MODEL TRANSMISI DINAMIS DEMAM BERDARAH

MODEL TRANSMISI DINAMIS DEMAM BERDARAH

TESIS

Oleh

DEBORA EXAUDI SIRAIT 157021029/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2017

MODEL TRANSMISI DINAMIS DEMAM BERDARAH

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

DEBORA EXAUDI SIRAIT 157021029/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2017

Telah diuji pada

Tanggal : 23 Mei 2017

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si

Anggota : 1. Prof. Dr. Marwan Ramli, M.Si 2. Dr. Mardiningsih, M.Si

3. Dr. Sutarman, M.Sc

PERNYATAAN

MODEL TRANSMISI DINAMIS DEMAM BERDARAH

TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali be- berapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya

Medan, 23 Mei 2017 Penulis,

Debora Exaudi Sirait

ABSTRAK

Demam berdarah merupakan penyakit endemik yang ditularkan melalui vektor nyamuk Aedes aegypti. Penyakit ini terdapat di lebih dari 100 negara di Amerika, Afrika, maupun Asia, khususnya negara-negara yang beriklim tropis. Persamaan diferensial dapat digunakan untuk merep- resentasikan penyebaran virus dengue yang terjadi dalam selang waktu dan dimodelkan dalam bentuk model matematika. Model matemati- ka dalam penelitian ini mencoba merepresentasikan tentang penyebaran demam dengue berdasarkan data yang diperoleh dan asumsi yang di- gunakan. Model matematika yang digunakan adalah model matematika yang terdiri dari subpopulasi Susceptible (S), Infected (I), Viruses (V).

Model matematika SIV selanjutnya dianalisis untuk melihat perilaku so- lusi dari sistem. Simulasi model matematika SIV menunjukkan bahwa memerlukan waktu yang sangat lama untuk memastikan manusia yang terinfeksi memiliki terbebas dari infeksi virus dengue. Hal ini terjadi karena infeksi virus dengue yang terjadi secara terus-menerus antara populasi manusia dan nyamuk.

Kata kunci : Demam berdarah, Endemik, Model SIV, Simulasi model.

ii

ABSTRACT

Dengue fever is an endemic disease that is transmitted through the Aedes aegypti mosquito vector. The disease is present in more than 100 countries in America, Africa, and Asia, especially tropical coun- tries. Differential equations can be used to represent the spread of dengue virus occurring in time intervals and modeled in the form of mathematical models. The mathematical model in this study tries to represent the spread of dengue fever based on the data obtained and the assumptions used. The mathematical model used is a mathemati- cal model consisting of Suspeptible (S), Infected (I), Viruses (V) sub- populations. The SIV mathematical model is then analyzed to see the solution behavior of the system. Simulation of the SIV mathematical model shows that it takes a very long time to ensure that infected hu- mans have freedom from dengue virus infection. This happens because of dengue virus infection that occurs continuously between the human population and mosquitoes.

Keyword : Dengue fever, Endemic, SIV model, Model simulation.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas kasih dan limpahan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul MODEL TRANSMISI DINAMIS DEMAM BERDARAH.

Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Program Matematika pada Fakultas Matematika dan Il- mu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

Penulis juga menyadari bahwa suatu usaha bukanlah hal yang mu- dah, sehingga dalam penulisan tesis ini masih banyak kekurangan dan masih jauh dari kesempurnaan. Dalam menyelesaikan tesis ini penulis telah banyak mendapat bantuan dan bimbingan, baik moril maupun materil dari berbagai pihak. Penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:

Bapak Prof. Dr. Runtung, SH, M.Hum, selaku Rektor Universitas Su- matera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Suma- tera Utara.

Bapak Dr. Kerista Sebayang, MS, selaku Dekan Fakultas Matemati- ka dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Mag- ister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Ketua Program Studi Mag- ister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.

Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Pembimbing I yang telah memberikan saran, arahan dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.

iv

Bapak Prof. Dr. Marwan Ramli, M,Si, selaku Pembimbing II yang telah memberikan saran, arahan dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.

Bapak/Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Univer- sitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama perkulia- han.

Ibu Misiani, S.Si, selaku staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak memban- tu proses administrasi.

Tiada kata yang terucap selain puji dan syukur penulis ucapkan dan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada yang teristimewa bu- at Ayahanda tercinta (+) Drs. Kalimuda Sirait dan Ibunda tercinta Elpina Damanik, S.Pd yang dengan jerih payah mengasuh dan mendidik, kasih sayang, doa restu, nasehat dan pengorbanan yang tidak ternilai yang sangat besar pengaruhnya bagi keberhasilan dalam penyusunan tesis ini. Keluarga besar tercinta Ayah Mertua,Ibu Mertua dan Suami tercinta saya John Frediaman Purba, ST yang memberikan doa dan se- mangat kepada saya, beserta abang dan kakak saya Richan D.O Sirait, SH, Bernad Martua Sirait, S.Sos, dan Ns. Imelda Sirait, S.Kep, serta HM³ dan seluruh keluarga besar yang sudah mendoakan dan memberikan dukungan kepada penulis selama ini.

Seluruh rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matema- tika FMIPA Universitas Sumatera Utara tahun 2015 yang telah mem- berikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per- satu pada tesis ini, semoga Tuhan membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.

Medan, Mei 2017

Penulis,

Debora Exaudi Sirait

vi

RIWAYAT HIDUP

Debora Exaudi Sirait, di lahirkan di Pematangsiantar pada tanggal 01 Agustus 1993, merupakan anak keempat dari empat bersaudara anak dari ayah (+)Drs. Kalimuda Sirait dan Ibunda Elpina Damanik, S.Pd.

Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD SWASTA CR 3 Pematangsiantar pada tahun 2005, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri 4 Pematangsiantar pada tahun 2008, dan Sekolah Menengah Atas di SMA Negeri 2 Pematangsiantar pada tahun 2011.

Pada tahun 2011 penulis melanjutkan pendidikan sarjana (S-1) pa- da FMIPA Universitas Sumatera Utara dan memperoleh gelar Sarjana Sains pada tahun 2015. Kemudian pada tahun 2015 penulis melanjutkan studi pada Program Magister (S-2) Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR GAMBAR ix

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Tujuan Penelitian 3

BAB 2 LANDASAN TEORI 4

2.1 Virus 4

2.2 Vektor DBD 4

2.3 Siklus Penularan 5

2.4 Penampilan Klinis 5

2.5 Model 7

2.6 Susceptible, Exposed, Infected, Recovered 8

BAB 3 METODE PENELITIAN 9

3.1 Definisi Persamaan Differensial Biasa 9 3.1.1 Orde persamaan differensial biasa 9 3.2 Persamaan Differensial Biasa Linear dan Non-linear 10

vii

3.3 Model SIR 10

3.4 Model SEIR 15

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 20

4.1 Model Matematika untuk Transmisi Virus Dengue 20

4.1.1 Fakta-fakta dan asumsi 20

4.2 Pembentukan Model Matematika 21

4.3 Formulasi Model 22

4.4 Penentuan Titik Kesetimbangan 22

BAB 5 KESIMPULAN 26

DAFTAR PUSTAKA 27

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

3.1 Skema penyebaran penyakit DBD model SIR 11 3.2 Skema penyebaran penyakit DBD model SEIR 16 4.1 Diagram proses transmisi virus dengue di dalam tubuh

manusia 22

4.2 Grafik dinamika sel rentan saat R0 < 1 24 4.3 Grafik dinamika sel terinfeksi saat R0 < 1 24 4.4 Grafik dinamika virus dengue saat R0 < 1 25

ix

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Demam Berdarah Dengue (DBD) atau dengue haemorrhagic fever adalah penyakit virus yang ditularkan oleh nyamuk yang saat ini menjadi per- hatian utama masyarakat internasional. DBD ditemukan di bagian bumi yang beriklim tropis dan sub tropis, kebanyakan di daerah kota dan daer- ah semi-kota. DBD pertama kali diketahui di Asia Tenggara tahun 1950- an tetapi mulai tahun 1975 hingga sekarang merupakan penyebab kema- tian utama pada anak-anak di negara-negara Asia. Bahkan sejak tahun 1997 DBD dinyatakan sebagai penyakit asal viral terpenting yang berba- haya dan berakibat fatal bagi manusia. DBD ditularkan pada manusia melalui gigitan nyamuk betina Aedes yang terinfeksi virus dengue. Pe- nyakit ini tidak dapat ditularkan langsung dari orang ke orang. Penye- bar utama virus dengue yaitu nyamuk Aedes aegypti, tidak ditemukan di Hong Kong, namun virus dengue juga dapat disebarkan oleh spesies lain yaitu Aedes albopictus. Menurut WHO masalah DBD tumbuh se- cara dramatis pada dekade terakhir ini, sekitar 40% masayarakat dunia beresiko terhadap DBD. Berdasarkan informasi dari situs web Pusat Per- lindungan Kesehatan di Indonesia, penyakit ini dilaporkan pertama kali pada tahun 1968, di kota Jakarta dan Surabaya. Epidemi penyakit DBD di luar Jawa pertama kali dilaporkan di Sumatera Barat dan Lampung tahun 1972. Sejak itu, penyakit ini semakin menyebar luas ke berbagai wilayah di Indonesia. Penularan DBD hanya dapat terjadi melalui gigi- tan nyamuk yang di dalam tubuhnya mengandung virus Dengue. Hingga saat ini belum ditemukan obat khusus yang dapat membunuh virus de- mam berdarah, oleh karena itu upaya pencegahan yang utama adalah menghindari gigitan nyamuk (Zeth, 2012).

2

Dengue dapat disebabkan oleh empat serotipe yang berbeda tetapi antigen terkait yang terutama ditularkan oleh nyamuk aedes aegypti.

Spektrum klinis yang luas berkisar dari infeksi tanpa gejala atau penya- kit ringan, dengan bentuk yang lebih parah dari infeksi seperti demam berdarah dengue dan dengue shock syndrome. Infeksi oleh satu serotipe menghasilkan kekebalan seumur hidup untuk serotipe itu tetapi tidak melindungi terhadap infeksi oleh orang lain. Berbagai macam faktor yang mempengaruhi dinamika spasial dan temporal populasi nyamuk dan dengue pola transmisi dalam populasi manusia. Suhu, curah hujan dan kelembaban campur dalam semua tahap pengembangan vektor dari munculnya dan kelangsungan hidup telur, dengan ukuran dan umur pan- jang dari nyamuk dewasa, serta penyebaran mereka di lingkungan. Selain itu, faktor-faktor seperti urbanisasi yang tidak terencana, kepadatan po- pulasi manusia yang tinggi, kerawanan sampah sistem kolektifition dan pasokan air, masalah yang sering di negara berkembang mendukung pro- liferasi situs pemuliaan dan infeksi menyebar (Liliam, 2011).

