MAKALAH
GEOMETRI TRANSFORMASI
MATERI
SETENGAH PUTARAN
DISUSUN OLEH : Nama : Listiana Saputri Rini Puji Astuti Ridu NovriansyahDewi Susiana Suprayitno
Arsih
Program Studi : Pend. Matematika
Dosen Pengampu : Fadli, S.Si,M.Pd.
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
(STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU
SETENGAH PUTARAN
Gambar 1
Definisi : Sebuah setengah putaran pada sruatu titik A adalah suatu padanan S yang A didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut :
1. Apabila P≠A maka SA
( )
P =P' , sehingga A titik tengah ruas garis ' PP . 2. SA( )
A = A .Teorema 7.1 : Andaikan A sebuah titik g dan h dua garis tegak lurus yang berpotongan di A . Maka SA =MgMh .
Bukti : Oleh karena g⊥h , maka kita dapat membuat sebuah system sumbu orthogonal dengan g sebagai sumbu X dan h sebagai sumbu Y . A dipakai sebagai titik asal ( gambar 2)
A g P SA
( )
P( )
g SA X Y ) , ( ' y x P − g ) , (x y P h g AHarus dibuktikan bahwa setiap P berlaku SA(P)=MgMh(P). Andaikan P(x,y)≠ A dan andaikan pula bahwa SA(P)=P"(x,y) . Oleh karena A titik tengah "
PP maka + + = 2 , 2 ) 0 , 0 ( x1 x y1 y , sehingga
(
x1 +x=0)
dan(
y1 +y=0)
atau x1 =−x dan y1 =−y. Jadi SA(P)=P(−x,y) .Perhatikan sekarang komposisi pencerminan
[
( )]
[
( , )]
( , )) )(
(MgMh P =Mg Mh P =Mg −x y = −x−y Jadi kalau P≠ A maka
) ( ) (P M M P SA = g h Jika P=A maka A A S P M Mg h( )= g( )=
Sedangkan SA(A)= A jadi juga MgMh(A)=SA(A) sehingga untuk setiap P pada bidang
berlaku : ) ( ) (A S P M Mg h = A Ini berarti : MgMh =SA .
Teorema 7.2 : Jika g dan h dua garis yang tegak lurus maka MgMh =MhMg
Bukti : kalau P= A( lihat gambar 2 ) maka MgMh(A)=Mg(A)= A Juga MhMg(A)=Mh(A)= A , sehingga MgMh(A)=MhMg(A) Untuk P≠ A , maka MgMh =SA .
Selanjutnya MhMg(P)=Mh((x,−y))=(−x,−y)=SA(P). Jadi MhMg =SA ,
Sehingga diperoleh MgMh =MhMg
Catatan : ini berarti bahwa komposisi pencerminan terhadap dua garis yang tegak lurus adalah komutatif .
Teorema 7.3 : Jika S setengah putaran, maka A SA−1 =SA
Bukti : Andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus maka MgMh =SA dengan A titik potong antara g dan h . Jadi
(
MgMh)
−1 =Mh−1Mg−1 =SA−1 .Oleh karena Mh =Mh
−1
dan Mg =Mg
−1
maka MhMg =SA−1. Menurut teorema 7.2 g
h h
gM M M
M = , oleh karena g⊥h . Jadi SA =MgMh =SA
−1
Teorema 7.4 : Jika A=( ba, ) dan P=(x,y) maka SA(P)=(2a−x,2b−y)
LANJUTAN SETENGAH PUTARAN
Dalam Bab III telah kita bicarakan transformasi yang kita sebut refleksi pada sebuah garis g kalau refleksi ini kita namakan M . Maka seperti anda ingat . definisinya adalah : g
1. Mg(A)= A , A∈P
2. Mg(P)=P', yang bersifat bahwa g adalah sumbu ruas garis ' PP
Kalau kita lihat untuk semua titik A∈g . A berimpit dengan petanya. Titik demikian dinamakan titik tetap ( invarian ) refleksi pada umumnya .
Definisi : A dinamakan titik tetap (invarian) transformasi T. apabila berlaku T(A)= A.
Jadi sebuah refleksi pada garis g memiliki tak hingga banyaknya titik-titik tetap, yaitu semua titik pada sumbu refleksi g . Pada sebuah setengah putaran di P. S , maka satu-satunya titik invarian P
adalah P. sebab SP(P)=P dan Sx(X)= X' dengan X ∈P dan P titik tengah ruas garis ' XX .
Telah kita ketahui bahwa apabila adalah setengah putaran dengan A sebagai pusat. Maka S A
dapat disajikan sebagai hasil kali dua refleksi. Pada g dan h dengan titk potong A dan g ⊥h, jadi SA =MgMh .
Oleh karena setiap refleksi suatu isometri, maka S juga suatu isometri. A
Anda juga masih ingat bahwa oleh suatu isometri. Setiap garis dipetakan menjadi suatu garis pula
Definisi : Sebuah trasformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis dinamakan kolineasi. Oleh karena refleksi adalah kolineasi maka setengah putaran juga suatu kolineasi. Ini tidak sebab setiap isometri adalah kolineasi.
Definisi : Suatu kolineasi ∆ dinamakan suatu dilatasi apabila untuk setiap garis g berlaku sifat )
(g
Teorema 7.5 : Andaikan S suatu setengah putaran dan g sebuah garis. Apabila A A∈g, maka ) (g S // ' g . Bukti :
• Andaikan P∈g maka A titik tengah ruas PP dengan ' P' =SA(P)
• Andaikan Q∈g maka A titik tengah ruas QQ dengan ' Q' =SA(Q).
