517.98
. . ২ªã«®¢
¡®â ¯®á¢ïé¥ ¨§ã票ठ®¢ «®£ ¡í஢᪨娢®«î⨢ëå «£¥¡à. «ï
à áᬠâ-ਢ ¥¬®£®á«ãç ï ¢¢¥¤¥®¯®ï⨥ ¡áâà ªâ®£®¨§¬¥à¨¬®£®®¯¥à â®à ,¯à¨á®¥¤¨¥®£®ª
«-£¥¡à¥, ¨ ãáâ ®¢«¥®, çâ® è¨à®ª¨© ª« áá㯮à冷ç¥ëå ©®à¤ ®¢ëå «£¥¡à ॠ«¨§ã¥âáï ª ª
¯®¤ «£¥¡àë «£¥¡à ¡áâà ªâë娧¬¥à¨¬ë宯¥à â®à®¢, ¯à¨á®¥¤¨¥ëå ª¬®¤ã«ïன
¬®®-â®®¯®«®©©®à¤ ®¢®©¡ 客®© «£¥¡à¥. ª ç¥á⢥¢á¯®¬®£ ⥫쮣®á।á⢠¯®áâ஥®
¯¨àᮢ᪮¥à §«®¦¥¨¥¯®¡¥áª®¥ç®¬ãᥬ¥©áâ¢ã¯à®¥ªâ®à®¢.
1. ¢¥¤¥¨¥
à ¡®â å â® ¨¥à¡¥à¨ [1{5]¡ë«¨ ¨áá«¥¤®¢ ë áá®æ¨ â¨¢ë¥ «£¥¡àë
¡-áâà ªâëå ¨§¬¥à¨¬ëå ®¯¥à â®à®¢ ¤«ï AW
- «£¥¡àë. ë«® ¤®ª § ®, çâ®®¨
ï-îâáï ¡í஢᪨¬¨- «£¥¡à ¬¨.
¥«ì ¤ ®© à ¡®âë | ¨áá«¥¤®¢ âì ©®à¤ ®¢ë «®£¨ ¡í஢᪨å - «£¥¡à.
à ¡®â å[6,7]¡ë«® ãáâ ®¢«¥®,ç⮢ª« áᥠJB- «£¥¡à¨¬¥¥âáﯮ¤ª« áá,
¯à¥¤áâ ¢¨-⥫¨ª®â®à®£® 㤮¢«¥â¢®àïîâ ©®à¤ ®¢ã «®£ã ãá«®¢¨ï íà . ⨠«£¥¡àë, á«¥¤ãï
®¯¯¨£ã, ¡ë«¨ §¢ ë AJW- «£¥¡à ¬¨. «¥¥, ¢ à ¡®â¥ [8] ¡ë«¨ ¨§ãç¥ë
©®à¤ -®¢ë «£¥¡àë ¡áâà ªâë娧¬¥à¨¬ëå ®¯¥à â®à®¢¤«ïJBW- «£¥¡à. ë«®¤®ª § ®,
çâ®í⨠«£¥¡àë ïîâáï ©®à¤ ®¢ë¬¨ «®£ ¬¨ ¡íà®¢áª¨å ¨¢®«î⨢ëå «£¥¡à.
à ¡®â å [9] ¨ [10] ¡ë«¨ ¢¢¥¤¥ë¨ ¨§ãç¥ë OJ- «£¥¡àë. ¤¨ ¨§ ®á®¢ëå
१ã«ì-â ⮢ íâ¨å à ¡®â ã⢥ত ¥â, çâ® ¢áïª ï OJ- «£¥¡à ¢«®¦¨¬ ¢ ©®à¤ ®¢ã «£¥¡àã
«®ª «ì®¨§¬¥à¨¬ëå ®¯¥à â®à®¢®â®á¨â¥«ì® JW- «£¥¡àë ᢮¨å ®£à ¨ç¥ëå
í«¥-¬¥â®¢. ¤ ®© à ¡®â¥ íâ®â १ã«ìâ â ¯¥à¥¥á¥ á«ãç © OJ- «£¥¡àë á
¬®¤ã-«ïன AJW- «£¥¡à®© ®£à ¨ç¥ëå í«¥¬¥â®¢ ¨ ¤®ª § ®, çâ® â ª¨¥ OJ- «£¥¡àë
ïîâá﩮ठ®¢ë¬¨ «®£ ¬¨ ¡í஢᪨娢®«î⨢ëå «£¥¡à. ¤ ®©à ¡®â¥
¯®áâ஥®â ª¦¥¯¨àᮢ᪮¥à §«®¦¥¨¥¯à®¨§¢®«ì®©¬®®â®®¯®«®©JB- «£¥¡àë
(AJW- «£¥¡àë). ¥«® ¢ ⮬, çâ® ¤® á¨å ¯®à ¢ ⥮ਨ ©®à¤ ®¢ëå «£¥¡à
¨á¯®«ì-§®¢ «¨áì ¯¨àᮢ᪨¥ à §«®¦¥¨ï ©®à¤ ®¢ëå «£¥¡à ¯® ª®¥çë¬ á¥¬¥©á⢠¬
¯à®-¥ªâ®à®¢. â® ¦¥ ¢à¥¬ï, ¯¨àᮢ᪮¥ à §«®¦¥¨¥ ¯® ¡¥áª®¥ç®¬ã ®à⮣® «ì®¬ã
ᥬ¥©áâ¢ã ¯à®¥ªâ®à®¢ áãé¥á⢥® ã¯à®á⨫® ¡ë ¤®ª § ⥫ìá⢠¬®£¨å ä ªâ®¢.
