RINGKASAN MATERI PENCERMINAN

RINGKASAN MATERI PENCERMINAN Definisi:

Suatu pencerminan (reflexi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut:

a. jika P  s maka Ms (P) = P

b. jika P s maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu PP'. Pencerminan M pada garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. garis s disebut sumbu refleksi / sumbu pencerminan / singkat cermin.

Teorema

Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi. Bukti:

Ms: V → V

I. Akan dibuktikan Ms surjektif.

 Ambil Sebarang X'V  X'Ms(X).

Menurut definisi jika X S maka Ms(X) X'X

Jadi X'V,X'X Ms(X),XS

 X'V,X' X Ms(X)dengan S sumbu XX’

Jadi Ms surjektif.

II. Akan dibuktikan Ms injektif.

 Kasus 1 Misalkan A₁  A₂ Untuk A1Smaka Ms(A1)A1'A1. A₂Smaka Ms(A₂) A₂' A₂ Jadi A1' A2'  Kasus 2 Ambil A₁S,A₂Smaka

S

A = A’ i). Ms (A₁)  A₁' A₁

ii). A2 Ms(A2) A2',yakni S sumbu dari A2A2'.

Karena A1Sdan A2S maka A1'A2'  Kasus 3

Untuk A₁S,A₂S,A₁  A₂  A₁'A₂' Andaikan Ms(A₁)Ms(A₂). Maka dipenuhi :

'

1 1A

A adalah suatu garis dengan sumbu S, artinya A₁A₁'S. '

2 2A

A adalah suatu garis dengan sumbu S, artinya A2A2'S.

Andaikan A1 A2, maka menurut teorema tidak ada 2 buah garis yang tegak lurus

terhadap garis sumbu S yang melalui titik yang sama.

Artinya jika Ms(A1)Ms(A2) maka haruslah A1  A2. Padahal diketahui A1  A2.

Jadi haruslah A1  A2 Ms(A1)Ms(A2).

Karena Ms surjektif dan injektif maka berlaku bahwa setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi.

Definisi:

Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q berlaku P’Q’ = PQ dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q).

Teorema:

Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri. Jadi kalau A’ = Ms(A), B = Ms(B) maka AB = A’B’. Bukti:

Ambil Semarang A, B, A’, B’ V dengan Ms(A) = A’ dan Ms(B) = B’. Akan ditunjukkan A’B’ = AB.

Kasus I

Jika A, B  S maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’ = B. Jadi AB = A’B’  Ms(A)Ms(B) = AB.

Jika A  S, B  S dan Ms(A) = A’ = A dan Ms (B) = B’ Akan ditunjukkan AB = A’B’

Perhatikan ABC&AB'C

AC = AC (berimpit) ' ACB m ABC m   (karena siku-siku) BC = B’C (karena S sumbu simetri)

Menurut teorema karena ABC &AB'C mempunyai sifat S Sd S yang sama, maka

C AB ABC  '  . Jadi AB = A’B’. Kasus III

Jika A, B  S dan Ms(A) = A’, Ms(B) = B’. Akan ditunjukkan AB = A’B’

Perhatikan BDC&B'DC. DC = DC (berimpit) ' DCB m DCB m   (karena siku-siku) BC = B’C (karena S sumbu simetri)

Menurut teorema karena BDC&B'DC mempunyai sifat S Sd S yang sama maka

DC B BDC  '

 .

Jadi BD = B’D dan mBDC mB'DC.

Karena mBDC mB'DC dan mADCmA'DC (900)

Maka ' ' ' 90 90 0 0 DB A m ABD m DC B m ADB m BDC m ADB m           

Perhatikan BAD&B'AD

AD = A’D (berimpit) DB A m ADB m   ' (dari pernyataan 1) DB = DB’ (diketahui)

Menurut teorema karena BAD&B'AD mempunyai sifat S Sd S yang sama maka

AD B BAD   '  . Jadi AB = A’B’. C A’

S

A B’ B

SOAL LATIHAN

1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan pula Mg(B).

● ●

A B

Mg(A) = B dan Mg(B) = A

2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan B (-2,-1). Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B! Diket : A (1,3), B (-2,-1)

Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B Jawab : Persamaan garis AB 0 5 3 4 4 4 9 3 ) 1 ( 4 ) 3 ( 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 1 2 1                              y x x y x y x y x x x x y y y y Gradien m = 3 4

Gradien yang tegak lurus garis AB, m2 = -4 3 Titik tengah AB = ,1) 2 1 ( 2 ) 2 , 1 ( 2 ) 1 , 2 ( ) 3 , 1 (       

Persamaan garis yang melalui ,1) 2 1 ( dengan m = 3 adalah y – y1 = m (x – x1) y – 1 = - 4 3 (x + 2 1 ) X 1 -1 -1 -2 1 2 3 Y

y = - 4 3 x - 8 3 + 1 y = - 4 3 x + 8 5 8y + 6x – 5 = 0 6x - 8y – 5 = 0

Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y – 5 = 0

3. Diketahui: g =





x,y



x-3



Ditanya:

a. Mg(A), bila A(2,1).

b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . . c. P(x,y), maka Mg(P) = . . .