Pemodelan matematika menjadi alat pendekatan yang menarik un- tuk menganalisis tentang penyebaran penyakit menular. Model matema- tika penyebaran penyakit demam dengue yang dibahas dalam penelitian ini adalah model dinamik dengan model matematika SEIR (Susceptible, Exposed, Infected, dan Recovered). Model SEIR merupakan salah satu model matematika yang menganalisis penyebaran salah satu serotif dari virus dengue antara manusia dengan nyamuk. Model SEIR yang terben- tuk berdasarkan asumsi-asumsi yang selanjutnya model dianalisis dan di interpretasikan, agar model lebih representatif terhadap permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini. Analisis dinamika model penyebaran penyakit demam dengue dimulai dengan menyusun asumsi-asumsi un- tuk menyederhanakan model, kemudian mendefinisikan parameter yang digunakan pada model. Selanjutnya, dibentuk diagram transfer penye- baran penyakit demam dengue dan berdasarkan diagram transfer terse-

3

but dibentuk model matematika penyebaran penyakit demam dengue (Hendri, 2014).

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas, maka rumusan masalah yang akan dibahas ialah bagaimana model SIV(Susceptibles,Infectious,Viruses) un- tuk proses transmisi dinamis demam berdarah.

1.3 Tujuan Penelitian

Menganalisis dan mengetahui lebih dalam model matematika untuk pros- es transmisi DBD di dalam tubuh manusia.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Virus

Virus dengue termasuk genus Flavivirus dari keluarga Flaviviridae. Virus yang berukuran kecil (50 nm) ini mengandung RNA berantai tunggal.

Virus dengue membentuk kompleks yang khas di dalam genus Flavivirus berdasarkan karakteritik antigenik dan biologisnya. Ada empat serotipe virus yang kemudian dinyatakan sebagai DEN-1, DEN-2, DEN-3, dan DEN-4. Infeksi yang terjadi dengan serotipe mana pun akan memicu imunitas seumur hidup terhadap serotipe tersebut. Walaupun secara antigenik serupa, keempat serotipe tersebut cukup berbeda di dalam menghasilkan perlindungan silang selama beberapa bulan setelah terin- feksi salah satunya.

Virus dengan dengue keempat serotipe tersebut juga dihubungkan dengan kejadian epidemi demam dengue saat bukti yang ditemukan ten- tang DHF sangat sedikit atau bahkan tidak ada. Keempat virus serotipe tersebut juga menyebabkan epidemi DHF yang brkaitan dengan penyakit yang sangat berbahaya dan mematikan (WHO, 2005).

2.2 Vektor DBD

Graham ialah sarjana pertama yang pada tahun 1903 dapat membuk- tikan secara positif peran nyamuk Aedes Aegypti dalam transmisi dengue di Indonesia. Vektor DBD telah diselidiki, dan Aedes Aegypti di daerah perkotaan diperkirakan sebagai vektor terpenting. Survei jentik yang dilakukan oleh Direktorat Jenderal Pemberantasan Penyakit Menular dan Penyehatan Lingkungan Pemukiman (Ditjen PPM dan PLP) di 27 propinsi dalam kurun waktu 5 tahun (1992-1996) memperlihatkan rata- rata indeks premis 20%, suatu angka yang dianggap 5% lebih tinggi

4

5

terhadap ambang risiko transmisi demam dengue (Sri, 2004).

2.3 Siklus Penularan

Nyamuk Aedes(Stegomyia) betina biasanya akan terinfeksi virus dengue saat mengisap darah dari penderita yang berada dalam fase demam (viremik) akut penyakit. Setelah masa inkubasi ekstrinsik selama 8 sampai 10 hari, kelenjar air liur nyamuk menjadi terinfeksi dan virus disebarkan ketika nyamuk yang infektif menggigit dan menginjeksika air liur ke luka gigitan pada orang lain. Setelah masa inkubasi pada tubuh manusia selama 3-14 hari (rata-rata 4-6 hari), sering kali terjadi awitan mendadak penyakit ini yang ditandai dengan demam, sakit kepala, mi- algia, hilang nafsu makan, dan berbagai tanda serta gejala nonspesifik lain termasuk mual, muntah, dan ruam kulit.

Viraemia biasanya ada pada saat atau tepat sebelum awitan gejala dan akan berlangsung selama rata-rata lima hari setelah awitan penyakit.

Ini merupakan masa yang sangat kritis karena pasien berada pada tahap yang paling infektif untuk nyamuk vektor ini dan akan berkontribusi dalam mempertahankan siklus penularan jika pasien tidak dilindungi dari gigitan nyamuk.

Ada bukti yang memperlihatkan bahwa penularan vertikal virus de- ngan nyamuk betina yang terinfeksi kepada anak-anaknya ditemukan ter- jadi pada beberapa spesies termasuk Aedes aegypti dan Aedes albopic- tus. Ini mungkin merupakan mekanisme yang penting bagi virus untuk bisa bertahan, tetapi dalam kejadian epidemi tampaknya tidak terlalu penting.

2.4 Penampilan Klinis

Infeksi virus dengue dapat bersifat asimptomatik atau mengakibatkan penyakit demam biasa (sindrom virus), demam dengue (DF), atau de-

6

mam berdarah dengue (DHF) termasuk sindrom syok dengue (DSS).

Infeksi terhadap salah satu serotipe virus dengue memberikan imunitas seumur hidup khusus untuk serotipe tersebut, tetapi tidak ada perlin- dungan silang terhadap serotipe yng lain. Penampilan klinis bergantung pada usia, status imun pejamu, dan strain virus (Sri, 2004).

