Model Optimasi Alokasi Gas Injeksi Sumur Dual Gas Lift

Model Optimasi Alokasi Gas Injeksi

Sumur Dual Gas Lift

Sebagaimana yang telah diuraikan pada bab 2, sumur dual gas lift merupakan sumur dengan dua tubing, long string dan short string. Gas injeksi dari permukaan akan terbagi dua, masuk ke dalam long string dan sisanya masuk ke dalam short string.

Gambar 4.1: Ilustrasi Kurva Performansi Gas Lift untuk Short String dan Long

String untuk satu kondisi tertentu

Hubungan antara laju injeksi gas dan laju produksi pada short string dan long string 31

dinyatakan melalui kurva performansi gas lift, seperti yang telah dijelaskan pada subbab (3.1). Kurva performansi gas lift untuk long string dan short string masing-masing diberikan oleh persamaan (4.1) dan (4.2),

qLls= ϕls  qgls  (4.1) qLss= ϕss  qgss  (4.2) Persamaan (4.1) memenuhi dPls dhls = f2ls  Pls,hls; qLls,qgls . (4.3) dengan Pls(0)= Pwhls, (4.4) P(Lls)= Pw fls= f1ls  qLls . (4.5) Persamaan (4.2) memenuhi dPss dhss = f2ss  Pss,hss; qLss,qgss . (4.6) dengan Pss(0)= Pwhss, (4.7)

ss = Pw fss= f1ss Lss

Agar sistem dual gas lift berjalan stabil,qgls,qgss



harus terletak pada daerah kesta-bilan, yakni:  qgls,qgss  ∈ D=nDls₁ ∪ Dls₂ ∪Dls₃ ∩ Dls₄×D₁ss∪ D₂ss∪D₃ss∩ D₄ss|0 ≤ qgls+ qgss≤ qgtersedia o dengan, Dls₁ =            qLls,qgls  ∈ R2|0 < qLls< ρglsBglsJlsq 2 gls  EAils 2           , Dls₂ =                      qLls,qgls  ∈ R2|0 < qLls< qgls  1−F_1ls Vtls Vc 1 gLils Ptls ρ_fls−ρg − 1                     , Dls₃ =                  qLls,qgls  ∈ R2|0 < qLls< A_tlsP_tlsq_gls gρ_fls−ρ_gls  1 − F1ls r_vls µ_vls  _µ vls  2−r_vls− A_tlsP_tlsq_gls gρ_fls−ρ_gls !                 , Dls₄ =                   qLls,qgls  ∈ R2|0 < qLls< q2_glsρ_flsB_glsJls  EA_ils2 µ_vls r_vls −µvls                  . dimana: rvls= P_tls Pc , µvls= (zlsTls)t (zT )c

D₁ss=         qLss,qgss  ∈ R2|0 < qLss< ρgssBgssJssq 2 gss EAiss
2       , D₂ss=                   qLss,qgss  ∈ R2|0 < qLss < qgss (1−F_1ss) Vtss Vc 1 gLissρfssPtss−ρg − 1                  , D₃ss=              qLss,qgss  ∈ R2|0 < qLss< A_tssP_tssq_gss g(ρ_fss−ρ_gss)  1 − F1ss r_vss µvss  _µ vss (2−r_vss)−  A_tssP_tssq_gss g(ρ_fss−ρ_gss)              , Dss₄ =                qLss,qgss  ∈ R2|0 < qLss< q2_gssρ_fssB_gssJss (EA_iss)2 µvss r_vss −µvss               . dimana: rvss= P_tss Pc , µvss= (zssTss)t (zT )c

Dls₁, Dls₂ dan Dss₁, D₂ss masing-masing menyatakan daerah kestabilan Asheim

un-tuk long string dan short string. Dls₃, Dls₄ dan D₃ss, D₄ss masing-masing menyatakan daerah kestabilan Alhanati untuk long string dan short string.

4.1

Model Optimasi

Akan dibangun model optimasi sumur dual gas lift yang dikaitkan dengan equal

slope. Masalah memaksimumkan produksi minyak pada sumur dual gas lift dapat

max ϕ1  qgls + ϕ2ξ qgls  (4.9) dimana, qgss= ξ  qgls  yang memenuhi ϕ0₁qgls = ϕ 0 2  qgss  . denganqgls,qgss  ∈ D.

