DIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA C m K n

(1)

1

DIMENSI PARTISI

PADA GRAPH HASIL KORONA Cm⊙Kn Nama : Yogi Sindy Prakoso NRP : 1206 100 015

Jurusan : Matematika FMIPA-ITS Pembimbing : Drs. Suhud Wahyudi, M.Si

Dra. Titik Mudjiati, M.Si Abstrak

Graph adalah himpunan pasangan (V,E) dimana V adalah himpunan vertex dan E adalah himpunan edge yaitu pasangan vertex dari V. Jika G adalah graph terhubung, misalkan S ⊆ V(G) dan titik v ∈ V(G), jarak antara v dengan S adalah d(v,S) dengan d(v,S) = min{d(v,x)| x ∈ S}. Misalkan k buah partisi dan untuk himpunan terurut Π = {S1, S2, ..., Sk} dari vertex-vertex dalam graph terhubung G dan vertex v pada V(G),

representasi dari v terhadap Π adalah r(v|Π) dengan r(v|Π) = (d(v,S1), d(v,S2), ..., d(v,Sk)). Jika k-vektor

r(v|Π), untuk setiap vertex v pada V(G) berbeda, maka Π disebut himpunan partisi pembeda dari V(G). Himpunan partisi pembeda dengan kardinalitas minimum dari V(G) disebut dimensi partisi dari G dan dinotasikan dengan pd(G).

Pada Tugas Akhir ini ditentukan dimensi partisi pada graph hasil korona Cm⊙Kn dengan m ≥ 3, n ≥

1. Dari analisis yang dilakukan diperoleh hasil bahwa dimensi partisi Cm⊙Kn,

pd(Cm⊙Kn) =

3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 1 𝑝, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 > 1 dengan p merupakan bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi 𝑝_𝑛 ≥ m. Kata Kunci : himpunan pembeda, dimensi partisi, graph hasil korona.

1. PENDAHULUAN

Graph merupakan salah satu bidang dalam matematika. Graph adalah sebuah diagram yang memuat titik-titik disebut vertex, dan garis yang menghubungkan vertex-vertex disebut edge, didefinisikan G(V,E), dimana V adalah kumpulan dari vertex dan E adalah kumpulan dari edge. Setiap edge menghubungkan tepat dua buah vertex, dan setiap vertex dapat memiliki banyak edge yang menghubungkan dengan vertex yang lainnya.

Dari permasalahan yang terdapat pada berbagai disiplin ilmu dapat diselesaikan dengan

membuat model graph. Misalkan graph

merepresentasikan bentuk molekul air yang terdiri dari atom oksigen dan hidrogen, rancangan ruangan suatu bangunan. Masalah dan solusi yang didapat dari contoh kasus tersebut merupakan teknik dari teori graph.

Dimensi partisi merupakan salah satu teknik dari teori graph. Berikut diberikan gambaran mengenai dimensi partisi. Misalkan terdapat sebuah propinsi pada suatu negara dimana di dalamnya terdapat beberapa kota. Kemudian kota-kota tersebut dibagi menjadi beberapa kelompok dengan ketentuan dalam sebuah kelompok tidak terdapat kota yang sama. Hitung jarak minimum dari masing-masing kota terhadap semua kelompok. Jika terdapat dua kota yang berjarak sama, maka ubah kembali pembagian kelompok tersebut sampai didapatkan

jarak minimum tiap kota berbeda. Banyaknya kelompok yang dibuat seminimal mungkin ini dinamakan dengan dimensi partisi. (Iqbal, 2010)

Sejauh ini dimensi partisi pada graph hasil korona Cm⊙Kn belum ditemukan, sehingga pada

Tugas Akhir ini akan dibahas mengenai dimensi partisi pada graph hasil korona Cm⊙Kn.