7

2.5 Model

Model adalah pola dari sesuatu yang akan dibuat atau dihasilkan. Pe- modelan matematis digunakan untuk mempelajari dinamika suatu sistem yang memiliki kompleksitas tinggi dalam berbagai bidang seperti biolo- gi, kimia, fisika, kedokteran, ekonomi dan sebagainya. Dalam bidang epidemiologi, pemodelan digunakan untuk mengetahui pola persebaran penyakit yang diidentifikasi melalui kontak fisik di sepanjang mobilitas individu antar lokasi spesifik. Secara kuantitas, individu yang telah ter- infeksi dapat disimulasikan secara grafis menggunakan data sensus, data pola perubahan tata guna lahan dan data mobilitas penduduk (Eubank, 2004). Bentuk penerapan lainnya adalah simulasi penularan penyakit yang disebarkan oleh hewan, seperti penyakit tangan, kaki dan mulut (Harvey, 2007).

Saat ini pemanfaatan model matematis dan analisis statistik dalam epidemiologi difokuskan untuk membuat prediksi faktor-faktor yang men-

8

jadi parameter terhadap transmisi penyakit dalam populasi (vektor maupun manusia) (Maiti, 2004). Model matematis persebaran penyakit yang memiliki validitas dan akurasi tinggi merupakan konsep dasar untuk memahami dampak penyakit dan menyusun strategi pengendaliannya.

Pemodelan epidemiologi terdiri dari tiga kategori, pertama berbasis per- samaan (model analisis), kedua berbasis agen (populasi direpresentasikan sebagai suatu sistem yang dapat berinteraksi) dan ketiga berbasis jaringan (interaksi sosial didasarkan pada teori jaringan).

Pemodelan epidemiologi SEIR oleh JL Aron dan IB Schwartz, 1984 di mana populasi terdiri dari empat kelompok yaitu S = adalah sebagian kecil dari individu yang rentan (orang yang mampu terjangkit penyakit), E = adalah sebagian kecil dari individu terpapar (orang-orang yang telah terinfeksi tetapi belum menular), I = adalah sebagian kecil dari individu infektif (yang mampu menularkan penyakit), R = adalah sebagian kecil dari individu pulih, dengan catatan variabel terbagi menjadi sebagian kecil dari individu.

2.6 Susceptible, Exposed, Infected, Recovered

Pada model SEIR, populasi dibagi menjadi 4 subkelas, yaitu kelas popu- lasi rentan Susceptible (S), kelas populasi terjangkit Exposed (E), kelas populasi terinfeksi Infected (I), dan kelas populasi sembuh Recovered (R). Kemudian S(t) menyatakan proporsi individu rentan pada saat t, E(t) menyatkan proporsi terjangkit pada saat t, R(t) menyatakan p ro- porsi individu sembuh pada saat t, dan N (t) menyatakan proporsi total indvidu. Selanjutnya S(t), E(t), I(t), I(t), N (t) ditulis S, E, I, R, N (Ekawati, 2005).

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1 Definisi Persamaan Differensial Biasa

Sebuah persamaan differensial biasa adalah sebuah persamaan yang meny- atakan hubungan antara sebuah fungsi dengan sebuah variabel indepen- den tunggal dan turunan total dari fungsi ini terhadap variabel indepen- den tersebut. Variabel dependen (y) tergantung kepada masalah fisik yang dimodelkan. Variabel independen biasanya salah satu dari variabel waktu(t) atau ruang (x).

3.1.1 Orde persamaan differensial biasa

Orde PDB adalah turunan orde tertinggi dalam persamaan differensial.

Bentuk umum PDB orde satu adalah : dy

dt = f (t, y)

di mana f (t, y) disebut fungsi turunan. Untuk penyederhanaan notasi, turunan biasanya dinyatakan dengan tanda petik tunggal :

Y = dy dt sehingga,

Y = f (t, y) PDB mempunyai bentuk umum :

any⁽ⁿ⁾+ an−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · + a2y^”+ a1y⁰+ a0y = F (t)

dimana superscript (n), (n − 1), dan seterusnya, menyatakan turunan orde ke n, n − 1, dan seterusnya.

10

3.2 Persamaan Differensial Biasa Linear dan Non-linear

PDB linear adalah PDB yang semua turunannya muncul dalam bentuk linear dan tidak ada koefisien yang tergantung kepada variabel dependen.

Koefisien bisa merupakan fungsi dari variabel independen, yang mana PDB disebut PDB linear dengan koefisien berubah.

y⁰ + αy = F (t) (linear, koef. konstan, PDB orde-satu) y⁰ + αty = F (t) (linear, koef. berubah, PDB orde-satu) y⁰ = f (t, y) (bentuk umum PDB linear)

Jika koefisien tergantung kepada variabel dependen, atau turunan muncul dalam bentuk nonlinear, PDB-nya adalah nonlinear.

Contoh 1 yy⁰ + αy = 0 (y⁰)²+ αy = 0

y⁰⁰ + P (x, y)y⁰+ Q(x, y)y = F (x) (bentuk umum PDB non-linear)

3.3 Model SIR

Model SIR pada uraian berikut mengacu pada kajian Derouich et al., (2003).

Asumsi yang digunakan adalah:

1. Total populasi nyamuk dan total populasi manusia adalah konstan;

2. Populasi manusia dan nyamuk adalah populasi yang tertutup.

Dari asumsi tersebut, misalkan Nh adalah populasi manusia dan Nv

adalah populasi nyamuk. Populasi manusia dibagi menjadi tiga subpopu- lasi, yaitu manusia rentan (susceptible) Sh, manusia terinfeksi (infected)

11

Nh, dan manusia sembuh (recovered) Rh. Populasi nyamuk dibagi men- jadi dua subpopulasi, yaitu nyamuk rentan (susceptible) Sv dan nyamuk terinfeksi (infected) Iv.

