59 PENENTUAN HARGA OPSI SAHAM TIPE AMERIKA DENGAN PEMBAGIAN
DEVIDEN MENGGUNAKAN FINITE ELEMENT METHOD
Nikenasih Binatari*, Rosita Kusumawati, Ade Latif
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Jl. Colombo No. 1 Yogyakarta
*e-mail: nikenasih@yahoo.com Abstrak
Perubahan harga saham, baik saat harga saham mengalami kenaikan maupun penurunan harga, dapat dimanfaatkan untuk memperoleh keuntungan. Salah satu instrumen investasi yang dapat digunakan untuk memperoleh keuntungan dari perubahan harga saham adalah opsi saham. Selain itu, opsi saham juga dapat digunakan untuk meminimalkan jumlah kerugian yang mungkin diderita investor. Salah satu kunci untuk memperoleh keuntungan dari opsi saham adalah ketepatan penentuan harga eksekusi dari opsi saham. Model Black-Scholes merupakan model yang telah digunakan secara luas sebagai pendekatan untuk menyelesaikan masalah penentuan harga eksekusi dari opsi saham. Asumsi model ini adalah saham tidak memberikan pembagian deviden, tidak ada biaya transaksi, suku bunga bebas resiko, serta perubahan harga saham mengikuti pola random. Sementara itu, sebagian besar opsi saham yang diperjualbelikan pada kenyataannya membayarkan deviden. Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan harga eksekusi opsi saham dari model Black-Scholes dengan pembagian deviden menggunakan finite element method (FEM). Hasil penelitian menunjukkan bahwa pada kasus tanggal kadaluarsa satu tahun, harga eksekusi $10, suku bunga bebas resiko 10%, proporsi pembagian deviden 5%, volatilitas harga saham 0,32 , opsi beli dijual di pasar seharga $1,5 dan opsi jual dijual di pasar seharga $6 adalah harga opsi beli $1,8 dan harga opsi jual $5,3. Karena harga opsi beli di pasar lebih murah maka sebaiknya investor membeli opsi sementara untuk harga opsi jual, karena harga opsi jual di pasar lebih mahal maka sebaiknya investor tidak membeli opsi.
Kata kunci: opsi saham, Black-Scholes, FEM
Abstract
Changes in stock price, either when the stock price increases or decreases, can be exploited for profit. One of the investment instruments that can be used to take advantage of the stock price change is a stock option. In addition, stock options can also be used to minimize the amount of losses that may be suffered by investors. One of the keys to take advantage of the stock options is the precision determination of the type of stock option exercise price. Black-Scholes model is a model that has been widely used as an approach to solve the problem of determining the exercise price of stock options. The assumption of this model is not giving the stock dividend, no transaction costs, risk-free interest rates, and changes in stock prices follow a random pattern. Meanwhile, most of the stock options are traded in fact pay dividends. Because the most heavily traded stock options is stock options American type, then the purpose of this study was to determine the Black-Scholes option pricing American type stock with the dividend model using finite element method. At case one year expiration date, execution price $10, risk-free interest rate 10%, paid dividend proportion 5%, stock price volatility 0,32, call option price at market $1,5 and put option price at market $6 then the result shows that call option price is $1,8 and put option price is $5,3. Because call option price is cheaper then investor better buy the option while for put option price, because it’s more expensive then investor better not buy the option.
Keywords: pricing options, Black-Scholes,FEM Abstrak
Perubahan harga saham, baik saat harga saham mengalami kenaikan maupun penurunan harga, dapat dimanfaatkan untuk memperoleh keuntungan. Salah satu instrumen investasi yang dapat digunakan untuk memperoleh keuntungan dari perubahan harga saham adalah opsi saham. Selain itu, opsi saham juga dapat digunakan untuk meminimalkan jumlah kerugian yang mungkin diderita investor. Salah satu kunci untuk memperoleh keuntungan dari opsi saham adalah ketepatan penentuan harga eksekusi dari opsi saham. Model Black-Scholes merupakan model yang telah digunakan secara luas sebagai pendekatan untuk menyelesaikan masalah penentuan harga eksekusi dari opsi saham. Asumsi model ini adalah saham tidak memberikan pembagian deviden, tidak ada biaya transaksi, suku bunga bebas resiko, serta perubahan harga saham mengikuti pola random. Sementara itu, sebagian besar opsi saham yang diperjualbelikan pada kenyataannya membayarkan deviden. Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan harga eksekusi opsi saham dari model Black-Scholes dengan pembagian deviden menggunakan finite element method (FEM). Hasil penelitian menunjukkan bahwa pada kasus tanggal kadaluarsa satu tahun, harga eksekusi $10, suku bunga bebas resiko 10%, proporsi pembagian deviden 5%, volatilitas harga saham 0,32 , opsi beli dijual di pasar seharga $1,5 dan opsi jual dijual di pasar seharga $6 adalah harga opsi beli $1,8 dan harga opsi jual $5,3. Karena harga opsi beli di pasar lebih murah maka sebaiknya investor membeli opsi sementara untuk harga opsi jual, karena harga opsi jual di pasar lebih mahal maka sebaiknya investor tidak membeli opsi.
Kata kunci: opsi saham, Black-Scholes, FEM
Abstract
Changes in stock price, either when the stock price increases or decreases, can be exploited for profit. One of the investment instruments that can be used to take advantage of the stock price change is a stock option. In addition, stock options can also be used to minimize the amount of losses that may be suffered by investors. One of the keys to take advantage of the stock options is the precision determination of the type of stock option exercise price. Black-Scholes model is a model that has been widely used as an approach to solve the problem of determining the exercise price of stock options. The assumption of this model is not giving the stock dividend, no transaction costs, risk-free interest rates, and changes in stock prices follow a random pattern. Meanwhile, most of the stock options are traded in fact pay dividends. Because the most heavily traded stock options is stock options American type, then the purpose of this study was to determine the Black-Scholes option pricing American type stock with the dividend model using finite element method. At case one year expiration date, execution price $10, risk-free interest rate 10%, paid dividend proportion 5%, stock price volatility 0,32, call option price at market $1,5 and put option price at market $6 then the result shows that call option price is $1,8 and put option price is $5,3. Because call option price is cheaper then investor better buy the option while for put option price, because it’s more expensive then investor better not buy the option.
Keywords: pricing options, Black-Scholes,FEM
PENENTUAN HARGA OPSI SAHAM TIPE AMERIKA DENGAN PEMBAGIAN
DEVIDEN MENGGUNAKAN FINITE ELEMENT METHOD
Nikenasih Binatari, Rosita Kusumawati, Ade Latif
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Jl. Colombo No. 1 Yogyakarta
PENDAHULUAN
Investasi merupakan penempatan
se-jumlah dana pada saat ini dengan harapan
untuk memperoleh keuntungan di waktu
mendatang. Perkembangan dunia investasi
tidak saja ditunjukkan dengan adanya
peningkatan jumlah uang yang
diinvestasi-kan maupun dengan banyaknya jumlah
investor yang berinvestasi, tetapi juga
ditunjukkan oleh semakin banyaknya
alter-natif instrumen investasi yang bisa dijadikan
pilihan investor untuk berinvestasi.
Adanya pasar modal, investasi tidak
hanya dapat dilakukan pada aktiva riil (real
assets), seperti membangun pabrik,
mem-buat produk baru, menambah saluran
distri-busi, dan sebagainya. Investasi juga dapat
dilakukan pada aktiva finansial (financial
assets), atau sekuritas seperti membeli
sertifi-kat deposito, commercial paper, saham,
obligasi atau sertifikat reksadana (Husnan,
2001: 3).
Salah satu instrumen investasi yang
telah banyak digunakan investor adalah
saham. Saham sendiri berupa selembar
kertas yang menunjukkan hak untuk
mem-peroleh bagian dari keuntungan sekaligus
kepemilikan atas perusahaan yang
menerbit-kan saham tersebut. Tujuan perusahaan
menerbitkan saham adalah untuk memperoleh
modal pengembangan usaha.
Perusahaan menawarkan sahamnya
kepada investor melalui IPO (Initial Public
Offering) di pasar primer. Setelah saham
menjadi milik investor, saham dapat
diper-dagangkan kembali di pasar sekunder.
Investor memperoleh keuntungan atau
kerugi-an dari selisih kerugi-antara harga beli dkerugi-an harga jual
yang terbentuk oleh adanya perubahan harga
saham pada perdagangan saham di bursa
saham. Perubahan harga saham dipengaruhi
oleh berbagai macam faktor, beberapa
diantaranya adalah faktor-faktor eksternal
seperti kondisi politik, ekonomi, keamanan,
psikologis pasar. Faktor-faktor tersebut sulit
diprediksi dan sebagai akibatnya harga saham
berubah-ubah secara acak. Apabila harga
saham turun hingga titik nol, investor akan
kehilangan seluruh investasi yang dikeluarkan
untuk membeli saham.
Perubahan harga saham, baik saat
harga saham mengalami kenaikan maupun
penurunan harga, dapat dimanfaatkan untuk
memperoleh keuntungan. Salah satu instrumen
investasi yang dapat digunakan untuk
memperoleh keuntungan dari perubahan harga
saham adalah opsi saham. Selain itu, opsi
saham juga dapat digunakan untuk
me-minimalkan jumlah kerugian yang mungkin
diderita investor. Menurut Pham (2007: 5),
opsi saham didefinisikan sebagai perjanjian
atau kontrak antara penjual opsi saham
PENDAHULUAN
Investasi merupakan penempatan
se-jumlah dana pada saat ini dengan harapan
untuk memperoleh keuntungan di waktu
mendatang. Perkembangan dunia investasi
tidak saja ditunjukkan dengan adanya
peningkatan jumlah uang yang
diinvestasi-kan maupun dengan banyaknya jumlah
investor yang berinvestasi, tetapi juga
ditunjukkan oleh semakin banyaknya
alter-natif instrumen investasi yang bisa dijadikan
pilihan investor untuk berinvestasi.
Adanya pasar modal, investasi tidak
hanya dapat dilakukan pada aktiva riil (real
assets), seperti membangun pabrik,
mem-buat produk baru, menambah saluran
distri-busi, dan sebagainya. Investasi juga dapat
dilakukan pada aktiva finansial (financial
assets), atau sekuritas seperti membeli
sertifi-kat deposito, commercial paper, saham,
obligasi atau sertifikat reksadana (Husnan,
2001: 3).
