SYSEMM, Prob,TGD (2012) 1 KATA PENGANTAR
Puji syukur dipanjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas ridhoNya, modul Statistik probabilitas ini dapat diselesaikan, modul menyajikan pengetahuan di bidang Statistik Probabilitas bagi para mahasiswa yang ingin mendalami mempelajari dan memahaminya.
Statistik probabilitas merupakan salah satu mata kuliah yang dipelajari untuk semua jurusan, karena dengan belajar probabilitas mahasiswa memiliki kemampuan memprediksi kejadian-kejadian yang akan datang. Mahasiswa juga memiliki kemampuan melakukan penelitian secara benar. Oleh karenanya menjadi sangat penting untuk mengetahui, dalam rangka menambah pengetahuan mahasiswa di bidang Statistik. Diharapkan juga mahasiswa menerapkan disaat mereka telah bekerja nantinya.
Dalam setiap chapter modul ini dilengkapi dengan ilustrasi perhtungan-perhitungan yang mungkin dapat membantu para mahasiswa-mahasiswa Triguna Dharma untuk memahami setiap chapter dari modul ini. Di modul mahasiswa akan diajak memahami tentang kegunaan-kegunaan atau aplikasi nya dalam realitanya dalam kehidupan sehari-hari maupun dunia kerja. diantara membahas tentang pendekatan perhitung probabilitas, meninjau kembali secara umum tentang uji hipotesis yang akan membahas tentang menguji suatu masalah hingga memutuskannya, dan bagaimana menganalisa hubungan satu kejadian denga nkejadian yang lain, yang dilakukan melalui koefisien korelasi dan regresi linier baik sederhana maupun berganda.
Penyusunan modul ini dapat membantu mempermudah dalam memahami Statistik probabilitas bagi mahasiswa. Penyususun mengucapkan terima kasih kepada rekan-rekan yang memberi banyak masukan di dalam proses menyusunannya
Penyusun menyadari isi modul masih terdapat kekurangan dan untuk itu segala komentar dan saran yang membangun akan kami terima dengan senang hati.
Medan, April 2012 Penyusun
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 2
MODUL STATISTIK PROBABILITAS
Chapter 1 : Pemahaman
Probabilitas
Chapter 2 : Pendekatan Perhitungan dan Aturan Dasar Probabilitas Chapter 3 : Pemahaman Distribusi Probabilitas
Chapter 4 : Distribusi Variabel Acak Diskret Chapter 5 : Distribusi Variabel Acak Kontinu
Chapter 6 : Pengujian Hipotesis Rata-rata Tunggal dan Dua Rata- Rata.
Chapter 7 : Pengujian Tentang Proporsi
Pertemuan 8
: UTS
Chapter 8 : Korelasi Linier Sederhana Chapter 9 : Regresi Linier Sederhana Chapter 10 : Korelasi Linier Berganda Chapter 11 : Regresi Linier Berganda Chapter 12 : Analisa Varians
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 3
Chapter 1
Pemahaman Probabilitas
1. Pengertian Probabilitas
Probabilitas adalah salah satu alat yang amat penting karena probabilitas banyak digunakan untuk menaksir derajat ketidakpastian dan oleh karenanya mengurani resiko
Probabilitas ialah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadi suatu kejadian yang acak. Kata probabilitas sering disebut peluang dan kemungkinan. Secara umum Probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu terjadi. Secara lengkap didefinisikan sebagai berikut:
“Probabilitas” ialah suatu nilai yang digunakan untuk mnegukur tingkat terjadinya suatu kejadian yamg acak.
Ada tiga kata kunci yang diketahui : Eksperimen, Outcame (hasil), Event ( Peristiwa)
1. Eksperimen/percobaan
Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.
2. Outcome/hasil :
Kemungkin hasil percobaan yang akan akan terjadi.
Hasil yg berbeda-beda dari suatu eksperimen disebut titik sample. Himpunan dari seluruh kemungkinan hasil disebut Ruangan Sampel (S)
Ruang sampel suatu ekspremen/percobaan mempunyai dua syarat : 1. Dua hasil atau lebih tidak dapat terjadi secara bersamaan.
Misalnya :
Melemparan mata uang satu kali hasilnya G (gambar) atau A (Angka)
Jika melempar mata uang dua kali hasilnya G G atau GA atau AG
atau AA.
2. Harus terbagi habis (exhautive). Artinga, ruang sampel harus memuat seluruh kemungkinan hasil, tidak ada yang terlewat.
Misalnya :
Melemparan mata uang satu kali hasilnya G (gambar) atau A (Angka), maka raung sampelnya (S) adalah { G ; A }
Jika melempar dadu satu kali, maka S adalah { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 3. Event/peristiwa (Kejadian).