Manusia rentan adalah manusia yang bukan imun dan belum tertu- lar virus dengue. Manusia terinfeksi adalah manusia yang telah tertular virus dan dapat menularkan virus tersebut. Manusia sembuh dianggap tidak dapat tertular lagi. Nyamuk rentan adalah nyamuk yang belum tertular virus. Nyamuk terinfeksi adalah nyamuk yang telah tertular virus dan dapat menularkan virus tersebut.

Secara skematis, pola penyebaran penyakit DBD dapat digambarkan dalam diagram kompartemen berikut:

Gambar 3.1 Skema penyebaran penyakit DBD model SIR

Arti diagram kompartemen tersebut adalah:

1. Laju pertumbuhan manusia rentan mempertimbangkan faktor ke- lahiran, perpindahan dari manusia rentan ke manusia terinfeksi, ditulis: ^dS_dt^h = λhNh−

µh+ p + ^C_N^vhIv

h



Sh = µhN − Nh



µh+ p + ^Cvh_N^Iv

h

 Sh, dimana diambil µh = λh. Proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia terinfeksi dipengaruhi oleh peluang kontak antara nya- muk terinfeksi dengan manusia rentan (C ). Nilai peluang ini ialah

12

perkalian antara peluang transmisi virus dari nyamuk terinfeksi ke manusia rentan (pvh) dengan rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi (bi).

Jadi, Cvh = pvhbi.

2. Laju pertumbuhan manusia terinfeksi mempertimbangkan faktor kematian, proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia terin- feksi dan proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sem- buh, ditulis : ^dR_dt^h = ^C_N^vhIv

h Sh− (µh+ γh)Ih.

3. Laju pertumbuhan manusia sembuh mempertimbangkan faktor ke- matian, fraksi acak manusia rentan yang terimunisasi dan proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh, ditulis: ^dR_dt^h = pSh+ γhIh− µhRh

4. Laju pertumbuhan nyamuk rentan mempertimbangkan faktor ke- lahiran, kematian dan proporsi perpindahan nyamuk rentan ke nya- muk terinfeksi, ditulis: ^dS_dt^h = λhNh−

µh+ ^C_N^hvIh

h



Sh = µvNh−

µv+ p + ^Chv_N^Ih

h

 Sv, diaman diambil µv = λv. Proporsi perpindahan nyamuk rentan

ke nyamuk terinfeksi dipengaruhi oleh peluang kontak antara nya- muk rentan dengan manusia terinfeksi (Chv). Nilai peluang ini ialah perkalian antara peluang transmisi virus dari manusia terinfeksi ke nyamuk rentan (phv) dengan rata-rata gigitan nyamuk rentan (bs).

Jadi, Chv = phvbs.

5. Laju pertumbuhan nyamuk terinfeksi mempertimbangkan faktor kematian dan proporsi perpindahan nyamuk rentan ke nyamuk ter- infeksi, ditulis: ^dI_dt^h = ^Chv_N^Ih

h Sv− µvRv.

Berdasarkan uraian di atas, model SIR dinyatakan sebagai berikut:

13

Populasi manusia dSh

dt = µhNh−



µh + p + CvhIv

Nh

 Sh

dIh

dt = CvhIv

Nh

Sh− (µh+ γh) Ih

dRh

dt = pSh + γhIhRh

















(3.1)

dSv

dt = µvNh −



µv +ChvIh

Nh

 Sv

dIv

dt = ChvIh

Nh

Sv− µvIv









(3.2)

dengan kondisi

Sh+ Ih+ Rh = Nh dan Sv + Iv = Nv (3.3) Serta

Nh : Total populasi manusia Nv : Total populasi nyamuk λh : Laju kelahiran manusia λv : Laju kelahiran nyamuk µh : Laju kematian manusia µv : Laju kematian nyamuk

p : Fraksi acak manusia rentan yang terimunisasi

γh : Proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh

Chv : Peluang terjadinya kontak antara nyamuk rentan dengan manusia terinfeksi Cvh : Peluang terjadinya kontak antara nyamuk terinfeksi dengan manusia rentan

Selanjutnya, sistem-sistem (3.1) dan (3.2) serta kondisi (3.3) dapat disederhanakan dengan pemisalan S^h = _N^Sh

h, I^h = _N^Ih

h, R^h = ^R_N^h

h, S^h = _N^Sv

v, dan I^{V I}_N^v

v, sehingga sistem tersebut dapat ditulis:

dS^h

dt = µh− (µv+ p + nCvhI^v) S^h dI^h

dt = nCvhI^vS^h− (µv+ γh) I^h dIv = CvhI^h(1 − I^v) − µvI^v

















(3.4)

14

dengan n^N_N^v

h, serta kondisi

S^h+ I^h+ R^h = 1 dan S^v+ I^v = 1 (3.5)

Karena virus dengue membutuhkan masa inkubasi intrinsik dan ek- strinsik sebelum menyebar (Heyman 2008), maka model SIR ini dimod- ifikasi menjadi model SEIR. Modifikasi dilakukan dengan menambahkan tahap exposed. Pada tahap ini, manusia atau nyamuk rentan yang telah tertular virus menyelesaikan masa inkubasi intrinsik atau ekstrinsik se- belum terinfeksi.

15

3.4 Model SEIR

Pada model ini, populasi manusia Nh dibagi menjadi empat subpop- ulasi, yaitu manusia rentan (susceptible) Sh, manusia terpapar (exposed) Eh, manusia terinfeksi (infected) Ih, dan manusia sembuh (recovered) Rh

sedangkan populasi nyamuk Nv dibagi menjadi tiga subpopulasi, yaitu nyamuk rentan (susceptible) Sv, nyamuk terpapar (exposed) Ev, dan nya- muk terinfeksi (infected) Iv.

Asumsi yang digunakan ialah:

1. Total populasi nyamuk adalah konstan sedangkan total populasi manusia tidak konstan;

2. Populasi manusia dan nyamuk adalah populasi yang tertutup.

Penularan virus dari nyamuk ke manusia terjadi melalui gigitan pa- da saat virus tersebut berada di kelenjar ludah nyamuk. Setelah itu, virus memerlukan 4-6 hari yang menunjukkan masa inkubasi intrinsik sebelum menimbulkan penyakit.

Dalam masa inkubasi ini, manusia rentan dianggap telah terbuka untuk diinfeksi virus. Dengan demikian, manusia rentan tersebut selan- jutnya dikelompokkan ke dalam subpopulasi manusia terpapar. Penu- laran virus dari manusia ke nyamuk hanya dapat terjadi jika nyamuk rentan menggigit manusia terinfeksi yang sedang mengalami viremia, yaitu suatu kondisi medis dimana virus Dengue berada di dalam darah manusia. Kondisi ini berlangsung selama 2 hari sebelum demam sampai 5 hari setelah demam. Selanjutnya, virus memerlukan 8-10 hari yang menunjukkan masa inkubasi ekstrinsik sebelum menimbulkan penyakit.

Ketika masa inkubasi ini, nyamuk rentan dianggap telah terbuka un- tuk diinfeksi oleh virus. Nyamuk-nyamuk tersebut selanjutnya dikelom- pokkan ke dalam suatu subpopulasi nyamuk terpapar.

16

Secara skematis, pola penyebaran penyakit DBD dapat digambarkan dalam diagram kompartemen berikut:

Gambar 3.2 Skema penyebaran penyakit DBD model SEIR

Arti diagram kompartemen di atas adalah:

1. Laju pertumbuhan manusia rentan mempertimbangkan faktor ke- lahiran, kematian dan proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia terpapar, ditulis: ^dS_dt^h = λhNh −

C_vhI_v N_h + µh



Sh = λNh −

C_vhI_v N_h + µh



Sh dimana diambil λ = λh. Proporsi perpindahan manu- sia rentan ke manusia terpapar dipengaruhi oleh peluang kontak antara nyamuk terinfeksi dengan manusia rentan (Cvh). Nilai pelu- ang ini ialah perkalian antara peluang transmisi virus dari nyamuk terinfeksi ke manusia rentan (pvh) dengan rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi ke manusia rentan (pvh) dengan rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi (bi). Jadi, Cvh = pvhbi.

2. Laju pertumbuhan manusia terpapar mempertimbangkan faktor ke- matian, proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia terpapar dan proporsi perpindahan manusia terpapar ke manusia terinfeksi, ditulis: ^dE_dt^h = ^Cvh_N^Iv

h Sh− (τexh + µh)Eh.

3. Laju pertumbuhan manusia terinfeksi mempertimbangkan faktor kematian baik kematian secara alami maupun kematian karena DBD,

17

proporsi perpindahan manusia terpapar ke manusia terinfeksi dan proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh, ditu- lis: ^dI_dt^h = τexhEh− (τih+ α + µh)Ih.

4. Laju pertumbuhan manusia sembuh mempertimbangkan faktor ke- matian dan proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh, ditulis: ^dR_dt^h = τihIh− µhRh.

5. Laju pertumbuhan nyamuk rentan mempertimbangkan faktor ke- lahiran, kematian dan proporsi perpindahan nyamuk rentan ke nya- muk terpapar, ditulis: ^dS_dt^v = λvNv−

C_hvI_h N_h + µv



Sv = µvNv−

C_hvI_h N_h + µv

 Sv

dimana diambil µv = λv. Proporsi perpindahan nyamuk rentan ke nyamuk terpapar dipengaruhi oleh peluang kontak antara nya- muk rentan dengan manusia terinfeksi (Chv). Nilai peluang ini ialah perkalian antara peluang transmisi virus dari manusia terinfeksi ke nyamuk rentan (phv) dengan rata-rata gigitan nyamuk rentan (bs).

Jadi, Chv = phvbs.

6. Laju pertumbuhan nyamuk terpapar mempertimbangkan faktor ke- matian, proporsi perpindahan adalah proporsi perpindahan nyamuk rentan ke nyamuk terpapar dan proporsi perpindahan nyamuk ter- papar ke nyamuk terinfeksi, ditulis: ^dE_dt^v = ^Chv_N^Ih

h Sv − (τexv+ µv)Ev

7. Laju pertumbuhan nyamuk terinfeksi mempertimbangkan faktor kematian dan proporsi perpindahan nyamuk terpapar ke nyamuk terinfeksi, ditulis: ^dI_dt^v = τexvEv− µvIv

Berdasarkan uraian di atas, model SEIR dapat dinyatakan sebagai berikut:

18

Populasi manusia dSh

dt = λNh−

CvhIv

Nh

+ µh

 Sh

dEh

dt = CvhIv

Nh

Sh− (τexh+ µh) Eh

dIh

dt = τexhEh− (τexh + α + µh) Ih

dRh

dt = τihIh− µhRh

























(3.6)