Untuk kondisi laju gas injeksi yang sangat sedikit, maka solusi optimum untuk model dual gas lift mungkin jatuh dibawah kurva performansi gas lift. Kondisi ini tidak diharapkan, karena tidak memberikan interpretasi kemampuan produksi sumur gas lift. Pada penelitian ini, laju gas injeksi optimum akan dicari pada daerah kestabilan sepanjang kurva performansi gas lift. Daerah pencarian laju gas injeksi

optimum dinyatakan dalam Dqg

Dqg = n qgls,qgss  |q+_gls≤ qgls≤ qgtersedia,q + gss ≤ qgss≤ qgtersedia o (4.10)

q+_glsdan q+_gssadalah nilai laju gas injeksi terkecil sehingga titikq+_gls,q+_L

ls



danq+_gss,q+_L

ss



berada pada kurva performansi gas lift didalam daerah kestabilan.

4.2

Skema Numerik

Untuk suatu nilai qgls dan qgss yang diberikan, nilai ϕ1

 qgls  dan ϕ2  qgss  dapat diperoleh dari solusi persamaan implicit,

Pls  Lls; qgls,qLls  − Pw fls  qLls = 0 (4.11) Pss  Lss; qgss,qLss  − Pw fss qLss
= 0 (4.12)

Dimana Pls



Lls; qgls,qLls



memenuhi masalah nilai awal (4.3), (4.4) dan (4.5). Pss



Lss; qgss,qLss



memenuhi masalah nilai awal (4.6), (4.7) dan (4.8). Dalam skema numerik, Pls

 Lls; qgls,qLls  dan Pss  Lss; qgss,qLss 

akan dihitung dengan metode Runge-Kutta orde 4. Nilai qLls

dan qLss akan dihitung dengan metode shooting, (prosedur metode shooting dapat

dilihat di lampiran).

Dalam skema numerik, permasalahan optimasi (4.11) dapat dinyatakan sebagai masalah pemaksimuman produksi liquid dari short string dan long string.

max ¯qLls+ ¯qLss (4.13) dengan, ¯ q∗_L ls− ¯qLls= ¯q ∗ Lss− ¯qLss (4.14) qgls+ qgss≤ qqtersedia (4.15) dan,qgls,qgss  ∈ D(qg).

Nilai ¯qLlsdan ¯qLss diperoleh dengan metode shooting untuk nilai qgls dan qgssyang

berpadanan. Nilai q∗¯_L

ls dan

¯

q∗_L

ss diperoleh dengan metode shooting untuk nilai



qgls+ c



danqgss+ c



yang berpadanan, untuk suatu nilai c yang cukup kecil.

Permasalahan optimasi ini akan diselesaikan dengan menggunakan algoritma genetika. Untuk menyelesaikan permasalahan dengan algoritma genetika diperlukan men-gubah masalah optimasi dengan kendala menjadi masalah optimasi tanpa kendala, dengan menggunakan pendekatan fungsi penalti. Permasalahan pemaksimuman (4.13), (4.14) dan (4.15) dapat dituliskan menjadi masalah peminimuman,

min f = 1 1+ ¯qLls+ ¯qLss + r1g+ r2h (4.16) dengan, qgls,qgss  ∈ Dqg. g= max0,hqgss+ qgls− qgtersedia i2 . h=q∗_L¯ ls− ¯qLls= ¯q ∗ Lss− ¯qLss 2 .

r1dan r2merupakan faktor penalti yang nilainya diambil cukup besar. Dalam

algo-ritma genetika, r1dan r2akan dipilih sebagai fungsi yang naik terhadap generasi.

