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Žªâï¡àì{¤¥ª ¡àì, 2000, ’®¬ 2, ‚ë¯ãáª4

“„Š 517.98

ŒŽ„“‹Ÿ›… Œ…› ˆ Ž…€’Ž› Œ€ƒ€€Œ

€. ƒ. Šãáà ¥¢

–¥«ì­ áâ®ï饩áâ âì¨|¯®ª § âì,ç⮬®¤ã«ïà­ë¥¢¥ªâ®à­ë¥¬¥àë ¨®¯¥à â®àë

Œ -£ à ¬â¥á­®á¢ï§ ­ë¤àã£á¤à㣮¬. ’®ç­¥¥£®¢®àï,¯à¨¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨¯®­ áë饭­®©

¬¥à¥ ¢®§­¨ª ¥â ®¯¥à â®à Œ £ à ¬,  ¨­â¥£à «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ®¯¥à â®à  Œ £ à ¬

¯à¨¢®¤¨âª¬®¤ã«ïà­®©­ áë饭­®©¬¥à¥.

1. ‚¢¥¤¥­¨¥

Ž¯¥à â®à®¬ Œ £ à ¬ ­ §ë¢ îâ ¯®à浪®¢® ­¥¯à¥àë¢­ë© ®¯¥à â®à ¢

K-¯à®áâà ­á⢥, á®åà ­ïî騩 ¨­â¥à¢ «ë. â®â ª« áá ®¯¥à â®à®¢ ¢¯¥à¢ë¥

à á-ᬮâ५ „. Œ £ à ¬, ª ª ¢á¯®¬®£ â¥«ì­®¥ â¥å­¨ç¥áª®¥ á।á⢮¯à¨

¯®áâ஥-­¨¨ ⥮ਨ ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢ ¯à®áâà ­áâ¢ å ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権

(á¬. 横« à ¡®â [14{17],   â ª¦¥ ­¥¡®«ì让 ®¡§®à [18], ᮤ¥à¦ é¨©

ªà â-ª®¥ ®¯¨á ­¨¥ à §¢¨â®£® ¥î ¬¥â®¤  ¨ ä®à¬ã«¨à®¢ªã ®á­®¢­ëå १ã«ìâ â®¢).

‚. ‹îªá¥¬¡ã࣠¨ €. ˜í¯ [13] à á¯à®áâà ­¨«¨ ç áâì ⥮ਨ „. Œ £ à ¬,

á¢ï-§ ­­®© á ⥮६®© ⨯   ¤®­  | ¨ª®¤¨¬ , ­  ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥ ®¯¥à â®àë,

¤¥©áâ¢ãî騥 ¢ K-¯à®áâà ­á⢠å. ’¥à¬¨­ ý®¯¥à â®à Œ £ à ¬þ ¡ë« ¢¢¥¤¥­

¢ [4]. ‘¢®©á⢮ ®¯¥à â®à  á®åà ­ïâì ¨­â¥à¢ «ë ­ §¢ ­® ᢮©á⢮¬ Œ £ à ¬

¢ [13]; â ª¨¥ ®¯¥à â®àë ¢ [14{17] ­ §ë¢ «¨áì full-valued. ®¤à®¡­¥¥ ®¡

®¯¥à -â®à å Œ £ à ¬ á¬. ¢ [5, 6, 7, 9].

ˆ§¢¥áâ­®, ç⮠⥮६   ¤®­  | ¨ª®¤¨¬  ­¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ  ¤«ï ¬¥à á®

§­ ç¥­¨ï¬¨ ¢ K-¯à®áâà ­á⢥. Ž¤­ ª®, Œ.  ©â ¯®ª § « ¢ [20], ç⮠⥮६ 

 ¤®­ | ¨ª®¤¨¬  á¯à ¢¥¤«¨¢  ¤«ïᯥ樠«ì­®£® ª« áá ¬®¤ã«ïà­ëå ¬¥àá

¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¬ ãá«®¢¨¥¬­ áë饭­®áâ¨. ãáâìQ|íªáâ६ «ì­ë©ª®¬¯ ªâ

¨:B!C(Q) |­¥ª®â®à ï¬¥à . à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ®L 1