Salah satu instrumen investasi yang
telah banyak digunakan investor adalah
saham. Saham sendiri berupa selembar
kertas yang menunjukkan hak untuk
mem-peroleh bagian dari keuntungan sekaligus
kepemilikan atas perusahaan yang
menerbit-kan saham tersebut. Tujuan perusahaan
menerbitkan saham adalah untuk memperoleh
modal pengembangan usaha.
Perusahaan menawarkan sahamnya
kepada investor melalui IPO (Initial Public
Offering) di pasar primer. Setelah saham
menjadi milik investor, saham dapat
diper-dagangkan kembali di pasar sekunder.
Investor memperoleh keuntungan atau
kerugi-an dari selisih kerugi-antara harga beli dkerugi-an harga jual
yang terbentuk oleh adanya perubahan harga
saham pada perdagangan saham di bursa
saham. Perubahan harga saham dipengaruhi
oleh berbagai macam faktor, beberapa
diantaranya adalah faktor-faktor eksternal
seperti kondisi politik, ekonomi, keamanan,
psikologis pasar. Faktor-faktor tersebut sulit
diprediksi dan sebagai akibatnya harga saham
berubah-ubah secara acak. Apabila harga
saham turun hingga titik nol, investor akan
kehilangan seluruh investasi yang dikeluarkan
untuk membeli saham.
Perubahan harga saham, baik saat
harga saham mengalami kenaikan maupun
penurunan harga, dapat dimanfaatkan untuk
memperoleh keuntungan. Salah satu instrumen
investasi yang dapat digunakan untuk
memperoleh keuntungan dari perubahan harga
saham adalah opsi saham. Selain itu, opsi
saham juga dapat digunakan untuk
me-minimalkan jumlah kerugian yang mungkin
diderita investor. Menurut Pham (2007: 5),
opsi saham didefinisikan sebagai perjanjian
Penentuan Harga Opsi Saham (Nikenasih Binatari dkk)
dengan pembeli opsi saham dimana penjual
menjamin adanya hak (bukan suatu
kewajib-an) dari pembeli opsi saham untuk membeli
atau menjual saham tertentu pada waktu dan
harga yang telah ditentukan.
Berdasarkan periode waktu
pengguna-annya, opsi saham dikelompokkan menjadi
dua, yaitu opsi saham tipe Amerika dan opsi
saham tipe Eropa. Opsi saham tipe Amerika
adalah opsi saham yang dapat dieksekusi
sebelum waktu kadaluwarsa atau pada waktu
kadaluwarsa. Opsi saham tipe Eropa adalah
opsi saham yang bisa dieksekusi hanya pada
waktu kadaluwarsa. Opsi saham yang paling
banyak diperdagangkan pada bursa opsi
saham adalah opsi saham tipe Amerika (Hull,
2006: 5). Hal ini disebabkan fleksibilitas
waktu penggunan opsi saham tipe Amerika
sehingga memungkinkan investor
memper-oleh keuntungan yang lebih besar jika
dibandingkan opsi saham tipe Eropa.
Investor memiliki kesempatan untuk
mendapatkan keuntungan pada setiap situasi
pasar apabila tepat memilih strategi
ber-investasi pada kontrak opsi saham. Kunci
untuk memperoleh keuntungan dari opsi
saham tipe Amerika adalah ketepatan
penen-tuan harga dan batas eksekusi opsi saham.
Belum ditemukan rumusan eksplisit untuk
menentukan harga dan batas eksekusi opsi
saham tipe Amerika. Oleh karena itu, di sini
akan ditentukan harga dan batas eksekusinya
menggunakan metode aproksimasi yang
dikenal dengan nama Metode Elemen Hingga
(Finite Element Method, FEM).
METODE PENELITIAN
Model Black–Scholes adalah model
yang dikembangkan oleh Fisher Black dan
Myron Scholes pada tahun 1973 (Black,
1973) untuk menentukan harga opsi tipe
Eropa berupa persamaan diferensial parsial
berorder dua. Pengembangan model
Black-Scholes terus dilakukan sehingga dapat
digunakan untuk menentukan harga opsi tipe
Amerika, dan memenuhi asumsi-asumsi yang
semakin mendekati keadaan sebenarnya.
Asumsi-asumsi yang digunakan pada
model Black-Scholes adalah sebagai berikut:
(1) Volatilitas dan rata-rata pertumbuhan
harga saham konstan. Asumsi yang
digunakan adalah volatilitas dan rata-rata
pertumbuhan harga saham konstan
se-panjang umur opsi. (2) Perubahan harga
saham bersifat acak. Asumsi yang
diguna-kan adalah perubahan harga saham bersifat
acak mengikuti gerakan Brown. (3) Suku
bunga bebas resiko konstan. Model
Black-Scholes menggunakan dua asumsi terkait
suku bunga bebas resiko. Pertama, suku
bunga pinjaman dan pemberian pinjaman
adalah sama. Kedua adalah suku bunga
bersifat konstan dan berlaku sama sepanjang
umur opsi. (4) Perdagangan opsi tidak dengan pembeli opsi saham dimana penjual
menjamin adanya hak (bukan suatu
kewajib-an) dari pembeli opsi saham untuk membeli
atau menjual saham tertentu pada waktu dan
harga yang telah ditentukan.
Berdasarkan periode waktu
pengguna-annya, opsi saham dikelompokkan menjadi
dua, yaitu opsi saham tipe Amerika dan opsi
saham tipe Eropa. Opsi saham tipe Amerika
adalah opsi saham yang dapat dieksekusi
sebelum waktu kadaluwarsa atau pada waktu
kadaluwarsa. Opsi saham tipe Eropa adalah
opsi saham yang bisa dieksekusi hanya pada
waktu kadaluwarsa. Opsi saham yang paling
banyak diperdagangkan pada bursa opsi
saham adalah opsi saham tipe Amerika (Hull,
2006: 5). Hal ini disebabkan fleksibilitas
waktu penggunan opsi saham tipe Amerika
sehingga memungkinkan investor
memper-oleh keuntungan yang lebih besar jika
dibandingkan opsi saham tipe Eropa.
Investor memiliki kesempatan untuk
mendapatkan keuntungan pada setiap situasi
pasar apabila tepat memilih strategi
ber-investasi pada kontrak opsi saham. Kunci
untuk memperoleh keuntungan dari opsi
saham tipe Amerika adalah ketepatan
penen-tuan harga dan batas eksekusi opsi saham.
Belum ditemukan rumusan eksplisit untuk
menentukan harga dan batas eksekusi opsi
saham tipe Amerika. Oleh karena itu, di sini
akan ditentukan harga dan batas eksekusinya
menggunakan metode aproksimasi yang
dikenal dengan nama Metode Elemen Hingga
(Finite Element Method, FEM).
METODE PENELITIAN
Model Black–Scholes adalah model
yang dikembangkan oleh Fisher Black dan
Myron Scholes pada tahun 1973 (Black,
1973) untuk menentukan harga opsi tipe
Eropa berupa persamaan diferensial parsial
berorder dua. Pengembangan model
Black-Scholes terus dilakukan sehingga dapat
digunakan untuk menentukan harga opsi tipe
Amerika, dan memenuhi asumsi-asumsi yang
semakin mendekati keadaan sebenarnya.
Asumsi-asumsi yang digunakan pada
model Black-Scholes adalah sebagai berikut:
(1) Volatilitas dan rata-rata pertumbuhan
harga saham konstan. Asumsi yang
digunakan adalah volatilitas dan rata-rata
pertumbuhan harga saham konstan
se-panjang umur opsi. (2) Perubahan harga
saham bersifat acak. Asumsi yang
diguna-kan adalah perubahan harga saham bersifat
acak mengikuti gerakan Brown. (3) Suku
bunga bebas resiko konstan. Model
Black-Scholes menggunakan dua asumsi terkait
suku bunga bebas resiko. Pertama, suku
bunga pinjaman dan pemberian pinjaman
adalah sama. Kedua adalah suku bunga
bersifat konstan dan berlaku sama sepanjang
dipungut pajak dan biaya transaksi. Asumsi
yang digunakan adalah pada perdagangan
opsi tidak dipungut pajak ataupun biaya
transaksi yang meliputi komisi dan spread
pada proses perdagangan saham dan opsi,
serta biaya-biaya lain terkait perdagangan
opsi. (5) Tidak ada peluang arbitrase bebas
resiko. Asumsi ini digunakan pada model
Black-Scholes untuk membangun portofolio
cegah resiko yang memuat kontrak opsi
dengan saham sebagai aset yang mendasari.
(6) Pembagian dividen bersifat kontinu
se-panjang umur opsi. Asumsi yang digunakan
adalah dividen dibagikan dengan proporsi
tertentu secara konstan dan kontinu sepanjang
umur opsi. (7) Perdagangan opsi bersifat
kontinu. Perdagangan opsi diasumsikan dapat
dilaksanakan tidak hanya pada jam-jam
perdagangan, namun dapat dilaksanakan
sewaktu-waktu. Asumsi ini memungkinkan
opsi tipe Amerika dapat dieksekusi
sewaktu-waktu sepanjang umur opsi dengan
menga-baikan jam-jam perdagangan opsi.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan asumsi-asumsi yang
digunakan pada model Black Scholes
tersebut, model harga saham yang
memenuhi asumsi pertama, kedua, keenam
dan ketujuh, adalah model harga saham,
sesuai dengan persamaan (1).
ௗௌ
ௌ ൌ ߤ݀ݐ ߪܹ݀ (1)
dengan, S merupakan fungsi harga saham
atas waktu t, dan µ merupakan rata-rata
pertumbuhan harga saham persatuan waktu,
ı volatilitas harga saham, W merupakan gerakan Brown, dan q adalah proporsi
deviden yang dibayarkan.
Harga opsi dinyatakan sebagai fungsi
atas harga saham S dan waktu t. Misalkan
fungsi V merupakan fungsi harga opsi, dan
T merupakan batas umur opsi, daerah asal fungsi V adalah ܦݒ ൌ ሼሺܵǡ ݐሻǣ Ͳ ܵ ൏ λǡ Ͳ
ݐܶ.
