MAKALAH
GEOMETRI TRANSFORMASI
MATERI
SETENGAH PUTARAN
DISUSUN OLEH :
Nama
: Bing Ahmad
(4006071)
Budi Sutrisno
(4006077)
Chandra
(4007159)
Dessi Alsury
(4007131)
Melia Sartika
(4007146)
Rahmawati
(4006151)
Wahono
(4007229)
Yulianti
(4006066)
Program Studi
: Pend. Matematika
Dosen Pengampu : Fadli, S.Si
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
(STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU
SETENGAH PUTARAN
Ketentuan:
Suatu involusi adalahn suatu setengah putaran mengelilingi titik. Suatu setengah putaran mencerminkan setiap titik bidang pada sebuah titik tertentu. Oleh karena itu, setengahn putaran juga dinamakan pencerminan pada suatu titik atau refleksi pada suatu titik.
Definisi:
Sebuah setengah putaran pada suatu titik A adalah suatu padanan (pasangan) SA yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut :
1. Apabila P ≠ A maka SA(P) = P' sehingga A titik tengah ruas garis PP' 2. SA(P) = A
Contoh Soal:
1. Diberikan A, B dan C adalah titik-titik pada bidang ecluid V dan A adalah titik tengah, lukislah:
a) Titik D sehingga D = SA(B) b) Titik C sehingga C = SA(E)
Penyelesaian:
Menurut definisi B ≠ A, maka SA (B) = D, dimana D diperoleh perpanjangan BA sepanjang AB sehingga A titik tengah BD .
SA(E) SA(F) F E A A 180
Teorema 7.1
Andaikan A sebuah titik dan g dan h dua garis yang tegak lurus yang berpotongan di A, maka SA = Mg . Mh.
Bukti :
Karena g ⊥ h, maka kita dapat membuat sebuah sistem sumbu ortogonal dengan g, sehingga sumbu x dan h snebagai sumbu T dan A sebagai titik asal.
Harus dibuktikan bahwa untuk setiap P berlaku SA(P) = Mg . Mh. Andaikan P(x,y)
≠ A dan andaikan pula bahwa SA(P) = P'(x1, y1) oleh karena A titik tengah PP " maka (0,0) = + + 2 , 2 1 1 x y y x
sehingga (x1 + x = 0 dan y1 + y = 0) atau x1 = -x2
dan y1 = -y jadi SA (P) = (-x, -y).
Perhatikan komposisi pencerminan (Mg . Mh) (P) = Mg [Mh(P)]
= Mg [(-x, y)] = (-x, -y) Jadi kalau P ≠ A maka
SA(P) = Mg Mh (P)
Jika P = A maka
Mg Mh (P) = Sg (A) = A
Sedangkan SA(A) = A, jadi juga Mg Mh (A) = SA(A) maka untuk setiap P pada bidang berlaku Mg Mh (A) = SA(P), Ini berarti: Mg Mh = SA
y x P(x, y) h g A P"(-x, -y)
Teorema 7.2
Jika g dan h garis yang tegak lurus maka Mg Mh = Mh . Mg
Bukti :
Kalau P = A maka MgMh (A) = Mg(A) = A juga MhMg (A) = Mh(A) = A, sehingga MgMh (A) = MhMg (A) untuk P ≠ A, maka MgMh = SA selanjutnya MhMg (P) = Mh (x, -y) = (-x, -y) = SA(P). Jadi MhMg = SA sehingga diperoleh MgMh = MhMg.
Catatan : Bahwa komposisi pencerminan terhadap dua garis yang tegak lurus adalah komutatif.
Teorema 7.3
Jika SA setengahn putaran, maka SA-1 = SA
Bukti :
Andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus maka MgMh = SA dengan A titik potong antara g dan h. Jadi (MgMh)-1 = Mh-1 . Mg-1 = SA-1.
