MAKALAH GEOMETRI ANALITIK RUANG HASIL KA

MAKALAH GEOMETRI ANALITIK RUANG

HASIL KALI SILANG VEKTOR

(CROSS PRODUCT)

KELOMPOK III

Anggota :



Reny Rosida

14.05.0.047



Aprillia Anggraini

14.05.0.072



Sri Utami

14.05.0.063

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

MATEMATIKA SEMESTER IV UNIVERSITAS RIAU

KEPULAUAN TAHUN 2015/2016

Perkalian silang A x B pada vektor didefinisikan sebagai suatu vektor C yang arahnya tegak lurus pada bidang dimana vektor A dan B berada dan mengikuti aturan tangan kanan, sementara besarnya vektor tersebut sama dengan hasil kali dari besar kedua vektor dengan sinus sudut apit antara kedua vektor tersebut. Secara matematis dirumuskan :

C=A x B=ABsinθ

 Hasil kali silang dua vektor dalam ruang.

Misalkan u=u₁i+u₂j+u₃k dan v=v₁i+v₂j+v₃k adalah vektor-vektor dalam ruang. Hasil kali silang u dan v adalah vektor :

u x v=

₍

u2v3−u3v2

)

i−

(

u1v3−u3v1

)

j+(u1v2−u2v1)k

Cara yang mudah untuk menghitung u x v adalah menggunakan bentuk determinan dengan ekspansi kofaktor seperti yang ditunjukkan dibawah ini :

c. v x v=

|

i j k 3 1 −2 3 1 −2|

¿

|

1 −2

1 −2

|

i−

|

3 −2 3 −2

|

j+

|

3 1 3 1

|

k

¿

(

(1)(−2)−(−2) (1)

)

i−

(

(3)(−2)−(−2) (3)

)

j+

(

(3) (1)−(1) (3)

)

k

¿(−2+2)i−(−6+6)j+(3−3)k ¿0

B. Besar dan Arah Vektor Hasil Perkalian Silang

 Hasil perkalian silang vektor A dan B ( A X B ) adalah hasil besar vektor A dengan komponen vektor B yang tegak lurus pada kedua vektor tersebut.

AxB=A(Bsinθ)=ABsinθ dengan 0°≤ θ ≤180°

Arah vektor C tegak lurus dengan dengan bidang vektor A dan B. Untuk menentukan arahnya bisa menggunakan kaidah tangan kanan. Keempat jari digenggamkan dan ibu jari yang diacungkan. Genggamkan jari searah dengan arah dari A ke B sehingga arahnya akan berlawanan dengan arah jarum jam. Tegakkan ibu jari dan arah yang ditunjukkan oleh ibu jari tersebut adalah arah vektor C yaitu keatas.

 Hasil perkalian silang vektor B dan A (B X A) adalah hasil kali besar vektor dengan komponen vektor A yang tegak lurus pada vektor B.

θ

Asin¿=BAsinθ B x A=B¿

bidang vektor B dan A. Untuk menentukan arahnya,genggamkan keempat jari sesuai dengan arah dari vektor B ke vektor A sehingga

arahnya akan searah dengan jarum jam. Tegakkan ibu jari dan arah yang

ditunjukkan oleh ibu jari tersebut adalah arah vektor C yaitu kebawah.

C. Sifat-sifat hasil kali silang

 u x v=−(v x u) , anti komutatif

u x v=

|

i j k

u₁ u₂ u₃ v₁ v₂ v₃

|

¿

₍

u₂v₃−u₃v₂

)

i−

₍

u₁v₃−u₃v₁

)

j+

₍

u₁v₂−u₂v₁

)

k

¿−

(

(

u3v2−u2v3

)

i−

(

u3v1−u1v3

)

j+

(

u2v1−u1v2

)

k

)

¿−(v x u)

