Aljabar Linier. Kuliah

Aljabar Linier

Kuliah 13 – 14 – 15

Materi Kuliah

 Transformasi Linier dari 𝐹

^𝑛

ke 𝐹

^𝑚

 Perubahan Matriks Basis

 Matriks dari Transformasi Linier

 Perubahan Basis untuk Transformasi Linier

 Matriks-matriks Ekivalen

Transformasi Linier dari 𝐹

^𝑛

ke 𝐹

^𝑚

11/25/2014 3

Review:

Misalkan 𝜏: ℝ^𝑛 → ℝ^𝑚 ditulis sebagai 𝜏_𝐴: ℝ^𝑛 → ℝ^𝑚, sehingga 𝜏_𝐴 𝒙 = 𝐴𝒙

Dengan 𝐴 matriks standar berukuran 𝑚 × 𝑛.

Contoh

Misalkan 𝜏: ℝ⁴ ⟶ ℝ³ transformasi linier yang didefinisikan dengan 𝜏

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑥₄

=

2𝑥₁ − 3𝑥₂ + 𝑥₃ −5𝑥₄ 4𝑥₁ + 𝑥₂ − 2𝑥₃ + 𝑥₄

5𝑥₁ − 𝑥₂ + 4𝑥₃ . Maka 𝜏 dapat dibuat menjadi

𝜏 𝒙 = 2 −3 1

4 1 −2

5 −1 4

−51 0

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑥₄

Yanita, Matematika FMIPA Unand

Teorema 2.10

1. Jika 𝐴 matriks 𝑚 × 𝑛 atas 𝐹, maka 𝜏

_𝐴

∈ L 𝐹

^𝑛

, 𝐹

^𝑚

. 2. Jika 𝜏 ∈ L 𝐹

^𝑛

, 𝐹

^𝑚

maka 𝜏 = 𝜏

_𝐴

, di mana

𝐴 = 𝜏 𝑒

₁

𝜏 𝑒

₂

… | 𝜏 𝑒

_𝑛

Teorema 2.11

Misalkan 𝐴 matriks 𝑚 × 𝑛 atas 𝐹.

1. 𝜏

_𝐴

: 𝐹

^𝑛

→ 𝐹

^𝑚

injektif jika dan hanya jika 𝑟𝑘 𝐴 = 𝑛.

2. 𝜏

_𝐴

: 𝐹

^𝑛

→ 𝐹

^𝑚

surjektif jika dan hanya jika 𝑟𝑘 𝐴 = 𝑚.

Perubahan Matriks Basis

11/25/2014 5

Review:

Koordinat matriks dari suatu vektor terhadap basis terurut.

Yanita, Matematika FMIPA Unand

Perubahan Operator Basis

Misalkan B = 𝑏

₁

, 𝑏

₂

, … , 𝑏

_𝑛

dan C = 𝑐

₁

, 𝑐

₂

, … , 𝑐

_𝑛

adalah basis terurut untuk ruang vektor 𝑉. Maka dapat ditentukan 𝑣 B dan 𝑣 C.

Perhatikan gambar berikut:

Pemetaan yang membawa 𝑣 B ke 𝑣 C

adalah 𝜙B

^,

C = 𝜙C 𝜙B

⁻¹

dan disebut

perubahan operator basis atau

perubahan operator koordinat.

Perhatikan bahwa

𝜙B^,C adalah suatu operator pada 𝐹^𝑛 yang mempunyai bentuk 𝜏_𝐴, di mana

Matriks 𝐴 ini disimbolkan dengan 𝑀B^,C dan disebut sebagai perubahan matriks basis dari B ke C.

11/25/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 7

Teorema 2.12

Misalkan B = 𝑏

₁

, 𝑏

₂

, … , 𝑏

_𝑛

dan C basis terurut untuk 𝑉.