¤ ®© áâ âì¥ ¤ ® ãá«®¢¨¥ ¯®áâ஥¨ï ¯¨àᮢ᪮£® à §«®¦¥¨ï ¬®®â®® ¯®«®©
JB- «£¥¡àëA ¯®¡¥áª®¥ç®¬ã®à⮣® «ì®¬ã ᥬ¥©áâ¢ãfp
g áãá«®¢¨¥¬supp
=1.
2. §¬¥à¨¬ë¥ ¨ «®ª «ì® ¨§¬¥à¨¬ë¥ ®¯¥à â®àë
¤«ï ¬®¤ã«ïன AJW- «£¥¡àë
áî¤ã ¢ ¤ ®© áâ âì¥, ¥á«¨ ¥ ®£®¢®à¥® ¯à®â¨¢®¥, A | ¬®¤ã«ïà ï
AJW- «£¥¡à ¨ P(A) | à¥è¥âª ¯à®¥ªâ®à®¢¢ A. «ï¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠fe
n g
í«¥-¬¥â®¢P(A)¡ã¤¥¬¯¨á âìe
n
",¥á«¨e
n 6e
n+1
¤«ï¢á¥ån;¥á«¨,ªà®¬¥â®£®,supe
n =e,
c
â® ¯¨è¥¬
e
n
"e
. ®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fe
n
g í«¥¬¥â®¢P
(A
) ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì á¨«ì® ¯«®â®© ®¡« áâìî, ¥á«¨e
n
" 1. ãé¥á⢥® ¨§¬¥à¨¬ë© ®¯¥à â®à | íâ® ¯®á«¥-¤®¢ ⥫ì®áâì ¯ à f(x
n
;e
n
)g, £¤¥x
n
2A
¨ fe
n
g | á¨«ì® ¯«®â ï ®¡« áâì, â ª ï, çâ® ¨§m
6n
á«¥¤ã¥âe
m
x
n
=e
m
x
m
. ¯à¨¬¥à, ¥á«¨x
2A
¨x
n
=x
,e
n
= 1 ¤«ï ¢á¥ån
,â® f(x
n
;e
n
)g | áãé¥á⢥® ¨§¬¥à¨¬ë©®¯¥à â®à, ª®â®àë© ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ç¥à¥§ f(x;
1)g. ᫨x
2A
¨e
2P
(A
), â® ¨¡®«ì訩 㫨àãî騩 ¯à®¥ªâ®à í«¥-¬¥â (1,e
)x
®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§x
,1
[
e
], â.¥. 1,x
,1[
e
] ï¥âáï®á¨â¥«¥¬ (1,e
)x
. ¢¥¤¥¬ ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®á⨠¬®¦¥á⢥ ¢á¥å áãé¥á⢥® ¨§¬¥à¨¬ë宯¥-à â®à®¢. ¢ áãé¥á⢥®¨§¬¥à¨¬ë宯¥à â®à f(
x
n
;e
n
)g¨f(y
n
;f
n
)g íª¢¨¢ «¥âë (¯¨è¥¬ f(x
n
;e
n
)g f(y
n
;f
n
)g), ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â á¨«ì® ¯«®â ï ®¡« áâì fg
n
g â ª ï, çâ®g
n
x
n
=g
n
y
n
¤«ï ¢á¥ån
. « áá íª¢¨¢ «¥â®áâ¨[x
n
;e
n
] áãé¥á⢥®¨§¬¥à¨¬ëå ®¯¥à â®à®¢ f(x
n
;e
n
)g §ë¢ ¥âáï ¨§¬¥à¨¬ë¬ ®¯¥à â®à®¬, ¯à¨á®¥¤¨¥ë¬ª «£¥¡-à¥A
. ¡®§ 稬 ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ¨§¬¥à¨¬ëå ®¯¥à â®à®¢,¯à¨á®¥¤¨¥ëåªA
,ç¥à¥§C
(A
). ª ¦¥, ª ª ¢ á«ãç ¥JBW
