Soal ke 1. Pizza Resistor. Penyusun Soal: Joseph Oliver Lim

(1)

1 Wardaya College Soal dan Solusi IRC Fisika

Paket Soal untuk Indonesia Bagian Barat Tingkat Regional (Final)

Soal ke 1 Pizza Resistor

Penyusun Soal: Joseph Oliver Lim

Terdapat sebanyak 2𝑁 resistor dengan hambatan 𝑅 dirangkai sehingga membentuk sebuah Pizza Resistor. Disebut sebagai Pizza Resistor karena bentuknya menyerupai pizza yang dipotong menjadi 𝑁 bagian. Anda ditugaskan untuk menghitung hambatan pengganti antara titik 𝐴 dan 𝐵 pada gambar.

a. Tentukan hambatan pengganti antara titik 𝐴 dan 𝐵 untuk 𝑁 = 2 dan 𝑁 = 3!

b. Misalkan 𝑅_𝑘 adalah hambatan pengganti antara titik 𝐴 dan 𝐵 untuk 𝑁 = 𝑘. Tentukan nilai 𝑗 yang akan Anda gunakan sehingga untuk sembarang 𝑘, 𝑅𝑘 dapat dinyatakan dalam 𝑅_𝑘−𝑗, dan besar 𝑅_𝑘 dapat dihitung hanya dengan informasi 𝑅₂ dan/atau 𝑅₃! Kemudian, nyatakan 𝑅_𝑘 dalam 𝑅_𝑘−𝑗, atau dengan kata lain, buatlah sebuah fungsi rekursif untuk hambatan pengganti antara titik 𝐴 dan 𝐵!

c. Tentukan hambatan pengganti antara titik 𝐴 dan 𝐵 untuk 𝑁 = 8 dan 𝑁 = 9!

Sekarang, pada titik 𝐴 dan 𝐵 dipasang sebuah kapasitor 𝐶 dengan muatan awal 𝑄₀.

d. Misalkan 𝑄_1(𝑡) adalah muatan pada kapasitor sebagai fungsi waktu untuk 𝑁 = 2𝑘; 𝑘 →

∞. Tentukan 𝑄_1(𝑡)!

e. Misalkan 𝑄_2(𝑡) adalah muatan pada kapasitor sebagai fungsi waktu untuk 𝑁 = 2𝑘 + 1; 𝑘 → ∞. Tentukan 𝑄2(𝑡)! Manakah yang lebih besar, 𝑄1(𝑡) atau 𝑄2(𝑡)?

Penyusun Soal: Joseph

𝑅 𝑅

𝑅

𝑅 𝑅 𝑅

𝐵 𝑅

𝐴

𝑅 𝑅

(2)

2 Wardaya College Pembahasan

Berdasarkan prinsip simetris, rangkaian Pizza Resistor dapat disederhanakan menjadi berikut ini.

a. Berikut ini adalah gambar Pizza Resistor untuk 𝑁 = 2 dan 𝑁 = 3.

Dengan menggunakan kombinasi seri dan paralel sederhana, akan didapatkan hambatan pengganti untuk 𝑁 = 2 adalah ²

5𝑅, sedangkan untuk 𝑁 = 3 adalah ¹

2𝑅.

b. Misalkan kita definisikan 𝑟_𝑘 sebagai hambatan pengganti antara titik 𝐴 dan 𝐵 jika resistor yang menghubungkan 𝐴 dan 𝐵 dilepas. Sekarang, rangkaian Pizza Resistor untuk 𝑁 = 𝑘 adalah sebagai berikut.

Rangkaian Pizza Resistor untuk 𝑁 = 𝑘 + 2 adalah sebagai berikut.

𝑅 𝑅

𝑅

𝑅 𝑅

𝐵 𝑅 𝑅

𝐴 𝑅

𝑅 𝑅 𝑅 𝑅

𝑅 𝑅

𝐵

𝐴 𝑅

𝑟_𝑘

𝐵

𝐴 𝑅

2𝑅 𝑅 𝑅

(3)

3 Wardaya College Perhatikan bahwa perbedaan antara Pizza Resistor untuk 𝑁 = 𝑘 dan 𝑁 = 𝑘 + 2 adalah kita menambahkan resistor 2𝑅 yang seri dengan 𝑟_𝑘 dan resistor 2𝑅 yang paralel dengan hasil seri antara 2𝑅 dan 𝑟𝑘. Sehingga, nilai-nilai 𝑗 yang mungkin sehingga 𝑅𝑘 dapat dinyatakan dalam 𝑅𝑘−𝑗 adalah semua bilangan genap positif. Untuk mempermudah perhitungan, maka nilai 𝑗 yang tepat untuk digunakan adalah 2.

Persamaan yang menghubungkan 𝑅_𝑘 dan 𝑟_𝑘 adalah sebagai berikut.

1 𝑅_𝑘 = 1

𝑟_𝑘+1

𝑅 (1)

Persamaan yang menghubungkan 𝑅_𝑘+2 dan 𝑟_𝑘 adalah sebagai berikut.

1

𝑅_𝑘+2 = 1

(𝑟𝑘+ 2𝑅)(2𝑅) (𝑟_𝑘+ 2𝑅) + (2𝑅)

+1

𝑅 (2)

Kita dapat mengeliminasi 𝑟𝑘 dari persamaan (1) dan (2), sehingga didapatkan 𝑅_𝑘+2=4𝑅 − 2𝑅_𝑘

8𝑅 − 5𝑅_𝑘𝑅

Atau dapat kita tulis ulang menjadi sebuah fungsi rekursif sebagai berikut.

𝑅_𝑘 =4𝑅 − 2𝑅_𝑘−2

8𝑅 − 5𝑅_𝑘−2𝑅 (3)

c. Dengan atau tanpa menggunakan hasil subsoal a dan fungsi rekursif yang telah didapatkan di subsoal b, akan didapatkan 𝑅₈ = ⁵⁸

105𝑅 dan 𝑅₉=²¹

38𝑅.

d. 𝑅2𝑘 dapat dinyatakan dalam 𝑅2𝑘−2 dengan persamaan berikut.

𝑅_2𝑘 =4𝑅 − 2𝑅_2𝑘−2

8𝑅 − 5𝑅_2𝑘−2𝑅 (4)

Fungsi rekursif yang didapatkan di subsoal b akan menuju ke suatu angka tertentu saat 𝑁 → ∞. Untuk 𝑁 = 2𝑘; 𝑘 → ∞, kita memiliki persamaan berikut.

𝑅2𝑘 = 𝑅2𝑘−2= 𝑅1 (5)

Dengan mensubstitusikan persamaan (5) ke (4) akan didapat persamaan kuadrat berikut ini.

5𝑅12− 10𝑅𝑅1+ 4𝑅²= 0

Solusi dari persamaan kuadrat di atas yang menjadi hambatan pengganti untuk 𝑁 = 2𝑘;

𝑘 → ∞ adalah

𝑅1=5 − √5

5 𝑅 (6)

Pada titik 𝐴 dan 𝐵 dihubungkan suatu kapasitor 𝐶 dengan muatan awal 𝑄₀.

Hukum Kirchoff akan memberikan kita persamaan berikut ini.

𝑅₁

𝐶 𝑖₁

(4)

4 Wardaya College 𝑄1

𝐶 − 𝑖₁𝑅₁= 0 (7)

Dengan mensubstitusikan 𝑖1 = −^𝑑𝑄¹

𝑑𝑡, kita akan mendapatkan

∫ 𝑑𝑄₁ 𝑄₁

𝑄_1(𝑡)

𝑄₀

= − ∫ 𝑑𝑡 𝑅₁𝐶

𝑡

0

Dengan mengintegeralkan kedua ruas, kita akan mendapatkan

∫ 𝑑𝑄₁ 𝑄₁

𝑄_1(𝑡)

𝑄₀

= − ∫ 𝑑𝑡 𝑅₁𝐶

𝑡

0

𝑄1(𝑡)= 𝑄0𝑒⁻

𝑡

𝑅₁𝐶 = 𝑄0𝑒⁻

5𝑡

(5−√5)𝑅𝐶 = 𝑄0𝑒⁻^(5+√5)𝑡^4𝑅𝐶 (8) e. Untuk 𝑁 = 2𝑘 + 1; 𝑘 → ∞, fungsi rekursif untuk hambatan penggantinya adalah sama

dengan subsoal d. Sehingga kita akan mendapatkan jawaban yang sama pula, yaitu sebagai berikut.

𝑄_2(𝑡)= 𝑄₀𝑒⁻^(5+√5)𝑡^4𝑅𝐶 (9)

(5)

5 Wardaya College Soal ke 2

Mesin Kalor

Penyusun Soal: Edward Humianto Suatu mesin kalor yang berisi gas ideal dengan ^𝐶^𝑝

𝐶_𝑣= 𝛾, tekanan awal 𝑃0 dan volume awal 𝑉0

menjalankan siklus termal yang terdiri dari tiga proses, yaitu dimulai dari proses dimana 𝑃 = 𝛽𝑉² (β tidak diketahui), proses adiabatik, dan proses isotermal. Ketiga proses ini akan ditinjau secara bertahap dan berurutan dimulai dari proses pertama. Terdapat 3 keadaan (𝑃, 𝑉) dalam proses ini, dimana keadaan A (𝑃0, 𝑉0), keadaan B (𝑘𝑃0, 𝑉𝐵), dan keadaan C (𝑃𝐶, 𝑉𝐶), dimana 𝑘 adalah suatu konstanta tak berdimensi (𝑘 > 1).

a. Tentukan 𝑉𝐵, nyatakan dalam k dan 𝑉0! b. Tentukan 𝑃_𝑐 dan 𝑉_𝑐!

c. Gambarkan sketsa diagram P-V untuk siklus termal mesin kalor ini dan tandai titik A,B,C!

d. Tentukan kalor yang diserap/dilepas (beri keterangan) oleh sistem untuk setiap proses!

e. Tentukan efisiensi sistem kalor dinyatakan dalam 𝑘!

f. Jika suhu pada keadaan A adalah 𝑇₀, tentukan perubahan entropi untuk setiap proses!

g. Hitung perubahan entropi total pada sistem, kemudian tentukan apakah proses tersebut reversibel atau tidak dan jelaskan alasannya!

h. Untuk meningkatkan efisiensi mesin kalor, terdapat suatu mekanisme regenerasi kalor, sehingga ada sejumlah kalor masuk yang bisa digunakan kembali dalam sistem, dengan perbandingan ^𝑄^𝑅

𝑄_𝑖𝑛= 𝑟. Asumsikan usaha total yang dilakukan sistem tetap sama, tentukan efisiensi sistem dengan mekanisme ini!

Solusi:

A 𝑃₀= 𝛽𝑉₀²

𝛽 = 𝑃₀ 𝑉₀² 𝑘𝑃₀= (𝑃0

𝑉₀²) 𝑉_𝐵² 𝑉𝐵 = √𝑘 𝑉0

B CA Isotermal, maka 𝑃𝑉 = 𝐾𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛

𝑃₀𝑉₀= 𝑃_𝐶𝑉_𝐶

BC Adiabatik, maka 𝑃𝑉^𝛾 = 𝐾𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛

𝑘¹⁺^𝛾² 𝑃₀𝑉₀^𝛾 = 𝑃_𝐶𝑉_𝐶^𝛾

(6)

6 Wardaya College Dari kedua persamaan, didapat

𝑉_𝐶 = 𝑉₀ 𝑘

2+𝛾 2(𝛾−1) 𝑃_𝐶 = 𝑃₀ 𝑘⁻

2+𝛾 2(𝛾−1)

C

D Proses AB

𝑊 = ∫ 𝑃 𝑑𝑉 𝑊𝐴𝐵 = ∫ (𝑃₀

𝑉₀²)

𝑉_𝐵

𝑉_𝐴

𝑉² 𝑑𝑉 =1

3(𝑘³²− 1) 𝑃0𝑉0

𝐶_𝑝

𝐶_𝑣= 𝛾  ^𝐶^𝑣^+𝑅

𝐶_𝑣 = 𝛾  𝐶_𝑣 = ^𝑅

𝛾−1

Δ𝑈_𝐴𝐵 = 𝑛 𝐶_𝑣 (𝑇_𝐵− 𝑇_𝐴)  Δ𝑈_𝐴𝐵 = ¹

𝛾−1(𝑃_𝐵𝑉_𝐵− 𝑃_𝐴𝑉_𝐴) Δ𝑈_𝐴𝐵= 1

𝛾 − 1(𝑘³²− 1) 𝑃₀𝑉₀

𝑄_𝐴𝐵 = 𝑊_𝐴𝐵+ Δ𝑈_𝐴𝐵

(7)

7 Wardaya College 𝑄_𝐴𝐵 = ^𝛾+2

3(𝛾−1)(𝑘³²− 1) 𝑃₀𝑉₀ (Kalor diserap)

Proses BC

BC Adiabatik, maka 𝑄𝐵𝐶 = 0

Proses CA

𝑊_𝐶𝐴= ∫ 𝑃0𝑉0

𝑉 𝑑𝑉

𝑉_𝐴

𝑉_𝐶

= 𝑃₀𝑉₀ln ( 𝑉0

𝑘

2+𝛾 2(𝛾−1) 𝑉0

)

𝑊_𝐶𝐴= − 𝛾 + 2

2(𝛾 − 1) 𝑃₀𝑉₀ln 𝑘 Δ𝑈𝐶𝐴 = 0 karena 𝑇𝐴− 𝑇𝐶 = 0

𝑄_𝐶𝐴 = 𝑊_𝐶𝐴+ Δ𝑈_𝐶𝐴 𝑄_𝐶𝐴 = − ^𝛾+2

2(𝛾−1) 𝑃₀𝑉₀ln 𝑘 (Kalor dilepas)

E 𝜂 = 1 −𝑄_𝑜𝑢𝑡

𝑄_𝑖𝑛 = 1 −𝑄_𝐶𝐴 𝑄_𝐴𝐵

𝜂 = 1 − 3 ln 𝑘 2(𝑘³²− 1)

F Proses AB

𝑑𝑊_𝐴𝐵 = 𝑃₀

𝑉₀²𝑉² 𝑑𝑉 𝑑𝑈𝐴𝐵= 1

𝛾 − 1 𝑃₀𝑉₀

𝑇₀ 𝑑𝑇 Persamaan Keadaan  ^𝑃⁰_𝑇^𝑉⁰

0 =^𝑃𝑉

𝑇  ^𝑃⁰_𝑇^𝑉⁰

0 = (^𝑃⁰

𝑉₀²)^𝑉³

𝑇  𝑇 = 𝑇₀^𝑉³

𝑉₀³

𝑑𝑆_𝐴𝐵= 𝑑𝑄_𝐴𝐵

𝑇 =𝑑𝑊_𝐴𝐵+ 𝑑𝑈_𝐴𝐵 𝑇

Δ𝑆𝐴𝐵= ∫ 𝑃₀ 𝑉₀²𝑉² 𝑑𝑉

𝑇₀𝑉³ 𝑉₀³

𝑉_𝐵

𝑉_𝐴

+ ∫ 1

𝛾 − 1 𝑃₀𝑉₀

𝑇₀ 𝑑𝑇

𝑇

𝑇_𝐵

𝑇_𝐴

(8)

8 Wardaya College Δ𝑆_𝐴𝐵 =𝑃₀𝑉₀

𝑇0

ln𝑉_𝐵 𝑉𝐴

+ 𝑃₀𝑉₀

(𝛾 − 1)𝑇₀ln𝑇_𝐵 𝑇𝐴

=𝑃₀𝑉₀ 𝑇0

(1

2ln 𝑘 +3 2

1

𝛾 − 1ln 𝑘) Δ𝑆_𝐴𝐵 =𝑃₀𝑉₀

𝑇₀

𝛾 + 2 2(𝛾 − 1)ln 𝑘 Proses BC

BC Adiabatik, maka 𝑑𝑄 = 0 sehingga Δ𝑆𝐵𝐶 = 0 Proses CA

𝑑𝑆_𝐶𝐴 =𝑑𝑄_𝐶𝐴 𝑇₀ Δ𝑆𝐶𝐴 =𝑄_𝐶𝐴

𝑇0

Δ𝑆_𝐶𝐴 = −𝑃₀𝑉₀ 𝑇0

𝛾 + 2 2(𝛾 − 1) ln 𝑘

G Δ𝑆 = Δ𝑆_𝐴𝐵+ Δ𝑆_𝐵𝐶+ Δ𝑆_𝐶𝐴

Δ𝑆 = 0

Proses bersifat reversible

H 𝜂^′= 𝑊

𝑄𝑖𝑛′= 𝑊 𝑄𝑖𝑛− 𝑄𝑅

= 𝑊 𝑄𝑖𝑛

1

1 − 𝑟= 𝜂 1 − 𝑟

𝜂^′= 1

1 − 𝑟(1 − 3 ln 𝑘 2 (𝑘³²− 1)

)

(9)

Asteroid

Penyusun Soal: Edward Humianto

Gunakan koordinat bola dalam mengerjakan soal ini. Suatu asteroid (dapat diasumsikan partikel titik) dengan massa m dan muatan q berada di antariksa dimana terdapat gaya pemulih dari benda langit yang dapat dimodelkan sebagai pegas dengan konstanta pegas k dan panjang rileks nol, dimana ujung lainnya berada di pusat koordinat (lihat gambar). Asteroid ini berada di suatu daerah dengan persebaran massa per satuan volume 𝜌 seragam yang memiliki bentuk simetri bola dan berpusat di r=0. Selain itu, di daerah ini juga terdapat suatu fungsi potensial listrik 𝑉 =

𝛽

𝑟^𝜂 dimana 𝜂 > 0. Asteroid ini berputar dengan suatu kecepatan sudut 𝜔₀ pada posisi titik kesetimbangannya. Asumsikan sebaran massa tidak terpengaruh gerak dari asteroid.

Petunjuk: (1 + 𝑥)^𝑛≈ 1 + 𝑛𝑥, untuk 𝑥 ≪ 1

a. Tentukan medan listrik dan medan gravitasi sebagai fungsi jarak dari pusat koordinat!

b. Tentukan posisi titik kesetimbangan asteroid ini (𝑟₀)!

c. Tentukan kecepatan sudut ω asteroid sebagai fungsi jarak r (nyatakan dalam 𝜔₀ dan 𝑟₀), diasumsikan tidak ada gaya tambahan pada arah tangensial!

d. Tuliskan persamaan gerak asteroid pada suatu jarak r!

e. Jika asteroid tersimpang sejauh 𝛿 kecil dari titik setimbang, resultan gaya yang bekerja pada asteroid dapat ditulis sebagai Σ𝐹 = −𝐾. 𝛿 , tentukan besar K dinyatakan hanya dalam variabel yang diberikan di soal!

f. Tentukan periode osilasi asteroid!

g. Terdapat suatu nilai 𝜂_𝑐 sedemikian sehingga periode osilasi tidak dipengaruhi oleh 𝜔₀, tentukan 𝜂_𝑐!

Untuk bagian ini dan seterusnya terdapat gaya gesek dari debu kosmik yang hanya bekerja pada arah radial dan besarnya sebanding dengan kecepatan partikel 𝑓⃗ = −𝛾^𝑑𝛿

𝑑𝑡 𝑟̂. Selain itu, terdapat suatu pancaran cahaya dari bintang-bintang yang dapat dianggap sebagai gelombang elektromagnetik dengan medan listrik fungsi waktu 𝐸⃗⃗ = 𝐸0sin 𝛼𝑡 𝑟̂. Anggap efek dari medan magnet jauh lebih kecil sehingga dapat diabaikan.

h. Tuliskan persamaan gerak sistem pada suatu waktu t dinyatakan dalam 𝐾, 𝛾, 𝑚, 𝑞, 𝐸₀, 𝛼 serta δ dan turunannya terhadap waktu!

i. Simpangan partikel dapat dituliskan dalam bentuk 𝛿(𝑡) = 𝛿_ℎ(𝑡) + 𝛿_𝑝(𝑡), dimana 𝛿_ℎ adalah suku solusi homogen dan 𝛿_𝑝 adalah suku solusi partikular. Suku homogen nilainya akan menuju nol dalam waktu yang cukup lama sehingga hanya tersisa suku partikular. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini, gunakan 𝛿_𝑝≡ 𝐴. 𝑒^𝑖𝛼𝑡, dimana A adalah amplitudo getaran dan i adalah bilangan imajiner. Cara menyelesaikan persamaan diferensial ini dapat dilakukan dalam beberapa langkah.

Petunjuk: 𝑒^𝑖𝜃= 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃

(10)

10 Wardaya College 1. Ubah medan menjadi bentuk 𝐸 = 𝐸₀𝑒^𝑖𝛼𝑡, tentukan suku mana (riil/imajiner) yang harus

diambil!

2. Substitusikan bentuk medan tersebut ke persaman gerak dan tentukan amplitudo getaran (terdapat suku imajiner)!

3. Substitusikan A yang didapat ke persamaan δ dan hanya pilih suku yang bersesuaian (riil/imajiner) untuk mendapat 𝛿(𝑡)!

j. Anggap terdapat sejumlah 𝛽 asteroid identik per satuan volume (asumsikan gaya interaksi antar asteroid sangat lemah). Akibat cahaya bintang yang sangat kuat, asteroid-asteroid ini terpolarisasi sedemikian sehingga jarak antar kutub adalah 𝛿(𝑡). Tentukan total polarisasi P (momen dipol per satuan volume) dari asteroid-asteroid ini, nyatakan dalam 𝛽, 𝐾, 𝛾, 𝑚, 𝑞, 𝐸₀, 𝛼 dan t!

k. Tentukan indeks bias pada daerah lingkup asteroid ini!

Petunjuk:

 𝑷 = (𝜖 − 𝜖₀)𝑬

 Cepat rambat cahaya vakum adalah 𝑐 = ¹

√𝜇0𝜖₀, dan cepat rambat cahaya pada suatu medium adalah 𝑣 = ¹

√𝜇𝜖 , dimana 𝜖 adalah permitivitas medium dan 𝜇 (𝜇 ≈ 𝜇0) adalah permeabilitas medium.

Solusi:

A 𝐸⃗⃗ = −𝑑𝑉

𝑑𝑟 𝑟̂

𝐸⃗⃗ = 𝜂 𝛽 𝑟^𝜂+1 𝑟̂

𝑔⃗ = −𝐺 𝑚_𝑒𝑛𝑐 𝑟² 𝑟̂

(11)

11 Wardaya College 𝑔⃗ = −𝐺 (4

3𝜌𝜋𝑟³)

𝑟² 𝑟̂ = −4

3𝜌𝐺𝜋𝑟 𝑟̂

B Σ𝐹 = 0

𝑞𝐸 + 𝑚𝑔 + 𝑚𝜔₀²𝑟₀− 𝑘𝑟₀= 0

𝑟0= ( 𝑞𝜂𝛽

−𝑚𝜔₀²+4

3𝜌𝑚𝐺𝜋 + 𝑘 )