Fungsi V diasumsikan terdifirensial dua kali terhadap S , dan satu kali terhadap
t. Apabila S memenuhi Persamaan (1), maka menurut Lemma Itô diperoleh
ܸ ൌቈሺߤ െ ሻܵݍ ߲ܸ߲ ܵ ߲ܸ߲ݐ ͳʹ ߪଶܵଶ߲ଶܸ
߲ܵଶ ݀ݐ
ߪܵడడௌܹ݀ (2)
Dalam pembentukan model
Black-Scholes, unsur stokastik pada Persamaan
(2) dihilangkan dengan membentuk
porto-folio berdasarkan strategi cegah resiko.
Dibentuk portofolio bernilai ȫ yang
memuat penjualan satu kontrak opsi dan
pembelian saham sebanyak డ
డௌ lembar. Ber-dasarkan strategi tersebut, nilai portofolio ȫ
sar pada saat t sebe
ȫ ൌ െ డడௌܵ (3)
dipungut pajak dan biaya transaksi. Asumsi
yang digunakan adalah pada perdagangan
opsi tidak dipungut pajak ataupun biaya
transaksi yang meliputi komisi dan spread
pada proses perdagangan saham dan opsi,
serta biaya-biaya lain terkait perdagangan
opsi. (5) Tidak ada peluang arbitrase bebas
resiko. Asumsi ini digunakan pada model
Black-Scholes untuk membangun portofolio
cegah resiko yang memuat kontrak opsi
dengan saham sebagai aset yang mendasari.
(6) Pembagian dividen bersifat kontinu
se-panjang umur opsi. Asumsi yang digunakan
adalah dividen dibagikan dengan proporsi
tertentu secara konstan dan kontinu sepanjang
umur opsi. (7) Perdagangan opsi bersifat
kontinu. Perdagangan opsi diasumsikan dapat
dilaksanakan tidak hanya pada jam-jam
perdagangan, namun dapat dilaksanakan
sewaktu-waktu. Asumsi ini memungkinkan
opsi tipe Amerika dapat dieksekusi
sewaktu-waktu sepanjang umur opsi dengan
menga-baikan jam-jam perdagangan opsi.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan asumsi-asumsi yang
digunakan pada model Black Scholes
tersebut, model harga saham yang
memenuhi asumsi pertama, kedua, keenam
dan ketujuh, adalah model harga saham,
sesuai dengan persamaan (1).
ௗௌ
ௌ ൌ ߤ݀ݐ ߪܹ݀ (1)
dengan, S merupakan fungsi harga saham
atas waktu t, dan µ merupakan rata-rata
pertumbuhan harga saham persatuan waktu,
ı volatilitas harga saham, W merupakan gerakan Brown, dan q adalah proporsi
deviden yang dibayarkan.
Harga opsi dinyatakan sebagai fungsi
atas harga saham S dan waktu t. Misalkan
fungsi V merupakan fungsi harga opsi, dan
T merupakan batas umur opsi, daerah asal fungsi V adalah ܦݒ ൌ ሼሺܵǡ ݐሻǣ Ͳ ܵ ൏ λǡ Ͳ
ݐܶ.
Fungsi V diasumsikan terdifirensial dua kali terhadap S , dan satu kali terhadap
t. Apabila S memenuhi Persamaan (1), maka menurut Lemma Itô diperoleh
ܸ ൌቈሺߤ െ ሻܵ ߲ ݍ ߲ܸܵ ߲ܸ߲ݐ ͳʹ ߪଶܵଶ߲ଶܸ
߲ܵଶ ݀ݐ
ߪܵడడௌܹ݀ (2)
Dalam pembentukan model
Black-Scholes, unsur stokastik pada Persamaan
(2) dihilangkan dengan membentuk
porto-folio berdasarkan strategi cegah resiko.
Dibentuk portofolio bernilai ȫ yang
memuat penjualan satu kontrak opsi dan
pembelian saham sebanyak డ
డௌ lembar. Ber-dasarkan strategi tersebut, nilai portofolio ȫ
sar pada saat t sebe
Penentuan Harga Opsi Saham (Nikenasih Binatari dkk)
Dari asumsi keenam model
Black-Scholes di atas diperoleh perubahan nilai
n adalah portofolio dalam waktu si gkat
݀ߎ ൌ െܸ݀ డడௌ݀ܵ ݍܵడడௌ݀ݐ (4)
Subtitusi Persamaan (2) ke
Persama-an (4), sehingga diperoleh
݀ߎ ൌ െܸ݀ ߲ܸ߲ܵ ݀ܵ ݍ߲ܸ߲ܵܵ ݀ݐ
ൌ െߪ߲ܸ߲ܵܵ ܹ݀
െቈሺߤെ ݍ ܵ ߲ܵሻ ߲ܸ߲ܸ߲ݐ ͳʹ ߪଶܵଶ߲ଶܸ ߲ܵଶ ݀ݐ
డడௌ݀ܵ ݍܵడడௌ݀ݐ (5)
Selanjutnya subtitusi Persamaan (1)
ke Persamaan (5), diperoleh
ൌ െ ቂడడ௧ ଵଶߪଶܵଶ డమ డௌమെ ݍܵ
డ
డௌቃ ݀ݐ (6)
Diketahui laju perubahan nilai
folio proporsional dengan nilai awal
porto-folio, dengan konstanta proporsi sebesar
tingkat suku bunga bebas resiko konstan r.
n (3) dapat diperoleh Sehingga dari persamaa
݀ߎ ൌ ݎ ቂെܸ డడௌܵቃ ݀ݐ (7)
Opsi dapat dieksekusi lebih awal yang
mengakibatkan pertumbuhan nilai portofolio
yang memuat opsi menjadi lebih besar atau
sama dengan portofolio yang diinvestasikan
ke instrumen bebas resiko dan berkembang
sepanjang sisa umur opsi. Dari pilihan
tersebut dan persamaan (6) dan (7) dapat
diperoleh hubungan di bawah ini.
డ
െ ቂడ௧ଵଶߪ ܵଶ ଶడడௌమ మെ ݍ
డ
ܵడௌቃ ݀ݐ ݎ ቂെܸ డడௌܵቃ ݀ݐ
డడ௧ଵଶߪଶܵଶ డమ
డௌమ ሺݎ െ ݍሻ డ
డௌܵ െ ݎܸ Ͳ (8)
Untuk menyelesaikan Model Black–
Scholes Opsi Tipe Amerika diperlukan kajian
lanjutan mengenai syarat batas dan nilai
awal opsi tipe Amerika.
Nilai Awal dan Syarat Batas Opsi Tipe Amerika
Didefinisikan C(S,t) dan P(S,t) dan
berturut-turut sebagai harga opsi beli dan
opsi jual pada saat t dan harga saham S.
Nilai Awal dan Syarat Batas Opsi Beli Tipe Amerika
Batas eksekusi opsi beli Sc(t) dapat
didefinisikan sebagai
Sc(t)= inf{SŇC(S,t) = S – E}
Misalkan fungsi harga opsi V, di-subtitusi dengan fungsi harga opsi jual C, sehingga harga opsi beli memiliki daerah
asal Dv. Dv dibagi menjadi ke dalam dua daerah oleh batas eksekusi, yakni daerah
kelanjutan (continuation region) dan daerah
eksekusi (exercise region). Harga opsi beli
pada Dv dijelaskan pada persamaan
Per-i t erika.
samaan Jamshid an opsi beli ipe Am
߲ܥ ߲ݐ ʹ
ͳ ߪଶ ଶ
߲ܵଶ
ܵ ߲ଶܥ ሺݎ െ ݍሻ߲ܥ߲ܵ ܵ െ ݎܥ ൌ െሺݍܵ െ ݎܧሻܪሺܵ െ ܵሺݐሻሻ
Dengan H fungsi heaviside. Selain
batas eksekusi, nilai awal dan syarat batas
yang harus dipenuhi adalah sebagai berikut.
Pada saat tanggal kadaluwarsa, harga
opsi beli memenuhi
63
Dari asumsi keenam model
Black-Scholes di atas diperoleh perubahan nilai
n adalah portofolio dalam waktu si gkat
݀ߎ ൌ െܸ݀ డడௌ݀ܵ ݍܵడడௌ݀ݐ (4)
Subtitusi Persamaan (2) ke
Persama-an (4), sehingga diperoleh
݀ߎ ൌ െܸ݀ ߲ܸ߲ܵ ݀ܵ ݍ߲ܸ߲ܵܵ ݀ݐ
ൌ െߪ߲ܸ߲ܵܵ ܹ݀
െቈሺߤെ ݍ ܵ ߲ܵሻ ߲ܸ߲ܸ߲ݐ ͳʹ ߪଶܵଶ߲ଶܸ ߲ܵଶ ݀ݐ
డడௌ݀ܵ ݍܵడడௌ݀ݐ (5)
Selanjutnya subtitusi Persamaan (1)
ke Persamaan (5), diperoleh
ൌ െ ቂడడ௧ ଵଶߪଶܵଶ డమ డௌమെ ݍܵ
డ
డௌቃ ݀ݐ (6)
Diketahui laju perubahan nilai
folio proporsional dengan nilai awal
porto-folio, dengan konstanta proporsi sebesar
tingkat suku bunga bebas resiko konstan r.
n (3) dapat diperoleh Sehingga dari persamaa
݀ߎ ൌ ݎ ቂെܸ డడௌܵቃ ݀ݐ (7)
Opsi dapat dieksekusi lebih awal yang
mengakibatkan pertumbuhan nilai portofolio
yang memuat opsi menjadi lebih besar atau
sama dengan portofolio yang diinvestasikan
ke instrumen bebas resiko dan berkembang
sepanjang sisa umur opsi. Dari pilihan
tersebut dan persamaan (6) dan (7) dapat
diperoleh hubungan di bawah ini.
డ
െ ቂడ௧ଵଶߪ ܵଶ ଶడడௌమ మെ ݍ
డ
ܵడௌቃ ݀ݐ ݎ ቂെܸ డడௌܵቃ ݀ݐ
డడ௧ଵଶߪଶܵଶ డమ
డௌమ ሺݎ െ ݍሻ డ
డௌܵ െ ݎܸ Ͳ (8)
Untuk menyelesaikan Model Black–
Scholes Opsi Tipe Amerika diperlukan kajian
lanjutan mengenai syarat batas dan nilai
awal opsi tipe Amerika.