- «£¥¡àë (á¬. [8]) ¢¢®¤ïâáï «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ ®¯¥à -樨¢C
(A
): ¯ãáâì 2R ¨ [x
n
;e
n
], [y
n
;f
n
] ¨§¬¥à¨¬ë¥ ®¯¥à â®àë, ¯à¨á®¥¤¨¥ë¥ ª «£¥¡à¥A
,¯®«®¦¨¬ [x
n
;e
n
]=[x
n
;e
n
];
[
x
n
;e
n
]+[y
n
;f
n
]=[x
n
+y
n
;e
n
^f
n
];
[x
n
;e
n
][y
n
;f
n
]=[x
n
y
n
;g
n
];
£¤¥g
n
=e
n
^f
n
^((x
n
),1
[
e
n
])^((y
n
) ,1[
f
n
])¤«ï¢á直ån
. â®á¨â¥«ì®íâ¨å®¯¥à 権C
(A
) ï¥âáï ©®à¤ ®¢®© «£¥¡à®©. ãáâìS
(X;M
8
3
) | ©®à¤ ®¢ «£¥¡à , £¤¥
X
| íªáâ६ «ìë© ª®¬¯ ªâ, ¯®áâà®-¥ ï â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ [9; £«. III]. ᫨ ¯¥à¥¥á⨠⥮६ë 1.20 ¨ 2.9 ¨§ [8] á«ãç ©AJW
- «£¥¡àë,â® ¯®«ãç âáïá«¥¤ãî騥१ã«ìâ âë.¥®à¥¬ 1. ãáâì
A
| ¬®¤ã«ïà ïAJW
- «£¥¡à ¨A
= P
i
A
i
, £¤¥A
i
|AJW
-¯®¤ «£¥¡à «£¥¡àëA
¤«ï ª ¦¤®£®i
. ®£¤C
(A
)= Qi
C
(A
i
), £¤¥ Qi
C
(A
i
) | «£¥¡à ¢á¥åᥬ¥©áâ¢fx
i
g,x
i
2C
(A
i
),c¯®ª®¬¯®¥â묨®¯¥à æ¨ï¬¨. ç áâ®áâ¨, ¨¬¥¥â¬¥áâ®à §«®¦¥¨¥C
(A
)=C
(A
sp
)S
(X;M
8
3 ).
ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ [8] ¬®¦® ¢¢¥á⨠áãé¥á⢥® «®ª «ì® ¨§¬¥à¨¬ë¥ ®¯¥à â®àë,
«®ª «ì®¨§¬¥à¨¬ë¥ ®¯¥à â®àë ¨ ©®à¤ ®¢ã «£¥¡àã
S
(A
) «®ª «ì® ¨§¬¥à¨¬ëå ®¯¥-à â®à®¢ ¤«ï ¬®¤ã«ïனAJW
- «£¥¡àëA
. í⮬ á«ãç ¥, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãîé ï ⥮६ :¥®à¥¬ 2.ãáâì
A
| ¬®¤ã«ïà ïAJW
- «£¥¡à . ®£¤C
(A
)=S
(A
).3. ¥áª®¥ç®¥ ¯¨àᮢ᪮¥ à §«®¦¥¨¥
¬®®â®® ¯®«®© AJW- «£¥¡àë
¢¥¤¥¬ ¯®ï⨥ ¡¥áª®¥ç®© áã¬¬ë ¯¨àá®¢áª¨å ª®¬¯®¥â ¬®®â®® ¯®«®©
AJW
- «£¥¡àëA
. ãáâì fp
g | ¡¥áª®¥ç®¥ ®à⮣® «ì®¥ ᥬ¥©á⢮ ¯à®¥ªâ®à®¢ á â®ç®©¢¥à奩 £à ¨æ¥© 1¢A
. ¥à¥§P
f
p
Ap
g®¡®§ 稬 ¬®¦¥á⢮ nf
a
g:(8;
)a
2fp
Ap
g(9K
2R)(8n
2N),
8f
a
klg
nk;l
=1f
a
g
n
X
k;l
=1a
kl
6
K
o
á®, çâ®®â®á¨â¥«ì®¯®ª®¬¯®¥âëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å®¯¥à 権 ®® ¡ã¤¥â
¢¥ªâ®à-ë¬ ¯à®áâà á⢮¬. ¥âà㤮 ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¯à®áâà á⢮ P
f
