KOMBINASI DUA DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN PARAMETER CAMPURAN TUGAS AKHIR FIVI SRI NINGSIH

(1)

KOMBINASI DUA DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN PARAMETER CAMPURAN

TUGAS AKHIR

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Teknik Pada

Jurusan Matematika

Oleh:

FIVI SRI NINGSIH 106 5400 4473

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGRI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU

2010

brought to you by CORE View metadata, citation and similar papers at core.ac.uk

provided by Analisis Harga Pokok Produksi Rumah Pada

(2)

KOMBINASI DUA DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN PARAMETER CAMPURAN

FIVI SRI NINGSIH 10654004473

Tanggal Sidang : 28 Juni 2010 Priode Wisuda : Oktober 2010

Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jl. Soebrantas No. 155 Pekanbaru

ABSTRAK

Penelitian ini akan membahas tentang kombinasi dua distribusi Weibull dengan menggunakan parameter campuran. Dua distribusi Weibull itu adalah distribusi Weibull dua parameter dan tiga parameter dengan parameter campuran adalah w , selanjutnya akan dicari nilai masing-masing parameter dengan menggunakan estimasi maksimum likelihood. Hasil kombinasi memiliki bentuk densitas peluang sebagai berikut:

) (x

f =

( ) ( )

2 ²

2 1 2

1 1

1

. 1

.

2 1 2

1 1 1

α α

β α

β α α

α

β γ α

α β ⁻ ⁻^^^ ^^^ ⁻ _^ ⁻^^^ ^^^









 −

−

 +







 ^x ^x

x e w x e

w

pada penelitian ini juga diaplikasikan ke dalam lifetimes of electronic components dengan mengambil nilai w=0.4 dan γ =1 sampai iterasi kedua. Sehingga diperoleh nilai masing-masing parameter sebagai berikut:

95 . 0 , 799 . 0 , 125 . 0 ,

411 . 2 ,

057 . 0 ,

120 .

0 ₁² ₂² ₂²

2

1 = β =− α = β = γ = w=

α

Kata kunci: Distribusi Weibull, Estimasi Maksimum Likelihood, Newton Rapson, Nilai awal.

(3)

COMBINING TWO WEIBULL DISTRIBUTIONS USING A MIXING PARAMETER

FIVI SRI NINGSIH 10654004473

Date of Final Exam : June, 28^th 2010 Graduation Cremony Priod: October, 2010

Matematich Engineering Departement Faculty of Sciences and Technology

State Islamic University of Sultan Syarif Kasim Riau Soebrantas Street No. 155 Pekanbaru

ABSRACT

This thesis will discuss about the combination of two Weibull distributions using a mixing parameter. The two Weibull distributions are two and three parameters by mixed parameters w . Next will search for each parameter using estimation maximum likelihood. The result combination has foam of density:

) (x

f =

( ) ( )

2 ²

2 1 2

1 1

1

. 1

.

2 1 2

1 1 1

α α

β α

β α α

α

β γ α

α β ⁻ ⁻^^^ ^^^ ⁻ _^ ⁻^^^ ^^^









 −

−

 +











 ^x ^x

x e w x e

w

the research has aplications in to lifetimes of electronic components by got score 4

.

=0

w and γ =1 until second interation. Than could get value for each parameters are:

α₁² =0.120,β₁² =−0.057,α₂² =2.411,β₂² =0.125,γ =0.799,w=0.95

Keyword: Weibull Distribution, Estimations Maksimum Likelihood, Newton Raphson, First Score.

(4)

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR PERSETUJUAN... ii

LEMBAR PENGESAHAN ... iii

LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL ... iv

LEMBAR PERNYATAAN ... v

LEMBAR PERSEMBAHAN ... vi

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... viii

KATA PENGANTAR ... ix

DAFTAR ISI ... xi

DAFTAR LAMBANG ... xii

DAFTAR TABEL ... xiii

DAFTAR LAMPIRAN ... xiv BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ... I-1 1.2 Rumusan Masalah...I-2 1.3 Batasan Masalah... I-2 1.4 Tujuan ... I-2 1.5 Manfaat ... I-2 1.6 Sistematika Penulisan ... I-2 BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Variabel Acak Kontinu dan Ekspektasi Acak Kontinu ... II-1 2.2 Distribusi Weibull ... II-1 2.3 Parameter Campuran(w ... II-13 ) 2.4 Distribusi Weibull Campuran ... II-14 2.5 Estimasi Maximum Likelihood ... II-14