2. DASAR TEORI 2.1 Graph

Graph tak berarah, selanjutnya disebut sebagai graph G, didefinisikan sebagai pasangan terurut G(V,E) dimana V adalah himpunan hingga tidak kosong {v1, v2, ..., vk} dan E adalah himpunan

bagian dari VxV dengan (u,v) ∈ E, mengakibatkan (v,u) ∈ E. Anggota dari V disebut vertex digambarkan sebagai lingkaran atau titik dan anggota dari E disebut edge digambarkan sebagai ruas garis yang menghubungkan dua buah vertex. Banyaknya vertex dari G dilambangkan dengan |V| = p dan banyaknya edge dari G dilambangkan dengan |E| = q. Secara umum suatu graph G yang mempunyai p-vertex dan q-edge dituliskan dengan (p,q)-graph G. (Harary, 1969)

Suatu graph dikatakan terhubung jika dapat dibuat lintasan yang menghubungkan setiap dua buah vertex pada graph tersebut. Contoh dari graph terhubung dan graph tidak terhubung dapat dilihat pada Gambar 2.1.

(2)

2

Gambar 2.1 : Graph Terhubung dan Graph Tidak

Terhubung.

Graph sederhana adalah graph yang tidak memuat loop dan sisi rangkap (multiple edge). Loop adalah sisi yang menghubungkan suatu titik dengan dirinya sendiri. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik, maka sisi-sisi tersebut dinamakan sisi rangkap (multiple edge). Graph tak-berarah (undirected graph) adalah graph yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah, dan urutan pasangan titik-titik yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. (Harary, 1969)

2.2 Eksentrisitas

Jarak (distance) antara vertex u dan v pada graph G, dinotasikan dengan d(u,v) adalah panjang lintasan terpendek antara u dan v pada graph G. Jika tidak ada lintasan antara u dan v, maka d(u,v) = ∞. (Harary, 1969)

Gambar 2.2 : Graph dengan 7 vertex dan 7 edge. Contoh 2.1 : Pada Gambar 2.2 : d(v1,v3) = 2, d(v1,v5) = 2, d(v2,v4) = 2, d(v3,v4) = 2, d(v3,v5) = 1, d(v1,v4) = 1, d(v3,v7) = ∞, d(v5,v6) = ∞.

Eksentrisitas vertex v pada graph G, dinotasikan dengan ecc(v) adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari v ke setiap vertex di G.

ecc(v) = max{d(v,u)|u ∈ V(G)}

Contoh 2.2 :

Pada Gambar 2.2 :

ecc(v1) = 2 dengan vertex eksentrik v3,

ecc(v3) = 2 dengan vertex eksentrik v4.

Diameter pada graph G, dinotasikan dengan diam(G) didefinisikan sebagai eksentrisitas maksimum dari G, atau jarak maksimum antara dua vertex pada G.

diam(G) = 𝑚𝑎𝑥𝑥∈𝑉𝐺 𝑒𝑐𝑐 𝑥 = 𝑚𝑎𝑥𝑥,𝑦 ∈𝑉𝐺 𝑑(𝑥, 𝑦)

Contoh 2.3 :

Pada Gambar 2.2, diam(G) = 2.

Radius pada graph G, dinotasikan dengan rad(G) didefinisikan sebagai eksentrisitas minimum dari G.

rad(G) = 𝑚𝑖𝑛𝑥∈𝑉𝐺 𝑒𝑐𝑐 𝑥

Contoh 2.4 :

Pada Gambar 2.2, rad(G) = 1.

2.3 Jenis-Jenis Graph

Berikut ini akan dijelaskan beberapa jenis dari graph khusus, didalamnya diberikan penjelasan tentang pengertian graph, disertai dengan contoh-contohnya.