Jawab:

a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1. B (-3,1) adalah titik tengah AA',

Maka (-3,1) =                  2 1 , 2 2 2 , 2 ' ' ' A A A A A A x y y x y x Jelas



6,2



(2xA',2yA')



x_A',y_A'

 

 8,1



Jadi A’ = (-8,1)

b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah y = 7. D(-3,7) adalah titik tengah AA',

Maka (-3,7) =                  2 7 , 2 1 2 , 2 ' ' C C C C C C x y y x y x Jelas



6,14



(xC 1,yC 7)



xC,yC

 

 5,7



Jadi C = (-5,7)

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah PP'. Jelas Q = (-3, yp) = _         2 , 2 ' ' p p p p x y y x







p p

 

p p



p p p p p y x y x y y x x y , 6 , ) , ( 2 , 6 ' ' '         

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-6 – x,y). 4. Diketahui g =





x,y



y2



Ditanya:

a. Jika A =



3, 2



, tentukan A’ = Mg(A). b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta D’ oleh Mg. c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P)

Jawab:

a. Persamaan garis yang melalui A



3, 2



dan tegak lurus g adalah x = 3. Misal B (3,2) adalah titik tengah AA',

Maka (3,2) =                    2 2 , 2 3 2 , 2 ' ' ' A A A A A A x y y x y x Jelas



6,4



(3x_A', 2y_A')



xA',yA'







3,4 2



Jadi A’ = (3,4 2)

b. Persamaan garis yang melalui D’ = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2. Misal C(2,2) adalah titik tengah DD',

Maka (2,2) =                   2 ) 4 ( , 2 2 2 , 2 ' ' D D D D D D x y y x y x Jelas



4,4



(x_D 2,y_D 4)



xD,yD

  

 2,8

Jadi Prapeta D oleh Mg = (2,8)

c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp. Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah PP'.

Jelas Q = (xQ, 2) = _         2 , 2 ' ' p p p p x y y x







 





p p

 

p p



p p p p p p p p p p y x y x y y x x x y y x x x            4 , , , 4 , 2 ) 2 , 2 ( 2 , ' ' ' '

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-x, 4 - y). 5. Diketahui h =





x,y



yx



Ditanya:

a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mh(A).

b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mh. c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P)

Jawab:

a. Dicari gradien garis y = x, yaitu m = 1

Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah

1 3 2 ) 2 ( 1 3 ) ( ₁ 1               x y x y x y x x m y y

Mencari perpotongan y = x dan y = -x – 1 dengan mensubstitusikannya. y = y x = -x – 1 2x = -1 x = -2 1 substitusikan x = -2 1 ke persamaan y = x diperoleh y = -2 1 .

Jadi titik tengah AA' (-2 1 ,-2 1 ).

Jelas (-2 1 ,-2 1

) titik tengah AA' , maka

                           2 3 , 2 2 2 , 2 2 1 , 2 1 xA xA' yA yA' xA yA' Jelas



1,1



(2xA',3yA')



xA',yA'

 

 3,2



Jadi A’ = (-3,2)

b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1

Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah

2 5 3 ) 3 ( 1 5 ) ( 1 1               x y x y x y x x m y y

Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara substitusi. y = y x = -x + 2 2x = 2 x = 1 substitusikan x = 1 ke persamaan y = x diperoleh y = 1.

Jadi titik tengah BB' (1,1).

Jelas (1,1) titik tengah BB' , maka

 

                   2 5 , 2 ) 3 ( 2 , 2 1 , 1 xB xB' yB yB' xB yB Jelas



2,2



(x_B 3,y_B 5)



x_A',y_A'

 

 5,3



Jadi A’ = (5,-3)

c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah

p p p p y x x y x x m y y        ( )

Jelas Q = (xQ, yQ) = _         2 , 2 ' ' p p p p x y y x







p p

 

p Q p Q



p p p p Q Q y y x x y x y y x x y x 2 , 2 , ) , ( 2 , 2 ' ' ' '        

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).