Nilai Awal dan Syarat Batas Opsi Tipe Amerika
Didefinisikan C(S,t) dan P(S,t) dan
berturut-turut sebagai harga opsi beli dan
opsi jual pada saat t dan harga saham S.
Nilai Awal dan Syarat Batas Opsi Beli Tipe Amerika
Batas eksekusi opsi beli Sc(t) dapat
didefinisikan sebagai
Sc(t)= inf{SŇC(S,t) = S – E}
Misalkan fungsi harga opsi V, di-subtitusi dengan fungsi harga opsi jual C, sehingga harga opsi beli memiliki daerah
asal Dv. Dv dibagi menjadi ke dalam dua daerah oleh batas eksekusi, yakni daerah
kelanjutan (continuation region) dan daerah
eksekusi (exercise region). Harga opsi beli
pada Dv dijelaskan pada persamaan
Per-i t erika.
samaan Jamshid an opsi beli ipe Am
߲ܥ ߲ݐ ʹ
ͳ ߪଶ ଶ
߲ܵଶ
ܵ ߲ଶܥ ሺݎ െ ݍሻ߲ܥ߲ܵ ܵ െ ݎܥ ൌ െሺݍܵ െ ݎܧሻܪሺܵ െ ܵሺݐሻሻ
Dengan H fungsi heaviside. Selain
batas eksekusi, nilai awal dan syarat batas
yang harus dipenuhi adalah sebagai berikut.
Pada saat tanggal kadaluwarsa, harga
C(S,T)= max(S - E, 0), 0 S Smax
Pada saat harga saham sama dengan nol,
maka harga opsi beli mencapai titik terendah
yakni nol.
C(0,t)= 0, 0 t T
Pada saat harga saham mencapai harga
maksimal, maka harga opsi beli mencapai
titik tertinggi yakni,
C(Smax,t)= Smax - E, 0, 0 t T
Masalah nilai awal dan syarat batas
s t e
Op i Beli ip Amerika adalah ߲ܥ
߲ݐ ʹ ͳ
ߪଶ ଶ ߲ܵଶ
ܵ ߲ଶܥ ሺݎ െݍሻ ߲߲ܵܥܵ െ ݎܥ ൌ െሺݍܵ െ ݎܧሻܪሺܵ െ ܵሺݐሻሻ
C(S,T)= max(S - E, 0), 0 S Smax
Sc(t)= inf{SŇC(S,t) = S – E}
ScȋȌα
C(0,t) =0 t T
ሻ െ ܧǡ Ͳǡ Ͳ ݐ ܶ ܥሺܵ௫ǡ ݐ ൌ ܵ௫
ሺܵǡ ݐሻ א ܦ ȋͻȌ
Nilai Awal dan Syarat Batas Opsi Jual Tipe Amerika
Batas eksekusi opsi jual Sp(t) dapat
didefinisikan sebagai
Sp(t)= sup {SŇP(S,t) = E – S}
Misalkan fungsi harga opsi V, disubtitusi dengan fungsi harga opsi jual P, sehingga harga opsi jual memiliki daerah
asal Dv. Dv dibagi menjadi kedalam dua daerah oleh batas eksekusi, yakni daerah
kelanjutan (continuation region) dan daerah
eksekusi (exercise region). Harga opsi jual
pada Dv dijelaskan pada persamaan Persamaan
h a o a
Jams idi n psi ju l tipe Amerika yaitu
߲ܲ ߲ݐ ʹ
ͳ ߪଶܵଶ
߲ܵଶ
߲ଶܲ
ሺݎ െݍሻ߲ܲ
߲ܵ ܵ െ ݎܲ ൌ െሺݎܧ െ ݍܵሻܪሺܵ െ ܵሺݐሻሻ
Selain batas eksekusi, nilai awal dan
syarat batas yang harus dipenuhi adalah
sebagai berikut.
Pada saat tanggal kadaluwarsa, harga
opsi jual memenuhi
P(S,T)= max(E – S, 0), 0 S Smax
Pada saat harga saham sama dengan nol,
maka harga opsi jual mencapai titik
mak-simal yakni sebesar harga eksekusi E.
P(0,t)= E, 0 t T
Pada saat harga saham mencapai harga
mak-simal, maka harga opsi jual sama dengan
nol.
P(Smax,t)= 0, 0 t T
Masalah nilai awal dan syarat batas
s J t e
Op i ual ip Amerika adalah ߲ܲ
߲ݐ ʹ ͳ
ߪଶ ଶ ߲ܵଶ
ܵ ߲ଶܲ ሺݎ െ ݍሻ ߲߲ܵܲܵ െ ݎܲ ൌ െሺݍܵ െ ݎܧሻ ܪሺܵሺݐሻ െ ܵሻ
Sp(t)= sup{SŇC(S,t) = E – S }
P(S,T)= max(E – S, 0), 0 S Smax
Sp(T) = E
C(S,T)= max(S - E, 0), 0 S Smax
Pada saat harga saham sama dengan nol,
maka harga opsi beli mencapai titik terendah
yakni nol.
C(0,t)= 0, 0 t T
Pada saat harga saham mencapai harga
maksimal, maka harga opsi beli mencapai
titik tertinggi yakni,
C(Smax,t)= Smax - E, 0, 0 t T
Masalah nilai awal dan syarat batas
s t e
Op i Beli ip Amerika adalah ߲ܥ
߲ݐ ʹ ͳ
ߪଶ ଶ ߲ܵଶ
ܵ ߲ଶܥ ሺݎ െݍሻ ߲߲ܵܥܵ െ ݎܥ
ൌ െሺݍܵ െ ݎܧሻܪሺܵ െ ܵሺݐሻሻ
C(S,T)= max(S - E, 0), 0 S Smax
Sc(t)= inf{SŇC(S,t) = S – E}
ScȋȌα
C(0,t) =0 t T
ሻ െ ܧǡ Ͳǡ Ͳ ݐ ܶ ܥሺܵ௫ǡ ݐ ൌ ܵ௫
ሺܵǡ ݐሻ א ܦ ȋͻȌ
Nilai Awal dan Syarat Batas Opsi Jual Tipe Amerika
Batas eksekusi opsi jual Sp(t) dapat
didefinisikan sebagai
Sp(t)= sup {SŇP(S,t) = E – S}
Misalkan fungsi harga opsi V, disubtitusi dengan fungsi harga opsi jual P, sehingga harga opsi jual memiliki daerah
asal Dv. Dv dibagi menjadi kedalam dua daerah oleh batas eksekusi, yakni daerah
kelanjutan (continuation region) dan daerah
eksekusi (exercise region). Harga opsi jual
pada Dv dijelaskan pada persamaan Persamaan
h a o a
Jams idi n psi ju l tipe Amerika yaitu
߲ܲ ߲ݐ ʹ
ͳ ߪଶܵଶ
߲ܵଶ
߲ଶܲ
ሺݎ െݍሻ߲߲ܲܵ ܵ െ ݎܲ ൌ െሺݎܧ െ ݍܵሻܪሺܵ െ ܵሺݐሻሻ
Selain batas eksekusi, nilai awal dan
syarat batas yang harus dipenuhi adalah
sebagai berikut.
Pada saat tanggal kadaluwarsa, harga
opsi jual memenuhi
P(S,T)= max(E – S, 0), 0 S Smax
Pada saat harga saham sama dengan nol,
maka harga opsi jual mencapai titik
mak-simal yakni sebesar harga eksekusi E.
P(0,t)= E, 0 t T
Pada saat harga saham mencapai harga
mak-simal, maka harga opsi jual sama dengan
nol.
P(Smax,t)= 0, 0 t T
Masalah nilai awal dan syarat batas
s J t e
Op i ual ip Amerika adalah ߲ܲ
߲ݐ ʹ ͳ
ߪଶ ଶ ߲ܵଶ
ܵ ߲ଶܲ ሺݎ െ ݍሻ ߲߲ܵܲܵ െ ݎܲ
ൌ െሺݍܵ െ ݎܧሻ ܪሺܵሺݐሻ െ ܵሻ
Sp(t)= sup{SŇC(S,t) = E – S }
P(S,T)= max(E – S, 0), 0 S Smax
Penentuan Harga Opsi Saham (Nikenasih Binatari dkk)
P(0, E, t T
ൌ Ͳǡ Ͳ ݐ ܶuntuk
t) = 0
ܲሺܵ௫ǡ ݐሻ
ሺܵǡ ݐሻ א ܦ (10)
Penyelesaian Model Black-Scholes dengan Pembagian Deviden Menggunakan FEM
FEM adalah suatu teknik untuk
men-cari solusi hampiran dari masalah nilai awal
dan syarat batas. Pada metode ini, langkah
awal penentuan solusi adalah merubah
masalah nilai awal dan syarat batas ke bentuk
weak formulation, kemudian dilanjutkan
dengan membagi domain solusi menjadi
sejumlah berhingga subdomain. Langkah
diakhiri dengan mencari solusi hampiran pada
setiap subdomain yang diasumsikan sebagai
anggota ruang fungsi terten ut .
Misalkan ሺͲǡ ܵ௫ሻ ؿ ܴ dan ܸ ൌ ܪଵሺͲǡ ܵ௫ሻ adalah ruang Hibert. Diasumsi-kan solusi Sistem (9) merupaDiasumsi-kan elemen
dari ruang V. Agar memenuhi syarat batas
Dirichlet homogeny pada V, dilakukan
transformasi pada harga opsi beli ܥሺܵǡ ݐሻ
sebagai berikut.
