
Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin.
a. Refleksi terhadap sumbu ( ) → ( )
Dengan menggunakan matriks:
( ) (
) ( ) b. Refleksi terhadap sumbu
( ) → ( )
Dengan menggunakan matriks:
(
) ( ) ( )
c. Refleksi terhadap titik asal ( ) ( ) → ( )
Dengan menggunakan matriks:
(
) (
) ( )
d. Refleksi terhadap garis
( ) → ( )
Dengan menggunakan matriks:
(
) ( ) ( )
e. Refleksi terhadap garis ( ) → ( ) Dengan menggunakan matriks:
(
) ( ) ( )
f. Refleksi terhadap garis ( ) → ( ) g. Refleksi terhadap garis
( ) → ( ) h. Refleksi terhadap titik ( )
Serupa dengan rotasi dengan pusat ( )
( ) → ( ) ( ) Dengan menggunakan matriks:
(
) (
) ( ) i. Refleksi terhadap garis
dengan
MATH-LAB
http://m4th-lab.blogspot.co.id [email protected] Line@ : @llj1225w
(
) (
) ( ) j. Refleksi terhadap garis
(
) (
) ( )
k. Refleksi terhadap garis
(
) (
) ( )
3. Rotasi (Perputaran)
Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan memutar titik-titik tersebut sejauh terhadap suatu titik pusat rotasi.
Secara umum rotasi dengan pusat ( ) dengan sudut putar adalah:
(
) (
) ( ) Keterangan:
Jika diputar berlawanan arah jarum jam maka bernilai positif, dan jika diputar searah jarum jam maka bernilai negatif.
4. Dilatasi (Perkalian)
Transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu.
Secara umum dilatasi dengan pusat ( ) dengan faktor dilatasi adalah:
(
) ( ) ( )
C. Transformasi Oleh Suatu Matriks
Suatu titik ( ) ditransformasikan oleh matriks ( ) menjadi ( ). Hubungan tersebut dapat dituliskan dalam persamaan matriks:
(
) ( ) ( ) D. Komposisi Transformasi
Komposisi Transformasi adalah transformasi yang diperoleh dari gabungan beberapa trasnformasi.
Jika titik ( ) ditransformasi oleh kemudian dilanjutkan ditransformasi oleh dalam bagan berurutan dapat ditunjukkan sebagai berikut:
( )→ ( )→ ( )
Pengerjaan transformasi tersebut dapat di tulis dengan:
( )→ ( )
MATH-LAB
http://m4th-lab.blogspot.co.id [email protected] Line@ : @llj1225w
1. Komposisi Dua Translasi
Jika Translasi ( ) dan ( ), komposisi translasi dilanjutkan oleh dapat diwakili oleh translasi tunggal yang ditentukan oleh:
( ) ( ) ( ) Sifat-sifat komposisi translasi:
1) Untuk dua komposisi berurutan berlaku:
(komutatif)
2) Untuk tiga translasi berurutan berlaku:
( ) ( ) (asosiatif)
2. Komposisi Refleksi
a. Komposisi dua refleksi terhadap sumbu-sumbu sejajar 1) Sejajar terhadap sumbu
Jika ( ) direfleksikan oleh garis disebut dengan dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis disebut dengan , maka:
( )→ ( ( ) )
2) Sejajar terhadap sumbu
Jika ( ) direfleksikan oleh garis disebut dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis disebut , maka:
( )→ ( ( ) )
b. Komposisi dua refleksi terhadap sumbu-sumbu saling tegak lurus
Jika ( ) direfleksikan oleh garis disebut dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis disebut , maka:
( )→ ( )
Pencerminan terhdap dua garis yang saling tegak lurus ekuivalen dengan rotasi dengan perpotongan kedua garis sebagai pusat rotasi dan sudut putar sejauh .
(( ) )
c. Komposisi dua refleksi terhadap garis-garis yang saling berpotongan
Refleksi terhadap dua garis yang saling berpotongan akan menghasilkan rotasi yang bersifat:
MATH-LAB
http://m4th-lab.blogspot.co.id [email protected] Line@ : @llj1225w
1) Titik potong kedua garis adalah pusat putar rotasi
2) Besar sudut putar adalah dua kali sudut antara kedua garis pencerminan 3) Arah perputaran sama dengan arah dari garis pertama ke garis kedua Dapat ditulis :
( )
Keterangan:
= titik potong kedua garis = sudut antara kedua garis
3. Komposisi Rotasi
Dua rotasi berurutan yang sepusat ekuivalen dengan rotasi sejauh jumlah kedua sudut rotasinya terhadap pusat yang sama.
Jika ( ) dan ( ), maka:
( ( ))
E. Komposisi Transformasi dengan Matriks
Jika adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks ( ) dan adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks ( ) maka komposisi transformasi : 1. adalah perkalian matriks
( ) ( ) 2. adalah perkalian matriks
( ) ( )
F. Luas Daerah Bangun Hasil Transformasi
Jika matriks transformasi ( ) mentransformasikan bangun menjadi , maka:
Luas Bangun | |
| | dinamakan faktor perbesaran luas, merupakan nilai mutlak determinan matriks .
| | | |