()¤®¯ã᪠¥â

áâàãª-âãàã ¬®¤ã«ï ­ ¤ ª®«ì殬 C(Q). ’®£¤  ¬®¤ã«ïà­®áâì ¬¥àë ®§­ ç ¥â, çâ®

ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¨­â¥£à « ï¥âáï ¬®¤ã«ì­ë¬ £®¬®¬®à䨧¬®¬ ¨§ L 1

() ¢

C(Q). ª¢¨¢ «¥­â­®¥ ãá«®¢¨¥§ ª«îç ¥âáï¢ â®¬,ç⮯à®áâà ­á⢮ L 2

()

á«ã-¦¨â ¬®¤ã«¥¬ Š ¯« ­áª®£® | ƒ¨«ì¡¥àâ  (á¬. [12, 20]). „®¯®«­¨â¥«ì­ë¥

ᢥ-¤¥­¨ï ® ¬®¤ã«ïà­ëå ¨ ­ áë饭­ëå ¬¥à å á¬. ¢ ª­¨£¥ [11], £¤¥, ¢ ç áâ­®áâ¨,

à §¢¨â ¡ã«¥¢®§­ ç­ë© ¯®¤å®¤ ª ¨áá«¥¤®¢ ­¨î í⮣® ª« áá  ¢¥ªâ®à­ëå ¬¥à.

c

–¥«ì ­ áâ®ï饩 áâ âì¨ | ¯®ª § âì, çâ® ¬®¤ã«ïà­ë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë

Œ £ à ¬ â¥á­® á¢ï§ ­ë ¤àã£ á ¤à㣮¬. ’®ç­¥¥ £®¢®àï, ¯à¨¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨ ¯®

­ áë饭­®© ¬¥à¥¢®§­¨ª ¥â ®¯¥à â®àŒ £ à ¬,   ¨­â¥£à «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥

®¯¥à â®à  Œ £ à ¬ ¯à¨¢®¤¨â ª ¬®¤ã«ïà­®© ­ áë饭­®© ¬¥à¥. ¥®¡å®¤¨¬ë¥

ᢥ¤¥­¨ï ¨¬¥îâáï ¢ [1, 2, 5, 7, 11].

2. à¥¤¢ à¨â¥«ì­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï

‚ í⮬ ¯ à £à ä¥ ¯à¨¢¥¤¥¬ á奬㠨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï «¥¡¥£®¢áª®£® ⨯  ¯®

¬¥à¥á®§­ ç¥­¨ï¬¨ ¢à¥è¥â®ç­®­®à¬¨à®¢ ­­®¬¯à®áâà ­á⢥. ’ ª®¥

¨­â¥£à¨-஢ ­¨¥¡ë«®à §¢¨â®Œ. ©â®¬[23]¤«ï¬¥àᮧ­ ç¥­¨ï¬¨¢ «£¥¡à å‘â®ã­ ,

®¤­ ª® ¢áï ⥮à¨ï ®áâ ¥âáï ¢ ᨫ¥¤«ï ¬¥àá® §­ ç¥­¨ï¬¨ ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¬K

-¯à®áâà ­á⢥, á¬.[21,22]. ‚­ è¥¬¨§«®¦¥­¨¨¬ëá«¥¤ã¥¬ [11],£¤¥¯®áâ஥­¨ï

Œ.  ©â  [23] ¯®¢â®à¥­ë ¢ ­¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ ®¡é¥© á¨âã æ¨¨: ¨­â¥£à¨à㥬묨

®¡ê¥ªâ ¬¨ï¢«ïîâáïí«¥¬¥­âë ­¥ª®â®à®£®K

-¯à®áâà ­á⢠, ª ª¢[2, 3], 

¢¥ª-â®à­ ïà¥è¥âª  ®¡à §®¢§ ¬¥­¥­  ­ à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

Ž¢¥ªâ®à­®¬¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨ ¢K-¯à®áâà ­á⢠å¨á®®â¢¥âáâ¢ãî饬 ¢ à¨ ­â¥

â¥®à¥¬ë  ¤®­  | ¨ª®¤¨¬  á¬. â ª¦¥ [19].