4.3

Algoritma Genetika

Algoritma genetika merupakan metode optimasi dengan menggunakan teknik pen-carian acak berdasarkan mekanisme seleksi alam. Algoritma genetika dapat menye-lesaikan permasalahan optimasi dengan kendala maupun masalah optimasi tanpa kendala. Masalah optimasi dengan kendala terbagi menjadi kendala persamaan (equality constraints) dan atau kendala pertaksamaan (inequality constraints). Algoritma Genetika bekerja pada sekumpulan titik calon solusi optimum yang dise-but sebagai populasi [10],[11]. Setiap titik di dalam populasi disedise-but sebagai in-dividu, dan setiap individu dinyatakan oleh sejumlah bit yang merepresentasikan sifat dan karakteristik dari individu itu sendiri. Dalam thesis ini digunakan string biner untuk menyatakan sejumlah bit tersebut. Untuk suatu populasi akan diproses melalui beberapa iterasi sehingga diperoleh individu terbaik sebagai solusi optimum dari permasalahan yang diberikan.

Ukuran baik atau tidaknya suatu individu dilihat dari nilai fitness-nya, dimana nilai fitness merupakan harga dari suatu individu yang diperoleh dengan cara memetakan

individu tersebut menjadi suatu fungsi fitness. Individu yang memiliki nilai fitness tertinggi di dalam suatu populasi merupakan individu terbaik.

Secara umum langkah-langkah pada algoritma genetika dijelaskan pada sub bab berikut ini.

4.3.1

Populasi Awal Pada Algoritma Genetika

Pada tahap awal, Algoritma Genetika akan membangkitkan sebanyak N individu, dari bilangan acak, yang disebut sebagai ukuran populasi. N individu ini disebut sebagai populasi awal. Setiap individu dinyatakan oleh sejumlah bit, yang dalam thesis ini direpresentasikan dalam string biner. Namun, sebelum membangkitkan individu-individu tersebut, perlu ditentukan panjang dari string biner yang akan digunakan untuk merepresentasikan masing-masing individu dalam populasi. Panjang string biner dalam algoritma genetika didefinisikan sebagai berikut:

Misalkan diberikan suatu permasalahan yang memiliki M variabel x1, x2,..., xM

dengan xi∈ [ai,bi] dan kimerupakan ketelitian angka di belakang koma yang

dike-hendaki untuk variabel ke-i, untuk i= 1,2,..., N.

Misalkan li adalah panjang string biner yang akan ditentukan untuk variabel ke-i,

maka li yang optimal adalah bilangan bulat li terkecil yang memenuhi persamaan

berikut :

1+ (bi− ai) · 10ki≤ 2li.

untuk i= 1,2,..., N.

l=

N

X

i=1

li.

Selanjutnya, populasi awal dibangun dengan membangkitkan bilangan acak yaitu bilangan 1 dan 0 sebanyak ukuran populasi dikalikan dengan panjang string satu individu, yaitu N × l. Bilangan acak diperoleh dengan menggunakan fungsi pem-bangkit bilangan acak yang tersedia dalam perangkat lunak komputer.

4.3.2

Fungsi Fitness

Setelah terbentuk populasi awal yang berupa string biner dilanjutkan dengan menghi-tung nilai objektif, f (x) dengan merubah terlebih dahulu dari string biner ke real. Dalam algoritma genetika untuk mengukur tingkat adaptif suatu individu terhadap lingkungannya digunakan fungsi fitness. Fungsi fitness F (x) merupakan hasil trans-formasi dari fungsi objektifnya.

Karena permasalahan yang dihadapi adalah masalah meminimumkan suatu fungsi objektif f maka fungsi fitness F yang digunakan adalah:

F (x)= max( f (x1), f (x2),..., f (xN)) − f (xi).

4.3.3

Elitis

Elitis merupakan pemilihan individu terbaik dalam populasi pada suatu generasi un-tuk terus memasuki generasi berikutnya. Elitis bertujuan unun-tuk menjamin individu dengan nilai fitness tertinggi untuk tetap bertahan ke tahap lebih lanjut. Biasanya jumlah individu yang dipilih dalam elitis adalah dua individu.

max F (x) .

Dengan F (x)= max( f (x1), f (x2),..., f (xN)) − f (xi).

4.3.4

Reproduksi

Setelah populasi mengalami proses elitis, selanjutnya populasi akan mengalami re-produksi, yang merupakan pemilihan individu dalam populasi secara acak berdasarkan nilai fitness-nya. Semakin tinggi nilai fitness suatu individu berarti semakin besar peluangnya untuk terpilih memasuki tahap selanjutnya, bahkan memungkinkan su-atu individu terpilih lebih dari ssu-atu kali.