Kejadian adalah himpunan dari hasil yang muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik.Kejadian anggota-anggotanya disebut juga titik sampel.
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 4 Ilustrasi : 1
Jika sebuah koin yang memilki permukaan Gambar dan Angka dilemparkan satu kali, maka
1. Akan muncul Gambar (G) atau nol (0) 2. atau muncul Angka (A) atau satu (1).
Elemen himpunan { G ; A } atau { 0 ; 1 }
Jika koin tersebut dilempar 4 kali ; ada 4 hasil yang akan muncul : { G ; A } = { 0 ; 1 }
{ G ; G } = { 0 ; 0 } { A ; G } = { 1 ; 0 } { A ; A } = { 1 ; 1 }
Jika Mengukur ” daya tahan ” lampu, maka hasilnya adalah waktu (jam/t) yang interval hasilnya waktu (t).
Diasumsikan tidak lampu lebih nyalanya 4.000 jam, maka 0 ≤ t ≤ 4.000
Karena himpunan maupun himpunan bagian dapat merupakan kejadian (event), maka istilah-istilah mengenai kejadian antara lain :
1. Interseksi dua kejadian
Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A∩B, merupakan kejadian yang elemennya anggota S yang selain mempunyai sifat A juga B, artinya selain anggota A juga anggota B.
x
x
A
dan
x
B
B
A
:
A
B
Misalnya : A = {x : 0 ≤ x ≤ 10 } B = {x : x ≥ 5 } ( A ∩ B) = {x : 5 ≤ x ≤ 10 } { 0 ; 1 } { 1 ; 1 } { 0 ; 0 } { 1 ; 0 }SYSEMM, Prob,TGD (2012) 5 2. Unian (gabungan) dua kejadian
Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A ∪ B, atau A + B
merupakan himpunan S yang terdiri dari anggota elemen-elemen anggota S yang meejadi anggota A saja atau menjadi anggota A dan B sekaligus.
x
x
A
x
B
atau
x
AB
B
A
:
,
A
B
Misalnya : A = {x : 2 ≤ x ≤ 5 } B = {x : 6 ≤ x ≤ 12 } ( A U B) = {x : 2 ≤ x ≤ 12 } 3. Komplemen Suatu KejadianKomplemen suatu kejadian A, dinyatakan dengan , adalah himpunan semua elemen dalam S yang tidak termasuk dalam A.
B
x
:
x
A
atau
x
B
_A
S = Ruang sampel (himpunan dari hasil Eksperimen) A = Himpunan bagian S = Komplemen dari A Himpunan bagian B (kejadian B) Himpinan bagian A (kejadian A) _
A
A
S
= Daerah yang diarsir
_
A
_
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 6 Ilustrasi : 2.
Percobaan: Pelemparan sebuah dadu dan mencatat angka yang muncul : • Ruang sampel : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Kejadian munculnya angka genap, A = {2, 4, 6} • Kejadian munculnya angka 5 atau lebih, B = {5, 6} • Irisan A dan B = A ∩ B = {6}
• Gabungan A dan B = A U B = {2, 4, 5, 6} • Komplemen dari A = = {1, 3, 5}
Latihan :
1. Probabilitas suatu peristiwa berkisar dari 0 sampai dengan 1. Jika probabilitas peritiwa A adalah 0, apa maknanya? Dan jika probabilitas A adalah 1, apa maknanya?
2. Dalam konsep probabilitas terdapat tiga kata kunci, yaitu experiment, outcome, dan event, jelaskan apa yang dimaksud dari ketiga kata kunci tersebut, dan beri contoh perbedaannya!
3. Anda jelaskan! Apa perbedaan kejadian-kejadian yang dimaksud gambar dibawah ini.
4. Coba anda buat diagram Venn jika A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = {2, 4, 6, 8 }, dan jelaskan kejadian yang dimaksud digram venn tersebut.
5. Jika dua dadu dilakukan pelemparan satu kali. Tentukanlah: a. Ruang sampel (seluruh titik sampel) dua dadu tersebut! b. Kejadian munculnya jumlah kurang dari 10 (A)
c. Kejadian munculnya bilangan ganjil yang jumlahnya lebih besar dari 5 (B) d. Irisan / imterseksi A dan B.
e. Gabungan/union A dan B.
A
_
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 7 Chapter 2
Pendekatan Perhitungan dan Aturan Dasar Probabilitas
A. Pendekatan Perhitungan Probabilitas
Ada dua pendekatan dalam menghitung probabilitas yaitu : pendekatan bersifat objektif dan subjektif. Probabilitas objektif dibagi dua yaitu : Pendekatan klasik dan frekuensi relatif.
