MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG Mira Amalia, Siswanto, dan Bowo Winarno
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Aljabar merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari konsep atau prinsip penyederhanaan serta pemecahan masalah dengan menggunakan simbol atau hu-ruf tertentu. Salah satu ruang lingkup dalam aljabar yang dinilai baru adalah aljabar maks-plus. Penelitian ini membahas tentang penerapan sistem persamaan linear iteratif maks-plus pada masalah lintasan terpanjang. Hasil dari pembahasan merupakan kajian teoritis yang didasarkan literatur dan suatu perhitungan menggunakan program MAT-LAB yang mengacu pada Rudhito. Hasil tersebut menunjukkan bahwa jaringan dengan bobot waktu tempuh dapat dimodelkan sebagai graf berarah terbobot yang dinyatakan dengan matriks atas aljabar maks-plus. Penentuan waktu tempuh minimal dilakukan melalui operasi star (∗) pada matriks bobot jaringannya. Lintasan terpanjang ditentuk-an dengditentuk-an perhitungditentuk-an menggunakditentuk-an metode PDM pada ditentuk-analisis lintasditentuk-an kritis jaringditentuk-an proyek. Selanjutnya, memodelkan waktu tempuh perjalanan pada jaringan ke dalam suatu sistem persamaan linear (SPL) iteratif maks-plus. Dari penyelesaian SPL iteratif maks-plus ini, dapat ditentukan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir untuk masing-masing titik. Titik-titik dengan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir yang sama akan membentuk lintasan terpanjang dalam jaringan.
Kata Kunci: aljabar maks-plus, sistem persamaan linear, lintasan terpanjang.
1. Pendahuluan
Aljabar merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari konsep atau prinsip penyederhanaan serta pemecahan masalah dengan menggunakan simbol atau huruf tertentu. Salah satu ruang lingkup dalam aljabar yang dinilai baru adalah aljabar maks-plus. Pada pembahasan Rudhito [4], aljabar maks-plus diperkenalkan sekitar tahun 1950 dan berkembang dengan pesat pada tahun 1990. Selain aljabar maks-plus, dalam Bacelli et al. [1], Gondran and Minoux [2] dan John and George [3] telah disinggung beberapa jenis aljabar yang serupa dengan aljabar maks-plus, seperti aljabar min-plus dengan operasi minimum dan penjumlahan serta aljabar maks-min dengan operasi maksimum dan minimum.
Aljabar maks-plus merupakan suatu struktur aljabar yang semesta pembicara-annya merupakan gabungan dari himpunan bilangan real dan negatif tak terhingga yaitu R ∪ {−∞}. Aljabar maks-plus dilengkapi dengan operasi maksimum yang di-notasikan dengan ⊕, dan operasi penjumlahan dinotasikan dengan ⊗. (R ∪ {−∞}) dinotasikan dengan Rε, dengan ε merupakan −∞. Aljabar maks-plus (Rε,⊕, ⊗)
dinotasikan dengan Rmaks.
Penyelesaian aljabar maks-plus diselesaikan dengan sistem persamaan linear maks-plus, salah satunya adalah sistem persamaan linear (SPL) iteratif maks-plus. SPL iteratif maks-plus mempunyai bentuk umum x = A⊗ x ⊕ b, dengan x, b ∈ Rn ε
dan A ∈ Rn×n
masalah dalam aljabar maks-plus. Masalah-masalah yang terkait dalam aljabar maks-plus mengenai lintasan terpendek, terpanjang, dan kapasitas maksimum sua-tu lintasan. Aplikasi dari masalah aljabar maks-plus yang dapat dijumpai adalah penjadwalan penerbangan pesawat di bandara, penjadwalan keberangkatan kereta api, menentukan jalur tercepat, model sistem antrian, sistem produksi sederhana, dan penentuan lintasan kritis.