2.1. ãáâìG | à áè¨à¥­­®¥ K-¯à®áâà ­á⢮ á ¯®à浪®¢®© ¥¤¨­¨æ¥© 1,  

(Y;F)|ᥪ¢¥­æ¨ «ì­®bo-¯®«­®¥à¥è¥â®ç­®­®à¬¨à®¢ ­­®¥¯à®áâà ­á⢮­ ¤

K-¯à®áâà ­á⢮¬ F.  áᬮâਬ ¯®¤ «£¥¡àã A ¯®«­®© ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë G(1)

¥¤¨­¨ç­ëå í«¥¬¥­â®¢ ¯à®áâà ­á⢠ G ¨ ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­ãî ¬¥àã :A ! Y

®£à ­¨ç¥­­®© ¢¥ªâ®à­®© ¢ à¨ æ¨¨ >

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k ^a

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k=1 a

k =a

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A-¯à®áâëå (ª®­¥ç­®§­ ç­ëå) í«¥¬¥­â®¢ G, â. ¥. x 2 S(A) ®§­ ç ¥â, çâ®

¨¬¥-¥â ¬¥áâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ x = P

n

k=1

k e

k

, £¤¥ f

1

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n

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fe

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X

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k (e

k

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2.2. “ª § ­­ ï ä®à¬ã«  ª®à४⭮ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬ ¦®à¨àã¥¬ë© ®¯¥à â®à

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4{19

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-¯à®áâà ­á⢥

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(

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2.3. Ž¯¥à â®à I

¤®¯ã᪠¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥ ¬ ¦®à¨à㥬®¥ ¯à®¤®«¦¥­¨¥ ­ 

C

(

A

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, ª®â®à®¥ ®¡®§­ ç¨¬ ⥬ ¦¥ ᨬ¢®«®¬. à¨ í⮬ >

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|

| .

C

‘¬. [11; ¯¯. 1.2.1, 1.2.2].

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2.4. „«ï ª ¦¤®£® ¬ ¦®à¨à㥬®£® ®¯¥à â®à  T

:

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:

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xd ,

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(

A

)

:

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A

|

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1

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A

-§­ ç­ëå à §«®¦¥­¨©

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E G

¯®­¨¬ ¥âáï ¢ á¬ëá«¥

®â®¦¤¥á⢫¥­¨ï

K

-¯à®áâà ­áâ¢

G

¨

K

(

E

(

1

)).

2.5.

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì ¨­â¥£à « ®â í«¥¬¥­â ,  ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®£®

A

-¯à®áâ묨 í«¥¬¥­â ¬¨. ‘ª ¦¥¬, çâ® ¯®«®¦¨â¥«ì­ë© í«¥¬¥­â

x 2 E ¨­â¥£-à¨à㥬

¯® ¬¥à¥

, ¨«¨

-

¨­â¥£à¨à㥬

, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¢®§à áâ îé ï

¯®á«¥-¤®¢ â¥«ì­®áâì (

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, ¯à¨ç¥¬ áã¯à¥¬ã¬ sup

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x

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Š®à४⭮áâì í⮣® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯à®¢¥àï¥âáï ¡¥§ âà㤠, á¬. [11; ¯. 1.2.6].

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x ,

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L 1

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4{20

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x;y 2 L 1

(

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L 1

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N

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(

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x 2 L 1

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) ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì ᨬ¢®«®¬ ~

x

. ‚¥ªâ®à­ ï ­®à¬  ­ 

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(

)

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,

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)

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>

>

>

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| à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

2.6. ’¥®à¥¬  ® ¬®­®â®­­®© á室¨¬®áâ¨. „®¯ãá⨬, çâ®

(

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|

¢®§à áâ îé ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì -¨­â¥£à¨à㥬ëå í«¥¬¥­â®¢, ¤«ï ª®â®à®©

¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ¨­â¥£à «®¢ ,

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|

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x

n

)

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Z

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2.7. ’¥®à¥¬  ® ¬ ¦®à¨à®¢ ­­®© á室¨¬®áâ¨. ãáâì

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x n

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(

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¨ jx

n

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(

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)

, â® x2L 1

(

)

¨ Z

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=

bo-

lim

n!1

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‘¬. [11; ¯. 1.2.9].

B

2.8. ’¥®à¥¬ . ãáâì

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(

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!Y â ª¨¥, ç⮨¬¥îâ ¬¥áâ®ã⢥ত¥­¨ï: (1) L

1

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e

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e

) (

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)

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(3) ¥á«¨ L A ¨ Ie

=

(

e

) (

e 2 A

)

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:

E ! Y, â® L L

1

(

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=

I

x

(

x2L

)

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>

>

=

I

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4{21

2.9. ’¥®à¥¬ . ãáâì

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¯à®áâ-à ­á⢥(á¬.[5, 7]).  áë饭­®áâì ¦¥ ¬¥àëᮣ« á­®Œ.  ©âã[20] ®§­ ç ¥â,

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¯®«­®âë à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠ ¨§[5, 7].

