BUKU AJAR MATAKULIAH GEOMETRI TRANSFORMASI TINJAUAN MATAKULIAH

BUKU AJAR

MATAKULIAH GEOMETRI TRANSFORMASI

TINJAUAN MATAKULIAH

A. Deskripsi Singkat Mata Kuliah

Mata kuliah ini membahas tentang geometri dari sudut pandang grup transformasi, konsep-konsep grup sebagai unsur dari struktur aljabar diterapkan melalui operasi pada transformasi atas bangun geometri di bidang datar.

B. Manfaat dan Relevansi Mata Kuliah

Setelah selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan dapat menguasai dan memahami materi Geometri Transformasi sebagai salah satu bekal mengajar di SMP dan SMA/K dan sarana untuk meningkatkan kemampuan pemecahan masalah baik pada materi Geometri Transformasi sendiri, matakuliah lain, dan masalah-masalah lain. Matakuliah Geometri Transformasi ini merupakan bekal bagi mahasiswa untuk mempelajari matakuliah Struktur Aljabar, namun sebelum mahasiswa mempelajari Geomatri Transformasi mahasiswa harus menguasai matakuliah Matematika Dasar. C. Standar Kompetensi Mata Kuliah

Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan materi Geomatri Transformasi.

D. Urutan dan Kaitan Antar BAB

Cakupan materi pada mata kuliah geometri transformasi adalah sebagai berikut: Fungsi  Transformasi  Refleksi  Isometri  Hasil Kali Transformasi  Transformasi Balikan  Setegah Putaran  Dilatasi  Translasi  Rotasi  Refleksi Geser E. Saran/Petunjuk Belajar

Matakuliah Geometri Transformasi akan membehas berbagai materi yang saling terkait. Oleh sebabitu, pelajarilah materi dalam setiap babnya secara baik dan runtut sesuai yang dipaparkan pada buku ajar.

BAB VII

SETENGAH PUTARAN

A. PENDAHULUAN

 Deskripsi Singkat Cakupan Bab

Pada bab ini akan membahas jenis transformasi yang ke 2 yaitu, setengah putaran. Materi Setengan Putaran ini akan disajikan dengan dikaitkan pada materi pencerminan dan dilatasi. Akan ada 9 teorema yang akan dibahas pada bab ini, guna membentu mahasiswa mempermudah menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Setengan Putaran atau masalah Geometri transformasi secara umum.

 Relevansi Ban

Bab Setengan Putaran didasari dari materi pencerminan dan sebagai bekal mempelajari materi Dilatasi.

 Kompetensi Dasar Bab

Mahasiswa mampu mendefinisikan setengan putaran, mampu membuktikan 9 teorema di setengan putaran, dan mampu menyelsaikan masalah yang terkait dengan setengah putaran, pencerminan, dan dilatasi.

B. MATERI

Setengah Putaran mengelilingi sebuah titik adalah suatu involusi. Suatu setengah putaran mencerminkan setiap titik di bidang pada sebuah titik tertentu sehingga disebut juga pencerminan pada suatu titik.

Definisi

Sebuah setengah putaran pada suatu titik 𝐴 adalah suatu padanan 𝑆𝐴 yang didefinisikan untuk

setiap titik pada bidang sebagai berikut :

1. Apabila 𝑃 ≠ 𝐴 maka 𝑆₁ 𝑃 = 𝑃′ sehingga 𝐴 titik tengah ruas garis 𝑃𝑃′ . 2. 𝑆_𝐴 = 𝐴

Setengah putaran adalah suatu transformasi Bukti:

Untuk membuktikan 𝑆_𝐴 Bijektif maka harus dibuktikan terlebih dahulu 𝑆_𝐴 Surjektif dan Injektif.

(1) Akan dibuktikan 𝑆_𝐴 Surjektif

Untuk menunjukkan 𝑆𝐴 Surjektif, akan ditunjukkan ∃𝑃′ ∈ 𝑉 ∋ 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑃′

Ambil sebarang 𝑃′ _{∈ 𝑉} 𝑃′ _{∈ 𝑉 ∋ 𝑃}′ _{= 𝑆} 𝐴(𝑃) 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑃 = 𝐴, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆_𝐴 𝐴 = 𝐴′ _{= 𝐴} Jadi, ∀ 𝑃′ _{∈ 𝑉 ∃ 𝑃}′ _{= 𝑃 = 𝑆} 𝐴(𝑃)