Penelitian sebelumnya, Rudhito [4] meneliti mengenai sistem persamaan linear iteratif maks-plus dan penerapannya pada masalah lintasan terpanjang dan terpen-dek jaringan proyek dengan metode PERT-CPM. Metode PERT-CPM terdiri dari dua istilah, yaitu PERT (Program Evaluation and Review Technique) atau teknik menilai dan meninjau program dan CPM (Critical Path Method ) atau metode ja-lur kritis. Metode PERT-CPM ini dapat membantu dalam menentukan lintasan terpanjang (mengenai jadwal kegiatan apabila terjadi penundaan dalam proyek). Penerapan jaringan proyek tersebut permasalahannya mengacu pada Taha [7]. Ha-sil penelitian Rudhito [4] menunjukkan jaringan proyek dengan metode PERT-CPM yang dikonstruksikkan ke dalam graf terlalu panjang dan terdapat dummy (pengu-langan proyek).
Pada penelitian ini dibahas mengenai sistem persamaan linear iteratif maks-plus yang diterapkan pada masalah penjadwalan proyek untuk menentukan lintasan terpanjang. Penentuan lintasan terpanjang ini menggunakan metode PDM, agar dikonstruksikan ke dalam graf lebih sederhana dan tidak terdapat dummy (pengu-langan proyek). Menurut Soeharto [5], metode PDM tidak jauh berbeda dengan metode PERT-CPM, perbedaannya metode PDM dipengaruhi oleh konstrain dalam masalah penjadwalan proyek. Metode PDM ini merupakan metode jalur kritis yang digunakan pada masalah utama untuk menentukan jadwal kegiatan agar kegiatan dapat terselesaiakan secara tepat waktu. Selain dengan metode PDM, penelitian ini juga menggunakan software MATLAB untuk mencari lintasan terpanjangnya.
2. Landasan Teori
2.1. Aljabar Maks-Plus. Aljabar maks-plus merupakan suatu struktur aljabar yang semesta pembicaraannya merupakan gabungan dari himpunan bilangan real dan negatif tak terhingga (R∪{−∞}) yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan (⊗) dan maksimum (⊕). Aljabar maks-plus tersebut dapat dioperasikan menjadi
∀a, b ∈ Rε, dengan a⊕ b := maks(a, b) dan a ⊗ b := a + b. Struktur aljabar
maks-plus (Rε,⊕, ⊗) adalah semiring komutatif idempoten dengan elemen netral ε = −∞
dan elemen satuan e = 0. (Rε,⊕, ⊗) merupakan semifield, jika (Rε,⊕, ⊗) adalah
2.2. Matriks Atas Aljabar Maks-Plus. Pada aljabar maks-plus dapat dibentuk suatu matriksRmε×n, dengan himpunan semua matriks atas aljabar maks-plus adalah Rm×n
ε := {A = (Aij)|Aij ∈ Rε, untuk i= 1, 2, . . . , m dan j=1, 2, . . . , n}. A, B ∈
Rm×n
ε didefinisikan A ⊕ B, dengan (A ⊕ B)ij = Aij ⊕ Bij. Matriks A ∈ Rmε×p, B ∈ Rp×n
ε didefinisikan A⊗ B, dengan (A ⊗ B)ij =
⊕p
k=1Aik⊗ Bkj. Matriks atas
aljabar maks-plus, didefinisikan suatu matriks E ∈ Rn×n
ε dengan (E)ij := { 0, jika i = j; ε, jika i̸= j. , dan matriks ε∈ Rm×n
ε , (ε)ij := ε untuk setiap i dan j. Pangkat k matriks A∈ Rnε×n
didefinisikan dengan A⊗0 = En dan A⊗k := A⊗ A⊗k−1 untuk k = 1, 2, . . . .