1. Pendekatan Klasik
Perhitungan probalitas secara klasik diddasarkan pada asumsi bahwa seluruh dari hasil eksprimen mempunyai peluang yang sama
Suatu kejadian A yang dapat terjadi sebanyak X cara dari seluruh n cara. Misalnya :
n = barang, x = rusak , n-x = tidak rusak. Maka memperoleh barang rusak P(A), jika A = barang rusak yang merupakan suatu kejadian atau event. 1. ( ) P(A) 0, sebab x 0, n 0 n x A P 2. P
A 1 P(A)A = bukan A (Bukan barang rusak) A = Komplemen A Jika x = 0 ↔ P(A) = n 0 = 0, x = n ↔ P(A) = n n = 1 Jika semua rusak , maka 0 ≤ P(A) ≤ 1,
Contoh : dari 100 produksi ada 25 yang rusak, maka probabilitas yang rusak adalah : n x A P( ) 0,25 100 25 ) (A P atau 25%
2. Konsep Frekwensi Relatif.
Konsep frekwensi relatif adalah perhitungan yang didasarkan atas limit dari frekwensi relatif. Dalam fraktek frekwensi relatif sendiri bisa digunakan untuk memperkirakan nilai probabilitas.
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 8 Xi fi fr 1 X 2 X 1 f 2 f n f1 n f2 Jumlah
fi n
1 n fi n f X P i n i) lim ( i f = frekwensi i = 1, 2, 3,...n i X = Kejadian iArtinnya Probabilitas suatu kejadian merupakan limit dari frekwensi relatif kejadian tersebut yang secara teortis berlaku nilai n yang besar sekali (tidak terhingga), misalnya merupakan suatu ekpremen/penelitian dengan sampel yang besar.
Ilustrasi 1 : Tingkat upah bulanan karyawan X : 55 65 75 85
f : 8 10 16 14
Probabilitas upah karyawan Rp. 65 ribu dan 85 ribu adalah : P( X=65 ) = 0,15 65 10 P( X=85) = 0,16 85 14 3. Pendekatan subjektif
Probabilitas subjektif didasarkan atas penilaian seseorang dalam menyatakan tingakat kepercayaan. Jika tidak ada Pengalaman / pengamatan masa lalu sebagai dasar untuk perhitungan probabilitas, maka pernyataan probabilitas tersebut bersifat subjektif. Opini atau pendapat yang dinyatakan dalam suatu nilai probabilitas.
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 9 B. Aturan/ Hukum Probabilitas
1. Penjumlahan.
1. Peluang kejadian saling meniadakan (Mutually Exclusive Events).
Apabila himpunan-himpunan yang menghubungkan dua peristiwa saling terpisah, maka himpunan itu tidak memiliki irisan, sehingga kedua pristiwa tersebut mutually exclusive. Untuk peristiwa-peristiwa yang saling meniadakan probabilitas irisan adalah nol atau P(A∩B) = 0, maka rumus probabilitas saling meniadakan (saling lepas adalah :
Kaidah Penjumlah bila A dan B dua kejadian sembarang sebagai berikut : Probabilitas dua kejadian ; kejadian A dan B
AB
P(A) P(B)P
Sehingga untuk tiga peristiwa A, B dan C yang saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah:
Karena setiap irisan nilainya adalah nol, maka probabilitas adalah
A B C
P(A) P(B) P(C)P
Gambar diagram Venn A,B dan C, untuk kejadian Saling lepas.
A B C
PA PB PC -PA B
-PA C
-PB C
PA B C
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 10 Ilustrasi 2 :
1. Berapa peluang mendapatkan jumlah 7 atau 11 bila sepasang dadu dilemparkan ?
Jawab :
Maka : A = Munculnya jumlah 7 dadu dan B= Munculnya jumlah 11 dadu. Kejadian A dan B saling terpisah adalah
0,22 36 8 36 2 36 6 B A P Ilustrasi 3 :Berdasarkan Ilustrasi 1. Berapa peluang/probabilitas munculnya jumlah 7 , 11 dan 12 ?
Penyelesaian :
Misalnya munculnya jumlah 12 mata dadu adalah B, Maka :
0,25 36 9 36 1 36 2 36 6 B C A P Ilustrasi : 3Sebuah mesin otomatis pengisi kantonganplastik dengan campuran beberapa jenis sayuran menunujukan bahwa sebagian besar kantongan plastic berisi sayuran tersebut memuat berat yang benar. Meskipun demikian, karena ada sedikit variasi dalam ukuran sayuran yang ada, sebuah paket kontongan plastic mungkin sedikit lebih berat atau lebih ringan dari berat standard. Pengecekan terhdap 4000 paket menunjukan hasil sebagai berikut :
6
1.6
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
5
1.5
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
4
1.4
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
3
1.3
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
2
1.2
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1
2
3
4
5
6
Dadu II D a d u ISYSEMM, Prob,TGD (2012) 11 Hasil pengecekan probabilitas kejadia A, B, dan C
Berat Kejadian Jumlah Paket Probabilitas
Lebih ringan A 100 0.025
Standar B 3600 0.9
lebih berat C 300 0.075
Jumlah 4000 1
Berapa probabilitas :
Beratnya akan lebih berat atau lebih ringan dari standard.