(5)

BAB III METODOLOGI PENELITIAN BAB IV PEMBAHASAN

4.1 Distribusi Weibull Campuran ... IV-1 4.2 Nilai Awal Parameter Campuran ...

4.3 Aplikasi ... IV-42 BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan ... V-1 5.2 Saran ... V-1 DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

(6)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Seiring dengan perkembangan ilmu matematika, para ilmuan terus mengembangkan teori-teori yang telah ada seperti konsep distribusi, distribusi diskrit dan distribusi kontinu. Distribusi kontinu meliputi distribusi eksponensial, distribusi normal, distribusi Weibull dan lain-lain.

Distribusi Weibull pertama kali diperkenalkan oleh ahli Fisika dari Swedia Waloddy Weibull pada tahun 1939. Dalam aplikasinya, distribusi ini sering digunakan untuk memodelkan waktu sampai kegagalan (time to failure) dari suatu sistem fisika. Adapun distribusi Weibull dua parameter memiliki parameter

α

^(shape parameter), β (scale parameter) yang memiliki bentuk umum sebagai berikut:

βα

α

βα

β α

α^, ⁾ ¹ ⁽ ⁾ :

(

x

e x x

f = ⁻ ⁻

distribusi Weibull tiga parameter memiliki α^,β_dan γ (location parameter), distribusi weibull ini memiliki bentuk umum sebagai berikut:

^α

α

γ β α

α

β γ γ α

β

α

^, ^, ⁾ ⁽ ⁾ ¹ ⁽ ⁾ :

(

− −

= x e ^x

x

f

Berdasarkan jurnal “Combining Two Weibull Distribution Using a Mixing Parameter” oleh Ahmad Mahir Razali dan Ali Salih (2009) yang membahas tentang dua buah distribusi Weibull yang dikombinasikan dengan menggunakan parameter campuran, masing-masing parameter campuran itu adala w dan (1−w) yang mana

=1

∑

wi . Hasil kombinasi ini disebut dengan distribusi Weibull campuran. Estimasi parameter distribusi Weibull campuran ini menggunakan estimasi maksimum likelihood untuk menentukan nilai awal dari suatu parameter. Berdasarkan uraian di atas penulis tertarik untuk mengajukan judul “Kombinasi Dua Distribusi Weibull dengan Menggunakan Parameter Campuran”.

(7)

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang, maka permasalahan yang akan dibahas adalah bagaimana mengkombinasikan dua distribusi Weibull dengan menggunakan parameter campuran.

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah pada proposal tugas akhir ini adalah mengkombinasi dua distribusi Weibull menggunakan parameter campuran, selanjutnya akan diaplikasikan dengan menggunakan data lifetime of electronic components.

1.4 Tujuan

Tujuan yang ingin dicapai adalah mengkombinasikan dua distribusi Weibull menggunakan parameter campuran sehingga menghasilkan Weibull campuran, selanjutnya akan dicari nilai masing-masing parameter campuran menggunakan estimasi maksimum likelihood.

1.5 Manfaat

Distribusi Weibull campuran sering diaplikasikan dalam memodelkan “waktu sampai kegagalan (time to failure)” dari suatu sistem Fisika. Misalnya, pada sistem dimana jumlah kegagalan meningkat dengan berjalannya waktu (contoh alat elektronik).

1.6 Sistematika Penulisan

Adapun sistematika penulisan tugas akhir ini terdiri dari beberapa bab, yang memberikan gambaran secara menyeluruh, yaitu:

BAB I PENDAHULUAN

Bab ini berisikan tentang deskripsi umum isi tugas akhir yang meliputi latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penyusunan dan sistematika penulisan.

BAB II LANDASAN TEORI

Bab ini berisikan mengenai penjelasan dasar teori yang mendukung dalam penyelesaian tugas akhir.

(8)

BAB III METODOLOGI

Bab ini memuat uraian tentang distribusi Weibull dua parameter dan tiga parameter serta karakteristiknya. Kemudian dilanjutkan dengan mengkombinasikan kedua distribusi menggunakan parameter campuran.