1. Graph Cycle

Graph cycle adalah suatu walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga buah vertex dan semua vertexnya berbeda, dimana suatu walk pada graph G(V,E) yang menghubungkan v1 dengan vn adalah

suatu barisan vertex dan edge dari G dengan bentuk sebagai berikut :

{v1, (v1,v2), v2, (v2,v3), v3, ..., vn-1, (vn-1,vn), vn}

Dan dapat dituliskan sebagai {v1, v2, ..., vn}

atau v1, v2, ..., vn. Suatu walk dikatakan tertutup jika

v1 = vn.

Graph n-Cycle adalah graph cycle dengan n buah edge, dinotasikan dengan Cn. Berikut contoh

7

(3)

3

lainnya. Graph lengkap dengan n buah vertex dinotasikan dengan Kn. Graph lengkap mempunyai

jumlah vertex dan edge masing-masing adalah |V(Kn)|

= n dan |Kn| =

𝑛 (𝑛−1)

2 . Akibatnya, tiap vertex di Kn

bertetangga dengan vertex lainnya di Kn sehingga

setiap vertex di Kn memiliki jumlah tetangga yang

sama 𝑑𝐾𝑛(v) = (n-1)Kn dan memiliki diameter D(Kn) = 1 atau disebut juga dengan unit distance. Berikut contoh graph lengkap terlihat pada Gambar 2.

4

. (Iqbal, 2010)

Gambar 2.4 : Graph K5 dan K6.

2.4 Dimensi Partisi

Misalkan terdapat sebuah graph terhubung G dengan V(G) adalah himpunan vertex-vertexnya, S ⊆ V(G) dan titik v ∈ V(G), jarak antara v dengan S yang dinotasikan d(v,S) didefinisikan sebagai berikut :

d(v,S) = min{d(v,x)| x ∈ S}

Misalkan terdapat sebuah graph terhubung G dan k buah partisi dan untuk himpunan terurut Π = {S1, S2, ..., Sk} dari vertex-vertex dalam graph

terhubung G dan vertex v pada V(G), representasi dari v terhadap Π adalah k-vektor.

r(v|Π) = (d(v,S1), d(v,S2), ..., d(v,Sk))

Jika k-vektor r(v|Π), untuk setiap vertex v pada V(G) berbeda, maka Π disebut himpunan partisi pembeda dari V(G). Himpunan partisi pembeda dengan kardinalitas minimum disebut dimensi partisi dari G dinotasikan dengan pd(G). (Syah, 2008)

Lemma 2.1 Jika d(u,w) = d(v,w), untuk semua w ∈ V(G)-{u,v} maka u dan v harus berada di kelas partisi yang berbeda. (Chartrand, 2000)

Proposisi 2.1 Misal G adalah graph terhubung orde

n ≥ 2. Jadi, pd(G) = 2 jika dan hanya jika G = Pn.

(Syah, 2008)

Proposisi 2.2 Misal G adalah graph terhubung orde

n ≥ 2. Jadi, pd(G) = n jika dan hanya jika G = Kn.

(Syah, 2008)

2.5 Operasi Korona Pada Graph (⊙)

Misalkan G dan H adalah dua buah graph. Hasil operasi korona pada graph G terhadap H

dinotasikan dengan G⊙H, merupakan graph dengan himpunan vertex sebagai berikut (Harary, 1970) :

𝑉 𝐺⨀𝐻 = 𝑉(𝐺)⋃ 𝑉(𝐻𝑖)

𝑖𝜖𝑉 (𝐺)

Dan mempunyai himpunan edge sebagai berikut (Harary, 1970) :

𝐸 𝐺⨀𝐻 = 𝐸 𝐺 ∪ 𝐸 𝐻𝑖

𝑖𝜖𝑉 𝐺

∪ { 𝑖, 𝑢𝑖 : 𝑖

⊂ 𝑉 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑢𝑖𝜖𝑉 𝐻𝑖 }

Sebagai contoh, misalkan diberikan graph G dan H seperti Gambar 2.5.