2.3. Teori Graf dalam Aljabar Maks-Plus. Graf berarah G = (V, A) dengan
V = 1, 2,· · · , p, dikatakan terbobot jika setiap busur (j, i) ∈ A dikawankan dengan
suatu bilangan real Aij. Bilangan real Aij disebut bobot busur (j, i), yang
dilam-bangkan dengan w(j, i). Bobot suatu lintasan didefunisikan sebagai jumlahan bobot busur-busur yang menyusun lintasan tersebut. Suatu lintasan disebut sirkuit jika ti-tik awal dan titi-tik akhirnya sama. Lintasan terpanjang didefinisikan sebagai lintasan dengan bobot maksimum. Graf preseden dari matriks A∈ Rn×n
ε adalah graf berarah
berbobot G(A) = (V, A) dengan V = 1, 2, . . . , n, A = (j, i)|w(i, j) = Aij ̸= ε, ∀i, j.
Matriks bobot graf G dengan A∈ Rn×n
ε didefinisikan sebagai berikut
Aij =
{
w(j, i), jika (j, i)∈ A; ε, jika (j, i) /∈ A.
Matriks bobot graf dengan A ∈ Rnε×n dan k∈ N, untuk matriks (A⊗k)st merupakan
bobot maksimum semua lintasan dalam G(A) dengan panjang k, t sebagai titik awal dan s sebagai titik akhirnya.
Matriks A ∈ Rn×n
ε dikatakan semi definit untuk semua sirkuit dalam G(A)
mempunyai bobot takpositif dan dikatakan definit untuk semua sirkuit dalam G(A) mempunyai bobot negatif. Jika A semi definit, maka∀p ≥ n, A⊗p≼m E⊕ A ⊕ . . . ⊕ A⊗n−1. Selanjutnya, matriks semi definit A ∈ Rn×n
ε dapat didefinisikan sebagai A∗
:= E ⊕ A ⊕ . . . ⊕ A⊗n⊕ A⊗n+1⊕ . . ..
Didefinisikan Rnε := {x = [x1, x2, . . . , xn]T|xi ∈ Rε, 1 = 1, 2, . . . , n}. Untuk
setiap x, y ∈ Rnε dan ∀α ∈ Rε berturut-turut didefinisikan operasi penjumlahan
dan operasi perkalian skalar yaitu x ⊕ y = [x1 ⊕ y1, x2 ⊕ y2, . . . , xn ⊕ yn]T dan α⊗ x = [α ⊗ x1, α⊗ x2, . . . , α⊗ xn]T. Matriks A ∈ Rnε×n dan b ∈ Rnε, jika A semi
definit, maka vektor x∗ = A∗⊗b merupakan suatu penyelesaian sistem x = A⊗x⊕b. Jika A definit, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian tunggal.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Penentuan Masalah Lintasan Terpanjang. Penyelesaian masalah lintasan terpanjang dalam penjadwalan proyek ini digunakan perhitungan maju (forward ) dan mundur (backward ) dengan metode PDM. Metode PDM merupakan activity
network diagram yang memiliki jaringan kerja yang lebih sederhana karena
kegiat-an atau tugas-tugas ykegiat-ang digambarkkegiat-an pada node (simpul/sambungkegiat-an jalur). Pada metode PDM ini dapat dilakukan analisis terhadap jadwal waktu penyelesaian ja-ringan proyek dengan pendekatan aljabar maks-plus.
Definisi 3.1. Suatu jaringan proyek S adalah suatu graf berarah berbobot terhubung
kuat taksiklik S = (V, A), dengan V = 1, 2, . . . , n yang memenuhi : jika (i, j) ∈ A, maka i < j.
Selanjutnya, dapat dilakukan analisis lintasan terpanjang yaitu lintasan de-ngan waktu tempuh maksimum. Pembahasan untuk pertama kali diawali dede-ngan menentukan waktu awal paling cepat (earliest start time) untuk setiap persimpang-an titik i dapat dilalui. Teknik perhitungpersimpang-an maju dengpersimpang-an metode PDM diperoleh berdasarkan teorema berikut.