BAB IV ISI

Bab ini berisikan penjabaran kombinasi dua distribusi Weibull menggunakan parameter campuran. Selanjutnya menggunakan metode maximum likelihood untuk menentukan nilai awal distribusi Weibull campuran.

BAB V PENUTUP

Bab ini berisikan kesimpulan dari tugas akhir dan saran-saran penulis kepada pembaca agar distribusi Weibull ini dapat dikembangkan lagi.

(9)

BAB II

LANDASAN TEORI

Secara umum dalam statistika dikenal dua macam distribusi peluang yaitu distribusi peluang dengan variabel acak diskrit dan distribusi peluang variable acak kontinu. Distribusi peluang variabel acak diskrit dapat kita asumsikan hanya terbatas atau tak terbatas dapat dihitung dengan jumlah yang jelas, sedangkan distribusi peluang untuk variabel kontinu tidak memiliki nilai yang pasti.

2.1 Variabel Acak Kontinu dan Ekspektasi Acak Kontinu.

Variabel acak yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah variabel acak kontinu yang dinotasikan dengan x. Bila x adalah suatu fungsi yang memasangkan setiap elemen t dalam ruang sampel S tepat kepada satu bilangan riil, maka

) (t

x disebut variabel acak.

Fungsi densitas peluang variabel acak kontinu dengan ruang yaitu interval atau gabungan interval adalah fungsi f(x) yang diintegralkan yang memenuhi kondisi :

1. f(x)>0 2.

∫

^∞

∞

−

=1 ) (x dx f

Definisi 2.1 (Dennis dkk, 2002) Misalkan x adalah variabel acak yang mempunyai fungsi densitas f(x), maka ekspektasi dari x yang dinotasikan dengan E( X) didefenisikan :

∫

∞

−

= x f x dx X

E( ) . ( ) (2.1) )

( X

E disebut juga sebagai nilai rata-rata dari x. Sedangkan variasi dari x dapat ditentukan berdasarkan perumusan secara ekspektasi, yaitu :

2

2) ( ( ))

( )

(X E X E X

Var = − (2.2)

2.2 Distribusi Weibull

Distribusi Weibull sering diaplikasikan untuk memodelkan “waktu sampai kegagalan (time to failure)” dari suatu sistem Fisika. Misalnya, yaitu pada sistem yang mana jumlah kegagalan meningkat dengan berjalannya waktu (misalnya alat elektronik).

(10)

Definisi 2.2 (William dkk, 1990) Suatu variabel acak kontinu X dikatakan berdistribusi Weibull dengan parameter bentuk

α

dan faktor skala β^{, dimana}α >⁰ dan β >0, maka fungsi densitas dari X adalah :







= ^≥

− − 0

0

) 1 (

) ,

; (

x e

x

lain yang untuk

x

x f

βα β α

β α

β

α (2.3)

sedangkan distribusi Weibull tiga parameter memiliki bentuk umum fungsi densitas sebagai berikut:







= ⁻ ^≥

− −

− γ

β γ

α α ^γ _β^α

β β

α ^x ^e ^x

lain yang untuk

x

x f

) ) ((

) 1

(

0

) ,

;

( (2.4)

Definisi 2.3 (Harinaldi, 2005) Fungsi distribusi komulatif variabel X dinotasikan sebagai F dan didefinisikan sebagai _x F_x(x)= p(X ≤x) untuk seluruh x yang riil.

Jika X adalah kontinu, maka:

∫

∞

−

=

x

x x f t dt

F ( ) ( ) (2.5)

Definisi 2.4 (Lee dkk, 2003) Misal T adalah waktu survival, dari distribusi T dapat ditentukan fungsi survival (surving function), yang dinotasikan oleh s(t). Fungsi survival atau fungsi selamat dapat didefenisikan sebagai peluang kesuksesan lebih lama dari t, sehingga dapat ditulis :

) ( 1 )

(t F t

s = − (2.6)

Definisi 2.5 (Lee dkk, 2003) Fungsi bahaya atau dinotasikan dengan h(t) dengan waktu survival T yang memberikan nilai kegagalan bersyarat, estimasi fungsi berbahaya diberikan oleh:

) (t h =

) ( 1

) (

t F

t f

− (2.7) dengan f(t) = fungsi densitas peluang

F(t) = fungsi distribusi kumulatif

Fungsi Hazard (bahaya) kemungkinan bisa menaik, tetap konstan, menurun atau menunjukkan proses yang lebih kompleks.