Gambar 2.5 : Hasil operasi korona pada graph. 2.6 Graph Hasil Korona Cm⊙Kn

Graph ini merupakan graph hasil korona antara graph cycle (Cm) mempunyai m-vertex yang

dinotasikan dengan {x1, x2, ..., xm} dan graph lengkap

Kn mempunyai n-vertex yang dinotasikan dengan

{yi1, yi2, ..., yin}, i = 1, 2, ..., m, dimana m,n adalah

bilangan bulat positif dan m ≥ 3, n ≥ 1. Graph hasil korona Cm⊙Kn adalah G(V,E) dengan himpunan

vertex V(Cm⊙Kn) = {v1, v2, ..., vm, vm+1} dengan : v1 = {y11, y12, ..., y1n}, v2 = {y21, y22, ..., y2n}, ... vm = {ym1, ym2, ..., ymn}, vm+1 = {x1, x2, ..., xm}.

sedangkan himpunan edge :

E(Cm⊙Kn) = {x1x2, x2x3, ..., xm-1xm, xmx1, x1y11, x1y12,

..., x1y1n, ..., xmym1, ..., xmymn}

Jumlah vertex dan edge masing-masing adalah |V(Cm⊙Kn)| = m(n+1) dan

|E(Cm⊙Kn)| =

𝑚 (𝑛2+𝑛+2)

2

Sebagai contoh untuk m = 6 dan n = 5 yang dapat dilihat pada Gambar 2.6.

2.7 Dimensi Partisi Pada Graph Hasil Korona Cm⊙Kn

K

5

K

6

H

G

(4)

4

Dimensi Partisi pada Graph G hasil dari operasi hasil korona (operasi ⊙) graph cycle (Cm)

dan graph lengkap (Kn), dimana m,n bilangan bulat

positif dan m ≥ 3, n ≥ 1, dinotasikan dengan G(Cm⊙Kn), diperoleh melalui kardinalitas minimum

dari himpunan partisi pembeda dari graph G(Cm⊙Kn).

Gambar 2.6 : Graph hasil korona C6⊙K5. 3. METODOLOGI PENELITIAN

Metodologi penelitian yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dalam Tugas Akhir ini adalah :

1. Konstruksi

2. Analisis Permasalahan 3. Evaluasi

4. Penyimpulan Hasil Penelitian

4. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini dijelaskan mengenai analisis permasalahan beserta pembahasannya dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini. Dalam bab ini dibahas mengenai dimensi partisi dari graph hasil korona Cm⊙Kn secara umum dengan m ≥ 3, n ≥ 1,

dengan m,n bilangan bulat positif. Untuk mendapatkan dimensi partisi tersebut maka dilakukan dengan menentukan kardinalitas minimum dari himpunan partisi pembeda.

Untuk mendapatkan kardinalitas minimum dari himpunan partisi pembeda maka digunakan Lemma 4.1 berikut :

Lemma 4.1 : Misalkan terdapat graph hasil korona

Cm⊙Kn dengan m ≥ 3, Π = {S1, S2, ..., Sp} merupakan

partisi pembeda dari V(Cm⊙Kn), dan xi ∈ V(Cm)

dengan 1 ≤ i ≤ m maka S1 = {xi| xi ∈ V(Cm), 1 ≤ i ≤

m}.

Bukti : Misalkan xi ∈ V(Cm), yij ∈ V(Kn) dengan 1 ≤ i

≤ m, 1 ≤ j ≤ n karena jarak antara xi dan yij sama

dengan 1, sehingga representasi himpunan partisi pembeda berbeda, yaitu : r(xi|Π) = (0, ...) yang