Reproduksi yang digunakan dalam Algoritma Genetika Sederhana adalah repro-duksi yang berdasarkan mekanisme roda rolet (roulette wheel). Semakin tinggi nilai fitness suatu individu, semakin besar proporsi areanya di roda rolet. Pemilihan in-dividu dilakukan dengan memutar roda rolet secara acak sebanyak ukuran populasi. Individu yang proporsi areanya ditunjuk oleh pin roda rolet berarti berhak mema-suki tahap selanjutnya. Oleh karena itu, individu yang memiliki proporsi area yang lebih besar memiliki peluang untuk terpilih yang lebih besar pula.

masing-nilai fitness-nya. Selanjutnya, ilustrasi roda rolet dapat digambarkan pada gam-bar(3.2).

Gambar 4.2: Roulette Wheel Langkah-langkah proses reproduksi:

1. Hitung total nilai fitness populasi

Ftotal= N

X

i=1

f (xi),i = 1,2,..., N

2. Hitung peluang seleksi setiap individu

Pi=

F (xi)

Ftotal,i = 1,2,..., N

3. Hitung peluang kumulatif setiap individu:

Qk= k

X

i=1

Pi,k = 1,2,..., N

sehingga r ≤ Qj, maka individu ke- j merupakan individu yang bertahan ke

tahap selanjutnya

5. Ulangi langkah 4 sampai diperoleh sebanyak N − e individu, e merupakan banyak individu dalam elitis.

4.3.5

Persilangan (Crossover)

Setelah populasi mengalami proses elitis dan reproduksi, selanjutnya di dalam pop-ulasi akan mengalami persilangan, yang merupakan pertukaran substring antara dua individu secara acak sehingga menghasilkan dua individu yang baru. Dalam proses

persilangan terdapat peluang persilangan (Pc) yang menentukan apakah di antara

dua individu yang dipilih secara acak tersebut akan mengalami persilangan atau tidak. Metode persilangan yang digunakan dalam thesis ini adalah one point cut, dimana dipilih suatu bilangan acak di antara 1 dan n − 1 sebagai posisi persilangan, dengan n adalah panjang string dari suatu individu.

Misalkan bilangan acak yang diperoleh adalah tiga maka persilangan terjadi pada posisi di antara bit ketiga dan bit keempat. Skema metode one point cut dapat digambarkan sebagai berikut.

Langkah-langkah persilangan:

1. Semua individu dalam populasi dipasangkan dua-dua sehingga terbentukjN₂k

pasangan ; jN₂k = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan

N

k = 0,1,..., ₂k =; jika rk c

gan ke-k mengalami persilangan jika tidak, pasangan ke-k tidak mengalami persilangan.

4.3.6

Mutasi

Mutasi adalah proses evolusi terakhir yang dialami oleh populasi setelah mengalami elitis, reproduksi, dan persilangan. Mutasi merupakan perubahan nilai bit individu secara acak dari 1 menjadi 0 dan dari 0 menjadi 1. Dalam proses mutasi juga

ter-dapat peluang mutasi (Pm) yang menentukan apakah suatu bit dari individu dalam

populasi mengalami mutasi atau tidak. Langkah-langkah mutasi:

1. Acak bilangan rk ∈ [0, 1], k= 0,1,...,R R merupakan banyak bit dalam

pop-ulasi, yakni ukuran populasi dikalikan dengan panjang satu individu

2. Jika rk< Pmmaka ubah nilai bit ke-k dari 0 menjadi 1 atau dari 1 menjadi 0

Jika tidak maka bit ke -k tidak mengalami mutasi

4.3.7

Uji Penghentian

Terdapat dua pengujian yang dilakukan untuk menentukan kriteria penghentian it-erasi, yakni : Uji kekonvergenan dan uji iterasi.