Jika 𝑃 ≠ 𝐴 maka A menjadi sumbu ruas garis ′, berarti 𝑆_𝐴 𝑃 = 𝑃′ Jadi, 𝑆𝐴Surjektif

(2) Akan dibuktikan 𝑆_𝐴 Injektif Missal 𝐵₁ ≠ 𝐵₂

Kasus I 𝐵₁ = 𝐵₂ = 𝐴

Untuk 𝐵₁ = 𝐴 maka 𝑆_𝐴 𝐵1 = 𝐵1 = 𝐵1′………..1*)

Untuk 𝐵₂ = 𝐴 maka 𝑆_𝐴 𝐵₂ = 𝐵₂ = 𝐵₂′………2*) Dari 1*) dan 2*) maka diperoleh 𝑆𝐴 𝐵1 ≠ 𝑆𝐴 𝐵2

Kasus II 𝐵1 ≠ 𝐵2 ≠ 𝐴 Ambil sebarang 𝐵₁, 𝐵₂ ∈ 𝑉 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐵₁ ≠ 𝐵₂ 𝐵₁ ≠ 𝐴, 𝐵₂ ≠ 𝐴, 𝐵₂, 𝐵₂, 𝐴 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 Sehingga 𝑆𝐴 𝐵1 = 𝐵1′dan 𝑆𝐴 𝐵2 = 𝐵2′ Andaikan 𝑆_𝐴 𝐵₁ = 𝑆_𝐴 𝐵₂ Karena 𝑆𝐴 𝐵1 = 𝑆𝐴 𝐵2 Maka 𝐵₁′ _{= 𝑆} 𝐴 𝐵1 = 𝑆𝐴 𝐵2 = 𝐵2′ Sehingga diperoleh 𝐵₁′ _{= 𝐵} 2′ dan ᒐ1 = 𝐵2

Menurut teorama, “Melalui dua titik hanya dapat dibuat satu garis” Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa 𝐵1 ≠ 𝐵2

Pengandaian 𝐵₁ ≠ 𝐵₂ 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆_𝐴 𝐵1 = 𝑆𝐴 𝐵2 harus dibatalkan.

Jadi, 𝑆_𝐴 𝐵₁ ≠ 𝑆_𝐴 𝐵₂ Jadi 𝑆𝐴 Injektif

Dari (1) dan (2) maka diperoleh 𝑆_𝐴 Surjektif dan 𝑆_𝐴 Injektif Karena 𝑆_𝐴 Surjektif dan 𝑆_𝐴 Injektif, maka 𝑆_𝐴Bijektif

Karena 𝑆_𝐴Bijektif, maka 𝑆_𝐴adalah suatu transformasi.

Jadi, terbukti bahwa suatu setengah putaran adalah transformasi.

Teorema 7.1

Andaikan 𝑨 sebuah titik,𝒈 dan 𝒉dua garis tegak lurus yang berpotongan di 𝑨.Maka 𝑺_𝑨 = 𝑴_𝒈𝑴_𝒉.

Bukti :

Diketahui 𝐴 sebuah titik, 𝑔 dan ℎ dua garis tegak lurus yang berpotongan di 𝐴. a) Kasus I : 𝑃 ≠ 𝐴

Karena 𝑔 ⊥ ℎ maka dapat dibentuk sebuah sistem sumbu orthogonal dengan 𝑔 sebagai sumbu X dan ℎ sebagai sumbu Y. 𝐴 sebagai titik asal.

Ambil titik 𝑃 ∈ 𝑉 Perhatikan Gambar 7.2

Ditunjukkan bahwa untuk setiap 𝑃 berlaku 𝑆_𝐴 𝑃 = 𝑀_𝑔𝑀_ℎ 𝑃 Andaikan 𝑃 𝑥, 𝑦 ≠ 𝐴 dan 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑃′′ 𝑥1, 𝑦1

Karena 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑃′′ maka 𝐴 titik tengah 𝑃𝑃′ sehingga

0,0 = 𝑥1₂+ 𝑥,𝑦1 + 𝑦 2 Diperoleh 𝑥₁+ 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥₁ = −𝑥 dan 〱₁+ 𝑦 = 0 ⟺ 𝑦₁ = −𝑦 Artinya 〱_𝐴 𝑃 = −𝑥, −𝑦 ………(1) Komposisi pencerminan 𝑀𝑔𝑀ℎ 𝑃 = 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑃 = 𝑀𝑔 −𝑥, 𝑦 𝐴 𝑃′_{′(−𝑥, −𝑦)} 𝑃′_{(−𝑥, 𝑦)} P(x,y) ℎ 𝑔 𝑋

= (−𝑥, −𝑦)

Artinya 𝑀_𝑔𝑀_ℎ 𝑃 = (−𝑥, −𝑦) ………(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh __𝐴 𝑃 = 𝑀_𝑔𝑀_ℎ 𝑃 .