p
Ap
g á ®à¬®© kk :fx
g ! kfx
gk(fx
g 2P
f
p
Ap
g) ï¥âáï ¡ å®¢ë¬ ¯à®áâà á⢮¬, £¤¥ kfx
gk = supf
x
kl
gmk;l
=1f
x
g kP
m
k;l
=1x
k
l
k. â®á¨â¥«ì® ¯®ª®¬¯®¥â®£®
¯®àï¤-ª P
f
p
Ap
g ï¥âáï 㯮à冷ç¥ë¬®à¬¨à®¢ ë¬ ¯à®áâà á⢮¬á ¥¤¨¨æ¥©. ¬¥â¨¬, ç⮥᫨a
2A
,â® fp
ap
g2P
f
p
Ap
g. ਠí⮬, â ª ª ª supp
=1, â® ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë 2 ¨§ [7]A
¬®¦® ¢«®¦¨âì ¢P
f
p
Ap
g ª ª 㯮à冷祮¥ ®à¬¨à®-¢ ®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ á ¥¤¨¨æ¥©. ãáâì fa
g2P
f
p
Ap
g â ª®©, çâ®fa
g>0. ¬¥â¨¬, çâ®â®£¤ ¤«ï«î¡®£®n
¨ ¤«ï «î¡®£®ª®¥ç®£® ¡®à fa
k
l
gnk;l
=1
f
a
g í«¥¬¥âa
:= fa
k
l
gnk;l
=1
, £¤¥
:= (n;
1
;:::;
n
;
1;:::;
n
), ï¥âáï í«¥¬¥â®¬
«-£¥¡àë
A
¨ ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢a
®¡à §ã¥â ®£à ¨ç¥ãî ¢A
¬®®â®® ¢®§à á-â îéãî á¥âì (a
). ਠí⮬ áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«®K
â ª®¥, çâ® ka
k 6K
¤«ï ¢á¥å . ¥âà㤮 ãáâ ®¢¨âì, çâ®a
" fa
g. âáî¤ , â ª ª ªA
¬®®â®® ¯®« , â® fa
g 2A
. ®í⮬ãA
¤®¯ã᪠¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ¯¨àᮢ᪮¥ à §«®¦¥¨¥ ¯® ᥬ¥©áâ¢ã fp
g,â.¥.A
=P
f
p
Ap
g.।«®¦¥¨¥1.ãáâì
A
|¬®®â®®¯®« ïAJW
- «£¥¡à ¨fp
g|ᥬ¥©á⢮ ¯®¯ à®®à⮣® «ìëå ¯à®¥ªâ®à®¢á ãá«®¢¨¥¬supp
=1. ®£¤A
=P
f
p
Ap
g.4. ®¦¥á⢮ ®£à ¨ç¥ëå í«¥¬¥â®¢ C(A) ᮢ¯ ¤ ¥â á A
¥¬¬ 1. ãáâì
A
| ¬®®â®® ¯®« ï ¬®¤ã«ïà ïAJW
- «£¥¡à , [x
n
;e
n
] 2C
(A
),f
1 =e
1 ,f
2 =e
2 ,e
1
;::: f
n
=
e
n
,e
n
,1;:::
. ®£¤
U
f
k
x
n
=U
f
k
x
n
+m
(
k;m;n
2 N; k
6n
), ff
k
x
n
f
l
g = ff
k
x
m
+
n
f
l
g (
k;l;m;n
2 N; l
6n
) ¨ ff
i
x
k
f
p
g = ff
i
x
k
+m
f
p
g
(
i;k;m;p
2N; i
6k
6p
).C ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¨¬¥¥¬
e
1x
1=
e
1x
1+m
,
U
e
1x
1 + f
e
1
x
1e
?1
g =
U
e
1x
1+
m
+f
e
1
x
1+m
e
?1
g, ¨ ®âáî¤
U
e
1x
1 =
U
e
1
x
1+m
,
U
f
1x
1 =
U
f
1
x
1+m
. § à ¢¥á⢠f
e
1x
1e
?