ܷሺܵǡ ݐሻൌ ݕሺ ሻ െ ሺܵǡ ݐܵ ܥ ሻ
dimana ݕሺܵሻ ൌௌೌೣିா
ௌೌೣ ܵ
Akibatnya, Sistem (9) dapat ditransformasi
i menjad
డ డ௧
ଵ ଶߪ ܵଶ ଶ డ
మ
డௌమ ሺݎ െ ݍሻడడௌܵ െ ݎܷ ൌ ܨሺܵǡ ܵሺݐሻሻ
ܵሺݐሻ ൌ ݂݅݊ሼܵሃܷሺܵǡ ݐሻ ൌ ܷሺܵǡ ܶሻሽ ݏሻ െ ሺܵ െ ܧǡ Ͳሻ ǡ Ͳ ܵ ܵ௫ ܷሺܵǡ ܶሻ ൌ ݕሺ
ܵሺܶሻ ൌ ܧ
ܷሺͲ ൌ Ͳǡ Ͳ ܷሺܵ௫ǡ ݐሻ ൌ Ͳ
ǡ ݐሻ ݐ ܶ
Didefinisikan operator diferensial
ܮ ؠ ͳʹ ߪଶܵଶ ߲ଶ
߲ܵଶ ሺݎ െ ݍሻ ߲ ߲ܵ െ ݎܫ
Akibatnya diperoleh pe డ
డ௧
rsamaan
ܮܷ ൌ ܨሺܵǡ ܵሺݐሻሻ (11)
Didefinisikan operasi hasil kali ۃǤ ǡ Ǥ ۄ
dalam dalam ruang ܮଶሺͲǡ ܵெሻ yang
didefinisi-n ݑሺܵሻǡ ݒሺܵሻۄሾǡௌೌೣሿ
ka dengan ۃݑǡ ݒۄ ൌ ۃ
ൌ ௌೌೣݑሺܵሻݒሺܵሻ݀ܵ
Mengalikan Persamaan (11) dengan
n s ݒ א ܸ, diperoleh ۃడ డ௧
fu gsi te ǡ ݒۄ ۃܮܷǡ ݒۄ
ൌ ۃܨǡ ݒۄ (12)
Permasalahan pada Persamaan (11)
menjadi mencari ܷ א ܸ yang memenuhi
Persamaan (12) un uk t ݒא ܸ.
Diberikan ܰǡ ܯ א Յ, domain akan
dibagi menjadi N subdomain sedangkan
domain S akan dibagi menjadi M
sub-domain. Misalkan ukuran tiap interval
subdomain t adalah k dan ukuran tiap
interval subdomain S adalah h, akibatnya
diperoleh ݇ ൌ ܶ ܰൗ dan ݄ ൌ ܵ௫ൗܯ.
Di-pilih Vh sebagai subruang V yang terdiri dari
polinominal-polinominal berderajat satu,
kontinu sepotong-sepotong dan jumlahnya
berhingga. Subruang Vh terdiri dari semua
fungsi v yang memenuhi
t P(0, E, t T
ൌ Ͳǡ Ͳ ݐ ܶuntuk
t) = 0
ܲሺܵ௫ǡ ݐሻ
ሺܵǡ ݐሻ א ܦ (10)
Penyelesaian Model Black-Scholes dengan Pembagian Deviden Menggunakan FEM
FEM adalah suatu teknik untuk
men-cari solusi hampiran dari masalah nilai awal
dan syarat batas. Pada metode ini, langkah
awal penentuan solusi adalah merubah
masalah nilai awal dan syarat batas ke bentuk
weak formulation, kemudian dilanjutkan
dengan membagi domain solusi menjadi
sejumlah berhingga subdomain. Langkah
diakhiri dengan mencari solusi hampiran pada
setiap subdomain yang diasumsikan sebagai
anggota ruang fun rten u
65
gsi te t .
Misalkan ሺͲǡ ܵ௫ሻ ؿ ܴ dan ܸ ൌ ܪଵሺͲǡ ܵ௫ሻ adalah ruang Hibert. Diasumsi-kan solusi Sistem (9) merupaDiasumsi-kan elemen
dari ruang V. Agar memenuhi syarat batas
Dirichlet homogeny pada V, dilakukan
transformasi pada harga opsi beli ܥሺܵǡ ݐሻ
sebagai berikut.
ܷሺܵǡ ݐሻൌ ݕሺ ሻ െ ሺܵǡ ݐܵ ܥ ሻ
dimana ݕሺܵሻ ൌௌೌೣିா
ௌೌೣ ܵ
Akibatnya, Sistem (9) dapat ditransformasi
i menjad
డ డ௧
ଵ ଶߪ ܵଶ ଶ డ
మ
డௌమ ሺݎ െ ݍሻడడௌܵ െ ݎܷ ൌ ܨሺܵǡ ܵሺݐሻሻ
ܵሺݐሻ ൌ ݂݅݊ሼܵሃܷሺܵǡ ݐሻ ൌ ܷሺܵǡ ܶሻሽ ݏሻ െ ሺܵ െ ܧǡ Ͳሻ ǡ Ͳ ܵ ܵ௫ ܷሺܵǡ ܶሻ ൌ ݕሺ
ܵሺܶሻ ൌ ܧ
ܷሺͲ ൌ Ͳǡ Ͳ ܷሺܵ௫ǡ ݐሻ ൌ Ͳ
ǡ ݐሻ ݐ ܶ
Didefinisikan operator diferensial
ܮ ؠ ͳʹ ߪଶܵଶ ߲ଶ
߲ܵଶ ሺݎ െ ݍሻ ߲ ߲ܵ െ ݎܫ
Akibatnya diperoleh pe డ
డ௧
rsamaan
ܮܷ ൌ ܨሺܵǡ ܵሺݐሻሻ (11)
Didefinisikan operasi hasil kali ۃǤ ǡ Ǥ ۄ
dalam dalam ruang ܮଶሺͲǡ ܵெሻ yang
didefinisi-n ݑሺܵሻǡ ݒሺܵሻۄሾǡௌೌೣሿ
ka dengan ۃݑǡ ݒۄ ൌ ۃ
ൌ ௌೌೣݑሺܵሻݒሺܵሻ݀ܵ
Mengalikan Persamaan (11) dengan
n s ݒ א ܸ, diperoleh ۃడ డ௧
fu gsi te ǡ ݒۄ ۃܮܷǡ ݒۄ
ൌ ۃܨǡ ݒۄ (12)
Permasalahan pada Persamaan (11)
menjadi mencari ܷ א ܸ yang memenuhi
Persamaan (12) un uk t ݒא ܸ.
Diberikan ܰǡ ܯ א Յ, domain akan
dibagi menjadi N subdomain sedangkan
domain S akan dibagi menjadi M
sub-domain. Misalkan ukuran tiap interval
subdomain t adalah k dan ukuran tiap
interval subdomain S adalah h, akibatnya
diperoleh ݇ ൌ ܶ ܰൗ dan ݄ ൌ ܵ௫ൗܯ.
Di-pilih Vh sebagai subruang V yang terdiri dari
polinominal-polinominal berderajat satu,
kontinu sepotong-sepotong dan jumlahnya
berhingga. Subruang Vh terdiri dari semua
fungsi v yang memenuhi
ݒሾௌషభǡௌሿ א ܲଵሺሾܵିଵǡ ܵ ݒሺͲ
ൌ ݒሺܵெሻ ൌ Ͳǡ ݒ א ܥሾܵିଵǡ ܵሿ
ሿሻǡ ሻ
Pembagian ruang V menjadi subruang
Vh mengakibatkan permasalahan pada
Persamaan (12) berubah menjadi mencari
sedemikian sehingga ݑ א ܸ
ۃ߲ݑ݄
߲ݐ ǡ ݒۄ ۃܮݑǡ ݒۄ ൌ ۃܨǡ ݒۄ (13)
untuk ݒ א ܸ. SubruangVh memiliki basis
ሼሺܵሻሽୀଵெିଵ, sehingga Vh =span{ø1,…,øM-1}.
Fungsi adalah fungsi “hat” dimana
൫ܵ൯ ൌ ߜ untuk setiap idan j, dengan ߜ delta kronecker.
Fungsi ݑ merupakan elemen
sub-ruang Vh, sehingga ݑ merupakan kombinasi
i linier dari basis Vh, yakn
ݑሺܵሻ ൌ σெିଵୀଵ ߙሺܵሻ (14) Solusi Persamaan (13) pada saat tj
cukup dengan menentukan nilai ߙ pada
Per-samaan (14). Dalam notasi vektor, ߙ dapat
dinyatakan sebagai ߙ ൌ ൣߙଵǡ ߙଶǡ ǥ ǡ ߙெିଵ ൧.
Perhitungan pada Saat tN
Batas eksekusi numerik ܵே, diperoleh
dari batas eksekusi pada saat T, yakni
Sc(T)=E. Agar lebih memudahkan
per-hitungan, digunakan titik nodal Sl
sedemiki-an sehingga ܵே ൌ ܵ
dimana ܵିଵ൏ ܵሺܶሻ ܵǡ ݈ א ሼͲǡͳǡʹǡ ǥ ǡ ܯሽ.
rkan pada Pemilihan ini didasa
ሃܵሺܶሻ െ ܵேሃ ݄.
Pada saat T harga U(S,T) dapat
dihitung menggunakan Persamaan (1.15),
sedangkan solusi hampiran ݑே dicari dengan
memilih ݑே sebagai proyeksi orthogonal
dari U(S,T) di ruang Vh. Didefinisikan
ݑேsebagai
ݑேሺܵሻ ൌ σெିଵୀଵ ߙேሺܵሻ (15)
Akibat dari ܷሺܵǡ ܶሻ א ܸ, dengan
Teorema Proyeksi Orthogonal diperoleh
per-samaan
ۃሺܷሺȈǡ ܶሻ െ σ ߙே ெିଵ
ୀଵ ሻǡ ۄ ൌ Ͳ (16)
Perhitungan pada Saat tN1
Turunan parsial U terhadap t dihampiri
menggunakan rumus selisih mundur dua titik
Euler. Hampiran turunan U terhadap t pada
saat ݐேିଵdidefinisikan dengan
డሺௌǡ௧ಿషభሻ
డ௧ ൎ
ሺௌǡ௧ಿሻିሺௌǡ௧ಿషభሻ
(17)
Subtitusi hampiran turunan U terhadap
t pada Persamaan (17) ke Persamaan (11)
diperoleh
ݑேିଵൌ ݑேሺܵሻ ݇ܮݑேሺܵሻ െ ݇ܨሺܵǡ ܵேሻ(18) Dengan ݑேିଵ adalah solusi hampiran ܷேିଵሺܵሻ א ܸ pada subruang Vh. Dipilih fungsi א ܸ sebagai fungsi tes, dan
mengalikannya ke kedua ruas Persamaan
(18), diperoleh ݒሾௌషభǡௌሿ א ܲଵሺሾܵିଵǡ ܵ ݒሺͲ
ൌ ݒሺܵெሻ ൌ Ͳǡ ݒ א ܥሾܵିଵǡ ܵሿ
ሿሻǡ ሻ
Pembagian ruang V menjadi subruang
Vh mengakibatkan permasalahan pada
Persamaan (12) berubah menjadi mencari
sedemikian sehingga ݑ א ܸ
ۃ߲ݑ݄
߲ݐ ǡ ݒۄ ۃܮݑǡ ݒۄ ൌ ۃܨǡ ݒۄ (13)
untuk ݒ א ܸ. SubruangVh memiliki basis
ሼሺܵሻሽୀଵெିଵ, sehingga Vh =span{ø1,…,øM-1}.