Jadi, 𝑆_𝐴 = 𝑀_𝑔𝑀_ℎ b) Kasus II : 𝑃 = 𝐴

Menurut Definisi, 𝑆_𝐴(𝐴) = 𝐴 ………(1*) 𝑀_𝑔𝑀_ℎ 𝐴 = 𝑀_𝑔 𝐴 = 𝐴 ……….(2*) Dari persamaan (1*) dan (2*) diperoleh 𝑆𝐴 𝐴 = 𝑀𝑔𝑀ℎ 𝐴 .

Jadi, 𝑆𝐴 = 𝑀𝑔𝑀ℎ.

Teorema 7.2

Jika 𝒈 dan 𝒉 dua garis yang tegak lurus maka 𝑴𝒈𝑴𝒉 = 𝑴𝒉𝑴𝒈

Bukti a) Kasus I : 𝑃 ≠ 𝐴 Karena 𝑃 ≠ 𝐴, maka 𝑀𝑔𝑀ℎ(𝑃) = 𝑆𝐴(𝑃). 𝑀_ℎ𝑀_𝑔 𝑃 = 𝑀_ℎ 𝑀_𝑔 𝑃 = 㜵_ℎ 𝑥, −𝑦 = −𝐷, −𝑦 = 〰_𝐴(𝑃). diperoleh𝑀_𝑔𝑀_ℎ(𝑃) = 𝑆_𝐴(𝑃) = 𝑀_ℎ𝑀_𝑔 𝑃 Jadi, 𝑀_𝑔𝑀_ℎ = 𝑀_ℎ𝑀_𝑔 b) Kasus II : 𝑃 = 𝐴 Karena 𝑃 = 𝐴, maka 𝑀𝑔𝑀ℎ 𝐴 = 𝑀𝑔 𝐴 = 𝐴 𝑀_ℎ𝑀_𝑔 𝐴 = 𝑀ℎ 𝐴 = 𝐴 Sehingga diperoleh 𝑀_𝑔𝑀_ℎ 𝐴 = 𝑀ℎ𝑀𝑔 𝐴 . Jadi, 𝑀_𝑔𝑀_ℎ = 𝑀_ℎ𝑀_𝑔. Teorema 7.3

Jika 𝑺_𝑨 setengah putaran, maka 𝑺−𝟏

𝑨 = 𝑺𝑨.

Bukti

Andaikan 𝑔 dan ℎ dua garis yang tegak lurus maka 𝑀_𝑔𝑀_ℎ = 𝑆_𝐴 dengan 𝐴 titik potong antara 𝑔dan ℎ.

(𝑀_𝑔𝑀_ℎ)−1 _{= 𝑀}−1

ℎ𝑀−1𝑔 = 𝑆−1𝐴.

Karena 𝑀−1

Karena 𝑔 ⊥ ℎ, maka menurut teorema 7.2, 𝑀𝑔𝑀ℎ = 𝑀ℎ𝑀𝑔.

Sedangkan menurut teorema 7.1, 𝑆𝐴 = て𝑔𝑀ℎ.

Sehingga diperoleh 𝑆−1

𝐴 = 𝑀ℎ𝑀𝑔 = 𝑀𝑔𝑀ℎ = 𝑆𝐴.

Jadi, 𝑆−1

𝐴 = 𝑆𝐴.

Teorema 7.4

Jika 𝑨 = (𝒂, 𝒃) dan 𝑷 = (𝒙, 𝒚)maka 𝑺_𝑨 𝑷 = (𝟐𝒂 − 𝒙, 𝟐𝒃 − 𝒚). Bukti

a) Kasus I : 𝑃 ≠ 𝐴

Misalkan 𝑃" = (𝑥₁, 𝑦₁) dan 𝑆_𝐴(𝑃) = 𝑃" maka 𝐴 titik tengah 𝑃𝑃" sehingga diperoleh