Teorema 3.1. Jika suatu jaringan proyek dalam n titik, maka vektor saat mulai
paling awal yang berasal dari titik i pada jaringan tersebut yaitu xe= (E ⊕ A ⊕ . . . ⊕ A⊗n−1)⊗ be
dengan A adalah matriks bobot dari graf berarah terbobot jaringan tersebut dan vektor be= [0, ε, . . . , ε]T, serta xe
n adalah waktu minimal penyelesaian proyek. Bukti. Misalkan xe
i= ES(i) menyatakan waktu awal paling cepat titik i dapat dilalui,
Aij =
{
waktu tempuh dari titik j ke titik i (kosntrain), jika (j, i)∈ A ;
ε, jika (j, i) /∈ A.
Pembahasan ini, diasumsikan bahwa perjalanan dalam jaringan dimulai pada titik 1 saat waktu tempuh dengan durasi sama dengan nol, yaitu xei=0. Diasumsikan juga tidak ada waktu singgah di setiap kegiatan proyek sehingga dapat dituliskan
xei = {
0, jika i = 1 ;
maks1≤j≤n(Aij + xej), jika i > 1.
Menggunakan notasi aljabar maks-plus persamaan diatas dapat dituliskan
xei = { 0, jika i = 1 ; ⊕ 1≤j≤n(Aij ⊗ xej), jika i > 1. (3.1) Misalkan A adalah matriks bobot graf S, xe= [0, xe
1, xe2, . . . , xen]T dan be= [0, ε, . . . , ε]T,
maks-plus sebagai berikut
xe= A⊗ xe⊕ be. (3.2)
Jika jaringan proyek merupakan graf berarah tak siklik, maka tidak terdapat sirkuit sehingga semua sirkuit dalam jaringan mempunyai bobot tak positif. Sehingga
xe = A⊗ be (3.3)
merupakan penyelesaian tunggal sistem persamaan (3.2) diatas. Jika jumlah titik dalam jaringan proyek adalah n, maka panjang lintasan terpanjang jaringan tidak melebihi n− 1. Persamaan (3.3) dapat ditulis menjadi
xe= A∗⊗ be = (E ⊕ A ⊕ . . . ⊕ A⊗n−1)⊗ be
yang merupakan vektor saat mulai paling awal yang berasal dari titik i. Jadi dapat diperoleh bahwa (A∗) merupakan bobot maksimum lintasan dari titik awal hingga titik akhir proyek, sehingga xe
n merupakan waktu minimal penyelesaian proyek.
Selanjutnya dengan teknik perhitungan mundur menggunakan metode PDM dengan pendekatan aljabar maks-plus diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Teorema 3.2. Diberikan suatu jaringan lintasan searah dengan n titik dan A adalah
matriks terbobot. Vektor waktu paling akhir perjalanan didefinisikan xl =−((AT)∗ ⊗bl)
dengan bl= [ε, ε, . . . ,−xen]T.
Bukti. Misalkan LSi = xli menyatakan saat penyelesaian paling lambat untuk semua
kegiatan yang datang ke titik i,
Bij =
{
waktu tempuh dari titik i ke titik j dengan durasi, jika (j, i)∈ A ;
ε(=−∞), jika (j, i) /∈ A.
Diasumsikan bahwa xl
n= xen, kemudian dapat dituliskan
xli = {
xen, jika i = n ;
min1≤j≤n(−Bij + xlj), jika i > 1.
(3.4) Selanjutnya, dengan notasi aljabar maks-plus persamaan (3.4) ekuivalen dengan
−xl i = { xe n, jika i = n ; maks1≤j≤n(Bij − xlj), jika i > 1. (3.5) Perhatikan bahwa matriks B = AT, misalkan z = [z
1, z2, . . . , zn]T = −xl = [−xl
1,−xl2, . . . ,−xln]T dan bl = [ε, ε, . . . ,−xen]T, persamaan (3.5) dapat
ditu-liskan menjadi
yang penyelesaiannya adalah
z = (AT)∗ ⊗bl
sehingga diperoleh vektor saat paling lambat adalah xl = −z. Jadi, sistem per-samaan linear iteratif maks-plus dapat dimodelkan dalam sistem penjadwalan pro-yek dengan metode PDM untuk mencari lintasan terpanjangnya. Persamaan xe = A∗ ⊗ be = (E⊕ A ⊕ . . . ⊕ A⊗n−1)⊗ be digunakan untuk menentukan vektor paling
awal dan z = (AT)∗⊗bl menentukan vektor saat paling lambat, dari vektor tersebut
dapat ditentukan lintasan terpanjangnya.