Populasi nyamuk dSv

dt = µvNv−

ChvIh

Nh

+ µv

 Sv

dEv

dt = ChvIh

Nh

Sv− (τexv + µv) Ev

dIv

dt = τexvEv− µvIv

















(3.7)

dengan kondisi

Sh+ Eh+ Ih+ Rn = Nhdan Sv+ Eh + Iv = Nv (3.8) Serta,

Nh :Total populasi manusia Nv :Total populasi nyamuk λ :Laju kelahiran manusia µv :Laju kematian nyamuk

µh :Laju kematian manusia secara alami α :Laju kematian manusia karena DBD

τexh :Proporsi perpindahan manusia terpapar ke manusia terinfeksi τexv :Proporsi perpindahan nyamuk terpapar ke nyamuk terinfeksi τih :Proporsi perpindahan manusia terinfeksi ke manusia sembuh

Chv :Peluang terjadinya kontak antara nyamuk rentan dengan manusia terinfeksi Cvh :Peluang terjadinya kontak antara nyamuk terinfeksi dengan manusia rentan

19

Selanjutnya, sistem-sistem (3.6) dan (3.7) serta kondisi (3.8) dapat disederhanakan dengan pemisalan S^h = _N^Sh

h, E^h = _N^Eh

h, I^{h I}_N^hh, R^h = _N^Rh

h, S^v =

Sv

N_v, E^v = _N^Ev

v, dan I^v = _N^Iv

v, dan juga dalam model ini dianggap bahwa nilai Chv = Cvh= c, maka sistem tersebut dapat ditulis:

dS^h

dt = λ − (ncl^v+ µh) S^h dE^h

dt = ncl^vS^h− (τexh + µh) E^h dI^h

dt τexhE^h − (τih+ α + µh) I^h dE^v

dt = cl^h(1 − E^v − I^v) − (τexh+ µh) E^v dIv

dt = τexhE^v− µvI^v

































(3.9)

dengan n = ^N_N^v

h, serta kondisi

S^h+ E^h+ I^h+ R^h = 1 dan S^v + E^v+ I^v = 1 (3.10)

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Model Matematika untuk Transmisi Virus Dengue

Model yang akan dibahas pada bab ini adalah model SIV (Suscep- tibles, Infectious, Viruses) pada transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia, dengan memperhatikan fakta-fakta dan asumsi-asumsi ( Juliah, 2015).

4.1.1 Fakta-fakta dan asumsi

Fakta-fakta yang diperoleh dari proses transmisi virus dengue an- tara lain:

1. Virus dengue merupakan virus dari genus Flavivirus, famili Fla- viviridae, terdiri dari 4 serotip yaitu Den-1, Den-2, Den-3 dan Den- 4.

2. Dengue merupakan penyakit arbovirus.

3. Virus dengue mempunyai genom RNA rantai tunggal.

4. Virus dengue ditularkan lewat gigitan nyamuk Aedes aegypti.

5. Respon imun berusaha membatasi virus dengue mencapai sel target.

6. Virus dengue bereplikasi pada sitoplasma sel inang.

Selanjutnya, asumsi yang digunakan dalam model ini adalah sebagai berikut:

1. Infeksi virus dengue terjadi secara internal yaitu didalam tubuh manusia

20

21

2. Tidak ada mikroorganisme lain yang menyerang tubuh.

3. Hanya ada satu serotip virus yang menyerang tubuh.

4. Kepadatan sel rentan bertambah dengan laju konstan sebesar a.

5. Suatu sel rentan S akan terinfeksi dengan laju sebesar jika terjadi kontak dengan virus V.

6. Jika sel sudah terinfeksi, maka sel akan tetap berada pada kelas I dan akhirnya mati.

7. Virus bebas berkembangbiak dari sel yang telah terinfeksi dengan laju sebesar n.

8. Sel T bekerja membunuh virus dengue.

9. Obat herbal dapat menghambat replikasi virus dengue.

4.2 Pembentukan Model Matematika

Pembentukan model SIV dibagi menjadi tiga kelas populasi yakni kelas populasi sel rentan (susceptible), kelas populasi sel terinfeksi (in- fectious) dan kelas populasi virus dengue (viruses).

Adapun variabel-variabel dan parameter-parameter yang digunakan dalam model proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia disajikan dalam tabel di bawah ini:

Tabel 4.1 Daftar variabel-variabel

Variabel Keterangan Syarat

S(t) Jumlah sel yang rentan terinfeksi virus pada waktu t S(t) ≥ 0 I(t) Jumlah sel yang terinfeksi virus pada waktu t I(t) ≥ 0 V (t) Jumlah Virus Dengue di dalam tubuh pada waktu t V (t) ≥ 0

22 Tabel 4.2 Daftar parameter-parameter

Parameter Keterangan Syarat

α Laju kelahiran murni sel rentan α > 0

β Proporsi banyaknya virus dengue yang berpindah β > 0

δ Laju kematian murni sel rentan δ > 0

σ Laju kematian murni sel yang terinfeksi o > 0 n Banyaknya duplikasi virus dengue baru n > 0 µ Proporsi banyaknya sel terinfeksi yang menghasilkan virus µ > 0 γ1 Laju kematian murni virus dengue γ1 > 0 γ2 Laju kematian virus dengue yang disebabkan sel T γ2 > 0 γ3 Laju kematian virus degue yang disebabkan obat herbal γ3 > 0

4.3 Formulasi Model

Diagram di bawah ini menggambarkan proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia.