1. Uji Kekonvergenan

Iterasi akan dihentikan apabila populasi telah mengalami kestabilan. Suatu populasi dikatakan stabil apabila populasi tersebut memenuhi definisi

kesta-bilan populasi sebagai berikut. Definisi Populasi Stabil(Offersman 1995): Misalkan P suatu populasi yang terdiri dari n individu. l banyaknya gen dari suatu individu. Ai= Ai(1), Ai(2), . . . , Ai(l) kromosom untuk individu ke-i pada

P. Gen Ai dikatakan stabil jika dan hanya jika terdapat lebih dari 90%

indi-vidu dalam populasi dengan Ai(p)= c;c = 1,2,...,n c bernilai 0 atau 1 untuk

suatu p (p= 1,2,...,l). Permutasi dikatakan stabil apabila semua gen dalam

P tersebut stabil.

Pada praktiknya, kriteria ini sulit untuk dicapai, terutama bila panjang string yang digunakan cukup besar.

2. Uji Iterasi

Selain kriteria kekonvergenan di atas, suatu iterasi akan mengalami penghen-tian apabila telah mencapai iterasi maksimum yang telah ditentukan sebelum-nya.

4.3.8

Fungsi Penalti

Permasalahan alokasi gas injeksi untuk mendapatkan total produksi maksimum merupakan permasalahan optimisasi dengan kendala. Algoritma genetika akan menyelesaikan permasalahan optimisasi tersebut dengan mengubahnya menjadi fungsi tanpa kendala atau dengan kendala yang sederhana (domain constraints). Kendala ditambahkan pada fungsi objektif melalui parameter penalti apabila terjadi pelang-garan terhadap kendala.

Secara umum, fungsi penalti yang tepat harus memberikan penalti positif untuk titik infeasible dan meniadakan penalti untuk titik feasible. Apabila diberikan suatu masalah optimasi yang disertai kendala seperti berikut:

j = 0, untuk i = 1,2...,n.

Maka fungsi penalti P yang sesuai untuk masalah tersebut adalah:

P (X)= m X i=1 φgi(X)+ l X i=1 ϕ[hi(X)]

dengan φ dan ϕ fungsi kontinu yang memenuhi:

φ(y) = 0 jika y ≤ 0 dan φ(y) ≥ 0 jika y > 0. ϕ(y) = 0 jika y = 0 dan ϕ(y) > 0 jika y , 0.

Bentuk fungsi yang memenuhi persamaan diatas:

φ(y) = max(0,y)q

dan ϕ(y)= |y|q

q merupakan bilangan bulat positif. Oleh karena itu, fungsi penalti P biasanya

berbentuk: P (X)= m X i=1 max (0, gi(x))q+ n X i=1 |hi(x)|q

4.4

Penerapan algoritma genetika dalam masalah

op-timasi alokasi gas injeksi dalam sumur dual gas

lift

Prosedur metode algoritma genetik dalam mencari solusi optimum dalam daerah kestabilan bagi permasalahan dual gas lift:

2. Menentukan banyaknya individu dalam sebuah generasi. 3. Menentukan peluang persilangan (cross over).

4. Menentukan peluang mutasi.

5. Menentukan ketelitian yang diinginkan.

6. Dalam kasus optimasi pada sumur dual gas lift ini dibutuhkan 2 (dua) buah kromosom yang berada pada sebuah populasi. Dimana dua buah kromosom

tersebut mewakili qgss,qgls. Daerah pencarian dibatasi pada daerah kestabilan

produksi masing-masing string.

7. Menghitung nilai qL untuk masing-masing tubing dengan metode Shooting

dan Runge-Kutta orde 4 dimana nilai qg diperoleh dari variabel acak pada

nomor 6.

8. Melakukan proses evolusi yaitu menghitung nilai kendala, nilai fungsi objek-tif dan nilai fungsi fitness.

9. Melakukan proses seleksi (elitis dan reproduksi) dan proses evolusi (mutasi dan cross over).

10. Memeriksa kriteria pemberhentian, bila belum terpenuhi kembali ke nomor 7.

Diagram alir penyelesaian optimasi alokasi gas injeksi diilustrasikan pada Gam-bar (4.3). Sedangkan diagram alir mengenai proses optimasi dengan menggunakan algoritma genetika diilustrasikan pada gambar (4.4).

Gambar 4.3: Diagram alir tesis