(11)

Definisi 2.6 (Dennis dkk, 2002) Variabel acak X dikatakan memiliki distribusi gamma dengan parameter α >0^danβ >⁰ jika dan hanya jika fungsi densitas dari

Y adalah:







= ^Γ ^≤ ^<^∞

− −

e x x

lainnya untuk

x

x f

0 )

(

0

1

)

( ^β^α ^α

α β

(2.8)

dengan:

∫

∞

−

= −

Γ

0

) 1

(

α

x^α e ^x dx (2.9) Kuantitas Γ(α)dikenal dengan fungsi gamma. Integral secara langsung akan menghasilkan Γ(1)=1. Dan secara terus-menerus integral akan menghasilkan bahwa

) 1 ( ) 1 (

)

( = − Γ −

Γ α α α untuk α >1, dan juga Γ(n)=(n−1)! yang dihasilkan jika n adalah bilangan bulat. Pembuktian persamaan (2.8) dapat ditunjukkan sebagai berikut:

[ ]

( )

) 10 . 2 ( )

1 ( ) 1 (

1

) 1 ( )

(

0 2

0

2 0

1 0

1

− Γ

−

=

−

=

− +

−

=

= Γ

∫

∞ − −

− ∞

−

∞ − −

α α

α

α α

α

α α

α

dx e x

dx e x e

x

dx e x

x

x x

x

Fungsi densitas peluang gamma dapat memenuhi sifat distribusi peluang kontinu, dengan pembuktian persamaan sebagai berikut:

∫ ∫

∞

−

∞ −

−

= Γx e dx dx

x f

x

0 1

) ) (

( _α

β α

misalkan:

dy dx

y x y x

β β β

=

(12)

maka:

) 1 (

) ( )

( 1

) (

0 1 0

1

Γ =

= Γ

∫

∞ − −

α α α

β β α β

α α α

dy e y

e dy y

y y

Akan ditunjukkan apakah fungsi densitas pada persamaan (2.3) dan (2.4) memenuhi sifat distribusi kontinu, yaitu:

∫

∞

−

=1 ) (x dx f

maka akan ditunjukkan fungsi densitas pada persamaan (2.3) memenuhi sifat distribusi kontinu di atas, sebagai berikut:

∫

∞ − −

∞

−

=

0

) 1 (

1

1 1

1 ) (

1 1 1

1 x e dx

dx x f

x ^α

β α

β

α

misalkan:

dx x du

x dx du

u x

=



 







 



= 

=

−

1 1 1 1

1

1 1 1 1

1 1

) 1

(

α α α

α β β

β β α β

maka:

1 1

1 ) ( 0

1 1

1

0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1

1

=

−

=

−

=



 





∞

−

∞ −

−

∫

e e

du e

x du e

x

u u

u α α

α

β

α β β

α

(13)

Selanjutnya akan ditunjukkan rata-rata distribusi Weibull dua parameter pada persamaan (2.3) berdasarkan persamaan (2.1), sebagai berikut:

∫

∞

−

= x f x dx X

E( ) . ( )

∫

∞ −

∞ − −

∞

−

=

0

) (

1 1 0

) 1 (

1 1

1 1 1 1

. ) ( .

dx e

x

dx e

x x

dx x f x

x x

α α

β α α

β α

misalkan:

dz z dx

x z

1 1 1 1

1

1 1

1 ⁻

=

α α

α β θ

maka:

∫

∞ + + −

∞

+ +

−

∞ −

∞ − −

+ Γ

+

= Γ

+ Γ

+

= Γ

=

0

1 1 1

) 1 ( 1

1 1 0

1 1 1

) 1 ( 0

1 1

1 ) 1 (

) 1 1 ( )

1 1 (

) 1 1 (

) 1 1 1 (

1 ) 1 (

1

1 1

1

z dz e

dz z

e

dz z e

z X

E

z z

θ α θ

θ α

θ α θ α θ

θ θ α α

α θ α α

α α θ α

θ α θ α

dengan:

1 ) 1 1 (

0

1 1 1

) 1 (

1

1 =

+

∫

Γ

∞ +

−

z dz e ^z

θ

^α

α

θ α

(14)

sehingga:

θ θ α

α α

) 1 1 (

1 . ) 1 1 ( )

(

1 1 1

1 1

+

= Γ

+

= Γ

+ +

X E

dengan θ =β₁^α¹ maka:

) 11 . 2 ( )

1 1 (

) 1 1 ( )

(

1 1

1 1 1

1

+ Γ

=

+

= Γ

+

β α

θ θ ^α α X

E

jadi diperoleh rata-rata distribusi Weibull dua parameter sebagai berikut:

) 1 1 ( )

(

1

1Γ +

=β α X

E

Selanjutnya, variansi distribusi Weibull dapat diperoleh dari persamaan (2.2), yaitu:

2

2) ( ( ))

( )

(X E X E X

V = −

Terlebih dahulu akan ditunjukkan:

∫

∞ + −

∞ − −

∞

−

=

0

1

1 1 0

) (

1 1 2 1

2 2

1 1 1

1

1 1 1

1

. ) ( )

(

dx x e

x

dx x f x X

E

x x

α α

α

α β α

β α

α

β α

misalkan:

dz z dx

x z

1 1

1

1 1

1 ⁻

=

α α

α

β

θ

(15)

sehingga:

∫

∞

+

− +

∞ −

∞ − −

+ Γ

+

= Γ

=

0

1 1 2 1

2 1 2

0 2 0

1 1 1

2

) 2 1 (

) 2 1 ( .1 .

) (

1 1 1

1

dz z e

dz z z e

z X

E

z z

z

α α θ

θ θ

θ θ α α

α α θ α

θ α

α α θ

θ θ α

θ α θ

θ α

α

α α θ α

) 2 1 (

) 2 1 ( )

2 1 ( )

(

1 2 1

0

1 2 1

2 1

2 1 2

1

1 1 1

+

= Γ

+ Γ

+

= Γ

+

∞ + + −

∫

^z ^e ^dz

X E

z

yang mana θ =β₁^α¹, sehingga:

) 2 1 ( )

(

1 2

1

2 =β Γ α +

x

E (2.12)

Berdasarkan persamaan (2.11) dan (2.12), maka diperoleh variansi distribusi Weibull dengan menggunakan persamaan (2.2), yang akan ditunjukkan sebagai berikut:

) 13 . 2 ( ))

1 1 ( ( ) 2 1 ( (

)) 1 1

( ((

) 2 1 (

)) ( ((

) ( ) (

2 1 1

2 1

2 1 1

1 2

1

2 2

+ Γ

− + Γ

=

+ Γ

− + Γ

=

−

=

α β α

β α β α

X E X

E X V

jadi diperoleh ²

1 1

2

1 ( (2 1) ( ( 1 1))

)

(^X =

β

Γ

α

+ − Γ

α

+

V

Selanjutnya akan ditunjukkan fungsi kumulatif dari persamaan (2.3) dengan menggunakan persamaan (2.5), sebagai berikut:

) (x

F = ^x x e ^x dx

∫

⁻ ⁻

0

) (

1 1 1

1 α

β α

α

β

α

(16)

misalkan:

u=

1

1 α

β

^





 x

du= x dx

1 1

. 1

1

β α β

α−









du= x ¹dx

1 1 1

1−







 ^α

β β

α

s

dx x  du=



 



 ₁ ⁻¹

1 1

α1

β α

β

sehingga :

∫

−

− 



 



= 

x

u du

e x x t

F

0

1 1 1 1 1

1 1

1 . . .

) (

α α

α

β α

β β

α

e du

x

∫

⁻u

=

0

=−e⁻^u ₀^x

1

1 α

β ^

 



−

−

= e ^x ^x₀











−

−

= ⁻^^^ ^^^ ⁻^^^ ^^^

1

1 1

1

0 ^α

α

β

β e

e

x

1

1 +

−

= ⁻^^^ ^^^

α xβ

e

1

1 1

) (

α

β ^

 



−

−

= e ^x t

F (2.14)

Selanjutnya fungsi survival diperoleh dari persamaan (2.6), yaitu:

) (t

s = 1−F(t)

= 









 −

− ⁻^^^ ^^^

1

1 1

1

α xβ

e

=

1 1

α β^

 



−x

e (2.15)

(17)

fungsi Hazard diperoleh dari persamaan (2.7), yaitu:

) (t h =

) ( 1

) (

t F

t f

−

= ₁

1 1 1 1

1

) (

1 1 1

α α

β β α

α

β α

x x

e x e

−

− −

=

1 1

1 1 1

α α

β α x ⁻

▄

(2.16)

Distribusi Weibull tiga parameter memiliki parameter

α

₂ (shape parameter), β2 (scale parameter), γ (location parameter). Distribusi ini memiliki fungsi densitas peluang seperti pada persamaan (2.4), maka akan ditunjukkan bahwa :

∫

∞

−

=1 ) (x dx

f Bukti:

∫

∞ − − −

∞

−

− =

=

γ

γ β α

α α

α

β γ

α

( ) 1

1 ) (

2 2 2

2

2 ( )

2 1

2 x e dx

dx x f

x

misalkan:

dx x du

x dx du

u x

=



 



 −

 ⇒



 



 −

=



 



 −

=

−

− 1

2 2 2 1

2 2 2

2

2 2

2

) ( )

( ) (

α α

α

β γ α β β

β γ α

γ β

maka:

1 ) ( 0

1 1

1

) 1 ( )

(

0 ) (

1 2

2 2

2 1 2

22 2

2

2 2

=

−

=

−

=

−

=



 



 −

−

− ∞

−

∞

−

∞ −

− −

∫

e e

e du e

x du x e

x u u

u

β γ γ γ γ γ

α α

α

α α

β γ α β β

γ α

1=1

(18)

Fungsi komulatif dari persamaan (2.4) dengan menggunakan persamaan (2.5), ditunjukkan sebagai berikut:

∫

⁻ ⁻ ⁻ ⁻

=

x x

dx x e

x F

γ

γ β α

α ^α _α

β γ

α

² ₂²

2

2 ( )

2 1

2( )

) (

misalkan:

2

)

( ^α

β γ







 −

= x u

dx x du

x dx du

 =



 





−







 −

=

−

1 2

2 2

2 1

2 2

) (

1 )

(

α α

γ β α

β

β β

α γ

maka:

) 17 . 2 ( 1

) 1 (

)) (( )

) ( (

2 2 2

22 2

2 2

) (

2 1 2 2

2 1 2

α α

γ β γ β

β γ γ

γ γ

γ

α α

α

γ β α

β β

γ α

− −

−

− −

−

=

−

=

−

=

−

=

−

= −

∫

x x

x u x

u x

u

e e e e

du e

x du x e

x F

Selanjutnya fungsi survival dari persamaan (2.4) dapat diperoleh dari persamaan (2.6) sebagai berikut:

) 18 . 2 ( )

1 ( 1

) ( 1 ) (

22 2

2 2 2

) (

α α

γ β

− −

=

−

=

−

=

x

e

e t F t

s

(19)

Fungsi Hazard dari persamaan (2.4) diperoleh dari persamaan (2.7), yaitu:

) 1

( 1

) (

) ( 1

) ) (

(

22 2

2 2

) (

2 1 2

α α

γ β γ β α

α

β γ α

− −

−

=

= −

x x

e x e

t F

t t f

h

22 2

2 2 2

2 2

) (

2 1

2( )

α α

γ β

γ β α

α

β γ α

− −

= x

x

e x e

2 2

2 1

2( )

α α

β γ

α

− ⁻

= x

(2.19) Selanjutnya, variansi distribusi Weibull tiga parameter diperoleh dari

persamaan (2.2), yaitu:

V(X) = E(X²)−(E(X))²

berdasarkan persamaan (2.2) maka, terlebih dahulu akan ditunjukkan rata-rata atau )

( X

E , sebagai berikut:

_x ^x _e _dx

dx x f x X

E

x

∫

∞ − − −

∞

−

= −

=

0

) (

2 1

2 2 ²

2

) 2

. ( ) ( . ) (

α α

γ β α

α

β γ α

misalkan:

dz z

dx

x z

1 1 2 1

1

2 2

2

2 2

1 ) (

) (

= −

= +

−

=

−

=

α α

α

α α

α γ

γ γ β θ

maka:

∫

∞ − −

−

+

=

0

1 1 2 1

2 1

2 2

2 . . 1

) (

)

( zz e z dz

z X

E ^z^θ ^α

α α

θ α γ α

∫

^∞ ⁻ ⁻

−

+

=

0

1 1

2 1

2 2

2 . . 1

)

( zz e z dz

z ^z^θ ^α

α α

θ α

γ α

(20)

∫

∫ ∫

∫

∞ − ∞

+ + −

∞ − ∞

+ +

−

∞ ∞

−

∞ − −

∞ −

− + Γ

+

= Γ

+ + Γ

+

= Γ

+

=

+

=

+

=

0

2 1 1

1 2

1 1 0

0 2

2 1 1

1 1 1

0 0

1 0

1

) 1 1 ( ) .