Gambar 4.1 Diagram proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia

Berdasarkan diagram diatas diperoleh persamaan differensial dari transmisi dinamis virus dengue yang disajikan dalam model matematika, yaitu:

(1) ds

dt = α − βSV − δS (2) dI

dtβSV − σI − µnI (3) dV

dt µnI − γ1V − γ2V − γ3V − βSV

(4.1)

4.4 Penentuan Titik Kesetimbangan

23

Titik kesetimbangan dapat diperoleh dengan beberapa tahapan dan salah satunya adalah dengan membuat ruas kiri sistem persamaan (4.1) sama dengan nol. Sehingga diperoleh sistem berikut:

(1) α − βSV − δS = 0 (2) βSV − σI − µnI = 0

(3) µnI − γ1V − γ2V − γ3V − βSV = 0

(4.2)

Dari persamaan (4.1) pada sistem persamaan (4.2), diperoleh (1) α − βSV − δS = 0

(2) βSV = α − δS (3) V = α − δS

βS

(4.3)

Substitusikan persamaan (4.3) ke persamaan (2) pada sistem persamaan (4.2), maka diperoleh :

βSV − σI − µnI = 0 βS

α − δS βS



− I(σ + µn) = 0 α − δS = I(σ + µn)

I = α − δS σ + µn

(4.4)

Selanjutnya substitusikan persamaan (4.3) dan (4.4) ke persamaan (3) pada sistem persamaan (4.2), maka diperoleh:

µnI − γ1V − γ2V − γ3V − βSV = 0 µnα − δS

σ + µn − γ1

α − δS βS − γ2

α − δS βS − γ3

α − δS

βS − βSα − δS βS = 0 µnα − δS

σ + µn − (γ1+ γ2+ γ3)α − δS

βS − (α − δS) = 0 (α − δS)

 µn

σ + µn − γ1+ γ2+ γ3

βS − 1



= 0 diperoleh

(α − δS) = 0

24

δS = α S = α

δ atau

µn

σ + µn − γ1+ γ2+ γ3

βS − 1 = 0 γ1+ γ2+ γ3

βS = µn

σ + µn − 1 γ1+ γ2+ γ3

βS = µn − σ − µn σ + µn γ1+ γ2+ γ3

βS = −σ

σ + µn S = −(σ + µn)(γ1+ γ2+ γ3)

βσ

Gambar 4.2 Grafik dinamika sel rentan saat R0 < 1

Gambar 4.3 Grafik dinamika sel terinfeksi saat R0 < 1

25

Gambar 4.4 Grafik dinamika virus dengue saat R0 < 1

BAB 5 KESIMPULAN

Berdasarkan grafik, jumlah sel yang rentan terinfeksi yang relatif (S) banyak dengan berjalannya waktu akan semakin berkurang dan menuju nilai nol. Sedangkan untuk jumlah sel yang terinfeksi (I) pada suatu wak- tu akan mencapai satu titik tertinggi ,dimana menunjukkan maksimum dari jumlah sel yang terinfeksi dan berangsur semakin sedikit dengan berjalannya waktu. Oleh karena S dan I semakin sedikit yang terinfeksi, maka jumlah virus pada tubuh juga (V ) beranggsur semakin berkurang.

Ini dapat dilihat berdasarkan grafik untuk S, I, dan V .

26

DAFTAR PUSTAKA

Derouich, M., Boutayeb, A., dan Twizell, E.H. (2003). A Model of Dengue Fever. Brunel University Press, England, pp. 1-10.

Ekawati, A. (2005). Kestabilan Model SEIR. Media Sains, Vol. 3, pp.

19-23.

Eubank, S., Guclu, H., Kumar, A., Marathe, M.V., Srinivasan, A., Toroczkai, A., dan Wang, N. (2004). Modelling Disease Outbreaks in Realistic Urban Social Networks. NATURE Vol. 429, pp. 180-184.

Harvey, N., Reeves, A., Schoenbaum, M.A., Vergara, F.J.Z., Dube, C., Hill, A.E., Corso, B.A., McNab, W.B., Cartwright, C.I., dan Salman, M.D. (2007). The North American Animal Disease Spread Model: A Simulation Model to Assist Decision Making in Evalu- ating Animal Disease Incursions. Preventive Veterinary Medicine, Vol. 2342.

Henri dan Purwanto. (2014). Analisis Dan Simulasi Model Matemati- ka Penyakit Demam Dengue Dengan Satu Serotif Virus Dengue.

Buletin Ilmiah Matematika Statistika dan Terapannya, Vol 1, pp.

31-45.

Heyman, D.L. (2008). Control of Communicable Diseases Manual.

APHA. Vol. 19.

Juliah, I. (2015). Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan Model Mate- matika Proses Transmisi Virus Dengue di dalam Tubuh Manusia dengan Terapi Obat Herbal. Jurusan Matematika Fakultas Mate- matika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang.

Liliam, C. (2011). Modeling the Dynamic Transmission of Dengue Fever.

Journal of Investigating Disease Persistence, Vol 5, pp. 942-952.

Maiti, T. (2004). Two Stage Non-Parametric Approach For Small Area Estimation. Journal Statistic, Vol.4, pp. 181-200.

Sri, H. (2004). Demam Berdarah Dengue. Fakultas Kedokteran Univer- sitas Indonesia, Jakarta.

World Health Organization. (2005). Demam Berdarah Dengue: Pence- gahan, Pengendalian Dengue Dan Demam Berdarah, Edisi 2. Buku Kedokteran.

Zeth, A., dan Leleury. (2012). Kendali Optimal Pada Model Dinamik Epidemi Dengue Menggunakan MISER3. Jurnal Barekeng, Vol 6, pp. 17 21.