1 g =
f
e
1
x
1+m
e
?1
g á«¥¤ã¥â, çâ® f
f
1x
1f
?
k
g = ff
1
x
1+m
f
?k
g (k
6= 1). ¥à¥¬ ¯à®¨§¢®«ì®¥ à -¢¥á⢮e
k
x
k
=e
k
x
k
+
m
. ᨫã⥮६뮯¨àᮢ᪮¬à §«®¦¥¨¨
U
e
k
x
k
+fe
k
x
k
e
?k
g=U
e
k
x
k
+m
+f
e
k
x
k
+m
e
?
k
g. âáî¤U
e
k
x
k
=U
e
k
x
k
+m
¨
U
f
i
x
k
=U
f
i
x
k
+m
, f
f
i
x
k
f
k
g = ff
i
x
k
+
m
f
k
g(
i
6k
). ᢮î®ç¥à¥¤ì¨§à ¢¥á⢠fe
k
x
k
e
?k
g=fe
k
x
k
+m
e
?
k
g á«¥¤ã¥â,çâ® ff
i
x
k
f
p
g=ff
i
x
k
+
m
f
p
g (
i
6k;p
>k
).B।«®¦¥¨¥2.ãáâì
A
|¬®®â®®¯®« אַ¤ã«ïà ïAJW
- «£¥¡à . ®£¤ ¬®¦¥á⢮®£à ¨ç¥ëå í«¥¬¥â®¢©®à¤ ®¢®© «£¥¡àëC
(A
)ᮢ¯ ¤ ¥â áA
.C®ª ¦¥¬çâ®,¥á«¨[
x
n
;e
n
]61,â®[x
n
;e
n
]2A
. ¥à¥¬ff
m
x
m
f
n
g 1m;n
=1.
¥âàã¤-®§ ¬¥â¨âì, ç⮢ ᨫ㫥¬¬ë1f
f
m
x
m
f
n
g 1m;n
=1㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î®¯à¥¤¥«¥¨ï
¯¨àᮢ᪮£® à §«®¦¥¨ï
A
= P
n;m
ff
n
Af
m
g. ãáâìx
= P1
n;m
P 1n;m
ff
m
x
m
f
n
g. ®£¤x
2A
. ਠí⮬[x
n
;e
n
][x;
1],â.¥. [x;
1]=[x
n
;e
n
]. âáî¤ ¨ ¯®«ã稬,çâ®x
2A
.B5. OJ- «£¥¡àë
¯à¥¤¥«¥¨¥.
OJ
- «£¥¡àãE
(á¬. [9, £«. III]) §®¢¥¬ 㨢¥àá «ì®©, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ᯥªâà «ì®£®á¥¬¥©á⢠fe
g¢E
áãé¥áâ¢ã¥â ¨â¥£à «R
+1
,1
de
.§â¥®à¥¬ë2, â ª ¦¥,ª ª ¨ ¢[10],¢ë¢®¤¨âáï á«¥¤ãî饥¯à¥¤«®¦¥¨¥:
।«®¦¥¨¥3.ãáâì
A
|¬®®â®®¯®« אַ¤ã«ïà ïAJW
- «£¥¡à . ®£¤¥®à¥¬ 3. «ï ¬®®â®® ¯®«®© ¬®¤ã«ïன AJW- «£¥¡àë A
ᮮ⢥âáâ¢ãî-é ï ¥© OJ- «£¥¡à C(A) 㨢¥àá «ì .
Cãáâìx= R
+1
,1 de
. ®®¯à¥¤¥«¥¨îx¥áâì(®)-¯à¥¤¥«á㬬 = P +1 ,1 ln(e x n , e x n,1 ), £¤¥ n > l n > n,1
. á®, çâ® fe
n
g ï¥âáï á¨«ì® ¯«®â®© ®¡« áâìî ¨
e x
n
x 2 A ¤«ï «î¡®£® n 2 N. ®£¤ [xe x n ;e x n ] ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬ë¬ ®¯¥à â®à®¬, ᯥªâà «ì®¥à §«®¦¥¨¥ª®â®à®£® ¥áâì R +1 ,1 de .B
«¥¤ãîéãî⥮६㬮¦® ¤®ª § âìâ ª¦¥,ª ªâ¥®à¥¬ã3.2 ¨§ [9].
¥®à¥¬ 4. ®¢®ªã¯®áâì ®£à ¨ç¥ëå í«¥¬¥â®¢ «£¥¡àë S(X;M 8
3 ) íâ®
AJW- «£¥¡à (X;M 8
3 ).
«¥¤ãî騥¤¢¥ ⥮६ëïîâáï ®ç¥¢¨¤ë¬¨á«¥¤á⢨ﬨ ⥮६ë3.3 ¨§[9] ¨
ᮮ⢥âá⢥®â¥®à¥¬ 3¨ 4.
¥®à¥¬ 5. ãáâì E | OJ- «£¥¡à , ã ª®â®à®© JB- «£¥¡à ®£à ¨ç¥ëå
í«¥-¬¥â®¢ ¨§®¬®àä ¬®¤ã«ïன AJW- «£¥¡à¥ A. ®£¤ E ¨§®¬®àä ®à¬ «ì®©
OJ-¯®¤ «£¥¡à¥ã¨¢¥àá «ì®©OJ- «£¥¡àëC(A) ¡áâà ªâë娧¬¥à¨¬ë宯¥à â®à®¢,
¯à¨á®¥¤¨¥ëåªA.