berada pada himpunan partisi pembeda S1 dan

r(yij|Π) = (1, ...) yang berada pada himpunan partisi

pembeda {

S

2

, S

3

, ..., S

p

}. ▲

4.1 Dimensi Partisi Graph Hasil Korona Cm⊙Kn Dengan n = 1, m Secara Umum

Secara umum graph hasil korona Cm⊙Kn

dengan n = 1, dinotasikan dengan Cm⊙K1. Graph

Hasil Korona Cm⊙K1 adalah graph G(V,E) dengan

V(Cm⊙K1) = {v1, v2, v3, ..., vm, vm+1} dimana v1 =

{y11}, v2 = {y21}, v3 = {y31}, ..., vm = {ym1}, vm+1 = {x1,

x2, ..., xm}, sedangkan edge Cm⊙K1 didefinisikan

dengan E(Cm⊙K1) = {x1x2, x2x3, ..., xm-1xm, xmx1, xiyi1,

yi1| 1 ≤ i ≤ 3}. Jumlah vertex dan edge

masing-masing adalah |V(Cm⊙K1)| = 2m dan |E(Cm⊙K1)| =

2m. Dan dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1 : Graph hasil korona Cm⊙Kn

dengan n = 1, m secara umum.

Untuk menentukan dimensi partisi dari graph hasil korona Cm⊙K1, pd(Cm⊙K1) dibutuhkan

Lemma 4.2 berikut :

Lemma 4.2 : Untuk graph hasil korona Cm⊙Kn

dengan m ≥ 3, n = 1, m bilangan bulat positif maka berlaku pd(Cm⊙K1) = 3.

Bukti : Misalkan terdapat himpunan partisi pembeda

dari V(Cm⊙K1) Π = {S1, S2, S3}, menggunakan

y

41

(5)

5

r(y11|Π) = (0, ..., 3), r(y21|Π) = (0, ..., 4), ..., r(y(m-1) 1|Π) = (1, 0, 3), r(ym1|Π) = (1, 3, 0), r(x1|Π) = (0, ..., 2), r(x2|Π) = (0, 3, 3), ..., r(xm-1|Π) = (0, 1, 2), r(xm|Π) = (0, 2, 1),

yang memberikan representasi yang berbeda, jadi Π = {{x1, x2, x3, x4, x5, x6, y11, y21, y31}, {y41, y51, ..., y(m-1) 1}, {ym1}} merupakan himpunan partisi pembeda

Cm⊙K1 dengan kardinalitas |Π| ≤ 3. Jadi, pd(Cm

⊙K1) ≤ 3. Sedangkan, untuk menemukan batas

bawahnya, maka akan dibuktikan bahwa jika kardinalitas |Π| = 3 - 1 = 2, yaitu Π = {S1, S2}, maka

bukan himpunan partisi pembeda, karena menurut Proposisi 2.1 hanya jika graph Pn sehingga Π = {S1,

S2} bukan merupakan himpunan partisi pembeda.

Jadi, 3 ≤ |Π| atau 3 ≤ pd(Cm⊙K1). Karena

pd(Cm⊙K1) adalah 3 ≤ pd(Cm⊙K1) ≤ 3, maka

pd(Cm⊙K1) = 3. Jadi, terbukti bahwa pd(Cm⊙K1) =

3. ▲

Secara umum graph Hasil Korona Cm⊙Kn

{y11, y12}, v2 = {y21, y22}, v3 = {y31, y32}, ..., vm = {ym1,

ym2}, vm+1 = {x1, x2, ..., xm}, sedangkan edge Cm⊙K2

didefinisikan dengan E(Cm⊙K2) = {x1x2, x2x3, ..., x m-1xm, xmx1, xiyij, yi1yi2 | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ 2}. Jumlah

vertex dan edge masing-masing adalah |V(Cm⊙K2)| =

3m dan |E(Cm⊙K2)| = 4m. Dan dapat digambarkan

seperti pada Gambar 4.2.

Untuk menentukan dimensi partisi dari graph Hasil korona Cm⊙K2, pd(Cm⊙K2) dibutuhkan

Lemma 4.3 berikut :

dengan m ≥ 3, n = 2, m bilangan bulat positif maka berlaku pd(Cm⊙K2) = p dengan p merupakan

bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi 𝑝₂ ≥ m.