3.3. Œ¥à  ¬®¤ã«ïà­  ®â­®á¨â¥«ì­®¡ã«¥¢ ¨§®¬®à䨧¬  h ¢â®¬¨

⮫ì-ª® ¢â®¬ á«ãç ¥, ¥á«¨ â ª®¢®© ï¥âáï ¥¥ â®ç­ ï¬ ¦®à ­â  >

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3.4. ãáâìF |K-¯à®áâà ­á⢮áç¥â­®£®â¨¯ . ’®£¤ ¢á猪ïáç¥â­®

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¨­â¥£à «ì-­®© ­®à¬®© | ¯à®áâà ­á⢮  ­ å  | Š ­â®à®¢¨ç ,   ¨­â¥£à « | ®¯¥à â®à

Œ £ à ¬. “áâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï â ª¦¥ ¢ à¨ ­â â¥®à¥¬ë  ¤®­  | ¨ª®¤¨¬  ¤«ï

­ áë饭­ëå ¬¥à.

4.1. ’¥®à¥¬ . „«ï áç¥â­® ¤¤¨â¨¢­®© ¬¥àëᮧ­ ç¥­¨ï¬¨ ¢

¯à®áâà ­áâ-¢¥  ­ å  | Š ­â®à®¢¨ç  à ¢­®á¨«ì­ë á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥­¨ï:

(1)

| ­ áë饭­ ï ¬¥à ; (2)

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>

>

>

>

| ­ áë饭­ ï ¬¥à ;

(3)

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| ¯à®áâà ­á⢮  ­ å  | Š ­â®à®¢¨ç ;

(4)

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C

(1)

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(2): ‘«¥¤ã¥â ¨§ 3.6.

(2)

)

(3): ‘«¥¤ã¥â ¨§ 2.10, 3.6 ¨ ªà¨â¥à¨ï ¯®«­®âë à¥è¥â®ç­®

­®à¬¨à®-¢ ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠ ¨§ [5, 7].

(3)

)

(4): Š ª ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï ¢¥ªâ®à­ ï à¥è¥âª 

L

1

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­¥-¯à¥à뢭 , â. ¥. ¤«ï ã¡ë¢ î饩 ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠(

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6 f, §­ ç¨â,

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() ¤¤¨â¨¢­ ­ ª®­ãá¥,¨¬¥î⬥áâ®

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y_z,y > > > + > > > y > > > = > > >

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¨ y_z =y. ’¥¬á ¬ë¬ ãáâ ­®¢«¥­®, çâ®y =sup (M) ¨L 1

()¯®à浪®¢® ¯®«­®.

 áᬮâਬ ­ ¯à ¢«¥­­®¥ ¢­¨§ ¬­®¦¥á⢮ D ¨ ¯ãáâì inf(D) = 0.

®«®-¦¨¬ f:=inff > > > x > > >

: x 2Dg. ®¢â®à¨¢ ¯à¨¢¥¤¥­­ë¥ ¢ëè¥ à áá㦤¥­¨ï, ¬®¦­®

¢ë¡à âì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì (y

n ) L

1

() (­¥ ᮤ¥à¦ é¨åáï, ¢®®¡é¥ £®¢®àï,

¢ D) â ªãî, çâ® f = inf

n > > > y n > > >

¨ 0 = inf

n y

n

. ’ ª ª ª ­®à¬  ¯®à浪®¢®

-­¥¯à¥à뢭 ,⮯®«ãç ¥¬f =0. ’¥¬á ¬ë¬,T ¯®à浪®¢®­¥¯à¥à뢥­,

¯®áª®«ì-ªã Tx= > > > > x + > > > >, > > > > x , > > > > . ‚¢¨¤ã ᢮©á⢠ à §«®¦¨¬ëå à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­ëå

¯à®áâà ­á⢠(á¬. [5, 7]) L 1

() ¤®¯ã᪠¥â ᮣ« á®¢ ­­ãî ¬®¤ã«ì­ãî áâàãªâãàã

­ ¤ Orth(F). ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¥á«¨ 0 6 f 6 Tx ¤«ï ­¥ª®â®à®£® 0 6 x 2 L 1

(),

â® áãé¥áâ¢ã¥â 2 Orth (F) â ª®©, çâ® f =Tx = > > > x > > >= > > > x > > >=

T(x). ’ ª¨¬

®¡à §®¬ T ®¡« ¤ ¥â᢮©á⢮¬ Œ £ à ¬.