Maka ∆APQ≅ AP'Q' , sehingga PQP'Q' sebuah jajaran genjang ini berarti PQ //P'Q' jadi g'// )
(g SA =
Teorema 7.6 : Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat-pusat yang berbeda tidak memiliki titik tetap.
Bukti : Andaikan A dan B pusat-pusat setengah putaran tersebut. Andaikan g= AB dan andaikan h dan k garis-garis tegak lurus pada AB di A dan B. Maka berturut-turut kita peroleh :
) )( ( h g g k B AS M M M M S =
[
]
[
]
k h k h k h k g g h k g g h M M M I M IM M M M M M M M M M = = = = = ) ( ) ( ) ( Gambar g Q P ) ( ' g S g = A ' ) (Q Q SA = ' ) (P P SA = A g A B h kAndaikan X titik invarian SASB jadi SASB(X)= X . sehingga (MhMk)(X)= X . Jadi pula ) ( ) ) ((M M X M X Mh h k = h , atau
[
(MhMh)Mk(X)]
=Mh(X) ΙMk(X)=Mh(X) sehingga Mk(X)=Mh(X) Andaikan Mk(X)=X1Andaikan X ≠ X1. Dalam hal ini h dan k adalah sumbu dari ruas garis . oleh karena ruas garis memiliki hanya satu sumbu maka h=k,
Andaikan X =X1 maka Mk(X)=X dan Mh(X)= X . Jadi X∈k dan X∈h yang berarti bahwa h dan k berpotongan di X ini tidak mungkin ada sebuah titik X sehingga
) ( )
(X M X
Mk = h atau SASB(X)= X. Jadi hasil kali SASB tidak memiliki titik tetap.
Teorema 7.7 : Jika A≠Badalah dua titik makan hanya ada satu setengah putaran yang memetakan A pada B .
Bukti : Andaikan ada 2 setengah putaran S dan D S sehingga E SE(B)= A dan SE(B)=A.
Jadi SD(A)=SE(A)maka
[
( )]
[
( )]
1 1 A S S A S SD D D E − − = karena SD−1 =SD , maka A=SD[
SE( A)]
. Jadi apabila D dan E berbeda, maka ini berarti bahwa A adalah titik tetap dari hasil kali SDSE.Ini tak mungkin. Jadi tak mungkin ada lebih dari satu setengah putaran yang memetakan A pada B. Satu-satunya setengah putaran adalah ST(A)=B dengan T titik tengah ruas garis AB .
Teorema 7.8 : Suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik. Bukti : Andaikan P pusat setengah putaran S . Harus dibuktikan 2 hal : P
1. Kalau g sebuah garis, maka SP(g)// g . 2. S .P SP =Ι, dengan I transformasi identitas .
A ' A B ' B P g g SP( )=
1).Jelas bahwa ' ) (g g
SP = suatu garis. Andaikan ' ' ' ' ,B g g A ∈ ∈ dan ' ' ,PB PB PA PA= = . Sedangkan (∠APB)=(∠A'PB'). Sehingga ∆PAB=∆PA'B'. jadi (∠B'A'P) ini berarti g //
) (g
SP , jadiS sebuah dilatasi. P
2).Oleh karena SPSP(A)=SP(A)= A , ∀ titik A∈g maka SPSP(g)=I(g)
Jadi SPSP =I.⇒ ini berarti S bersifat involutorik. P
Teorema 7.9 : Apabila T suatu transformasi. H himpunan titik-titik dan A sebuah titik . Maka H A T H T A∈ ( )⇔ −1( )∈ . Bukti :
1. Andaikan A∈T(H). jadi adaX ∈H sehingga A=T(X) maka X X I X T T X T T A T−1( )= −1( ( ))=( −1 )( )= ( )= , jadi T−1(A)∈H
2. Andaikan T−1(A)∈H. Ini berarti bahwa T(T−1(A))∈T(H)atau A∈T(H)
Contoh : Dibawah ini dikemukakan sebuah contoh bagaimana kita dapat menggunakan transformasi balikan . Diketahui himpunan E =
[
(x,y)x2 +4y2 =15]
.Andaikan A=(4,-3) dan C(3,1) . jika g adalah sumbu y .selidiki apakah A∈MgSC(E) ?Penyelesaian :
Kita ketahui bahwa MgSC =SC Mg =SCMg
− −
−1 1 1
)
( Apabila P =(x,y) maka Mg(P)=(x,−y) sedangkan SC(P)=(2x3−x.2x1−y)=(E−x.2−y) jadi ( ) ( ) (2, 1) 1 = − − A S Mg C
Oleh karena titik B=(2,−1)<E maka MgSC A <E
−
) ( )
( 1 . Ini berarti bahwa A<(MgSC)(E). Dengan cara yang serupa. Kita dapat menentukan persamaan peta suatu himpunan itu, telah diketahui dalam contoh diatas kita tahu Teorema 7.9 bahwa P<(MgSC)(E)jika dan hanya jika
E P y S Mg C − ( )< ( 1 kalau P=(x,y) Soal Latihan 1.Apabila A=(2,3) , tentukanlah : a. SA(C).Apabila C =(2,3) c. SA−1(E).Apabila E=(4,−1) b. SA(D).Apabila D=(−2,7) d. SA(P).Apabila P=(x,y)
Penyelesaian : a. A=(2,3) dan C=(2,3) c. A=(2,3) dan E=(4,−1) ∴SA(C)=(2a−x,2b−y) ∴ = − ) ( 1 E SA SA(E)