AC
0,025 0,0750,10P
Beratnya akan lebih berat atau lebih ringan atau standard
ABC
0,025 0,075 0,101P
2. Peluang kejadian yang tidak saling Lepas.
Dua atau lebih peristiwa dikatan peristiwa tidak saling lepas apabila
kedua atau lebih peristiwa tersebut dapat terjadi pada saat yang
bersamaan. Untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling lepas,
probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah:
A B
P(A) P(B) P(A B) P Dimana : ) (A BP kejadian A dan B bersama-sama.
Ilustrasi :
Peluang seorang mhs lulus matematika adalah 2/3 dan Peluang ia lulus bahasa inggris adlah 4/9. bila sekurang-kurangnya satu pelajaran di atas adalah 4/5. berapa peluang 1a lulus kedua pelajaran itu?
Jawab :
Bila : M = Lulus Matematik , E = Lulus Bahasa Inggris ; A
A ∩ B
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 12
45 14 5 4 9 4 3 2 B A P Ilustrasi 4 :Dari 200 orang wisatawan mengunjungi Jakarta, 120 orang telah mengunjungi TMII dan 100 orang Ancol, dan yang mengunjungi keduanya 60 orang. Berapa probabilitas wisatawan mengunjungi TMII atau Ancol?.
Penyelesaian : 6 , 0 200 120 ) (TMII P 0,5 200 100 ) (ANCOL P 3 , 0 200 60 ) (TMIIANCOL P Jadi :
P(TMII atau Ancol) = 0,6 + o,5 – 0.3 = 0,8
2. Perkalian
A. Peluang Kejadian bersyarat (Conditional Probability).
Peristiwa bersyarat merupakan suatu peristiwa yang akan terjadi
dengan syarat lain telah terjadi. Jika Peristiwa B bersyarat terhadap
peristiwa A, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah
sebagai berikut:
) ( ) ( ) / ( A P B A P A BP , dimana terjadinya pristiwa B setelah pristiwa A.
) ( ) ( ) / ( B P B A P B A
P , dimana terjadinya pristiwa A setelah pristiwa B
Ilustrasi :
1. Sebuah kotak berisi 10 kelereng mereeh , 18 kelereng hijau, dan 22 kelereng kuning. Berapa probabilitas jika diambil 2 kali sebuah kelereng, bola tidak dikembalikan.
a. Pertama warna merah (E), Kedua warna hijau (F) ? b. jika pengambilan ke 3 bola kuning (G)
Jawab : 0,2 50 10 ) (E P 0,37 49 18 ) / (F E P
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 13 0,45 48 22 ) / (G EF P
2. Terdapat mahasiswa sebanyak 10.000 orang, dengan 2.000 mhs lama dan 3.500 mhs putri serta 800 mhs lama dari jumlah mahasiswa putri,
Probabilitas mhs lama bersyarat putri P(A/B) = 0,2285
500 . 3
800
Probabilitas putri bersyarat mhs lama. P(B/A) = 0,,40
2000 800
B. Peluangan Kejadian interseksi (Penggandaan)
Dengan penggandaan kedua sisi rumus peluang bersyarat kita mendapatkan kaidah penggandaan atau kaidah multiplikatif yang penting berikut ini,yang memungkinkan kita menghitung peluang terjadinya dua kejadian sekaligus. Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B kedua dapat terjadi sekaligus, maka
)
/
(
.
)
(
)
(
A
B
P
A
P
B
A
P
Jadi peluang terjadi A dan B sekaligus sama dengan peluang A digandakan dengan peluang terjadi B bila A telah terjadi. Karena kejadian A ∩ B dan B ∩ A setara, maka juga ditulis sebagai berikut :
) / ( . ) ( ) (B A P B P A B P
Ilustrasi dari No.2. P(A ∩ B) = 500 . 3 800 000 . 10 500 . 3 x = 0,35 x 0,23 = 0,08 Ilustrasi dari no. 2 b.