Bukti : Misalkan himpunan partisi pembeda dari

V(Cm⊙K2), Π = {S1, S2, ..., Sp}, dengan

menggunakan Lemma 4.1, sehingga xi ∈ S1,

 Perhatikan pada setiap edge xi dengan yij

khususnya (p-1) dimana p = i. Dengan y(p-1) j

buah vertex dimana j = 1 merupakan anggota S1, sedangkan y(p-1) j buah vertex

lainnya dimana j ≠ 1 adalah anggota (p-1) partisi selain S1.

 Lalu perhatikan y(p-2) j buah vertex dimana j

= 1 adalah anggota S2, sedangkan y(p-2)j

dimana j ≠ 1 adalah anggota (p-2) partisi selain S1 dan S2.

 Langkah ini dilakukan terus sampai bersisa 1 batang dimana kedua vertex-nya belum tergabung dalam partisi manapun. Pada batang terakhir, vertex yang berlabel ganjil adalah anggota Sp-1 dan vertex yang berlabel

genap adalah anggota Sp.

Maka diperoleh vektor koordinat titik-titik graph relatif terhadap Π adalah sebagai berikut :

r(y11|Π) = (0, 1, 3, ..., 3, 3), r(y12|Π) = (1, 0, 3, ..., 3, 3), r(y21|Π) = (0, 3, 1, ..., 3, 4), r(y22|Π) = (1, 3, 0, ..., 3, 4), ..., r(ym1|Π) = (1, ..., 0, 1), r(ym2|Π) = (1, ..., 1, 0), r(x1|Π) = (0, 1, 2, ...), r(x2|Π) = (0, 2, 1, ...), ..., r(xm|Π) = (0, ..., 1, 1). Sehingga, pd(Cm⊙K2) ≤ p.

Jika Π = {S1, S2, ..., Sp-1} maka pasti

ditemukan representasi koordinat vertex yang sama yaitu pasti terdapat d(u,Sj) = d(v,Sj), 1 ≤ j ≤ p-1.

Maka sesuai dengan Lemma 2.1, u dan v harus berada pada partisi yang berbeda sehingga Π bukan merupakan himpunan partisi pembeda, maka pd(Cm⊙K2) ≥ p. Terdapat (1 + 2 + 3 + ... + (p-1))

buah pasang vertex xi dengan yij atau

(6)

6

𝑝(𝑝−1) 2 ≥ m 𝑝(𝑝−1) 2! ≥ m 𝑝₂ ≥ m

Jadi, pd(Cm⊙K2) = p, dengan p adalah bilangan bulat

terkecil yang memenuhi 𝑝₂ ≥ m. ▲

Secara umum graph Hasil Korona Cm⊙Kn

{y11, y12, y13}, v2 = {y21, y22, y23}, v3 = {y31, y32, y33},

..., vm = {ym1, ym2, ym3}, vm+1 = {x1, x2, ..., xm},

sedangkan edge Cm⊙K3 didefinisikan dengan

E(Cm⊙K3) = {x1x2, x2x3, ..., xm-1xm, xmx1, xiyij, yi1yi2,

yi1yi3, yi2yi3| 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ 3}. Jumlah vertex dan

edge masing-masing adalah |V(Cm⊙K3)| = 3m dan

|E(Cm⊙K3)| = 7m. Dan dapat digambarkan seperti

pada Gambar 4.3.

Untuk menentukan dimensi partisi dari graph Hasil korona Cm⊙K3, pd(Cm⊙K3) dibutuhkan

Lemma 4.4 berikut :

dengan m ≥ 3, n = 3, m bilangan bulat positif maka berlaku pd(Cm⊙K3) = p dengan p merupakan

bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi 𝑝₃ ≥ m.