1 1 (

) 1 1 (

) 1 1 ( 1 .

1 .

1 ) ( 1

)1 (

) (

2 2 2

θ α

α θ α

θ α

α α θ

θ α θ

α θ

θ γθ θ α

θ θ α

θ γθ α

α θ

θ θ

θ γ θ

γ θ θ

γ θ

z z

z

e e dz

z

e dz e

z

dz e dz

e z

dz e e

z

dz e z

X E

dengan:

∫

∞ +

−

= + Γ

0

2 1 1

1

1 ) 1 1 (

.

2 2

e dz

z ^z

θ

^α

α

α θ

maka:

θ γ θ α

γ θ γ

θ α

α α

+ +

= Γ

− + −

= Γ

+ +

) 1 1 (

)) 1 . ( ) 0 . ((

1 . ) 1 1 ( )

(

2 1 1

2 2

X E

dengan θ=β₂^α², maka:

( )=β Γ(1α +1)+γ

2

X 2

E (2.20) selanjutnya akan ditunjukkan seperti dibawah ini:

∫

∞ − − −

∞

−

= −

=

0

) (

2 1 2 2

2 2

22 2

2

) 2

. ( ) ( . )

(

dx x e

x

dx x f x X

E

x α

α

γ β α

α

β γ α

(21)

misalkan:

dz z

dx

x z

1 1 2 1

1

2 2

2

2 2

1 ) (

) (

= −

= +

−

=

−

=

α α

α

α α

α γ

γ γ β θ

sehingga:

∫ ∫ ∫

∫

∞ − ∞ − ∞ −

∞ −

− −

+ +

=

+

=

+

=

0 0

2

0 1 2

1 1

0 2

1 2 2

2 1

. 2

(

. . ) (

. 1 . .

) (

2 2

2

2 2

e dz e dz

z e dz

z

e dz z

dz z

z e z z

X E

z z

z

γ θ γ θ

θ γ θ

θ α γ α

θ α θ

α θ α θ

θ α α α

selanjutnya bentuk ke dalam fungsi densitas peluang Gamma, maka:

∫

∫ ∫

∞

+ + −

− ∞

∞

+

∞ − +

+

− +

+ + Γ +

= Γ

−

+ Γ

+ + Γ

+ Γ

+

= Γ

0

2 1 2 2 1

0 2

0

1 1 1 1

0 1 2 1

2 1 2 2

) 2 1 ( )

2 1 (

) 1 1 (

) 1 1 ( 2

) 2 1 (

) 2 1 ( (

) (

e dz z

e

e dz z e dz

z X

E

z z

θ α θ α

θ θ

θ

γ θ α

θ α γ θ

θ α θ α θ

α α θ α

θ

α θ α α α

θ α α

( .0 ( .1))

) 1 1 ( )

1 1

2 ( 2 2

0

2 1 1

1

2 1 1

2 2

2

γ γ

θ α θ α

θ γ

α α θ

α − −

+ + Γ

Γ

∫

^∞ ₊ ⁻

+ e dz

z

2 2

1 1 2

2 1

2 2

1 1 2

2 1

) 1 1 2 (

) 2 1

(

1 ).