jika pengambilan ke 3 bola kuning (G), berapa probabilitas P(E ∩ F ∩ G )? Jawab : 033 , 0 48 22 49 18 50 10 ) (EFG x x P Ilustrasi :
Untuk dapat diterima perguruan tinggi harus sudah lulus SMA, jika tidak mungkin diterima perguruan tinggi. Jika probabilitas lulus SMA 0,80, dan setelah lulus diterima perguruan tinggi ”X” = 0,30, maka :
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 14 P(A) = 0,80 P(B/A) = 0,30
P (A∩B) = 0,80 x 0,30 = 0,24 C. Peristiwa Saling Bebas
Dua peristiwa atau lebih dikatakan saling bebas apabila terjadinya
peristiwa yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya
peristiwa yang lainnya. Untuk dua peristiwa A dan peristiwa B yang
saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah:
• P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
• P(A ∩ B ∩ C) = P(A) x P(B) x P(C) Ilustrasi :
Pada pelemparan dua buah dadu, apakah kejadian munculnya muka X ≤ 3 dadu I dan kejadian munculnya muka Y ≥ 5 dadu II saling bebas?
Penyelesaian :
A= kejadian munculnya muka X ≤ 3 dadu I B= kejadian munculnya muka Y ≥ 5 dadu II. Dari ruang sampel diperoleh :
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}
B={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)}
Maka diperoleh :
P(A) = 18/36 = ½ dan P(B) = 12/36 = 1/3 Tetapi juga berlaku
maka A dan B saling bebas.
(3,6)} (2,6), , (3,5)(1,6) (2,5), {(1,5), B A
6 1 36 6 B A P
P
A.PB 3 1 . 2 1 6 1 B A P SYSEMM, Prob,TGD (2012) 15 Latihan
1. Data mengenai komposisi karyawan pada suatu pabrik yang mempunyai 100 karyawan adalah sebagai berikut :
Laki-laki (L)
Wanita (W)
Produksi (P)
34
26
Marketing (M)
18
10
Akuntansi (A)
8
4
Jenis Kelamin
Divisi
Apabila seorang karyawan dipilih secara random untuk diikut sertakan dalam pelatihan manajemen tentukan probablitas bahwa ia adalah
a. Karyawan laki-laki atau dari divisi Marketing. b. Karyawan wanita dari divisi Produksi
c. Karyawan divisi Marketing atau Akuntansi
d. Karyawan divisi produksi atau Marketing atau akuntansi.
2. Sebuah bola diambil secara acak dari suatu kotak berisi : 6 bola Merah, 4 bola Putih, 5 bola Biru.
Tentukan probabilitas bahwa bola-bola tersebut diambil dengan urutan-urutan Merah, Putih, dan Biru :
a. Diganti/dikembalikan
b. Tidak digantikan/ tidak dikembalikan.
3. Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :
Bekerja Menganggur Jumlah
Laki-laki Wanita 460 140 40 260 500 400 Jumlah 600 300 900
Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih adalah dalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia :
a. Laki-laki b. wanita
4. Menurut sebuah surve terungkap bahwa 10 persen dari mahasiswa sebuah perguruan tinggi memiliki pekerjaan sambilan sebagai penjual handphone. 25 persen dari seluruh mahasiswa perguruan tinggi tersebut menyatakan bahwa
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 16 kiriman uang dari orangtua mereka tidak cukup untuk satu bulan, menurut pengamatan, 40 persen dari mahasiswa-mahsiswa yang memilki pekerjaan sambil menjual handphone adalah mahasiswa-mahasiswa yang kiriman uang orang tuanya tidak cukup untuk satu bulan.
Berapa probabilitas seorang mahasiswa yang kiriman uang dari orang tuanya tidak cukup untuk satu bulan adalah mahsiswa penjual handphone?
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 17
Chapter 3
DISTRIBUSI PROBABILITAS
A. Faktorial, Permutasian dan Kombinasi. 1. Faktorial
Faktorial adalah perkalian bilangan asli dengan bilangan-bilangan asli sebelumnya secara berturut-turut. Digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur dalam suatu kelompok.
n! = n . (n – 1) . (n-2) x ...(n - ……n) 0! = 1
Misalnya :
Terdapat 3 huruf A B C, berapa cara mungkin dapat di lakukan mengaturnya : 3! = 3 X (3 -1) X (3 – 2) X (3 – 3) = 3 x 2 x 1 = 6
Susunan : ABC, ACB, CAB, BAC, CBA, BCA 2. Permutasi.
Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut.
Permutasi ditulis dengan P.
Bila himpunan terdiri dari n anggota dan diambil sebanyak r, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat adalah :
Dimana :
P = Permutasi
n = Jumlah total objek disusun.
r = jumlah objek yang digunakan pada saat bersamaan. Bisa ; x = n atau x < n
Ilustrasi 1 :
Bila n=4 dan r=2, maka
n
-
r
!
n!