3.2. Penerapan. Penerapan ini mengacu pada Jurnal Oka Suputra, I. G. N [6]. Suatu perusahaan akan melakukan sebuah pembangunan proyek. Pembangunan proyek tersebut dibagi menjadi lima kegiatan, yaitu kegiatan A, B, C, D, dan E. Masing-masing kegiatan memiliki waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pem-bangunan proyek, yaitu kegiatan A selama 6 hari, kegiatan B selama 4 hari, kegiatan C selama 9 hari, kegiatan D selama 5 hari, dan kegiatan E selama 7 hari. Setiap kegiatan proyek memiliki ketentuan hubungan dengan kegiatan lainnya. Ketentu-an hubungKetentu-an pada proyek ini adalah kegiatKetentu-an A merupakKetentu-an kegiatKetentu-an dimulainya proyek akan berlangsung, kegiatan B belum dimulai proyek setelah selesainya kegi-atan A. Kegikegi-atan C dapat dimulai setelah kegikegi-atan A berlangsung selama 3 hari, dan kegiatan D selesai 3 hari lebih dahulu dari kegiatan B. Kegiatan E selesai 2 hari lebih dahulu dari kegiatan C, serta kegiatan D dan E dapat dilaksanakan se-cara bersama-sama. Data penjadwalan pembangunan sebuah proyek di atas adalah sebagai berikut.
Tabel 1. Data dari lima kegiatan proyek No Kegiatan Durasi (hari) Konstrain
1 A 6 2 B 4 F S(1→ 2) = 0 3 C 9 SS(1→ 3) = 3 4 D 5 F F (2→ 4) = 3 5 E 7 F F (3→ 4) = 2 SS(4→ 5) = 0
Tabel 1 menyatakan data proyek yang terdiri dari lima kegiatan dan direpre-sentasikan dalam graf berarah PDM pada Gambar 1.
Gambar 1. Hubungan antar kegiatan dalam PDM
Berdasarkan Teorema 3.1 dan Gambar 1 diperoleh hasil teknik perhitungan maju dengan metode PDM sebagai berikut.
(1) ES1 = xe1 = 0 EF1 = xl1 = xe1⊗ D1 = 0⊗ 6 = 6 (2) ES2 = xe2 = xe1⊗ F S(1 → 2) = 6 ⊗ 0 = 6 EF2 = xl2 = 6⊗ D2 = 6⊗ 4 = 10 (3) ES3 = xe3 = 0⊗ F S(1 → 3) = 0 ⊗ 3 = 3 EF3 = xl3 = 3⊗ D3 = 3⊗ 9 = 12 (4) ES4 = xe4 = xe2⊗ F F (2 → 4) ⊗ (−D4) = 10⊗ 3 ⊗ (−5) = 8 xe4 = xe3⊗ F F (3 → 4) ⊗ (−D4) = 12⊗ 2 ⊗ (−5) = 9 ES4 = maks(8, 9) = ⊕ (8, 9) = 9 EF4 = xl4 = 9⊗ D4 = 9⊗ 5 = 14 (5) ES5 = xe5 = xe4⊗ SS(4 → 5) = 9 ⊗ 0 = 9 EF5 = xl5 = 9⊗ D5 = 9⊗ 7 = 16
Jadi, dengan pehitungan maju (forward) diperoleh waktu minimal penyelesaian pro-yek adalah 16 hari.
Berdasarkan Teorema 3.2 dan Gambar 1 diperoleh hasil teknik perhitungan mundur sebagai berikut.