¥®à¥¬ 6. ãáâì E | OJ- «£¥¡à , ã ª®â®à®© JB- «£¥¡à ®£à ¨ç¥ëå
í«¥¬¥â®¢ ¨§®¬®àä AJW- «£¥¡à¥ (X;M 8
3
). ®£¤ E ¨§®¬®àä ®à¬ «ì®©
OJ-¯®¤ «£¥¡à¥ 㨢¥àá «ì®©OJ- «£¥¡àë S(X;M 8
3 ).
।«®¦¥¨¥ 4.ãáâìA|¬®®â®®¯®« ïAJW- «£¥¡à . ®£¤ ¤«ï¢á类©
¬ ªá¨¬ «ì®©á¨«ì® áá®æ¨ ⨢®©¯®¤ «£¥¡àëE
0
«£¥¡àëC(A)áãé¥áâ¢ã¥â
¬ ªá¨-¬ «ì ï á¨«ì® áá®æ¨ ⨢ ﯮ¤ «£¥¡à A
0
«£¥¡àë A â ª ï, çâ®C(A
0 )=E
0 ¨ A
0
ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬®¦¥á⢮¬®£à ¨ç¥ëåí«¥¬¥â®¢ E
0 .
Cª ç¥á⢥ A
0
¡¥à¥¬¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ®£à ¨ç¥ëåí«¥¬¥â®¢ «£¥¡àëE
0 .
¥-è¥âª P(A
0
)¬®¤ã«ïà . ®£¤ , ¥á«¨¤«ïáãé¥á⢥®¨§¬¥à¨¬®£®®¯¥à â®à fx
n ;e n g, fy n ;f n
g 2C(A
0
) ¨¬¥¥â¬¥áâ® fx
n ;e
n g fy
n ;f
n
g, â® íâ¨áãé¥á⢥® ¨§¬¥à¨¬ë¥
®¯¥-à â®àë íª¢¨¢ «¥âë ¨ ¢ A. ª¨¬ ®¡à §®¬ C(A
0
) £®¬®¬®àä® ¢«®¦¨âáï ¢ C(A).
¥âà㤮 ¯à®¢¥à¨âì,çâ®C(A
0
) £®¬®¬®àä®,® ¥®¡ï§ ⥫쮨ꥪ⨢®¢«®¦¨âáï
¢ E
0
. â® ¦¥ ¢à¥¬ï, ¢ ᨫã ⥮६ë 5E
0
C(A
0
). âáî¤ , â ª ª ªà áᬮâà¥ë¥
¢ë襣®¬®¬®à䨧¬ë ¨¤¥â¨çë,â®E
0
=C(A
0 ).B
।«®¦¥¨¥ 5. ãáâì A | ¬®®â®® ¯®« ï ¬®¤ã«ïà ï AJW- «£¥¡à , x,
y | í«¥¬¥âë «£¥¡àë C(A), ¯à¨ç¥¬ ®¤¨ ¨§ x, y ¯®«®¦¨â¥«¥. ®£¤ á«¥¤ãî騥
ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥âë: a) xy =0, b) x 2
y =0,c) x 2
y 2
=0, d) r(x)r(y) =0. à¨
¢ë¯®«¥¨¨®¤®£®¨§ íâ¨åãá«®¢¨©x$y,â.¥. í«¥¬¥âëx ¨y ᮢ¬¥áâë.