Maka pengganti operator basis 𝜙B

^,

C = 𝜙C 𝜙B

⁻¹

adalah automorfisma dari 𝐹

^𝑛

(operator linier yang bijektif dari 𝐹

^𝑛

ke 𝐹

^𝑛

) dimana matriks standarnya adalah

𝑀B

^,

C = 𝑏

¹

C | 𝑏

²

C … 𝑏

^𝑛

C Oleh karena itu

𝑣 C = 𝑀B

^,

C 𝑣 B dan 𝑀C,B

^,

= 𝑀B

^,

C

⁻¹

11/25/2014 9

Teorema 2.13

Jika diberikan dua dari pernyataan berikut:

1. Matriks invertibel 𝐴

2. Basis terurut B untuk 𝐹

^𝑛

3. Basis terurut C untuk 𝐹

^𝑛

Maka yang ketiga secara unik ditentukan oleh persamaan

𝐴 = 𝑀B

^,

C

Yanita, Matematika FMIPA Unand

Matriks dari Transformasi Linier

Misalkan 𝜏: 𝑉 ⟶ 𝑊 adalah transformasi linier, dimana dim 𝑉 = 𝑛 dan dim 𝑊 = 𝑚 dan misalkan B = 𝑏₁, 𝑏₂, … , 𝑏_𝑛 basis terurut untuk 𝑉 dan C basis terurut untuk 𝑊. Maka pemetaan

𝜃: 𝑣 B ⟶ 𝜏(𝑣) C

adalah representasi dari 𝜏 sebagai transformasi linier dari 𝐹^𝑛 ke 𝐹^𝑚, dalam arti bahwa mengetahui 𝜃 adalah ekivalen dengan mengetahui 𝜏. Dan representasi ini bergantung pada pemilihan basis terurut B dan C.

Oleh karena 𝜃 adalah transformasi linier dari 𝐹^𝑛 ke 𝐹^𝑚, maka transformasi ini adalah perkalian dengan matriks 𝑚 × 𝑛, yaitu

𝜏(𝑣) C = 𝐴 𝑣 B

11/25/2014 11

Teorema 2.14

Misalkan 𝜏 ∈ L 𝑉, 𝑊 dan B = 𝑏1, 𝑏₂, … , 𝑏_𝑛 basis terurut untuk 𝑉 dan C basis terurut untuk 𝑊. Maka 𝜏 dapat direpresentasikan terkait dengan B dan C sebagai perkalian matriks, yaitu

𝜏(𝑣) C = 𝜏 B^,C 𝑣 B di mana

disebut sebagai matriks dari 𝜏 yang terkait dengan basis B dan C.

Jika 𝑉 = 𝑊 dan B = C, maka 𝜏 B^,C = 𝜏 B^,B dan ditulis 𝜏 B^,B dengan 𝜏 B, sehingga 𝜏(𝑣) B = 𝜏 B 𝑣 B

Yanita, Matematika FMIPA Unand

Contoh 1

Misalkan 𝐷: 𝑃₂ ⟶ 𝑃₂, operator derivatif dengan 𝑃₂ adalah ruang vektor dari semua polinomial berderajat paling besar 2. Misalkan B = C = (1, 𝑥, 𝑥²). Tentukan 𝐷 B dan

𝐷(5 + 𝑥 + 2𝑥²) B.

Penyelesaian :

𝐷 B = 𝐷(𝑏₁) B 𝐷(𝑏₂) B 𝐷(𝑏³) B

= 𝐷(1) B 𝐷(𝑥) B 𝐷(𝑥²) B

= 0 1 0 0 0 2 0 0 0

𝐷(5 + 𝑥 + 2𝑥²) B = 0 1 0 0 0 2 0 0 0

5 1 2

= 1 4 0

Jadi 𝐷 5 + 𝑥 + 2𝑥² = 1 + 4𝑥

Contoh 2

11/25/2014 13

Misalkan 𝑇: ℝ³ ⟶ ℝ² dengan 𝑇

𝑥 𝑦

𝑧 = 𝑥 − 3𝑧 𝑦 𝐵 = 0

1 1

, 0 0 1

, 1 0 1

basis terurut di ℝ³ dan 𝐶 = 1

1 , 1

−1 basis terurut di ℝ².