Fungsi adalah fungsi “hat” dimana
൫ܵ൯ ൌ ߜ untuk setiap idan j, dengan ߜ delta kronecker.
Fungsi ݑ merupakan elemen
sub-ruang Vh, sehingga ݑ merupakan kombinasi
i linier dari basis Vh, yakn
ݑሺܵሻ ൌ σெିଵୀଵ ߙሺܵሻ (14) Solusi Persamaan (13) pada saat tj
cukup dengan menentukan nilai ߙ pada
Per-samaan (14). Dalam notasi vektor, ߙ dapat
dinyatakan sebagai ߙ ൌ ൣߙଵǡ ߙଶǡ ǥ ǡ ߙெିଵ ൧.
Perhitungan pada Saat tN
Batas eksekusi numerik ܵே, diperoleh
dari batas eksekusi pada saat T, yakni
Sc(T)=E. Agar lebih memudahkan
per-hitungan, digunakan titik nodal Sl
sedemiki-an sehingga ܵே ൌ ܵ
dimana ܵିଵ൏ ܵሺܶሻ ܵǡ ݈ א ሼͲǡͳǡʹǡ ǥ ǡ ܯሽ.
rkan pada Pemilihan ini didasa
ሃܵሺܶሻ െ ܵேሃ ݄.
Pada saat T harga U(S,T) dapat
dihitung menggunakan Persamaan (1.15),
sedangkan solusi hampiran ݑே dicari dengan
memilih ݑே sebagai proyeksi orthogonal
dari U(S,T) di ruang Vh. Didefinisikan
ݑேsebagai
ݑேሺܵሻ ൌ σெିଵୀଵ ߙேሺܵሻ (15)
Akibat dari ܷሺܵǡ ܶሻ א ܸ, dengan
Teorema Proyeksi Orthogonal diperoleh
per-samaan
ۃሺܷሺȈǡ ܶሻ െ σ ߙே ெିଵ
ୀଵ ሻǡ ۄ ൌ Ͳ (16)
Perhitungan pada Saat tN1
Turunan parsial U terhadap t dihampiri
menggunakan rumus selisih mundur dua titik
Euler. Hampiran turunan U terhadap t pada
saat ݐேିଵdidefinisikan dengan
డሺௌǡ௧ಿషభሻ
డ௧ ൎ
ሺௌǡ௧ಿሻିሺௌǡ௧ಿషభሻ
(17)
Subtitusi hampiran turunan U terhadap
t pada Persamaan (17) ke Persamaan (11)
diperoleh
ݑேିଵൌ ݑேሺܵሻ ݇ܮݑேሺܵሻ െ ݇ܨሺܵǡ ܵேሻ(18) Dengan ݑேିଵ adalah solusi hampiran ܷேିଵሺܵሻ א ܸ pada subruang Vh. Dipilih fungsi א ܸ sebagai fungsi tes, dan
mengalikannya ke kedua ruas Persamaan
Penentuan Harga Opsi Saham (Nikenasih Binatari dkk) ۃݑேିଵǡ ۄ ൌ ۃ ே ݇ܮݑே ݇ܨሺܵǡ ܵேሻǡ ൌ ሺͳ െ ݇ݎሻۃݑேǡ ۄ െ݇ߪ ଶ ʹ ݑ െ ۄ ۃ߲ܵݑ߲ܵ ǡ ܵே ߲߲ܵۄ ே െ݇ߪଶ ൌ ሺͳ െ ݇ݎሻۃݑǡ ۄ ʹ ۃ߲ܵݑ߲ܵ ே ǡ ܵ ߲߲ܵۄ ݇ሺݎ െ ݍ െ ߪଶሻ ۃܵడ௨ಿ
డௌ ǡ ۄ െ ݇ۃܨሺݏǡ ܵேሻǡ ۄ (19)
Misalkan matriks A memiliki
entri-entri ۃ ൌ ଶ ଷ
െ ۄ ǡ ۃିଵെ ۄൌ ǡ
ۃାଵെ ଵۄ ൌ matriks ܤ ൌ ൣܾ൧ dengan
ͳ ۄ െఙ
మ
ଶ
entri ܾ ൌ ሺ െ ݇ݎሻۃ െ ۃܵడ డௌۄ
݇ሺݎ െ ݍ െ ߪଶሻۃܵడೕ
డௌ ǡ ۄ.
N
Misalkan f merupakan vektor kolom
se-demikian sehingga݂ே ൌ ሾ݂ଵேǡ ݂ଶேǡ ǥ ǡ ݂ெିଵே ሿ்
dengan݂ேൌ െ݇ۃܨሺܵǡ ܵேሻǡ ۄ, untuk i=1,2,…M-1
atau ݂ேൌ ە ۖ ۖ ۔ ۖ ۖ ۓ݇ ൬ݍ െܵݍܧ ௫൰ ݄ܵǡ ܵ ൏ ܵ ே ݇ ൭ቆ݄ܵʹ െ ݄ ቇ ݍ െଶ ݍܧ݄ܵܵ ௫ ݎܧ݄ ʹ ൱ ǡ ܵൌ ܵே ݇ ൬െܵݍܧ ௫݄ܵ ݎܧ݄൰ ǡ ܵ ܵ ே ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ
maka, Persamaan (19) dapat ditulis dengan ܣߙேିଵൌ ܤߙே ݂ே (20)
Batas ekseskusi pada saat tN-1
di-tentukan dengan mendefinisikan parameter
relaksasi ߜ yang dikaitkan dengan k dan h, ߜ
didefinisikan sebagai
ߜ ൌ ݉ܽ݇ݏ൫݉݅݊൫ሺ݇ଶ ݇ כ ݄ሻǡ ͳͲିସ൯ǡ ͳͲି଼൯ Batas ekseskusi numerik ditentukan
sebagai berikut,
ܵேିଵൌ ଵஸஸெିଵሼܵ ܵேሃȁݑேିଵሺܵሻ െ ܷሺܶǡ ܵሻȁ ߜሽ
Perhitungan pada Saat ݐǡ ݆ ൌ ܰ െ ʹǡ ǥ ǡͳǡͲ
Solusi hampiran Uj(S) dihitung dengan
skema yang hampir sama dengan perhitungan
pada saat tN-1. Perbedaannya terletak pada
penggunaan skema tiga titik untuk hampiran
turunan U terhadap t di titikݐ (Kang et al,
2008:279). Persamaan (11) menjadi
௨ೕశమሺௌሻି௨ೕሺௌሻ ଶ ଵ ଶ൫ܮݑ ାଶሺܵሻ ܮݑ ሺܵሻ൯ ൌ
ܨሺܵǡ ܵାଵሻ (21)
Dimana ݑାଶ danܵାଵtelah diketahui
nilai-nya dari perhitungan sebelumnilai-nya. Dari
Persamaan (21) diperoleh
ሺܫ െ ݇ܮሻݑሺܵሻ ൌ ሺܫ െ ݇ܮሻݑାଶ ʹ݇ܨሺܵǡ ܵାଵሻ (22)
Dipilih fungsi א ܸ sebagai fungsi
test dan mengalikan pada kedua ruas
Per-samaan (22) diperoleh
ۃሺܫ െ ݇ܮሻݑǡ ۄ ൌۃሺܫ െ ݇ܮሻݑାଶǡ ۄ ۃʹ݇ܨ൫ܵǡ ܵାଵ൯ǡ ۄ Subtitusi Persamaan (19) ke
Persama-an (22) dipero h le
ሺͳ ݇ݎሻۃݑǡ ۄ ݇ߪ ଶ ʹ ۃܵ ߲ݑ ߲ܵ ǡ ܵ ߲ ߲ܵۄെ ݇ሺݎ െ ݍ െ ߪଶሻ ۃ߲ܵܵ ߲ݑǡ ۄ ൌ ሺͳ െ ݇ݎሻۃݑାଶǡ ۄ െ݇ߪ ଶ ʹ ۃܵ ߲ݑାଶ ߲ܵ ǡ ܵ ߲ ߲ܵۄ ݇ሺݎ െ ݍ െ ߪଶሻ ۃܵ ߲ݑାଶ ߲ܵ ǡ ۄ ൌ ݎ ାଶǡ ݇ߪଶ ʹ ሺͳ െ ݇ ሻۃݑ ۄ െ ۃ߲ܵݑ ାଶ ߲ܵ ǡ ܵ ߲ ߲ܵۄ ݇ሺݎ െ ݍ െ ߪଶሻ ۃܵ ߲ݑାଶ ߲ܵ ǡ ۄ
െʹ݇ۃܨ൫ܵǡ ܵାଵ൯ǡ ۄ (23)
Persamaan (23) dapat ditulis men
ሺʹܣ െ ܤሻߙ ൌ ܤߙାଶ ʹ݂ߙାଵ dengan ߙൌ ൣߙ
ǡ ߙଶǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ߙெିଵ ൧ ்
, untuk݆ ൌ ܰ െ ʹǡ ǥ ǡʹǡͳǡͲǤ jadi ۃݑேିଵǡ ۄ ൌ ۃ ே ݇ܮݑே ݇ܨሺܵǡ ܵேሻǡ ൌ ሺͳ െ ݇ݎሻۃݑேǡ ۄ െ݇ߪ ଶ ʹ ݑ െ ۄ ۃ߲ܵݑ߲ܵ ǡ ܵே ߲߲ܵۄ ே െ݇ߪଶ ൌ ሺͳ െ ݇ݎሻۃݑǡ ۄ ʹ ۃ߲ܵݑ߲ܵ ே ǡ ܵ ߲߲ܵۄ ݇ሺݎ െ ݍ െ ߪଶሻ ۃܵడ௨ಿ
డௌ ǡ ۄ െ ݇ۃܨሺݏǡ ܵேሻǡ ۄ (19)
Misalkan matriks A memiliki
entri-entri ۃ ൌ ଶ ଷ
െ ۄ ǡ ۃିଵെ ۄൌ ǡ
ۃାଵെ ଵۄ ൌ matriks ܤ ൌ ൣܾ൧ dengan
ͳ ۄ െఙ
మ
ଶ
entri ܾ ൌ ሺ െ ݇ݎሻۃ െ ۃܵడడௌۄ
݇ሺݎ െ ݍ െ ߪଶሻۃܵడೕ
డௌ ǡ ۄ.