C ®¯ãá⨬, çâ® ¢ë¯®«¥® a). ãáâì x > 0 ¨ B | ©®à¤ ®¢ «£¥¡à ,
¯®-஦¤¥ ï í«¥¬¥â ¬¨ y ¨ x. ® ¨§¢¥á⮩ ⥮६¥ ¨à订 «£¥¡à B
ᯥæ¨- «ì . ®£¤ xy = ,yx ®â®á¨â¥«ì® áá®æ¨ ⨢®£® 㬮¦¥¨ï, ¨ xyx = ,yx 2
,
-x 2
y = xyx, â. ¥. yx 2
= x 2
y. âáî¤ ¯® ¯à¥¤«®¦¥¨î 5 ¨§ [10] x 2
$ y ¢ B. ª
ª ª C(A) = A
sp
S(X;M 8
3
) (⥮६ 1), â® áãé¥áâ¢ã¥â æ¥âà «ìë© ¯à®¥ªâ®à z á
ãá«®¢¨ï¬¨ A
sp
= C(zA
sp
), S(X;M 8
3
) = (A
ex
). ãáâì x, y 2 A
sp
. ®£¤ x 2
$ y ¢
A
sp
¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¬ ªá¨¬ «ì ï á¨«ì® áá®æ¨ ⨢ ï ¯®¤ «£¥¡à A
0 A
sp
â ª ï,
çâ®x;y 2A
0
. ¬¥¥¬ A ®£à
0
| ¬ ªá¨¬ «ì ï á¨«ì® áá®æ¨ ⨢ ï ¯®¤ «£¥¡à
«£¥¡-àë A. ᨫ㠯।«®¦¥¨ï 4 A
0
= C(A ®£à
0
) ¨ áãé¥áâ¢ã¥â íªáâ६ «ìë© ª®¬¯ ªâX
â ª®©, çâ® C(A ®£à 0 ) = C 1
(X), á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ A
0
= C
1
(X). áᬮâਬ
®â®¡à -¦¥¨¥ (t) = p
x(t) 2
x(t) 2C
1
(X), â® 2C
1
(X). «¥¤®¢ ⥫ì®, x 2
=x 2C
1
(X) =A
0
. ®£¤ x$ y
¨ x 2
y=x(xy) =0. â ª,¤®ª § ®, çâ® ))b) ¯à¨x;y2A
sp
¨ ãá«®¢¨¥ a) ¢«¥ç¥â
x$y.
¬¥â¨¬, çâ® ª®£¤ x;y 2 S(X;M 8
3
) ¨ x > 0, â® ãá«®¢¨¥ xy = 0 à ¢®á¨«ì®
x 2
y = 0, ¯à¨ç¥¬ x $ y. ¥©á⢨⥫ì®, (8t 2 X) x(t)y(t) = 0 , x(t) 2
y(t) = 0 ¨
x(t) $ y(t) ¢ M 8
3
, ¥á«¨ x(t), y(t) < 1 (á¬. [7]). ª ª ª 㬮¦¥¨¥ ¯®â®ç¥ç®¥, â®
x 2
y=0 ¨x$y. §¯à®¢¥¤¥ëå ¢ëè¥à áá㦤¥¨©á«¥¤ã¥â,çâ®x 2
y=0¨ x$y
¢ C(A). ç¨â,a))b).
ªª ªa))b)¨x,y|¯à®¨§¢®«ìë¥,â® b))c). «¥¥,¢á¨«ãà ¡®âë[10] ¨¬¥îâ
¬¥á⮨ ®áâ «ìë¥ã⢥ত¥¨ï. B
«ï¯®¤¬®¦¥á⢠SE
+
©®à¤ ®¢®© «£¥¡àëE ®¡®§ 稬S ?
=fa2E:U
a s=
0;8s 2 Sg. 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® E | ©®à¤ ®¢ «£¥¡à ¡í஢᪮£® ⨯ , ¥á«¨ ¤«ï
¢á类£® SE
+
áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®¥ªâ®àe2E â ª®©,çâ®S ?
=U
e (E).
¥®à¥¬ 7. ãáâì E | OJ- «£¥¡à , A | JB- «£¥¡à ®£à ¨ç¥ëå í«¥¬¥â®¢
«£¥¡àë E ¨ A ¨¬¥¥â à §¤¥«ïî饥 ᥬ¥©á⢮ ®à¬ «ìëå äãªæ¨® «®¢. ®£¤ E
ï¥âáï ©®à¤ ®¢®© «£¥¡à®© ¡í஢᪮£® ⨯ .
C®ãá«®¢¨î⥮६ë A ï¥âáïJBW- «£¥¡à®©. ᨫã [8] ©®à¤ ®¢ «£¥¡à
C(A) ï¥âáï ©®à¤ ®¢®© «£¥¡à®© ¡í஢᪮£® ⨯ . ãáâì S ?
E
= fa 2 E : U
a s =
0;8s 2 Sg ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® S E
+
. á®, çâ® S ?
E = S
?
\E = U
e
(C(A)) \E.
¬¥â¨¬, çâ®U
e
(E)U
e
(C(A)) ¨U
e (U
e
(C(A))\E) =U
e
(C(A))\E. «¥¤®¢ ⥫ì®,
S ?
E =U
e (E). B
¥®à¥¬ 8.ãáâìA|¬®®â®®¯®« אַ¤ã«ïà ïAJW- «£¥¡à . ®£¤ C(A)
ï¥âá﩮ठ®¢®© «£¥¡à®©¡í஢᪮£®â¨¯ ,â.¥. ¤«ï¢á类£®¬®¦¥á⢠SC(A)
+
áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®¥ªâ®à eâ ª®©,çâ®S ?
=U
e
(C(A)).