P
r n
2!
12
4.3.2!
2!
4!
!
2
-4
4!
P
2 4
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 18 3. Kombinasi
Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut. Bila himpunan terdiri dari n anggota dan diambil sebanyak r, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat adalah :
Dimana :
n = Jumlah objek dalam sebuah himpunan.
r = Jumlah objek yang diambil dari himpunan sekaligus untuk setiap kombinasi.
nCr = Jumlah kombinasi r diambil dari n objek.
Ilustrasi 2 :
Ada 5 perusahaan mengajukan kredit pada sebuah Bank, sementara itu Bank Indonesia hanya akan memilih 2 Bank saja. Ada berapa kombonasi perusahaan bank yang akan dapat dipilih oleh Bank tersebut.
Penyelesaian : n = 5 , r = 2, maka :
Jika dimisalkan Perusahaan adalah A B C D E, Maka Kombinasinya :
AB AC AD AE BC
BD BE CD CE DE
B. Variabel Acak dan Nilai Harapan 1. Variabel Acak
Untuk menggambarkanhasil-hasil percobaan sebagai nilai numerik secara lebih sedrhana, kita menggunakan apa yang disebut sebagai variabel acak. Jadi variabel dapat didefinisikan sebagai deskripsinumerik dari hasil percobaan/eksprimen. Variabel acak terdiri dari :
a. Variabel acak Diskrit.
Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan terhingga atau urutan yang tidak terbatas dengan unsur sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Diskrit, dan variabel random yang didefinisikan disebut Variabel Random Diskrit
n
-
r
!
r!
n!
C
r n
5
2
!
10
!
2
!
5
2 5C
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 19 Contoh- contoh Variabel Diskrit
Percobaan Variabel Acak Kemungkinan
Nialai-Nilai Variabel Acak.
Penjualan Mobil Jenis Kelamin 0 jika laki-laki
Penelitian terhadap produk baru Banyaknya produk yang rusak. 0,1,2,3,4...46,50 Pencatatan pengunjung restoran Banyak pengunjung 0,1,3,4...
b. Variabel Acak Komtinu
Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan tak terhingga yang sama dengan jumlah titik-titik didalam sebuah segmen garis, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Kontinu, dan variabel random yang didefinisikan disebut Variabel Random Kontinu.
Contoh- contoh Variabel Kontinu
Percobaan Variabel Acak Kemungkinan
Nialai-Nilai Variabel Acak.
Pembangun Proyek Perkantoran baru stelah 6 bulan. Persentase Proyek yang diselesaikan. 0 ≤ x ≤ 100
Isi Botol Minuman jadi (maksimum 600 ml)
Jumlah milimeter. 0 ≤ x ≤ 600 ml
Penimbangan Paket 20 kemasan (maksimum 2 Kg)
Berat sebuah Paket kemasan (Kg)
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 20 c. Nilai Harapan
Nalai Harapan adalah rata atau nilai yang diharapkan dari X adalah rata-rata tertimbang dari semua kemungkinan hasil itu dimana probabilitas masing-masing sebagai pembobotan yang tepat. Nilai rata-rata yang di harapkan rumusnya adalah :
Dimana :
xi = nilai ke – i dari variabel acak X
p(xi) = Probabilitas terjadinya xi
Contoh :
Ada 3 orang nasabah yang akan menabung di bank, Jumlah bank di Jalan Pemuda Medan ada 2 yaitu BCA dan BNI. Ketiga Nasabah tersebut bebas memilih bank tempatnya akan menabung mau di BCA semua, di BCA dan BNI, atau di BNI semua. Berapakah kemungkinan (Probabilitas) dari pilihan ketiga nasabah tersbut :
1 2 3
1 BCA BCA BCA 0
2 BCA BCA BNI 1
3 BCA BNI BNI 2
4 BNI BNI BNI 3
5 BNI BCA BCA 1
6 BNI BNI BCA 2
7 BNI BCA BNI 2
8 BNI BNI BNI 3
Nasabah Kemungkinan Pilihanan Jumlah Pilihan BNI Maka :
Distribusi Probabilitas adalah sbb :
Jumlah BNI di
Pilih Nasabah Frekwensi Probabilitas
0 1 0,125 1 3 0,375 2 3 0,375 3 1 0,125 8 1
n i i iP
x
x
X
E
1)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
1 2 2 1p
x
x
p
x
x
np
x
nx
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 21 Nilai Harapan (Rata-rata)
X f P(x) x.p(x) (X - E(X))² (X - E(X))² . P(x) 0 1 0.125 0 2.25 0.28125 1 3 0.375 0.375 0.25 0.09375 2 3 0.375 0.75 0.25 0.09375 3 1 0.125 0.375 2.25 0.28125 8 1.5 0.75
d. Varians dan standard deviasi Varians (σ2
) dari variabel acak diskrit dalah rata tertimbang dari kuadrat selisih anatara setiap kemungkinan hasil dan rata-ratanya dimana penimbangannya adalah probabilitas masing-masing hasil tersebut. Maka rumusnya adalah :
Maka Standard deviasi adalah :
Ilustarsinya :
Berdasarka ilustrasi contoh di atas vasiansnya adalah.