N
Misalkan f merupakan vektor kolom
se-demikian sehingga݂ே ൌ ሾ݂ଵேǡ ݂ଶேǡ ǥ ǡ ݂ெିଵே ሿ்
dengan݂ேൌ െ݇ۃܨሺܵǡ ܵேሻǡ ۄ, untuk i=1,2,…M-1
atau ݂ேൌ ە ۖ ۖ ۔ ۖ ۖ ۓ݇ ൬ݍ െܵݍܧ ௫൰ ݄ܵǡ ܵ ൏ ܵ ே ݇ ൭ቆ݄ܵʹ െ ݄ ቇ ݍ െଶ ݍܧ݄ܵܵ ௫ ݎܧ݄ ʹ ൱ ǡ ܵൌ ܵே ݇ ൬െܵݍܧ ௫݄ܵ ݎܧ݄൰ ǡ ܵ ܵ ே ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ
maka, Persamaan (19) dapat ditulis dengan ܣߙேିଵൌ ܤߙே ݂ே (20)
Batas ekseskusi pada saat tN-1
di-tentukan dengan mendefinisikan parameter
relaksasi ߜ yang dikaitkan dengan k dan h, ߜ
didefinisikan sebagai
ߜ ൌ ݉ܽ݇ݏ൫݉݅݊൫ሺ݇ଶ ݇ כ ݄ሻǡ ͳͲିସ൯ǡ ͳͲି଼൯ Batas ekseskusi numerik ditentukan
sebagai berikut,
ܵேିଵൌ ଵஸஸெିଵሼܵ ܵேሃȁݑேିଵሺܵሻ െ ܷሺܶǡ ܵሻȁ ߜሽ
Perhitungan pada Saat ݐǡ ݆ ൌ ܰ െ ʹǡ ǥ ǡͳǡͲ
Solusi hampiran Uj(S) dihitung dengan
skema yang hampir sama dengan perhitungan
pada saat tN-1. Perbedaannya terletak pada
penggunaan skema tiga titik untuk hampiran
turunan U terhadap t di titikݐ (Kang et al,
2008:279). Persamaan (11) menjadi
௨ೕశమሺௌሻି௨ೕሺௌሻ ଶ ଵ ଶ൫ܮݑ ାଶሺܵሻ ܮݑ ሺܵሻ൯ ൌ
ܨሺܵǡ ܵାଵሻ (21)
Dimana ݑାଶ danܵାଵtelah diketahui
nilai-nya dari perhitungan sebelumnilai-nya. Dari
Persamaan (21) diperoleh
ሺܫ െ ݇ܮሻݑሺܵሻ ൌ ሺܫ െ ݇ܮሻݑାଶ ʹ݇ܨሺܵǡ ܵାଵሻ (22)
Dipilih fungsi א ܸ sebagai fungsi
test dan mengalikan pada kedua ruas
Per-samaan (22) diperoleh
ۃሺܫ െ ݇ܮሻݑǡ ۄ ൌۃሺܫ െ ݇ܮሻݑାଶǡ ۄ ۃʹ݇ܨ൫ܵǡ ܵାଵ൯ǡ ۄ Subtitusi Persamaan (19) ke
Persama-an (22) dipero h le
ሺͳ ݇ݎሻۃݑǡ ۄ ݇ߪ ଶ ʹ ۃܵ ߲ݑ ߲ܵ ǡ ܵ ߲ ߲ܵۄെ ݇ሺݎ െ ݍ െ ߪଶሻ ۃ߲ܵܵ ߲ݑǡ ۄ ൌ ሺͳ െ ݇ݎሻۃݑାଶǡ ۄ െ݇ߪ ଶ ʹ ۃܵ ߲ݑାଶ ߲ܵ ǡ ܵ ߲ ߲ܵۄ ݇ሺݎ െ ݍ െ ߪଶሻ ۃܵ ߲ݑାଶ ߲ܵ ǡ ۄ ൌ ݎ ାଶǡ ݇ߪଶ ʹ ሺͳ െ ݇ ሻۃݑ ۄ െ ۃ߲ܵݑ ାଶ ߲ܵ ǡ ܵ ߲ ߲ܵۄ ݇ሺݎ െ ݍ െ ߪଶሻ ۃܵ ߲ݑାଶ ߲ܵ ǡ ۄ
െʹ݇ۃܨ൫ܵǡ ܵାଵ൯ǡ ۄ (23)
Persamaan (23) dapat ditulis men
ሺʹܣ െ ܤሻߙ ൌ ܤߙାଶ ʹ݂ߙାଵ dengan ߙൌ ൣߙ
ǡ ߙଶǡ Ǥ Ǥ Ǥ ǡ ߙெିଵ ൧ ்
Misalkan ݂ାଵ ൌൣ݂ଶାଵǡ ǥ ǡ ݂ெିଵାଵ൧்dimana
݂ାଵൌ
ە ۖ ۖ ۔ ۖ ۖ
ۓ݇ ൬ݍ െܵݍܧ
௫൰ ݄ܵǡ ܵ൏ ܵ
ାଶ
݇ ൭ቆ݄ܵʹ െ ݄ ቇ ݍ െଶ ݍܧ݄ܵܵ
௫
ݎܧ݄
ʹ ൱ ǡ ܵൌ ܵାଶ
݇ ൬െܵݍܧ
௫݄ܵ ݎܧ݄൰ ǡ ܵ ܵ ାଶ
ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ
Persamaan (23) akan menjadi
ሺʹܣ െ ߙܤሻ ൌ ܤߙାଶʹ݂ାଵ (23) untuk݆ ൌ ܰ െ ʹǡ ǥ ǡͳǡͲ.
Persamaan (23) dapat diselesaikan
dengan menggunakan berbagai metode
elimi-nasi sehingga diperoleh nilai ߙ.
Solusi hampiran ݑሺܵሻ dan harga opsi
pada saat t=0 adalah ܥሺܵǡ Ͳሻ ൌ ݕሺܵሻ െ ݑሺܵሻ
Batas eksekusi pada saat ݆ ൌ ܰ െ
diten k b
ʹǡ ǥ ǡͳǡͲ tu an sebagai erikut.
ܵൌ ଵஸஸெିଵ൛ܵ ܵିଵሃȁݑሺܵሻ െ ݑିଵሺܵሻȁ ߜൟ.
Penentuan harga dan batas eksekusi
pada opsi jual dapat dilakukan secara
analog. Transformasi harga opsi jual P
menjadi ܹሺܵǡ ݐሻ ൌ ݕሺܵሻ െ ܲሺܵǡ ݐሻ dimana
ݕሺܵሻ ൌ ܧௌೌೣௌೌೣିௌ .
Simulasi Numerik
Dibentuk algoritma untuk
menentu-kan harga opsi dan batas eksekusi opsi beli
tipe Amerika.
Algoritma B.1
Untuk menentukan harga opsi beli
C(0,S) dan batas eksekusi opsi beli Sc tipe
Amerika. Input: ܧǡ ܶǡ ݎǡ ݍǡ ߪǡ ܯǡ ܰ. Output:
ܥሺͲǡ ܵሻ dan ܵ atau pesan “error”. Langkah-langkah yang dilakukan: (1) Hitung: ݑே dan ܵே; (2) Hitung: ݑேିଵ dan ܵேିଵ; (3) FOR ݆ ൌ ܰ െ ʹǡ ǥ ǡͳǡͲ DO ݑ dan ܵ, hitung
ǡ ܵሻ; ܥሺͲǡ ܵሻ ൌ ሾܥሺܵଵሻǡ ܥሺܵଶሻǡ ǥǡ ܥሺͲ (4)
ܥሺܵெିଵሻሿ்; (5) STOP.
Perhitungan numerik untuk harga
dan batas eksekusi opsi tipe Amerika
ber-dasarkan Algoritma 3.1 dan Algoritma 3.2,
menggunakan software Matlab R2010a pada
komputer dengan spesifikasi CPU P4
2.4GHz, RAM 2040MB.
Hasil Perhitungan Numerik Opsi Beli
Diperoleh suatu kasus dimana
dike-tahui parameter-parameter input perhitungan
sebagai berikut: ܶ ൌ ͳǡ ߪ ൌ ͲǤ͵ʹǡ ݎ ൌ ͲǤͳ, ݍ ൌ ͲǤͲͷǡ ܧ ൌ ͳͲ. Dipilih ܯ ൌ ͵ͷ dan ܰ ൌ ͵ͷ. Sebagian hasil perhitungan harga dan batas eksekusi opsi beli pada saat ݐ ൌ Ͳ,
disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Hasil Perhitungan Numerik Opsi Beli
Dari Tabel 1, diperoleh harga opsi
sebesar $1.8 (dengan pembulatan). Untuk
harga saham $15.5. Gambar 1
memperlihat-kan mesh hasil perhitungan numerik harga
S C Sc
14.0000 15.0548
15.5342
16.0137
1.1400 1.5775
1.7994
2.0355
21.4795
Misalkan ݂ାଵ ൌൣ݂ଶାଵǡ ǥ ǡ ݂ெିଵାଵ൧்dimana
݂ାଵൌ
ە ۖ ۖ ۔ ۖ ۖ
ۓ݇ ൬ݍ െܵݍܧ
௫൰ ݄ܵǡ ܵ൏ ܵ
ାଶ
݇ ൭ቆ݄ܵʹ െ ݄ ቇ ݍ െଶ ݍܧ݄ܵܵ
௫
ݎܧ݄
ʹ ൱ ǡ ܵൌ ܵାଶ
݇ ൬െܵݍܧ
௫݄ܵ ݎܧ݄൰ ǡ ܵ ܵ ାଶ
ۙ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۗ
Persamaan (23) akan menjadi
ሺʹܣ െ ߙܤሻ ൌ ܤߙାଶʹ݂ାଵ (23) untuk݆ ൌ ܰ െ ʹǡ ǥ ǡͳǡͲ.