(4) ) (1): ¥¯®á।á⢥­­® á«¥¤ã¥â ¨§ ᢮©á⢠®¯¥à â®à  Œ £ à ¬,

á¬. [7]. B

4.2. ãáâì : A ! F ¨ : A ! Y | ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­ë¥ ¬¥àë. ƒ

®-¢®àïâ, çâ®  ¡á®«îâ­® ­¥¯à¥à뢭  ®â­®á¨â¥«ì­® ¨ ¯¨èãâ , ¥á«¨ > > > >(a) > > > >2 (A) ??

¤«ï ¢á¥å a2 A. Š ª ¢¨¤­®, ¨§ á«¥¤ã¥â N() N(),

¯®í⮬㠪®à४⭮®¯à¥¤¥«¥­ ¡ã«¥¢£®¬®¬®à䨧¬ %:A=N()!A=N()

ä®à-¬ã«®©% 0

=, £¤¥ 0

|ª ­®­¨ç¥áª¨© ä ªâ®à-£®¬®¬®à䨧¬ ¨§ A¢ A=N().

Ž¡®§­ ç¨¬ ᨬ¢®«®¬

a

¯®à浪®¢ë© ¯à®¥ªâ®à ¢ E, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩

¥¤¨­¨ç-­®¬ã í«¥¬¥­âã a2A.

4.3. h , h%.

C ¥ ®£à ­¨ç¨¢ ï ®¡é­®á⨠¬®¦­® ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ®

¯®«®¦¨â¥«ì-­ . ® ãá«®¢¨î ¤«ï ª ¦¤®£® b 2 B ¢ë¯®«­ï¥âáï > > > > ,

h(b)^(a) > > > > 2 , h(b)^ 0 (a) ??

, áâ «® ¡ëâì, b ?

,

h(b)^(a)

= 0 ¤«ï ¢á¥å b 2 B ¨ a 2 A.

Žâá ¢ë¢®¤¨¬ ,

h(b)^ (a)

= b ,

h(b) ^ (a)

. ‡ ¬¥­¨¢ b ­  b ? , ¯®«ã-稬 b , h(b ?

)^(a)

= 0, ®âªã¤  b((a)) = b ,

h(b)^(a)

. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®,

b((a))= ,

h(b)^(a)

, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.B

4.4. ’¥®à¥¬   ¤®­  | ¨ª®¤¨¬ . ãáâì ; : A ! F | áç¥â­®

 ¤¤¨â¨¢­ë¥ ¬¥àë, ¯à¨ç¥¬ ¯®«®¦¨â¥«ì­  ¨ ­ áë饭­ . …᫨  ¡á®«îâ­®

­¥¯à¥à뢭  ®â­®á¨â¥«ì­® , â® áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© í«¥¬¥­â y 2L 1 (), çâ® (a)= Z a

Cà¥¤¯®«®¦¨¬á­ ç « , çâ®jj6. Ž¯à¥¤¥«¨¬®¯¥à â®àS

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1

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S

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Z

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()):

Š ª ¢¨¤­®, S

T, áâ «® ¡ëâì, ¯® ⥮६¥  ¤®­  | ¨ª®¤¨¬  ¤«ï

®¯¥à -â®à®¢ Œ £ à ¬ (á¬. [5, 13]) ¬®¦­® ­ ©â¨ â ª®© 2 Orth(L 1

()), çâ® jj 6I ¨

S

(u) = T(u) (u 2 L()). Žà⮬®à䨧¬ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ (u) = yu~

¤«ï ­¥ª®â®à®£® y~2L 1

(), jyj61, ®âªã¤ 

(a)=T(

a ~ y)=

Z

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yd (a2A):

—⮡ë à áᬮâà¥âì ®¡é¨© á«ãç ©, ¯®«®¦¨¬

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n :=S

n

(n2 N).

’®£¤ 

n

% , S

n % S

¨ ¢ ᨫ㠤®ª § ­­®£® ¢ëè¥ áãé¥áâ¢ã¥â

¢®§à áâ î-é ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì (y

n ) 2 L

1

(), ¤«ï ª®â®à®©

n

(a) = I

(

a y

n

) (a 2 A).