1 𝜂+2

C 𝐿⃗⃗ kekal

𝑚𝑟₀²𝜔₀= 𝑚𝑟²𝜔

𝜔 =𝜔₀𝑟₀² 𝑟²

D 𝑞𝐸 + 𝑚𝑔 + 𝑚𝜔²𝑟 − 𝑘𝑟 = 𝑚𝑟̈

𝑞𝜂𝛽 𝑟^𝜂+1−4

3𝜌𝐺𝑚𝜋𝑟 +𝑚𝜔₀²𝑟₀⁴

𝑟³ − 𝑘𝑟 = 𝑚𝑟̈

E 𝑟 = 𝑟₀+ 𝛿 , dimana δ adalah simpangan kecil, 𝛿 ≪ 𝑟₀

ΣF = 𝑞𝜂𝛽

(𝑟₀+ 𝛿)^𝜂+1−4

3𝜌𝐺𝑚𝜋(𝑟₀+ 𝛿) + 𝑚𝜔₀²𝑟₀⁴

(𝑟₀+ 𝛿)³− 𝑘(𝑟₀+ 𝛿)

Σ𝐹 ≈ 𝑞𝜂𝛽

𝑟₀^𝜂+1(1 −(𝜂 + 1)𝛿 𝑟₀ ) −4

3𝜌𝐺𝑚𝜋(𝑟₀+ 𝛿) + 𝑚𝜔₀²𝑟₀(1 −3𝛿

𝑟₀) − 𝑘(𝑟₀+ 𝛿) Suku konstan saling menghilangkan dari persamaan (B)

Σ𝐹 = − 𝑞𝜂𝛽

𝑟₀^𝜂+2(𝜂 + 1)𝛿 −4

3𝜌𝐺𝑚𝜋𝛿 − 3𝑚𝜔₀²𝛿 − 𝑘𝛿

Σ𝐹 = − [(4

3𝜌𝑚𝐺𝜋 + 𝑘) (𝜂 + 2) + 𝑚𝜔₀²(−𝜂 + 2)] 𝛿 𝐾 = (4

3𝜌𝑚𝐺𝜋 + 𝑘) (𝜂 + 2) + 𝑚𝜔₀²(−𝜂 + 2)

F 𝑇 = 2𝜋√𝑚

𝐾

(12)

12 Wardaya College

𝑇 = 2𝜋 √ 𝑚

(4

3𝜌𝑚𝐺𝜋 + 𝑘) (𝜂 + 2) + 𝑚𝜔₀²(−𝜂 + 2) G 𝜂_𝑐 = 2 agar suku 𝑚𝜔₀² tidak memberi pengaruh

H Σ𝐹 = 𝑚 𝛿̈

𝑞𝐸₀sin(𝛼𝑡) = 𝐾𝛿 + 𝛾𝛿̇ + 𝑚𝛿̈

I 1. Ambil suku imajiner saja dari 𝑒^𝑖𝛼𝑡 agar cos(𝛼𝑡) + 𝑖 sin(𝛼𝑡) menjadi sin(𝛼𝑡) 2. 𝛿 = 𝐴𝑒^𝑖𝛼𝑡

𝑞𝐸0𝑒^𝑖𝛼𝑡= 𝐾𝐴𝑒^𝑖𝛼𝑡+ 𝛾𝐴𝑖𝛼𝑒^𝑖𝛼𝑡+ 𝑚(−𝛼²)𝑒^𝑖𝛼𝑡

𝐴 = 𝑞𝐸₀

𝐾 − 𝑚𝛼²+ 𝛾𝑖(𝐾 − 𝑚𝛼²− 𝛾𝑖 𝐾 − 𝑚𝛼²− 𝛾𝑖)

𝐴 = 𝑞𝐸₀

(𝐾 − 𝑚𝛼²)²+ 𝛾²(𝐾 − 𝑚𝛼²− 𝛾𝑖) 3. 𝛿 = 𝐴𝑒^𝑖𝛼𝑡

𝛿 = 𝑞𝐸₀

(𝐾 − 𝑚𝛼²)²+ 𝛾²(𝐾 − 𝑚𝛼²− 𝛾𝑖)(cos 𝛼𝑡 + 𝑖 sin 𝛼𝑡) Hanya ambil suku yang mengandung i saja, sehingga

𝛿 = 𝑞𝐸₀

(𝐾 − 𝑚𝛼²)²+ 𝛾²((𝐾 − 𝑚𝛼²) sin 𝛼𝑡 − 𝛾 cos 𝛼𝑡)

𝛿 = 𝑞𝐸₀

√(𝐾 − 𝑚𝛼²)²+ 𝛾²sin (𝛼𝑡 − tan⁻¹( 𝛾 𝐾 − 𝑚𝛼²))

J 𝑃 = 𝛽𝑝

𝑃 = 𝛽(𝑞𝛿) 𝑃 = 𝛽𝑞²𝐸₀

√(𝐾 − 𝑚𝛼²)²+ 𝛾²sin (𝛼𝑡 − tan⁻¹( 𝛾 𝐾 − 𝑚𝛼²)) K Dari definisi indeks bias, 𝑛 =^𝑐

𝑣= √_𝜇^𝜇𝜖

0𝜖₀

Untuk 𝜇 ≈ 𝜇₀ , 𝑛 ≈ √_𝜖^𝜖

0 Dari definisi polarisasi, 𝑃⃗⃗ = (𝜖 − 𝜖0) 𝐸⃗⃗

𝜖 = 𝜖₀+𝑃⃗⃗

𝐸⃗⃗

𝑛 = √𝜖₀+𝑃 𝐸 𝜖₀

(13)

13 Wardaya College

𝑛 = √1 + 𝛽𝑞²

𝜖0√(𝐾 − 𝑚𝛼²)²+ 𝛾²

sin (𝛼𝑡 − tan⁻¹( 𝛾 𝐾 − 𝑚𝛼²))

sin(𝛼𝑡)

(14)

Penyusun Soal: Nixon Widjaja

Kita sering menggunakan rumus 𝑃 = 𝑒𝜎𝐴𝑇⁴. Anda akan menyatakan konstanta Stefan Boltzmann dalam konstanta fisika lainnya.

*Cara yang tidak jelas akan mendapat nilai 0.

Anda dapat mencari intensitas fungsi panjang gelombang I(λ) terlebih dahulu.

Tinjau sebuah kubus dengan sisi L, suhu T, dan dipenuhi gelombang elektromagnetik dengan berbagai panjang gelombang. Tentu hanya gelombang-gelombang dengan panjang gelombang tertentu saja yang dapat menghasilkan gelombang berdiri dalam ruangan. Anda dapat meninjau satu arah pada kubus terlebih dahulu lalu meninjau pada volume 3 dimensi. Anda kemudian dapat mencari energi per volume diferensial dari gelombang elektromagnetik.

Hasil I(λ) yang Anda dapat perlu dikali ^𝑐

2 karena setiap gelombang elektromagnetik memiliki 2 polarisasi dan mengalikan faktor ¹

𝑒^{ℎ𝑐/𝜆𝑘𝑇}−1karena foton mengikuti distribusi Bose-Einstein. Lalu Anda dapat mengintegrasi I(λ) untuk seluruh panjang gelombang.

Bantuan integral:

∫₀^∞_𝑒^𝑥_𝑥₋₁³ 𝑑𝑥 =^𝜋⁴

15

Nyatakan konstanta Stefan Boltzmann dalam konstanta fisika lainnya!

Solusi:

(15)

15 Wardaya College

(16)

16 Wardaya College

(17)

Efek Difraksi dan Interferensi Penyusun Soal: Nixon Widjaja

Terdapat sebuah sistem celah yang terdiri dari 3 celah dengan lebar a, 2a, dan 3a berturut-turut yang masing-masing terpisah pada jarak d. Sebuah gelombang bidang dengan panjang gelombang λ mengenai sistem celah tersebut. Dengan memperhitungkan efek difraksi dan interferensi, tentukan distribusi intensitas sebagai fungsi dari sudut difraksi θ.

Solusi:

(18)

18 Wardaya College