Dimana misalkan (MgMh)-1 = Mh-1 . Mg-1 = SA-1 Mg = Mg Teorema 6.3 Mh-1 = Mh SA-1 = (Mg . Mh)-1 = Mh-1 . Mg-1 → teorema 6.4 [(T o S)-1 = S-1 o T-1] = Mh . Mg → teorema 6.3 {Mg-1 = Mg, Mh-1 = Mh} = Mg . Mg → teorema 7.2 {MhMg = MgMh} Jadi, SA-1 = Mg . Mh = SA
Teorema 7.4
Jika A = (a, b) dan P (x, y) maka SA (P) = (2a – x, 2b – y)
Misalkan P' (x0, y0) adalah SA(P) maka A pertengahan / titik tengah PP' maka : A (a, b) ⇒ a = 2 0 x x+ b = 2 0 y y+ 2a = x + x0 2b = y + y0 2a – x = x0 2b – y = y0 Maka : P' (2a – x, 2b – y) Jadi : SA(P) = (2a – x, 2b – y)
Definisi : A dinamakan titik tetap (invarian) transformasi T apabila berlaku T(A) = A.
Definisi : Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga dinamakan kalineasi.
Definisi : Suatu kalineasi A dinamakan suatu dilatasi apabila untuk setiap garis g berlaku sifat A(g) // g. Salah satu contoh adalah setengah putaran.
P(x, y)
A(a, b)
P'(x0, y0)
Teorema 7.5
Andaikan SA suatu setengah putaran dan g sebuah garis. Apabila A ∈∈∈∈ g, maka SA(g) // g'.
Andaikan P ∈ g' maka A titik tengah ruas PP' dengan P' = SA (P)
Andaikan Q ∈ g' maka A titik tengah ruas garis QQ , dengan Q' = S' A (Q), maka ∆ APQ ≅∆ AP'Q'. Sehingga PQP'Q' sebuah jajaran genjang, ini berarti bahwa PQ //
' 'Q
P , jadi g // SA (g).
Teorema 7.6
Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat-pusat yang berbeda, tidak memiliki titik tetap.
Bukti : Andaikan A dan B pusat-pusat setengah putaran tersebut.
Andaikan g = AB dan andaikan h dan k garis-garis tegak lurus AB di A dan di B, maka berturut-turut kita peroleh :
SA SB = (Mh Mg) (Mg Mk) = [(Mh Mg) Mg] Mk
= [Mh (Mg Mg)] Mk Teorema 6.3 = Mg . Mg = I = Mh I Mk
Ini berarti tidak memiliki titik invarian
Q P
g
g' = SA(g)
Jika g dan h dua garis yang tegak lurus maka Mg Mh = Mh . Mg Lihat gambar di atas.
Bukti :
Kalau P = A maka MgMh (A) = Mg(A) = A juga MhMg (A) = Mh(A) = A, sehingga Mg Mh (A) = MhMg (A) untuk P ≠ A, maka MgMh = SA = (Mh I Mk) = Mh Mk.
Teorema 7.7
Jika A ≠≠≠≠ B adalah dua titik maka hanya ada satu setengah putaran yang memetakan A ke B.
Bukti :
Andaikan ada dua setengah putaran SD dan SE sehingga SD (A) = B dan SE (A) = B. Jadi SD (A) = SE (A) maka SD-1 [SD (A)] = SD-1 [SE (A)], maka SD-1 = SD. Sehingga A = SD [SE (A)].
Teorema 7.8
Suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik
Bukti :
Andaikan P pusat setengah putaran SP. Harus dibuktikan dua hal : 1. Kalau g sebuah garis maka SP (g) // g
2. SP . SP = I dengan I transformasi identitas g h k A B A D B -1800 1800
1. Jelaskan bahwa SP (g) = g' suatu garis, andaikan A ∈ g', B ∈ g maka A' ∈ g', B' ∈ g' dan PA = PA' : PB = PB' sedangkan n (∠ APB) = n (∠ A'PB') sehingga ∆ PAB ≅ ∆ PA'B. Jadi n (∠B'A'P), ini berarti g // SP (g). Jadi SP disebut dilatasi.
2. Oleh karena SP . SP (A) = SP (A') = A untuk setiap titik A ∈ g maka SP . SP = I. Ini berarti SP bersifat innvolutorik.
Teorema 7.9
Apabila T suatu transformasi H himpunan titik-titik dan A sebuah titik maka A ∈∈∈∈ T(H) jika dan hanya jika T-1(A) ∈∈∈∈ H.
Bukti :
1. Andaikan A ∈ T(H), jadi ada x ∈ H sehingga A = T(x). Maka T-1(A) ∈ T-1 [T(x)] = (T-1 . T) (x) = I (x) = x. Jadi T-1(A) ∈ H.