®áª®«ìªã I

(y

n

) =

n

(1) 6 (1), ¬®¦­® ¯à¨¬¥­¨âì ⥮६㠮

¬®­®â®­-­®© á室¨¬®áâ¨. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, í«¥¬¥­â y:= sup

n y

n

ᮤ¥à¦¨âáï ¢ L 1

() ¨

(a)=I

(

a

y) (a2A). B

4.5. ’¥®à¥¬ã 4.4 ¯®-áãé¥áâ¢ã ãáâ ­®¢¨« Œ.  ©â ¢ [20] ¤à㣨¬

ᯮá®-¡®¬. Ž­¢ë¢¥«íâ®â䠪⨧᫥¤ãî饣®¢á¯®¬®£ â¥«ì­®£®ã⢥ত¥­¨ï,

­¥¯®-á।á⢥­­® ¢ë⥪ î饣®¨§®¤­®£®à¥§ã«ìâ â ˆ. Š ¯« ­áª®£® [12;⥮६ 5]

(á¬. [20; «¥¬¬  4.2]):

ãáâì|­ áë饭­ ï¬¥à  ᮧ­ ç¥­¨ï¬¨ ¢C(Q)¨T :L 2

()!C(Q)|

®£à ­¨ç¥­­ë© ¯® ­®à¬¥ ¬®¤ã«ì­ë© £®¬®¬®à䨧¬. ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â

¥¤¨­áâ-¢¥­­ ï äã­ªæ¨ï g2L 2

(), ¤«ïª®â®à®©

Tf = Z

fgd ,

f 2L 2

()

:

4.6. ãáâì|¯®«®¦¨â¥«ì­ ï­ áë饭­ ï¬¥à . ’®£¤ ®â®¡à ¦¥­¨¥x!

x

, £¤¥

x

®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©

x

(a):=I

(

a

x) (a2A), ¡ã¤¥âà¥è¥â®ç­ë¬

¨§®¬®à䨧¬®¬ ¢¥ªâ®à­ëå à¥è¥â®ª L 1

() ¨ fg ??

.

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1. €ª¨«®¢ ƒ. ., Šãâ â¥« ¤§¥ ‘. ‘. “¯®à冷祭­ë¥ ¢¥ªâ®à­ë¥

¯à®áâà ­-á⢠.|®¢®á¨¡¨àáª:  ãª , 1978.|368á.

2. ‚ã«¨å . ‡. ‚¢¥¤¥­¨¥ ¢ ⥮à¨î ¯®«ã㯮à冷祭­ëå ¯à®áâà ­áâ¢.|Œ.:

4{28

€. ƒ. Šãáà ¥¢

3. Š ­â®à®¢¨ç ‹. ‚., ‚ã«¨å . ‡., ¨­áª¥à €. ƒ. ”㭪樮­ «ì­ë©  ­ «¨§ ¢

¯®«ã㯮à冷祭­ëå ¯à®áâà ­á⢠å.|Œ.-‹.: ƒ®áâ¥å¨§¤ â, 1950.|548á.

4. Šãáà ¥¢ €. ƒ. Ž¡é¨¥ ä®à¬ã«ë ¤¥§¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï // „®ª«. € ‘‘‘.|

1982.|’. 265, ü 6.|‘. 1312{1316.

5. Šãáà ¥¢ €. ƒ. ‚¥ªâ®à­ ï ¤¢®©á⢥­­®áâì ¨ ¥¥ ¯à¨«®¦¥­¨ï.|®¢®á¨¡¨àáª:

 ãª , 1985.|256á.

6. Šãáà ¥¢ €. ƒ. ‹¨­¥©­ë¥ ®¯¥à â®àë ¢ à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­ëå

¯à®áâ-à ­á⢠å // ˆáá«¥¤®¢ ­¨ï ¯® £¥®¬¥âਨ ý¢ 楫®¬þ ¨ ¬ â¥¬ â¨ç¥áª®¬ã

 ­ «¨§ã.|®¢®á¨¡¨àáª:  ãª , 1987.|‘. 84{123.