1 1 2 (

1 . ) 2 1

(

2 2

α γ θ θ

γ θ

θ α

α γ θ γ θ

θ θ α

α α

+ + Γ

+ +

= Γ

+ + Γ

+ +

= Γ

+ +

dengan θ=β₂^α², maka:

) 21 . 2 ( )

1 1 ( 2 ) 2 1

(

) 1 1 2 (

) 2 1

( )

(

2 2

1 1 2

2 1

2 ₂

2

α γ α γβ

β

α γ θ θ

γ θ

θ α

α α

+ + Γ

=

+ + Γ

+ +

= Γ ⁺

+

X E

(22)

Berdasarkan persamaan (2.20) dan (2.21) dengan menggunakan persamaan (2.2), maka diperoleh variasi distribusi Weibull tiga parameter yaitu:

V(X)=E(X²)−(E(X))²

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

) 1 1 ( 2 )) 1 1

( ( (

) 1 1 ( 2 ) 2 1

(

)) ) 1 1 ( ( )

1 1 ( 2 ) 2 1

(

α γ α γβ

β

α γ α γβ

β

α γ β

α γ α γβ

β

+ + Γ

−

+ + Γ

=

+ + Γ

− + + Γ

+ + Γ

=

( (2 1) ( ( 1 1))²)

2 2

2

2 Γ + − Γ +

=

β α α

▄ (2.22)

2.3 Parameter Campuran (w)

Parameter campuran w, sebagai proporsi pada sebuah kombinasi distribusi, dengan nilai 0<w_i <1 dan

∑

^wi ⁼1, ⁱ ⁼1,2,3,...,ⁿ Kabir (1968) secara umum memberikan asumsi metode campuran dari :

∑

=

= ⁿ

i i

wi

x f

1

)

( γ (2.23) yang mana wi ≥0,

∑

wi =1, parameter distribusi Weibull selanjutnya ditetapkan persamaan :

∑

= n

i

j i i

Ai 1

) (µ

λ

yang mana A konstanta tidak nol, dengan fungsi _i µ_i^danλi adalah fungsi monoton.

2.4 Distribusi Weibull Campuran

Distribusi campuran adalah distribusi yang dibentuk dari kombinasi dua atau lebih komponen distribusi. Model Weibull campuran dapat ditunjukkan dengan:

) ( ) 1 ( ) ( )

(x wF₁ x w F₂ x

F = + − (2.24)

dengan F₁(x), F₂(x)diberikan oleh persamaan (2.14) dan (2.17), dimana model yang akan terbentuk merupakan karakteristrik parameter lima. Fungsi peluang densitas dan fungsi Hazard diberikan oleh:

) 25 . 2 ( )

( ) 1 ( ) ( )

(x wf₁ x w f₂ x

f = + −

(23)

dan,

) 26 . 2 ( )

) ( ( ) 1 ( ) (

) ( ) 1 ) (

) ( ( ) 1 ( ) (

) ) (

( ₂

2 1

1 h t

t S w t

wS

t S t w

t h S w t

wS

t t wS

h + −

+ −

−

= + dengan,

=1

∑

wi

dengan w adalah parameter campuran dengan peluang pada komponen distribusi _i campuran. Fungsi f₁(x)dan f₂(x)adalah fungsi densitas peluang pada komponen distribusi Weibull dua parameter dan tiga parameter.

2.5 Estimasi Maximum Likelihood

Jiang dan Kececioglu (1992) menunjukkan algoritma untuk mengestimasi parameter pada Weibull campuran menggunakan maksimum likelihood dalam menentukan nilai awal suatu parameter.

Metode maksimum likelihood adalah metode yang paling baik digunakan untuk memperoleh sebuah estimator beberapa parameter yang tidak diketahui.

Misalkan y₁,y₂,...,y_n adalah sampel variabel random kontinu y₁,y₂,..,y_ndan likelihood L akan ditunjukkan dengan L y₁,y₂,...,y_n fungsi nyata pada y₁,y₂,..,y_n. Fungsi likelihood ditunjukkan dengan :

) ( )...

( ).

(x₁ f x₂ f x_n f

L= atau L = ( )

1

xi f

n

Π

i₌

Dengan memaksimumkan fungsi selanjutnya akan digunakan pendekatan numerik yaitu Newton Raphson. Metode ini menggunakan iterasi numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinier dalam menentukan akar-akar persamaan. Misalkan nilai x₁,x₂,...x_n yang ditunjukkan sebagai berikut:

0 ) ....

( ₁

1 x xn =

f

0 ) ....

( ₁

2 x xn =

f

M 0 ) ....

( ₁ _n =

n x x

f

misalkan a turunan parsial dari fungsi _ij f terhadap _i x sehingga _j

j i

ij x

a =∂f ∂ . Dapat

ditunjukkan dengan matrik jacobian seperti dibawah ini: