BAB II
TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Matriks
2.1.1 Definisi Matriks
Matriks adalah kumpulan dari beberapa nilai yang memiliki baris dan kolom, pada susunan horizontal disebut dengan baris sedangkan susunan vertikal disebut dengan kolom. Banyaknya baris dan banyaknya kolom suatu matriks disebut ukuran matriks. Bentuk umum dari sebuah matriks adalah sebagai berikut:
[
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 ⋯ 𝑎𝑚𝑛]
Suatu matriks dapat ditulis dalam bentuk () atau [ ]. Matriks dilambangkan dengan huruf kapital, misalnya 𝐴, 𝐵 dan lainnya. Dalam sebuah matriks dikenal dengan istilah ordo. Ordo digunakan untuk menyatakan banyaknya baris dan kolom pada ma. Misalnya 𝐴𝑥,𝑦. 𝐴𝑥,𝑦 artinya adalah matriks 𝐴 yang memiliki banyaknya baris x buah dan kolom sebanyak y buah. Matriks bujur sangkar adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama banyak. Matriks bujur sangkar n x n dikatakan sebagai matriks orde n dan kadang kala disebut sebagai matriks bujur sangkar-n [4]
2.1.2. Operasi Pada matriks
Berikut operasi-operasi pada matriks adalah sebagai berikut:
2.1.2.1 Penjumlahan matriks
Misalkan 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] dan 𝐵 = [𝑎𝑖𝑗] adalah matriks berukuran 𝑚 𝑥 𝑛,
Maka 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 adalah suatu matriks yang berukuran 𝑚 𝑥 𝑛 dengan entri entri 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 dimana untuk setiap 𝑖 = 1, 2, 3, … . 𝑚 dan 𝑗 = 1, 2, … 𝑛.
Contoh penjumlahan pada matriks.
1. A = [2 4
7 5] , B = [3 1 2 9] A+B = [2 4
7 5] + [3 1
2 9] = [5 5 9 14]
2. 𝐴 = [
1 4 8 5 7 6 3 2 9
] 𝐵 = [
9 2 5
3 6 8
7 4 1
]
𝐴 + 𝐵 = [
1 4 8
5 7 6
3 2 9
] + [
9 2 5
3 6 8
7 4 1
]
= [
10 6 13
8 13 14
10 6 10
]
Jika pada matriks memiliki ordo yang berbeda maka penjumlahan matriks tersebut tidak terdefinisi.[4]
2.1.2.2 Perkalian Matriks dengan Skalar
Perkalian pada matriks jika diketahui suatu matriks 𝐴 dan matriks 𝐵 berordo 𝑖 × 𝑗. perkalian matriks 𝐴 dengan skalar 𝐾 dinyatakan 𝐶 = 𝑘𝐴.
Contoh: Jika diketahui matriks 𝐴 = [5 3
2 4] , 𝑘 = 2 𝑘𝐴 = [2(5) 2(3)
2(2) 2(4)] = [10 6
4 8] 2.1.2.3 Perkalian Matriks
Jika 𝐴 adalah matriks 𝑚 𝑥 𝑟 dan 𝐵 adalah matriks 𝑟 𝑥 𝑛 maka hasil kali 𝐴𝐵 adalah matriks 𝑚 𝑥 𝑛 yang entri entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri baris 𝑖 dan kolom 𝑗 dari 𝐴𝐵, memisahkan baris 𝑖 dari matriks 𝐴 dan kolom 𝑗 dari matriks 𝐵. Kalikan entri entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut dan kemudian menjumlahkan hasil yang diperoleh.[4]
Dua matriks dapat dikalikan apabila banyak kolom matriks pertama sama jumlahnya dengan banyak baris dari matriks kedua. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:
𝐴𝑚×𝑟 × 𝐵𝑟×𝑛 = 𝐶𝑚×𝑛
Beberapa sifat sifat dari perkalian matriks adalah:[4]
1. Sifat Distributif
𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 {Hukum distribusi kiri}
Sifat ordo matriks agar hukum distribusi berlaku jika sifat ordonya ada (Jika Matiks A dan B bisa dikalikan jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B)
(𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 {Hukum distribusi kanan}
Contoh: Diketahui 𝐶 = [2 4
7 5] , 𝐵 = [3 1
2 9] 𝐷𝑎𝑛 𝐴 = [2 1 3 1
4 3 ] Hitunglah 𝐴 ( 𝐵 + 𝐶 )!