Bukti : Misalkan himpunan partisi pembeda dari

V(Cm⊙K3), Π = {S1, S2, ..., Sp}, dengan

menggunakan Lemma 4.1, sehingga xi ∈ S1,

 Perhatikan pada setiap edge xi dengan yij

khususnya 𝑝−1 (𝑝−2)

2 dimana p = i. Dengan 𝑦 𝑝 −1 (𝑝 −2)

2 𝑗

buah vertex dimana j = 1 merupakan anggota S1, sedangkan

𝑦 𝑝 −1 (𝑝 −2)

2 𝑗

buah vertex lainnya dimana j ≠ 1 adalah anggota (p-1) partisi selain S1.

 Lalu perhatikan 𝑦 𝑝 −2 (𝑝 −3)

2 𝑗

buah vertex dimana j = 1 adalah anggota S2, sedangkan

𝑦 𝑝 −2 (𝑝 −3)

2 𝑗

dimana j ≠ 1 adalah anggota (p-2) partisi selain S1 dan S2.

 Langkah ini dilakukan terus sampai bersisa 1 batang dimana kedua vertex-nya belum tergabung dalam partisi manapun. Pada batang terakhir, vertex yang berlabel ganjil adalah anggota Sp-1 dan vertex yang berlabel

genap adalah anggota Sp.

Maka diperoleh vektor koordinat titik-titik graph relatif terhadap Π adalah sebagai berikut :

r(y11|Π) = (0, 1, 1, 3, ..., 3, 3), r(y12|Π) = (1, 0, 1, 3, ..., 3, 3), r(y13|Π) = (1, 1, 0, 3, ..., 3, 3), r(y21|Π) = (0, 1, 3, 1, ..., 3, 4), r(y22|Π) = (1, 0, 3, 1, ..., 3, 4), r(y23|Π) = (1, 1, 3, 0, ..., 3, 4), ..., r(ym1|Π) = (1, ..., 0, 1, 1), r(ym2|Π) = (1, ..., 1, 0, 1), r(ym3|Π) = (1, ..., 1, 1, 0), r(x1|Π) = (0, 1, 1, 2, ...), r(x2|Π) = (0, 1, 2, 1, ...), ..., r(xm|Π) = (0, ..., 1, 1, 1). Sehingga, pd(Cm⊙K3) ≤ p

Jika Π = {S1, S2, ..., Sp-1} maka pasti

ditemukan representasi koordinat vertex yang sama yaitu pasti terdapat d(u,Sj) = d(v,Sj), 1 ≤ j ≤ p-1.

Maka sesuai dengan Lemma 2.1, u dan v harus berada pada partisi yang berbeda sehingga Π bukan merupakan himpunan partisi pembeda, maka pd(Cm⊙K3) ≥ p. Terdapat (1 + 3 + 6 + ... +

𝑝−1 (𝑝−2)

y

63

(7)

7

Jadi, pd(Cm⊙K3) = p, dengan p adalah bilangan bulat

terkecil yang memenuhi 𝑝₃ ≥ m. ▲

4.4 Dimensi Partisi Graph Hasil Korona

C

m

⊙K

n

Dengan n Secara Umum, m

Secara Umum

Untuk memperoleh dimensi partisi dari

graph hasil korona C

m

⊙K

n

m secara umum, n

secara umum dengan m ≥ 3, n ≥ 1, dapat dilihat

pada Teorema 4.1 berikut :

Teorema 4.1 : Untuk graph hasil korona

C

m

⊙K

n

dengan m ≥ 3, n ≥ 1 , m, n bilangan

bulat positif maka berlaku

pd(C

m

⊙K

n

) =

3 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 1

𝑝, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 > 1

dengan p merupakan bilangan bulat positip

terkecil yang memenuhi

𝑝_𝑛

≥ m.