𝑎, 𝑏 =

𝑥

1

+ 𝑥

2

,

𝑦

₁

+ 𝑦

2

Maka 𝑥1₂+𝑥 = 𝑎 dan 𝑦1₂+𝑦 = 𝑏 sehingga diperoleh

𝑥1+𝑥

2 = 𝑎 ⟺ 𝑥1+ 𝑥 = 2𝑎 ⟺ 𝑥1 = 2𝑎 − 𝑥 ………..(1*) 𝑦1+𝑦

2 = 𝑏 ⟺ 𝑦1+ 𝑦 = 2𝑏 ⟺ 𝑦1 = 2𝑏 − 𝑦 ………(2*)

Dari persamaan (1*) dan (2*) maka 𝑥1, 𝑦1 = 2𝑎 − 𝑥 , (2𝑏 − 𝑦)

Karena 𝑆_𝐴(𝑃) = 𝑃", maka 𝑆_𝐴 𝑃 = 𝑥1, 𝑦1 = 2𝑎 − 𝑥 , (2𝑏 − 𝑦)

Jadi, 𝑆_𝐴 𝑃 = (2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦). b) Kasus II : 𝑃 = 𝐴

Karena 𝑃 = 𝐴, maka 𝑥, 𝑦 = 𝑎, 𝑏 artinya 𝑎 = 𝑥 dan 𝑏 = 𝑦. ⍞_𝐴 𝑃 = 𝑆_𝐴 𝐴 = 𝐴 = (𝑎, 𝑏) 𝑎, 𝑏 = 2𝑎 − 𝑎 , 2𝑏 − 𝑏 = 2𝑎 − 𝑥 , 2𝑏 − 𝑦 Jadi, 𝑆_𝐴 𝑃 = (2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦).

7.2 Lanjutan Setengah Putaran

Kita ingat kembali tentang refleksi atau pencerminan. Definisi refleksi atau pencerminan ialah

1. M_g

 

A  A,Ag

Jelas bahwa Ag yang dicerminkan terhadap garis g maka A berimpit dengan petanya. Titik yang demikian dinamakan titik tetap (invariant) refleksi.

Definisi

A dinamakan titik tetap (invariant) transformasi T apabila berlaku T(A) = A

Dari definisi tersebut, kita dapat memperoleh fakta bahwa sebuah refleksi garis g memiliki tak hingga banyaknya titik tetap yaitu semua titik pada sumbu refleksi g itu sendiri. Sedangkan pada sebuah setengah putaran di P (Sp), maka satu-satunya titik varian adalah P,

sebab Sp(P) = P dan Sp(X) = X’ dengan XPdan P titik tengah ruas garis XX'.

Definisi

Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis dinamakan kolineasi

Karena setiap isometric adalah suatu kolineasi maka refleksi dan setengah putaran adalah suatu kolineasi. Diantara kolineasi tersebut ada yang disebut dilatasi

Definisi

Suatu kolineasi dinamakan suatu dilatasi  jika untuk setiap garis g berlaku sifat∆(𝑔)/ /𝑔.

Teorema 7.5

Andaikan SA suatu setengah putaran, dan g sebuah garis. Apabila 𝑨 ∉ 𝒈, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝑆𝐴(𝑔)/

/𝑔

Diketahui : SAsebuah garis g, Ag

Buktikan bahwa 𝑆_𝐴(𝑔)//𝑔 Bukti :

Misal 𝑃 ∈ 𝑔, 𝑑𝑎𝑛 𝑄 ∈ 𝑔

karenaP ∈ g maka A titik tengah PP′ dengan P′ = S_A P karena Q ∈ g maka A titik tengah QQ′ _{dengan Q}′ _{= S}

Perhatikan ∆APQ′ dan ∆AQP′

Untuk membuktikan bahwa g′ ∕∕ g maka harus ditunjukkan ∆APQ′ dan ∆AQP′ adalah kongruen.

m < 𝑃𝐴Q′ _{= m(< 𝑄𝐴P}′_{) (sudut bertolak belakang)}

PA = AP′( karena A titik tengah PP′ ₎

QA = AQ( karena A titik tengah QQ′ ₎

Menurut definisi kekongruenan (S Sd S) sehingga∆APQ′ ≅ ∆AQP′

Karena ∆APQ′ _{≅ ∆AQP}′ _{maka PQ}′ _{= QP}′

Karena PQ′ _{= QP}′ _{maka g′ ∕∕ g}

Jadi, 𝑆_𝐴(𝑔)//𝑔 Contoh

Diketahui dua garis g dan h tidak sejajar. A sebuah titik yang tidak terletak pada g atau h. Tentukan semua titik X pada g dan semua titik Y pada h sehingga A titik tengah ruas garis

XY.

Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar

h A g A , 

Ditanya : tentukan semua Xg,YhA titik tengah XY Jawab :

Ambil Pg

Jika P'S_A

 

P maka g'S_A

 

g melalui P’ dan PA=AP’, g’//g Jika g’ memotong h di Y

Tarik YA memotong g di X

Maka X dan Y pasangan titik yang dicari Ilustrasi : P Q 𝑆_𝐴 𝑃 = 𝑃′ 𝑔′ = 𝑆𝐴(𝑔) A 𝑆𝐴 𝑄 = 𝑄′ 𝑔

Dari contoh di atas, buktikan bahwa X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan, dan jika tidak menggunakan g'SA

 

g tapi h''SA

 

h apakah akan

memperoleh pasangan lain lalu jelaskan hal tersebut

Dipunyai : garis g dan h tidak sejajar

h A g

A ,  ,

Ditanya : Adb X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan. Bukti :

Ambil 𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 ℎ, 𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘 𝑙𝑢𝑟𝑢𝑠 ℎ, 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∉ ℎ Karena 𝐴 ∉ ℎ, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆𝐴 ℎ = ℎ′ ∕∕ ℎ

ℎ′akan memotong 𝑔 di titik 𝑋, sehingga 𝑋 ∈ ℎ′ karena 𝑆_𝐴 ℎ = ℎ′ ∕∕ ℎ, maka 𝑆_𝐴 𝑋 = 𝑌 ∈ ℎ

Karena titik potong dari dua garis atau lebih akan hanya ada satu titik potong, Maka 𝑋 dan 𝑌 satu-satunya pasangan .

sehingga𝑋 ∈ ℎ′_{, 𝑋 ∈ 𝑔, 𝑋 ∈ 𝑋𝑌, 𝑑𝑎𝑛 𝑌 ∈ ℎ, 𝑌 ∈ 𝑔}′_{, 𝑌 ∈ 𝑋𝑌}

jadi, 𝑋 dan 𝑌 satu-satunya pasangan. Teorema 7.6

Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat yang berbeda, tidak memiliki titik tetap Bukti :

Misal A,BV,AB

Akan dibuktikan S_AS_B tidak memiliki titik tetap Misal g = AB A g’ g P P’ Y X h ℎ ℎ′ 𝑔′ 𝑔 𝐴 𝑌 𝑋

hAB di A, k AB di B Akan ditunjukkan S_AS_B = M_hM_k Karena S_AM_gM_h, S_BM_gM_k Maka S_AS_B=



M_gM_h



M_gM_k































k h k h k g g h k g g h k g h g k g h g M M M I M M M M M M M M M M M M M M M M M      

Akan ditunjukkan S_AS_B tidak memiliki titik tetap Misal X titik varian S_AS_B

Jadi S_AS_B(X) = X sehingga



M_hM_k

 

X  X Jadi









 

 









 

( ) ...

 

2 1 ... ) ( X M X M M M X M X M M M h k h h h k h h  

Dari (1) dan (2) diperoleh

 

X IM

 

X M

 

X M

 

X M_h  _k  _h  _k Misal M_k

 

X X₁

(i) Kasus 1 (X  X₁) Misal X  X1hk

Karena h dan k adalah sumbu ruas garis XX1 dan ruas garis hanya memiliki satu

sumbu maka h=k

Hal ini tidak mungkin sebab AB (ii) Kasus 2 (X  X₁)

Misal X X₁

Maka Mh(X)=X dan Mk(X)=X

Jadi Xk,Xhh,k berpotongan diX

Hal ini tidak mungkin sebab h//k

Jadi, tidak mungkin ada sebuah titik X sehingga M_h

 

X M_k

 

X atau S_AS_B

 

X  X. Jadi, S_AS_B tidak memiliki titik tetap.

Ilustrasi teorema 7.6

Teorema 7.7

Jika AB adalah dua titik maka hanya ada satu setengah putaran yang memetakan A pada B

Bukti :

Dipunyai AB

Akan dibuktikan S_T

 

A B dengan T titik tengah ruas garis AB

Misal ada dua setengah putaran SD dan SE sehingga SD

 

A Bdan SE

 

A B Jadi SD

 

A SE

 

A

Maka S1D



S_D

 

A



S1D



S_E

 

A



Karena S-1D=SD maka ASD



SE

 

A



Jadi jika DE, maka berarti bahwa A adalah titik tetap dari S_DS_E

Hal ini tidak mungkin ada lebih dari satu setengah putaran yang memetakan A pada B. Satu-satunya setengah putaran adalah ST(A) = B dengan T titik tengah ruas garis AB

Teorema 7.8

Suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik

Dipunyai titik PV Akan dibuktikan

(1) g sebuah garis S_P

 

g //g

(2) SPSPI dengan I transformasi identitas

Bukti :

(1) Jelas SP(g) = g’ suatu garis.