Untuk ( 𝐵 + 𝐶 ) = [2 4
7 5] + [3 1
2 9] = [5 5 9 14] Untuk 𝐴( 𝐵 + 𝐶 ) = [2 1
3 1
4 3
]. [5 5 9 14]
= [
2(5) + 1(9) 2(5) + 1(14) 3(5) + 4(9)
1(5) + 3(9)
3(5) + 4(14) 1(5) + 3(14)
]
= [19 24 51 32
74 47 ]
Hitunglah (𝐴 + 𝐵)𝐶 Jika diketahui 𝐶 = [2 4
7 5] , 𝐵 = [3 1
2 9] 𝐷𝑎𝑛 𝐴 = [
2 1
3 1
4 3 ] (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶
= ([
2 1
3 4
1 3
] × [2 4
7 5]) + ([3 1
2 9] × [2 4 7 5]) = [
11 13 34 32 23 19
] + [13 17 67 53]
Tidak berlaku sifat distributif perkalian matriks karena jumlah kolom matriks A tidak sama dengan jumlah baris pada matriks B sehingga perkalian (B+C)A Tak terdefenisi
2. Sifat Asosiatif Perkalian
𝐴(𝐵𝐶) = (𝐴𝐵)𝐶 sifat ordo matriks 3. 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴
Perkalian matriks tidak memenuhi sifat komutatif. Pada bilangan real (𝑎𝑏 = 𝑏𝑎), sedangkan pada matriks 𝐴𝐵 tidak selalu sama dengan 𝐵𝐴. Hal tersebut dapat dilihat dari beberapa kasus sebagai berikut:
a. Hasil dari 𝐴𝐵 dapat didefenisikan, akan tetap hasil dari 𝐵𝐴 tidak dapat didefenisikan, sebagai contoh apabila 𝐴 adalah matriks yang memiliki ordo 3 𝑥 4 dan 𝐵 adalah matriks yang memiliki ordo 4 𝑥 5.
b. Hasil kali dari 𝐴𝐵 dan 𝐵𝐴 dapat didefinisikan, akan tetapi masing- masing entri yang bersesuain dari matriks tersebut adalah berbeda, sebagai contoh:
𝐴 = [ 1 4
3 2
2 1
6 2 5
] dan 𝐵 = [ 2 5
1 3
1 2
1 2 4
] sehingga
𝐴𝐵 = [ 1 4
3 2 2 1
6 2 5
] [ 2 5
1 3
1 2
1 2 4 ] = [
19 19
8 17 8 20 27 18 42
]
𝐵𝐴 = [ 2 5
1 3 1 2 1 2 4
] [ 1 4
3 2 6 2 12 5
] = [ 24 21
14 20 21 21 33 15 24 ]
Dari hasil perkalian diatas dapat membuktikan bahwa 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 1. Perkalian dengan identitas
Matriks identitas adalah maatriks yang semua elemen diagonal utamanya merupakan bilangan 1, selainnya bilangan 0.
IA = AI = A Contoh 𝐼 = [
1 0
0 0 1 0
0 0 1
] , dan 𝐴 = [ 1 4
3 2
2 1
6 2 5
], maka 𝐼𝐴 = 𝐴𝐼 = 𝐴
𝐼𝐴 = [ 1 0
0 0
1 0
0 0 1 ] [
1 4
3 2 2 1 6 2 5
] = [ 1 4
3 2 2 1 6 2 5 ]
𝐴𝐼 = [ 1 4
3 2
2 1
6 2 5 ] [
1 0
0 0 1 0 0 0 1
] = [ 1 4
3 2
2 1
6 2 5 ]
Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa setiap matriks yang di kalikan dengan matriks identitas maka hasilnya matriks itu sendiri [6].
2.2. Bujur Sangkar Ajaib (Magic Square) 2.2.1. Sejarah Bujur Sangkar Ajaib
Bujur sangkar ajaib sudah dikenal oleh matematikawan Cina sejak 650 sebelum masasehi. Menurut literatur Cina, terdapat legenda bahwa dahulu kala terdapat bencana banjir. Raja besar Yu (禹) berusaha untuk menyalurkan air ke laut.