Dan standard deviasinya adalah :
n i i iE
X
p
x
x
1 2 2)
(
))
(
(
n i i iE
X
p
x
x
1 2 2)
(
))
(
(
5
.
1
)
(
X
E
75
.
0
2
867
.
0
75
.
0
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 22 Latihan:
1. Seorang penjual mobil sebagai “Agen Tunggal” merek tertentu berdasarkan pengalamannya dapat menjual mobilnya sebanyak x dengan probabilitas selama satu minggu, berdasarkan data yang dia miliki adalah :
X : 1 2 3 4 5 6
P(x) 0,08 0,27 0,10 0,10 0,33 0,22
Berapa banyak mobil yang di harapkan pemilik dapat terjual selama 1 minggu dan hitung simpangan bakunya.
2. Sebuah uang logam ratusan rupiah yang terdiri dari Angka (A) dan Gambar (G) dilemparkan sebanyak 4 kali.
a. Buatlah distribusi probabilitas munculnya Angka. b. Hitunglah nilai harapan dan standard deviasi.
3. Anggaplah bahwa anda akan memutuskan dua alternatif/pilihan investasi pada tahun mendatang. Kedua investasi tersebut ditanamkan pada 2 jenis perusahaan yang sudah go public yaitu perusahaan A dan perusahaan B. Misalkan anda memperkirakan pengembalian investasi untuk setiap investasi $1000 dan 3 kondisi perekonomian dimana setiap kondisi perekonomian nilai probabilitasnya sebagai berikut :
A B
Resesi 0,20 ($200) ($200)
Stabil 0,50 $100 $50
Maju/berkembang pesat 0,30 $250 $350
Kondisi Perekonomian Probabilitas pengembalian
Investasi
Dari data di atas :
a. Hitunglah nilai harapan dari pengembalian investasi untuk setiap investasi dan standar deviasi kedua Investasi tersebut.
b. Menurut anda mana lebih baik tingkat pengembalian investasi dari kedua invesatasi di atas.
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 23 Chapter 4
Distribusi Variabel Acak Diskrit.
Ada beberapa macam distribusi variabel acak (random) yaitu : Distribusi binomial, Distribusi Poisson, Hipergeometrik, dan distribusi Multinomial.
A. Distribusi Binomial
Pada umumnya suatu exprimen (percobaan) dapat dikatakan eksprimen Binomial apabila memenuhi 4 syarat :
1. Setiap percobaan hanya penghasilkan dua kejadian yaitu “Sukses” dan “Gagal”
Seperti ;
Sukses (P(x)) Gagal ( q = 1- P )
1. Lulus tidak lulus
2. Senang tidak senang
3. Setuju tidak setuju
4. Barang bagus rusak
5. Jual Beli
6. Lahir Pria Lahir Wanita
2. Probabilitas sebuah kejadian baik Sukses dan Gagal tetap nilai tetap sama. Contoh :
Jual saham P(j) = 0,8 Beli Saham = P(b) = 1- 0,8 = 0,2. 3. Independen (Tidak Saling lepas)
4. Data dikumpulkan merupakan hasil perhitungan Rumus :
q
p
C
P
x nx x n x ) ( x n x x P q x n x nP
. )! ( ! ! ) ( . Ket : P(x) = Probabilitas Binomial P = Prob. Sukses Q = Prob. Gagal n = Jumlah total percobaan (banyaknya percobaan) ! = Lambang Faktori
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 24 Ilustrasi : 1
Sebuah uang logam ratusan rupiah yang terdiri dari Angka (A) dan Gambar (G) dilemparkan sebanyak 4 (empat) kali
Tentukanlah :
a. Hitunglah semua untuk probabilitas munculnya Angka. b. Buatlah probabilitas komulatif
c. Tentukan P(x ≤ 2), P(1 ≤ x < ≤ 2), P(X ≤ 4, P(X ≥ 2).
Penyelesaian :
a. Probabilitas munculnya angka dan probabilitas kumulatif. n = 4 P = 0.5 dan q = 1- 0.5 = 0.5.