Misal Ag,Bg

g

h k

Maka Ag',Bg' dan PA = PA’, PB = PB’

Karena PA = PA’, PB = PB’, dan m



APB



m



A' PB'



sehingga PABPA'B (s sd s)

Jelasm



B'A'P



m



BAP



Jadi g//SP(g) dan SP sebuah dilatasi

(2) Karena S_pS_p

 

A S_p

 

A'  A, maka AgS_PS_P

   

g I g

Jadi, S_PS_P I.

Hal ini berarti SP bersifat involuntorik

Dari pernyataan (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa SP sebuah dilatasi bersifat

involuntorik. Atau dengan kata lainsuatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik.

Ilustrasi :

Teorema 7.9

Apabila T suatu transformasi. H himpunan titik-titik dan A sebuah titik, maka

 

H T

 

A H

T

A  1  Bukti :

Dipunyai T transformasi, H himpunan titik-titik, A sebuah titik

Akan dibuktikan AT

 

H T

 

A H 1

 

 _Ambil AT

 

H Jadi XH AT

 

X makaT

 

A T



T

 

X





 

T T

   

X I X X   1 1 1 Jadi, T

 

A H 1 B A B’ A’ P SP(g)=g’ g

 

 _Ambil T1

 

A H

Hal ini berarti T



T1

 

A



T

 

H atau AT

 

H Contoh :

Dipunyai : E



 

x,y x2 4y2 16



Misal A = (4,-3) dan C = (3,1) g adalah sumbu X

Ditanya : Selidiki apakah AM_gS_c

 

E Jawab : Jelas



M_gS_c



 S1cM1g S_cM_g 1 Ambil P = (x,y) JelasP

 

x,y M_g

  

P  x,y



Jelas S_c

   

P 



2.3 x,

 

2.1 y

 

 6x,2y



Jadi



M_gS_c



1

 

P S_cM_g

 

P S_c



x,y

 

 6x,2y



Sehingga



M_gS_c



1

 

A 



M_gS_c



1

  

4,3  64,23

 

 2,1



Karena



M_gS_c



1

  

A  2,1



E maka berarti bahwa A



MgSc



 

E Jadi, A



M_gS_c



 

E

Dengan cara serupa, kita dpat menentukan persamaan peta suatu himpunan apabila persamaan himpunan tela diketahui.

Menurut teorema 7.9, AT

 

H T1

 

A H. Jika transformasi T adalah M_gS_c

 

E dengan E 



 

x,y x24y2 16



, maka PM_gS_c

 

E 



M_gS_c



1

 

P E. Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan sebelumnya, jika P

 

x,y maka



MgSc



  

P  x  y



 2 , 6 1 Jadi,





1

 



6 ,2

  



, 2 4 2 16



        y x y x y x E P S M_{g c} Jadi haruslah



6x



24



2 y



2 16

Sehingga diperoleh fakta bahwa x24y212x16y360 adalah persamaan peta E oleh transformasi M_gS_c.

C. PENUTUP

Selesaikan soal-soal berikut disertai dengan langkah penyelesaianya. 1. Diket : titik A, B, P tak segaris dan berbeda.

Lukis : a. 𝑆_𝐴 𝑃

b. 𝑅 ∋ 𝑆𝐵 𝑅 = 𝑃

2. Diket : garis 𝑔 dan titik 𝐴, 𝐴 ∉ 𝑔 Ditanya :

a) Lukisan garis 𝑔1 = 𝑆𝐴(𝑔) dan mengapa 𝑔 sebuah garis?

b) Buktikan bahwa 𝑔′_//𝑔. 3. Diketahui :𝑔 = 𝑥, 𝑦 │3𝑥 + 2𝑦 = 4 dan 𝐴 = (−2,1) Ditanya : a. 𝑘 ∋ 𝐷 = 3, 𝑘 ∈ 𝑔′ = 𝑆_𝐴(𝑔) b. Persamaan 𝑔′ c. Persamaan ℎ ∋ 𝑆𝐴 ℎ = 𝑔