Tentukan:

a. Matriks standar untuk 𝑇.

b. Matriks 𝑇 _𝐵,𝐶.

Yanita, Matematika FMIPA Unand

Teorema 2.15

Misalkan 𝑉 dan 𝑊 ruang vektor berdimensi hingga atas lapangan 𝐹, dengan B = 𝑏₁, 𝑏₂, … , 𝑏_𝑛 basis terurut untuk 𝑉 dan C = 𝑐₁, 𝑐₂, … , 𝑐_𝑚 basis terurut untuk 𝑊.

1. Pemetaan 𝜇: L 𝑉, 𝑊 ⟶ 𝑀𝑚,𝑛(𝐹) didefinisikan dengan 𝜇 𝜏 = 𝜏 B^,C adalah isomorfisma, sehingga L 𝑉, 𝑊 ≈ 𝑀𝑚,𝑛(𝐹) . Karenanya dim L 𝑉, 𝑊 = dim( 𝑀𝑚,𝑛(𝐹)) = 𝑚 × 𝑛.

2. Jika 𝜎 ∈ L 𝑈, 𝑉 dan 𝜏 ∈ L 𝑉, 𝑊 dan jika B, C dan D basis terurut untuk 𝑈, 𝑉 dan 𝑊 berturut-turut, maka

𝜏𝜎 B^,D = 𝜏 C^,D 𝜎 B,C

Dengan demikian, matriks dari hasilkali (komposisi) 𝜏𝜎 adalah hasilkali dari matriks 𝜏 dan matriks 𝜎

Bukti Teorema 2.15 (1) Diketahui

− 𝑉dan 𝑊 ruang vector atas lapangan 𝐹, dim(𝑉) < ∞ dan dim(𝑊) < ∞.

− B = 𝑏

₁

, 𝑏

₂

, … , 𝑏

_𝑛

basis terurut untuk 𝑉

− C = 𝑐

₁

, 𝑐

₂

, … , 𝑐

_𝑚

basis terurut untuk 𝑊

− 𝜇: L 𝑉, 𝑊 ⟶ 𝑀

𝑚,𝑛

(𝐹) didefinisikan dengan 𝜇 𝜏 = 𝜏 B

^,

C

Akan dibuktikan 𝜇 adalah isomorfisma.

11/25/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 15

Bukti Teorema 2.15 (2) Diketahui

−𝑈, 𝑉 dan 𝑊 ruang vector atas lapangan 𝐹,dim(𝑈) < ∞, dim(𝑉) < ∞ dan dim(𝑊) < ∞

− B adalah basis untuk 𝑈, C adalah basis untuk 𝑉 dan D adalah basis untuk 𝑊

−𝜎 ∈ L 𝑈, 𝑉 dan 𝜏 ∈ L 𝑉, 𝑊

Akan dibuktikan 𝜏𝜎 B

^,

D = 𝜏 C

^,

D 𝜎 B,C

Perubahan Basis untuk Transformasi Linier

11/25/2014 17

Teorema 2.16

Misalkan 𝜏 ∈ L 𝑉, 𝑊 , (B, C) dan (B^′, C^′) masing-masing pasangan basis terurut untuk 𝑉 dan 𝑊. Maka

𝜏 B^′,C^′ = 𝑀C^,C^′ 𝜏 B,C𝑀B^′,B

Korolari 2.17

Misalkan 𝜏 ∈ L 𝑉 , B dan C basis terurut untuk 𝑉. Maka matriks 𝜏 yang terkait dengan C dapat ditulis dalam bentuk matriks 𝜏 yang terkait dengan B sebagai berikut:

𝜏 C = 𝑀B,C 𝜏 B𝑀B^,C⁻¹

Yanita, Matematika FMIPA Unand

Matriks-Matriks ekivalen

Karena perubahan matriks basis adalah tepat matriks invertibel maka

𝜏 B

^′,

C

^′

= 𝑀 C

^,

C

^′

𝜏 B,C𝑀B

^′,

B

mempunyai bentuk 𝜏 B

^′,

C

^′

= 𝑃 𝜏 B,C𝑄

⁻¹

, di mana 𝑃 dan 𝑄 adalah matriks invertibel.