7. Šãáà ¥¢ €. ƒ. Œ ¦®à¨àã¥¬ë¥ ®¯¥à â®àë // ‚ ª­: ‹¨­¥©­ë¥ ®¯¥à â®àë,

ᮣ« á®¢ ­­ë¥ á ¯®à浪®¬.|®¢®á¨¡¨àáª: ˆ§¤-¢® ˆ­-â  ¬ â-ª¨ ‘Ž €,

1995.|‘. 212{292.

8. Šãáà ¥¢ €. ƒ., Šãâ â¥« ¤§¥ ‘. ‘. ¥áâ ­¤ àâ­ ï ⥮à¨ï ¢¥ªâ®à­ëå

à¥-è¥â®ª // ‚ ª­: ‚¥ªâ®à­ë¥ à¥è¥âª¨ ¨ ¨­â¥£à «ì­ë¥ ®¯¥à â®àë /

ãå-¢ «®¢ €. ‚., Š®à®âª®¢ ‚. ., Šãáà ¥¢ €. ƒ., Šãâ â¥« ¤§¥ ‘. C.,

Œ ª -஢ . Œ.|®¢®á¨¡¨àáª:  ãª , 1991.|214á.; Dordrecht: Kluwer Academic

Publishers, 1996.

9. Šãáà ¥¢ €. ƒ., Šãâ â¥« ¤§¥ ‘. ‘. ‘㡤¨ää¥à¥­æ¨ «ë. ’¥®à¨ï ¨

¯à¨«®¦¥­¨ï.|®¢®á¨¡¨àáª:  ãª , 1992.|270 á.; Dordrecht: Kluwer

Aca-demic Publishers, 1995.

10. Šãáà ¥¢ €. ƒ., Œ «î£¨­ ‘. €. Ž ¯®à浪®¢® ­¥¯à¥à뢭®© á®áâ ¢«ïî饩

¬ ¦®à¨à㥬®£® ®¯¥à â®à  // ‘¨¡. ¬ â. ¦ãà­.|1987.|’. 28, ü 4.|‘. 127{

139.

11. Šãáà ¥¢ €. ƒ., Œ «î£¨­ ‘. €. ¥ª®â®àë¥ ¢®¯à®áë ⥮ਨ ¢¥ªâ®à­ëå

¬¥à.|®¢®á¨¡¨àáª: ˆ§¤-¢® ˆ­-â  ¬ â-ª¨ ‘Ž € ‘‘‘, 1988.|182á.

12. Kaplansky I. Modules over operator algebras // Amer. J. Math.|1953.|V. 75,

No. 4, P. 839{858.

13. Luxemburg W. A. J. and Schep A. A Radon{Nikodym type theorem for positive

operators and a dual // Indag. Math. (N.S.).|1978.|V. 40.|P. 357{375.

14. Maharam D. The representation of abstract measure functions // Trans. Amer.

Math. Soc.|1949.|V. 65, No. 2.|P. 279{330.

15. Maharam D. Decompositions of measure algebras and spaces // Trans. Amer.

Math. Soc.|1950.|V. 69, No. 1.|P. 142{160.

16. Maharam D. The representation of abstract integrals // Trans. Amer. Math.

Soc.|1953.|V. 75, No. 1.|P. 154{184.

17. Maharam D. On kernel representation of linear operators // Trans. Amer.

Math. Soc.|1955.|V. 79, No. 1.|P. 229{255.

18. Maharam D. On positive operators // Contemp. Math.|1984.|V. 26.|

P. 263{277.

Œ®¤ã«ïà­ë¥ ¬¥àë ¨ ®¯¥à â®àë Œ £ à ¬

4{29

functions and Radon{Nikodym type theorems // Proc. London Math. Soc.|

1982.|V. 45, No. 2.|P. 193{226.

20.

Wright J. D. M.

A Radon{Nikodym theorem for Stone algebra valued

mea-sures // Trans. Amer. Math. Soc.|1969.|V. 139.|P. 75{94.

21.

Wright J. D.M.

Stone algebra valued measures and integrals // Proc. London

Math. Soc. Proc. London Math. Soc.|1969.|V. 19, No. 3.|P. 107{122.

22.

Wright J. D. M.

The measure extension problem for vector lattices // Ann.

Inst. Fourier (Grenoble).|1971.|V. 21.|P. 65{68.

23.

Wright J. D. M.

Vector lattice measure on locally compact spaces // Math.

Z.|1971.|V. 120.|P. 193{203.