 (u x v)x w ≠u x(v x w) , tidak asosiatif

 (u x v)x w=

|

i j k

u₂v₃−u₃v₂ −u₁v₃+u₃v₁ u₁v₂−u₂v₁

w₁ w₂ w₃

|

¿

[

₍

−u₁v₃+u₃v₁

₎

w₃−

₍

u₁v₂−u₂v₁

₎

w₂

_]

i−

[

₍

u₂v₃−u₃v₂

₎

w₃−

₍

u₁v₂−u₂v₁

₎

w₁

_]

j+

[

₍

u₂v₃−u₃v₂

₎

w₂−

₍

−u₁v₃+u₃v₁

₎

w₁

_]

k  u x(v x w)=

|

i j k

u₁ u₂ u₃

v₂w₃−v₃w₂ −v₁w₃+v₃w₁ v₁w₂−v₂w₁

|

¿

[

u₂

(

v₁w₂−v₂w₁

)

−u₃

(

−v₁w₃+v₃w₁

)

_]

i−

[

u₁

(

v₁w₂−v₂w₁

)

−u₃

(

v₂w₃−v₃w₂

)

_]

j+

[

u₁

(

−v₁w₃+v₃w₁

)

−u₂

(

v₂w₃−v₃w₂

)

_]

k

 u x u=0

u x u=

|

i j k

u₁ u₂ u₃ u₁ u₂ u₃

|

¿

₍

u₂u₃−u₃u₂

₎

i−

₍

u₁u₃−u₃u₁

₎

j+

₍

u₁u₂−u₂u₁

₎

k=0

 u x0=

|

Berikut beberapa hal penting dan umum yang berlaku dalam perkalian silang dua vektor :

1. Nilai 0°≤ θ ≤180° , maka nilai sinθ selalu positifsehingga nilai C dalam C=ABsinθ selalu positif.

|A x B|=|A||B|

3. Dua vektor segaris.

 Jika kedua vektor berada satu garis dan searah, maka sudut antara kedua vektor adalah 0° , sehingga :

|A x B|=|A||B|sinθ |A x B|=|A||B|sin 0° |A x B|=|A||B|∙0

|A x B|=0

 Jika kedua vektor berada satu garis dan berlawanan arah maka sudut antara dua vektor tersebut adalah 180° , sehingga :

 |A x B|=|A||B|sinθ |A x B|=|A||B|sin 180° |A x B|=|A||B|∙0

|A x B|=0

D. Hubungan antara cross product dan dot product 1. u ∙´ (u x´ ´v)=0

( u x´ ´v ) orthogonal terhadap u´

´

u ∙( ´u x´v)=u1i+u2j+u3k

(

(

u2v3−u3v2

)

i−

(

u1v3−u3v1

)

j+

(

u1v2−u2v1

)

k

)

u u

(¿¿2u1v3−u2u3v1)+(u3u1v2−u3u2v1)

(¿¿1u2v3−u1u3v2)−¿

¿ ¿

u

(¿¿1u2v3−u2u1v3)+(−u₁u₃v₂+u₃u₁v₂)+¿

¿ ¿

( u₂u₃v₁−u₃u₂v₁¿=0

2. v ∙´ (u x´ v´)=0

( u x´ ´v ) orthogonal terhadap v´

´

v ∙(´u xv´)=v1i+v2j+v3k

(

(

u2v3−u3v2

)

i−

(

u1v3−u3v1

)

j+

(

u1v2−u2v1

)

k

)

v v

(¿¿2u1v3−v2u3v1)+(v3u1v2−v3u2v1)

(¿¿1u2v3−v1u3v2)−¿

v

1. Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik sudut A(2,-3,1) , B(-1,4,-1) dan C(2,0,3). Tentukan : garis AB, dan v´ merupakan vektor posisi ruas garis AC.

Dan v´=

(

0 3

)

−

(

−3

1

)

=

(

3

2

)

´

u x´v=

|

i j k

−3 7 −2

0 3 2

|

¿

(

(7∙2)−(−2∙3)

)

i−

(

(−3∙2)−(−2∙0)

)

j+

(

(−3∙3)−(7∙0)

)

k

¿(14+6)i−(−6−0)j+(−9−0)k=20i+6j−9k

a. u ∙´ ( ´u x´v)=

(

−3

7

−2

)

∙

(

20₆

−9

)

=−60+42+18=0

b. v ∙´ (´u xv´)=

(

0 3 2

)

∙

(

206

−9

)

=0+18−18=0

c. Luas jajargenjang = |u x´ ´v|=

√

202+62+(−9)2=

√

400+36+81=

√

517

d. Luas segitiga ABC = 1