Definisi

Dua matriks 𝐴 dan 𝐵 ekivalen jika terdapat matriks invertibel

𝑃 dan 𝑄, sehingga 𝐵 = 𝑃𝐴𝑄

⁻¹

.

11/25/2014 19

Teorema 2.18

Misalkan 𝑉 dan 𝑊 ruang vektor dengan dim 𝑉 = 𝑛 dan dim 𝑊 = 𝑚. Maka dua matriks 𝑚 × 𝑛 𝐴 dan 𝐵 ekivalen jika dan hanya jika matriks-matriks tersebut merepresentasikan transformasi linier yang sama 𝜏 ∈

L 𝑉, 𝑊 , tetapi mungkin terkait dengan basis terurut yang berbeda. Dalam kasus ini, 𝐴 dan 𝐵 merepresentasikan tepat himpunan transformasi linier yang sama di L 𝑉, 𝑊

Yanita, Matematika FMIPA Unand

Bukti Teorema 2.18

Misalkan 𝜏 ∈ L 𝑉, 𝑊 , (B, C) dan (B^′, C^′) masing-masing pasangan basis terurut untuk 𝑉 dan 𝑊.

Jika 𝐴 dan 𝐵 merepresentasikan 𝜏, yaitu jika 𝐴 = 𝜏 B,C dan 𝐵 = 𝜏 B^′,C^′ untuk basis terurut B, C, B^′ dan C^′, maka Teorema 2.16 menunjukkan bahwa 𝐴 dan 𝐵 ekivalen.

Selanjutnya misalkan bahwa 𝐴 dan 𝐵 ekivalen, katakanlah 𝐵 = 𝑃𝐴𝑄⁻¹ di mana 𝑃 dan 𝑄 invertibel.

Misalkan juga 𝐴 merepresentasikan transformasi linier 𝜏 ∈ L 𝑉, 𝑊 untuk suatu basis terurut B dan C, yaitu 𝐴 = 𝜏 B,C. Teorema 2.13 mengakibatkan bahwa terdapat basis terurut yang tunggal B^′ untuk 𝑉 sehingga 𝑄 = 𝑀B^,B^′ dan basis terurut C^′ untuk 𝑊sehingga 𝑃 = 𝑀C^,C^′. Oleh karena itu

𝐵 = 𝑀C^,C^′ 𝜏 B,C𝑀B^,B^′ = 𝜏 B^′,C^′

Jadi 𝐵 juga merepresentasikan 𝜏. Dengan sifat simetri, terlihat bahwa 𝐴 dan 𝐵 merepresentasikan himpunan transformasi linier yang sama.∎

Similaritas Matriks

11/25/2014 21

Definisi

Dua matriks 𝐴 dan 𝐵 similar, disimbolkan dengan 𝐴~𝐵 jika terdapat matriks invertibel 𝑃 sehingga 𝐵 = 𝑃𝐴𝑃⁻¹.

Kelas-kelas ekivalensi yang berhubungan dengan similaritas disebut dengan kelas-kelas similaritas.

Yanita, Matematika FMIPA Unand

Teorema 2.19

Misalkan 𝑉 ruang vektor berdimensi 𝑛. Maka dua

matriks 𝑛 × 𝑛 𝐴 dan 𝐵 similar jika dan hanya jika

matriks-matriks ini merepresentasikan operator linier

𝜏 ∈ L 𝑉 yang sama, tetapi mungkin terkait dengan

basis terurut yang berbeda. Dalam kasus ini, 𝐴 dan 𝐵

merepresentasikan tepat himpunan transformasi linier

yang sama dalam L 𝑉