(1) LF5 = xl5 = xe5 = 16 LS5 = xe5 = 9 (2) LF4 = xl4 = xe5⊗ (−SS(4 → 5)) ⊗ D4 = 9⊗ (−0) ⊗ 5 = 14 LS4 = xe4 = 14⊗ (−D4) = 14⊗ (−5) = 9 (3) LF3 = xl3 = xl4⊗ (−F F (3 → 4)) = 14 ⊗ (−2) = 12 LS3 = xe3 = 12⊗ (−D3) = 12⊗ (−9) = 3 (4) LF2 = xl2 = xl4⊗ (−F F (2 → 4)) = 14 ⊗ (−3) = 11 LS2 = xe2 = 11⊗ (−D2) = 11⊗ (−4) = 7 (5) LF1 = xl1 = xl2⊗ (−F S(1 → 2)) = 7 ⊗ (0) = 7 LF1 = xl1 = xl3⊗ (−SS(1 → 3)) ⊗ D3 = 3⊗ (−3) ⊗ 6 = 6
min(7, 6) = 6
LS1 = xe1 = 6⊗ (−D1) = 6⊗ (−6) = 0
Dari teknik perhitungan maju dan mundur, diperoleh matriks bobot graf ber-arah terbobot pada jaringan proyek di atas adalah matriks A sebagai berikut.
A = ε ε ε ε ε 0 ε ε ε ε 3 ε ε ε ε ε 10 12 ε ε ε ε ε 9 ε , A∗ = 0 ε ε ε ε 6 0 ε ε ε 3 ε 0 ε ε 9 6 3 ε ε 16 9 9 6 ε , xe= 0 6 3 9 16 , xl= 0 2 3 9 16 Waktu tempuh minimal untuk melintasi lintasan adalah 16 hari dan lintasan ter-panjang yang diperoleh adalah lintasan A → SS(1 → 3) → C → F F (3 → 4) →
D→ SS(4 → 5) → E.
4. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa jaringan lintas-an searah denglintas-an bobot waktu tempuh dimodelklintas-an sebagai graf berarah terbobot yang dinyatakan matriks atas aljabar maks-plus. Penentuan waktu tempuh mi-nimal dilakukan melalui operasi star (∗) pada matriks bobot jaringan. Lintasan terpanjang ditentukan melalui penentuan waktu awal paling cepat untuk melewati titik dan waktu paling akhir meninggalkan titik, untuk masing-masing titik pada jaringan. Waktu tempuh perjalanan pada jaringan dimodelkan dalam suatu sistem persamaan linear (SPL) iteratif maks-plus dengan metode PDM. Selanjutnya dalam menyelesaikan SPL iteratif maks-plus ditentukan waktu awal paling cepat dan wak-tu paling akhir yang sama, sehingga membenwak-tuk lintasan terpanjang pada jaringan. Dari contoh Gambar 1 mengenai jaringan proyek dapat diperoleh nilai A, A∗, xedan
xl, serta waktu tempuh maksimal untuk melintasi lintasan adalah 16 hari yang arti-nya, waktu maksimal penyelesaian pembangunan proyek dapat terselesaikan secara tepat waktu selama 16 hari.
Daftar Pustaka
1. Bacelli, F., G. Cohen, G. J. Olseder, and J. P. Quadrat, Synchronization and linearity, John Wiley and Sons,Inc., New York, 2001.
2. Gondran, M. and M. Minoux, Graph, Diods, and Semirings, Springer, New York, 2008. 3. John, S. B. and T. George, Path Problems in Networks, Morgan and Claypool Publishers, 2010. 4. Rudhito, M. A., Aljabar Max-Min Interval Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan,
dan Penerapan Mipa, 18 Mei 2013.
5. Soeharto, I., Manajemen Pproyek dari Konseptual sampai Operasional, (1995).
6. Oka Suputra, I.G.N, Penjadwalan Proyek Dengan Precedence Diagram Method (PDM) dan
Ranked Position Weight Method (RPWM), Jurnal Ilmiah Teknik Sipil 15 (2011), no. 1.