6. Diketahui k =





x,y



xy0



Ditanya:

a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mk(A).

b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mk. c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P)

Jawab:

a. Dicari gradien garis k xy0 yx

Jadi mk = -1

Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah

5 3 2 ) 2 ( 1 3 ) ( 1 1            x y x y x y x x m y y

Mencari perpotongan y = -x dengan y = x - 5 dengan cara substitusi. y = y -x = x – 5 2x = 5 x = 2 5 substitusikan x = 2 5 ke persamaan y = -x diperoleh y = -2 5 . Jadi titik potongnya (

2 5 , - 2 5 ) Karena ( 2 5 , - 2 5

                          2 3 , 2 2 2 , 2 2 5 , 2 5 xA xA' yA yA' xA' yA' Jelas



5,5



(2xA',3yA')



xA',yA'

 

 3,2



Jadi A’ = (3,-2)

b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1

Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah

8 5 3 ) 3 ( 1 5 ) ( ₁ 1            x y x y x y x x m y y

Mencari perpotongan y = -x dengan y = x +8 dengan cara substitusi. y = y -x = x + 8 2x = -8 x = -4 substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x diperoleh y = 4.

Jadi titik potongnya (-4,4).

Karena (-4,4) titik tengah BB', maka





                    2 5 , 2 ) 3 ( 2 , 2 4 , 4 xB xB' yB yB' xB yB Jelas



8,8



(x_B 3,y_B 5)



x_A',y_A'

 

 5,3



Jadi A’ = (-5, 3)

c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah

p p p p y x x y x x m y y       ( )

Jelas Q = (xQ, yQ) = _         2 , 2 ' ' p p p p x y y x







p p

 

p Q p Q



p p p p Q Q y y x x y x y y x x y x 2 , 2 , ) , ( 2 , 2 ' ' ' '        

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).

7. Diketahui g =





x,y



xy 1



Ditanya:

a. Mg(0)

b. Mg(A) dengan A(1,2).

c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P. Jawab:

a. Dipunyai g =





x,y



xy 1



, dari x + y = 1 y = 1 – x.

Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g adalah m = 1 Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah

x y x y x x m y y        ) 0 ( 1 0 ) ( 1 1 Jadi hy x

Titik potong antara g dan h adalah titik O, yaitu y = y 1 – x = x 2x = 1 x = 2 1 substitusikan x = 2 1 ke persamaan y = x diperoleh y = 2 1 .

Jadi titik potongnya ( 2 1 , 2 1 )

Karena ( 2 1 , 2 1

) titik tengah OO', maka

                        2 0 , 2 0 2 , 2 2 1 , 2 1 x0 x0' y0 y0' x0' y0' Jelas

 

1,1 (x0',y0')



x0',y0'

  

 1,1 Jadi Mg(O) = (1,1)

b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah

1 1 2 ) 1 ( 1 2 ) ( ₁ 1            x y x y x y x x m y y Jadi hy x+1

Mencari perpotongan g dengan h. y = y 1 - x = x + 1 2x = 0 x = 0 substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x diperoleh y = 1.

Jadi titik potongnya (0,1).

Karena (0,1) titik tengah OO', maka

 

                  2 2 , 2 1 2 , 2 1 , 0 xo xo' yo yo' xB' yB' Jelas



0.2



(1xo',2yo')



xo,yo'

 

 1,0



Jadi A’ = (-1,0) c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g =





x,y



xy 1



Karena Mg(P) = P, maka P P(x,x1) Diperoleh x + y = 1 xy1 x(x1)1 x0

Dan y = 0 + 1 = 1 Jadi Mg(P) = (0,1).

8. Diketahui g =





x,y



x-3y10



, dan A (2,k). Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A

Jawab : Dipunyai x – 3y +1 = 0,

Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g.

Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g. Untuk x = 2 maka x – 3y +1 = 0 2 - 3y = -1 3y = 3  y = 1 Jadi nilai k = 1.

9. Diketahui k =





x,y



ax-3y10



, B = (3,-1) Tentukan a apabila Mk(B) = B!

Karena Mk(B) = B, maka B = (3,-1) terletak pada garis k. Diperoleh a.3 – 3(-1) + 1 = 0  3a +3 +1 = 0 3a = - 4  a = - 3 4 Jadi nilai a = - 3 4 . 10. Dipunyai T(P) = (x-5, y+3) P = (x, y)  V

Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri?

Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri.

Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2  V maka P1‘P2’ = P1P2 Ambil sebarang titik P1, P2  V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2) T(P1) = P1’ = (x1-5, y1+3) T(P2) = P2’ = (x2-5, y2+3)









2 1 2 2 1 2 2 1 PP  x x  y y

































2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 ' ' P ) 3 3 5 5 ' ' P ) 3 ( ) 3 ( ) 5 ( ) 5 ( ' ' P ' ' ' ' ' ' P y y x x P y y x x P y y x x P y y x x P                        

Maka P1‘P2’ = P1P2.