C ®áª®«ìªã C(A) ï¥âáï OJ- «£¥¡à®©, â® ¢ ᨫã [10, £«. III] ¤«ï ª ¦¤®£®
a 2 C(A) áãé¥áâ¢ã¥â ¥£® ®á¨â¥«ì r(a) ¢ C(A). ᫨ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® a 2 C(A),
a2S ?
,⮢ᨫã¯à¥¤«®¦¥¨ï5ar(s)=0(s2S)¨,¥á«¨f =sup
s2S
r(s),â®af =0.
âáî¤ U
1,f
(C(A)) S ?
. ãáâì a 2 S ?
. ®ª ¦¥¬, çâ® a 2 U
1,f
(C(A)). ¬¥¥¬
af =0. âáî¤ (1,f)a=0¨ a2U
1,f
(C(A)). «¥¤®¢ ⥫ì®, U
e
(C(A))=S ?
,£¤¥
e=1,f.B
«¥¤ãîé¨©ä ªâ¤®ª §ë¢ ¥âáï â ª ¦¥,ª ª¨ ⥮६ 7.
«¥¤á⢨¥. ãáâì E | OJ- «£¥¡à , E
®£à
| ¬®¤ã«ïà ï AJW- «£¥¡à
®£à ¨-ç¥ëåí«¥¬¥â®¢ E. ®£¤ E | ©®à¤ ®¢ «£¥¡à ¡í஢᪮£® ⨯ .
¬¥ç ¨¥. à ¡®â¥ [11] ¡ë« ¯®áâ஥ ¡ã«¥¢®§ ç ï ॠ«¨§ æ¨ï AJW
- «-£¥¡à. ᯮ«ì§ãï â¥å¨ªã ¬®¦® ¯®áâநâì ¡áâà ªâë¥ ¨§¬¥à¨¬ë¥ ®¯¥à â®àë ¤«ï
ॠ«¨§ 権 AJW- «£¥¡à ¨ ¯¥à¥¥á⨠१ã«ìâ âë ® á¢ï§ïå ¬¥¦¤ã ¡áâà ªâ묨
¨§-¬¥à¨¬ë¬¨®¯¥à â®à ¬¨¤«ï JBW- «£¥¡à ¨ ¡áâà ªâ묨¨§¬¥à¨¬ë¬¨ ®¯¥à â®à ¬¨
¤«ï ¯à®¨§¢®«ìëåAJW- «£¥¡à (á¬. [8, x 5, ⥮६ë1{3]).
¨â¥à âãà
1.
BerberianS.K.The regular ring of a nite
AW-algebra // Ann. of Math.|1957.|V. 65.|P. 224{
240.
2.
Berberian S.K.Note on a theorem of Fuglede and Putnam // Proc. Amer. Math. Soc.|1959.|
3.
BerberianS.K.A note on the algebra of mesurable operators of an
AW-algebra // Tohoku Math. J.|
1970.|V. 22.|P. 613{618.
4.
SaitoK.On the algebra of mesurable operators for a general
AW-algebras. I // Tohoku Math. J.|
1969.|V. 21.|P. 249{270.
5.
SaitoK.On the algebra of mesurable operators for a general
AW-algebras. II // Tohoku Math. J.|
1971.|V. 23.|P. 525{534.
6.
২ªã«®¢..¡ ¡áâà ªâëå
JW- «£¥¡à å // ¨¡. ¬ â. ¦ãà.|1998.|ü 1.|. 20{27.
7.
২ªã«®¢..¡ ®¤®¬ «®£¥ ¯¨àᮢ᪮£® à §«®¦¥¨ï // ¨¡. ¬ â. ¦ãà.|1999.|ü 3.|
. 485{492.
8.
২ªã«®¢. .®à¤ ®¢ë «£¥¡àë ¡áâà ªâëå ¨§¬¥à¨¬ëå ®¯¥à â®à®¢ ¤«ï
JBW- «£¥¡à //
⥬ â¨ç¥áª¨¥ âàã¤ë .|2000.|. 3, ü2.|. 29{70.
9.
¢. .« áá¨ä¨ª æ¨ï ¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ 㯮à冷ç¥ëå ©®à¤ ®¢ëå «£¥¡à.| 誥â:
, 1986.
10.
àë¬á ª®¢ . ., ¢ . ., ¤¦¨¥¢ ¦., ¨«¨ . .¯®à冷ç¥ë¥ «£¥¡àë.|
誥â: , 1983.
11.
ãáà ¥¢.. áâàãªâãà¥
AJW- «£¥¡à ⨯
I2
// ¨¡. ¬ â. ¦ãà.|1999.|ü 4.|. 905{917.