Persamaan (23) dapat diselesaikan
dengan menggunakan berbagai metode
elimi-nasi sehingga diperoleh nilai ߙ.
Solusi hampiran ݑሺܵሻ dan harga opsi
pada saat t=0 adalah ܥሺܵǡ Ͳሻ ൌ ݕሺܵሻ െ ݑሺܵሻ
Batas eksekusi pada saat ݆ ൌ ܰ െ
diten k b
ʹǡ ǥ ǡͳǡͲ tu an sebagai erikut.
ܵൌ ଵஸஸெିଵ൛ܵ ܵିଵሃȁݑሺܵሻ െ ݑିଵሺܵሻȁ ߜൟ.
Penentuan harga dan batas eksekusi
pada opsi jual dapat dilakukan secara
analog. Transformasi harga opsi jual P
menjadi ܹሺܵǡ ݐሻ ൌ ݕሺܵሻ െ ܲሺܵǡ ݐሻ dimana
ݕሺܵሻ ൌ ܧௌೌೣௌೌೣିௌ .
Simulasi Numerik
Dibentuk algoritma untuk
menentu-kan harga opsi dan batas eksekusi opsi beli
tipe Amerika.
Algoritma B.1
Untuk menentukan harga opsi beli
C(0,S) dan batas eksekusi opsi beli Sc tipe
Amerika. Input: ܧǡ ܶǡ ݎǡ ݍǡ ߪǡ ܯǡ ܰ. Output:
ܥሺͲǡ ܵሻ dan ܵ atau pesan “error”. Langkah-langkah yang dilakukan: (1) Hitung: ݑே dan ܵே; (2) Hitung: ݑேିଵ dan ܵேିଵ; (3) FOR ݆ ൌ ܰ െ ʹǡ ǥ ǡͳǡͲ DO ݑ dan ܵ, hitung
ǡ ܵሻ; ܥሺͲǡ ܵሻ ൌ ሾܥሺܵଵሻǡ ܥሺܵଶሻǡ ǥǡ ܥሺͲ (4)
ܥሺܵெିଵሻሿ்; (5) STOP.
Perhitungan numerik untuk harga
dan batas eksekusi opsi tipe Amerika
ber-dasarkan Algoritma 3.1 dan Algoritma 3.2,
menggunakan software Matlab R2010a pada
komputer dengan spesifikasi CPU P4
2.4GHz, RAM 2040MB.
Hasil Perhitungan Numerik Opsi Beli
Diperoleh suatu kasus dimana
dike-tahui parameter-parameter input perhitungan
sebagai berikut: ܶ ൌ ͳǡ ߪ ൌ ͲǤ͵ʹǡ ݎ ൌ ͲǤͳ, ݍ ൌ ͲǤͲͷǡ ܧ ൌ ͳͲ. Dipilih ܯ ൌ ͵ͷ dan ܰ ൌ ͵ͷ. Sebagian hasil perhitungan harga dan batas eksekusi opsi beli pada saat ݐ ൌ Ͳ,
disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Hasil Perhitungan Numerik Opsi Beli
Dari Tabel 1, diperoleh harga opsi
sebesar $1.8 (dengan pembulatan). Untuk
harga saham $15.5. Gambar 1
memperlihat-kan mesh hasil perhitungan numerik harga
S C Sc
14.0000 15.0548
15.5342
16.0137
1.1400 1.5775
1.7994
2.0355
Penentuan Harga Opsi Saham (Nikenasih Binatari dkk)
Gambar 1. Mesh Hasil Numerik Harga Opsi Beli
opsi beli di seluruh domain D, sedangkan
Gambar 2 memperlihatkan batas eksekusi
opsi beli.
Pada Gambar 1, fungsi payoff opsi
beli ditunjukan dengan kurva berwarna
hitam. Dapat dilihat bahwa harga opsi beli
lebih besar atau sama dengan nilai fungsi
payoff opsi beli. Selain itu, harga opsi beli
monoton naik terhadap harga saham, dan
monoton turun terhadap waktu. Pada saat
0 50 100 150 200 250 300 350 400
16 17 18 19 20 21 22
Waktu (t)
B
a
ta
s
E
k
s
e
k
u
s
i
(Sc
)
Gambar 2. Plot Hasil Numerik Batas Eksekusi Opsi Beli Gambar 1. Mesh Hasil Numerik Harga Opsi Beli
opsi beli di seluruh domain D, sedangkan
Gambar 2 memperlihatkan batas eksekusi
opsi beli.
Pada Gambar 1, fungsi payoff opsi
beli ditunjukan dengan kurva berwarna
hitam. Dapat dilihat bahwa harga opsi beli
lebih besar atau sama dengan nilai fungsi
payoff opsi beli. Selain itu, harga opsi beli
monoton naik terhadap harga saham, dan
monoton turun terhadap waktu. Pada saat
0 50 100 150 200 250 300 350 400
16 17 18 19 20 21 22
Waktu (t)
B
a
ta
s
E
k
s
e
k
u
s
i
(Sc
)
ݐ ൌ Ͳ, kurva harga opsi beli berupa kurva lengkung. Semakin mendekati tanggal
kada-luwarsa kurva harga opsi beli memiliki
bentuk mendekati kurva fungsi payoff opsi
beli, sedangkan pada saat ݐ ൌ ܶ, kurva
harga opsi beli merepresentasikan fungsi
payoff opsi beli.
Pada domain waktu terdapat 365 titik
nodal, sedangkan umur opsi selama satu
tahun. Akibatnya, setiap titik nodal pada
domain waktu menunjukkan satu satuan
hari. Pada Gambar 2, dapat dilihat perilaku
monoton turun dari batas eksekusi opsi beli
terhadap waktu, dapat dilihat pada hari opsi
akan dibeli (ݐ ൌ Ͳ) sampai opsi berumur
217 hari (ݐ ൌ ʹͳ), batas eksekusi opsi
bernilai $21.5 (dengan pembulatan).
Selan-jutnya batas eksekusi opsi akan terus turun
sampai titik terendah, yakni pada tanggal
kadaluwarsa opsi (ݐ ൌ ͵ͷ) sebesar $16.
Hasil Perhitungan Numerik Opsi Jual
Misalkan pada tanggal 7 Juni 2012
suatu kontrak opsi jual tipe Amerika atas
saham perusahaan ABC dijual seharga $6
dengan masa berlaku opsi selama satu tahun
dan harga eksekusi sebesar $16. Harga
saham perusahaan ABC pada tanggal 7 Juni
2012 sebesar $15.5. Diasumsikan perusahaan
ABC membagikan dividen secara kontinu
dengan proporsi konstan sebesar 5%. Dari
data historis diketahui harga saham
perusahaan ABC memiliki volatilitas
se-besar 0.32, sedangkan suku bunga bebas
resiko diketahui sebesar 10%.
Dari data tersebut diketahui
parameter-parameter untuk input perhitungan sebagai
berikut: ܶ ൌ ͳǡ ߪ ൌ ͲǤ͵ʹǡ ݎ ൌ ͲǤͳ ݍ ൌ
ͲǤͲͷǡ ܧ ൌ ͳͲ. Dipilih dan
36
365
M
5
N . Sebagian hasil perhitungan yang
diperoleh, disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2. Hasil Perhitungan Numerik Opsi Jual
Dari hasil perhitungan yang disajikan
pada Tabel 2, diperoleh harga opsi sebesar
$5.3 (dengan pembulatan). Oleh karena itu,
investor sebaiknya tidak membeli opsi karena
harga opsi di pasar seharga $6, lebih mahal
dari harga opsi hasil perhitungan $5.3.
Cputime dari perhitungan
mengguna-kan Algoritma 3.1 adalah 2.0588 detik.
Selanjutnya, Gambar 3 memperlihatkan mesh
hasil perhitungan numerik harga opsi jual di
seluruh domain D.
Pada Gambar 3, fungsi payoff opsi
jual ditunjukan dengan kurva berwarna
hitam. Dapat dilihat bahwa harga opsi jual
lebih besar atau sama dengan nilai fungsi
payoff opsi jual. Selain itu, harga opsi jual
S C Sp
14.0000 15.0548
15.5342
16.0137
6.0298 5.5420
5.3335
5.1327
2.9726
ݐ ൌ Ͳ, kurva harga opsi beli berupa kurva lengkung. Semakin mendekati tanggal
kada-luwarsa kurva harga opsi beli memiliki
bentuk mendekati kurva fungsi payoff opsi
beli, sedangkan pada saat ݐ ൌ ܶ, kurva
harga opsi beli merepresentasikan fungsi
payoff opsi beli.
Pada domain waktu terdapat 365 titik
nodal, sedangkan umur opsi selama satu
tahun. Akibatnya, setiap titik nodal pada
domain waktu menunjukkan satu satuan
hari. Pada Gambar 2, dapat dilihat perilaku
monoton turun dari batas eksekusi opsi beli
terhadap waktu, dapat dilihat pada hari opsi
akan dibeli (ݐ ൌ Ͳ) sampai opsi berumur
217 hari (ݐ ൌ ʹͳ), batas eksekusi opsi
bernilai $21.5 (dengan pembulatan).
Selan-jutnya batas eksekusi opsi akan terus turun
sampai titik terendah, yakni pada tanggal
kadaluwarsa opsi (ݐ ൌ ͵ͷ) sebesar $16.
Hasil Perhitungan Numerik Opsi Jual
Misalkan pada tanggal 7 Juni 2012
suatu kontrak opsi jual tipe Amerika atas
saham perusahaan ABC dijual seharga $6
dengan masa berlaku opsi selama satu tahun
dan harga eksekusi sebesar $16. Harga
saham perusahaan ABC pada tanggal 7 Juni
2012 sebesar $15.5. Diasumsikan perusahaan
ABC membagikan dividen secara kontinu
dengan proporsi konstan sebesar 5%. Dari
data historis diketahui harga saham
perusahaan ABC memiliki volatilitas
se-besar 0.32, sedangkan suku