Bukti :

pd(C

m

⊙K

n

) = 3, untuk n = 1 :

Untuk pd(C

m

⊙K

n

) = 3, untuk n = 1 telah

dibuktikan pada Lemma 4.2.

pd(C

m

⊙K

n

) = p, untuk n > 1 :

Misalkan himpunan partisi pembeda dari

V(C

m

⊙K

n

), dengan n ≥ 1, Π = {S

1

, S

2

, ..., S

p

},

dengan menggunakan Lemma 4.1, sehingga x

i

∈

S

1

,

 Perhatikan pada setiap edge x

i

dengan y

ij

khususnya

𝑝−1 𝑝−2 … (𝑝−𝑛+1)

(𝑛−1)!

dimana p =

i. Dengan

𝑦

𝑝 −1 𝑝 −2 … (𝑝−𝑛 +1) (𝑛 −1)! 𝑗

buah vertex

dimana j = 1 merupakan anggota S

1

,

sedangkan

𝑦

𝑝 −1 𝑝 −2 … (𝑝 −𝑛 +1) (𝑛 −1)! 𝑗

buah

vertex lainnya dimana j ≠ 1 adalah

anggota (p-1) partisi selain S

1

.

 Lalu perhatikan

𝑦

𝑝 −2 𝑝 −3 𝑝 −4 … (𝑝 −𝑛 +2) (𝑛 −1)! 𝑗

buah vertex dimana j = 1 adalah anggota

S

2

, sedangkan

𝑦

𝑝 −2 𝑝 −3 𝑝 −4 … (𝑝 −𝑛 +2) (𝑛 −1)! 𝑗

dimana j ≠ 1 adalah anggota (p-2) partisi

selain S

1

dan S

2

.

 Langkah ini dilakukan terus sampai

bersisa 1 batang dimana kedua

vertex-nya belum tergabung dalam partisi

manapun. Pada batang terakhir, vertex

yang berlabel ganjil adalah anggota S

p-1

dan vertex yang berlabel genap adalah

anggota S

p

.

Maka diperoleh vektor koordinat titik-titik graph

relatif terhadap Π adalah sebagai berikut :

r(y

|Π) = (0, ..., 2, 1, ...),

...,

r(x

m

|Π) = (0, ..., 1, 1).

Sehingga, pd(C

m

⊙K

n

) ≤ p

Jika Π = {S

1

, S

2

, ..., S

p-1

} maka pasti

ditemukan representasi koordinat vertex yang

sama yaitu pasti terdapat d(u,S

j

) = d(v,S

j

), 1 ≤ j ≤

p-1, maka sesuai dengan Lemma 2.1, u dan v

harus berada pada partisi yang berbeda sehingga

Π bukan merupakan himpunan partisi pembeda,

maka pd(C

m

⊙K

n

) ≥ p. Terdapat (1 + n +

𝑛(𝑛+1) 2

+ ... +

𝑝−1 𝑝−2 … (𝑝−𝑛+1)

𝑛−1 𝑛−2 … 2.1

) buah pasang vertex x

i

dengan y

ij

atau

m

⊙K

n

) = p, dengan p adalah bilangan

(8)

8

5. KESIMPULAN

Sesuai dengan Teorema 4.1, dapat disimpulkan bahwa dimensi partisi pada graph hasil korona Cm⊙Kn, dengan m ≥ 3, n ≥ 1, diperoleh :

pd(Cm⊙Kn) =

3 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 = 1

𝑝, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 > 1

dengan p merupakan bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi 𝑝_𝑛 ≥ m.

6. DAFTAR PUSTAKA

Chartrand, G., Salehi, E., Zhang, P. 2000. The

Partition Dimension Of Graph. Aequationes

Mathematicae, 45-54.

Harary, F. 1969. Graph Teory. Wesley Publishing Company, Inc.

Harary, F., Frucht, R. 1970. On The Corona Of

Two Graphs. Aequationes

Mathematicae, 322-325. Iqbal, M. 2010. Dimensi Partisi Pada

Pengembangan Graph Kincir Dengan Pola K1+mKn. Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA ITS.

Syah, N. 2008. Dimensi Partisi Graf Kipas dan

Graf Kincir. Tugas Akhir, Jurusan Matematika