2. Andaikan T-1(A) ∈ H, ini berarti bahwa T[T-1(A)] ∈ T(H) atau A ∈ T(H). B A A B P SP (g) = g'
Soal : 1. Apabila A = (2, 3), tentukanlah : a) SA(C) apabila C = (2, 3) b) SA(D) apabila D = (-2, 7) c) SA-1(E) apabila E = (4, 1) d) SA(P) apabila P = (x, y) Penyelesaian : a) Diket : A = (2, 3) C = (2, 3) Ditanya : SA(C) . . . .? Jawab : SA(C) = (2a – x, 2b – y) A = (2, 3) = (a, b) C = (2, 3) = (x, y) SA(C) = (2(2) – 2, 2(3) – 3) = (4 - , 6 – 3) = (2, 3) Jadi, SA(C) = (2, 3) b) Diket : A = (2, 3) = (a, b) D = (-2, 7) = (x, y) Ditanya : SA(D) . . . .? Jawab : SA(D) = (2a – x, 2b – y) = (2(2) – (-2), 2(3) – 7) = (4 + 2, 6 – 7) = (6, -1) Jadi, SA(D) = (6, -1)
c) Diket : A = (2, 3) = (a, b) E = (4, -1) = (x, y) Ditanya : SA (E) . . . .? Jawab : SA(E) = (2a – x, 2b – y) = (2(2) – 4, 2(3) – (-1)) = (4 - 4, 6 + 1) = (0, 7) Jadi, SA(E) = (0, 7) d) Diket : A = (2, 3) = (a, b) P = (x, y) = (x, y) Ditanya : SA(P) . . . .? Jawab : SA(P) = (2a – x, 2b – y) = (2(2) – x.x, 2(3) y.y) = (4 – x2, 2 – y2) = (x2 – 4, y2 – 6)
2. Jika D = (0, -3) dan B = (2, 6) tentukanlah : a) SD SB (B) b) SD SB (K) apabila K = (1, -4) c) SB SD (B) d) (SD SB)-1(K) e) SD SB (P) apabila P = (x, y) Penyelesaian : a) Diket : D (0, -3) B (2, 6) Dit : SD SB (B) . . .?
Jawab : SD SB (B) = (2.(0) – 2), 2(-3) – 6) = (0 – 2, -6 – 6) = (-2, -12) Jadi SD SB (B) = (-2, -12) b) Diket : D (0, -3) B (2, 6) K (1, -4) Dit : SD SB (K) . . .? Jawab : SD SB (K) = (2.(0) (2) – 1, 2(-3) (6) – 4) = (0.2 – 1, -6 (6) – 4) = (0 – 1, -36 – 4) = (-1, -40) Jadi SD SB (K) = (-1, -40) c) Diket : D (0, -3) B (2, 6) K (1, -4) Dit : SB SD (K) . . .? Jawab : SB SD (K) = (2.(0) (0) – 1, 2(-3) (6) – 4) = (0 – 1, -6 (6) – 4) = (–1, -36 – 4) = (-1, -40) Jadi SB SD (K) = (-1, -40) d) Diket : D (0, -3) B (2, 6) K (1, -4) Dit : (SD SB)-1(K) . . .?
Jawab : (SD SB)-1(K) = (2.(0) (2) – 1, 2(-3) (6) – 4) = (0 – 1, -6 (6) – 4) = (–1, -36 – 4) = (-1, -40) (SD SB)-1(K) = (-1), -40) = (1, -40) Jadi (SD SB)-1(K) = (1, -40) e) Diket : D (0, -3) B (2, 6) P (x, y) Dit : SD SB (P) . . .? Jawab : SD SB (P) = (2.(0) (2) – x.x, 2(-3) (6) – y.y) = (0 – x2, -6 (6) – y2) = (–x2, -36 – y2) Jadi SD SB (P) = (-x2, -36 – y2) 3. Jika B = (1, -3) tentukanlah : a) SB(D) apabila D = (-3, 4) b) SB(P) apabila P = (x, y) Penyelesaian : a) Diket : B = (1, -3) D = (-3, 4) Dit : SB(D) . . .? Dijawab : SB(D) = (2 (1) – 3, 2 (-3) – 4) = (2 – 3, - 6 – 4) = (-1, -10) Jadi, SB(D) = (-1, 10) b) Diket : B = (1, -3) P = (x, y) Dit : SB(P) . . .? Dijawab : SB(P) = (2 (1) – x.x, 2 (-3) – y.y) = (2 – x2, - 6 –y2)