Pada saat itu, terlihat kura-kura dengan pola aneh pada tempurung. Ini yang menjadi landasan untuk membuat suatu persegi 3𝑥3 dimana setaip jumlah setiap elemen baris, elemen kolom dan kedua diagonalnya sama. Pola ini, dengan cara tertentu, juga digunakan oleh orang-orang dalam mengendalikan sungai.[5]
2.2.2. Pengertian Bujur Sangkar Ajaib (Magic Square)
Magic square adalah suatu susunan bilangan-bilangan 1, 2, 3, … , 𝑛2 ke dalam kotak-kotak berjumlah sama sedemikian sehingga jumlah bilangan-bilangan di setiap baris, di setiap kolom, dan di kedua diagonal utama berjumlah sama yang disebut bilangan magic. Suatu matriks bujur sangkar 𝐴 = (𝑎𝑖 𝑗 )( 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 ) yang berukuiran 𝑛 × 𝑛 dengan 𝑑, dengan d adalah jumlah setiap kolom, baris dan kedua diagonalnya dikatakan bujur sangkar ajaib jika memenuhi;[1]
{
∑ 𝑎𝑖𝑗 = 𝑑
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑗=1
= 𝑑
∑ 𝑎𝑖𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑑
∑ 𝑎𝑖(𝑛−𝑖+1) = 𝑑
𝑛
𝑖=1
Dengan d adalah jumlah elemen baris, kolom, dan diagonal, sedangkan 𝑛 adalah ordo matriks dengan nilai 𝑛 ≥ 1 dan 𝑛 merupakan bilangan bulat.
2.2.3. Klasifikasi Magic Square
Magic square terdapat tujuh klasifikasi atau bagian antara lain sebagai berikut:[5]
Untuk semua j
Untuk semua i
a. Semimagic square (persegi semi-ajaib)
Persegi semi-ajaib merupakan sebuah matriks yang berukuran 𝑛 × 𝑛, sehingga jika dijumlahkan pada setiap baris dan kolom hasilnya sama tanpa memperhatikan kedua diagonalnya.
Contoh :
Tabel 2. 1 Semi Magic Square 1 0 0
0 1 0 0 0 1
b. Perfect magic square
Merupakan sebuah matriks yang berukuran 𝑛 × 𝑛 sehingga jika persegi ajaib dijumlahkan baris, kolom, dan kedua diagonal jika dijumlahkan hasilnya sama dan konstan
Contoh : perfect magic square ordo 5 × 5
Tabel 2. 2 Perfect Magic Square
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
tabel diatas merupakan perfect magic square karena setiap penjumlahan sekolom, sebaris dan kedua diagonalnya hasilnya sebesar 65, lebih detail seperti pada gambar berikut:
65
65 65
c. Magic Square Geometric
Magic square geometric adalah magis square yang kolom, baris dan kedua diagonalnya jika dikalikan hasilnya sama.
Contoh : geometric magic square ber ordo 4 × 4
Tabel 2. 3 Magic Square Geometri 23 6 18 16
4 72 24 108 8 36 12 216 54 48 144 2
dari tabel diatas merupakan magic square geometri karena setiap perkalian sekolom, sebaris dan kedua diagonalnya hasilnya sebesar 39744, berikut agar lebih detail seperti pada gambar berikut:
d. Zero Magic Square
Zero Magic Square adalah magic square jika dijumlahkan baris, kolom, dan kedua diagonal hasilnya adalah 0.
Contoh : zero magic square
Tabel 2. 4 Zero Magic Square
4 11 -12 -5 2
10 -8 -6 1 3
-9 -7 0 7 9
-3 -1 6 8 -10
39744
39744 39744
-2 5 12 -11 -4
dari tabel diatas merupakan magic square geometri karena setiap hasil penjumlahan sekolom, sebaris dan kedua diagonalnya hasilnya selalu nol, berikut agar lebih detail seperti pada gambar berikut:
e. Addition-Multiplication Magic Square
Addition-Multiplicationm Magic Square (persegi ajaib penjumlahan- perkalian) adalah magic square jika setiap sekolom, sebaris dan kedua diagonal dijumlahkan dan menghasilkan nilai yang konstan.
Contoh ; Addition-Multiplication Magic Square berordo 8 × 8.
Tabel 2. 5 Addition-Multiplicationm Magic Square 162 207 51 26 133 120 116 25 105 152 100 29 138 243 39 34 92 27 91 136 45 38 150 261 57 30 174 225 108 23 119 104 58 75 171 90 17 52 216 161 13 68 184 189 50 87 135 114 200 203 14 76 117 102 46 81 153 78 54 69 232 175 19 60
dari tabel diatas merupakan magic square geometri karena setiap hasil penjumlahan maupun perkalian sekolom, sebaris dan kedua diagonalnya hasilnya sama.
0
0 0