Distribusi Probabilitas munculnya Angka
x n-x P(x) P(x) kumulatif 0 4 0.0625 0.0625 1 3 0.2500 0.3125 2 2 0.3750 0.6875 3 1 0.2500 0.9375 4 0 0.0625 1.0000 c. P( X ≤ 2 ) = P(0)+P(1)+P(2) = 0.0625+0.2500+0.3750 = 0.6875 P( 1 ≤ X ≤ 2) = P(1)+P(2) = 0.2500+0.3750 = 0.625. P( X ≥ 2) = 1- P( X ≤ 2) = 1- = 0.6875
Apabila n terlalu besar maka untuk mencarina probabilitas dalam metode ini dapat dilakukan melalui tabel Binomial.
Ilustrrasi 2
Suatu daerah melaksanakan program IDT , Probabilitas keberhasilan provek tersebut setiap desa 20%, desa yang dikenai IDT adalah 5 buah desa.
Tentukanlah :
a. Satu desa yang berhasil
b. Terdapat paling tidak 4 desa vang berhasil.
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 25 Penyelesaian :
n = 5 P (x) = 0.20, q = 1 – 0.20 = 0.80 a. Satu yang berhasil adalah :
P(X=1) = 5 C 1 . (0.20)1 . 0.805-1 = 0.041
b. Paling tidak 4 desa yang berhasil
P(X ≤ 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P (4) .
Menghitung Nilai Harapan (rata-rata ), Varians dan Standard Deviasi. 1. Nilai harapan (Rata-rata)
n
p
X
E
(
)
.
2. Variansq
n
p
2
Standard deviasi :q
n
p
B. Distribusi PoissonDistribusi ini biasa digunakan bila n (terbanvak peristiwa kemungkinan), maka digunakan distribusi poisson.
!
) (x
P
x x
Ket : Xi = 1,2,3…….nλ = rata –rata hitung suatu kejadian = E(x) = np
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 26 Ilustrasi 3 :
Suatu kecamatan memiliki 5.000 pemilih, Prob. Pemilih salah menusuk atau tidak memenuhi syarat = 0.001.
Hitunglah :
a. Prob. 6 suara yang gugur.
b. Paling banvak 2 suara tidak memenuhi syarat. c. Lebih dari 2 suara tdk memenuhi syarat. Penyelesaian : n = 5.000 p = 0.001 λ = np = 5.000 x 0.001 = 5. a. P (x=6 ) = 50 . (2,71828)-5 ) / 6 ! = 15.625 . 0,00674 / 720 = 0,148 b. P ( X ≤ 2 ) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) P(X=0) = 50 . (2,71828)-5 ) / 0 ! = 0,0067 P(X=1) = 51 . (2,71828)-5 ) / 1 ! = 0,0335 P(X=2) = 52 . (2,71828)-5 ) / 2 ! = 0,08375 P(X ≤ 2 ) = 0,0067 + 0,0335 + 0,08375 = 0,12395 c. P(X>2) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)+……..P(X=n) Atau P(X>2) = 1- P(X<=2) = 1 – 0,12395 = 0,87605. C. DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK
Percobaan tidak bersifat indepeden (bebas) atau percobaan antara yang satu saling tidak terkait.
1. Probabilitas yang “sukses” berubah (tidak sama) dari percobaan yg satu dgn yg lain.
Syarat dipenuhi Distribusi Hepergeometrik
Percobaan diambil dari populasi yang terbatas.
Percobaan dilakukan tanpa pengembalian (without replacement) Ukuran n > 5% dari N (populasi).
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 27 Rumus : n N x n r N x r X
C
C
C
P
( )
Dimana :P(x) = Probabilitas x sukses dalam percobaab r = Populasi (N) dikategorikan “Sukses” N-r = Populasi (N) dikategori “Gagal” n = Jumlah percobaan
r C x = Jlh cara sukses dapat dipilih dr total “r” sukses dlm populasi.
N-r C n-x = Jlh cara n-x gagal dapat dipilih dari total n-r gagal dalam populasi.
N C n = jlh cara sampel berukuran n dapat dipilih dari populasi berukuran N.
Ilustrasi 4 :
Ada 33 perusahaan membagikan deviden, 20 perusahaan akan membagikan perlembar Rp. 100,- berkinerja bagus. BEJ meminta 10 perusahaan memberikan laporan keuangan dari sepuluh perusahaan terdapat 5 perusahaan membagikan deviden Rp. 100 per lembar saham.
Penyelesaian :
Karena sampel (n) > 5% dari populasi ( 10/33 = 0.303 = 30,3 %), maka digunakan Hipergeometrik.
N = 33, r = 20, n = 10, x = 5
Probabilitas 5 perusahaan akan membagikan sahamnya di atas Rp. 100 adalah
0
.
216
10 33 5 10 20 33 5 20 ) 5 (
C
C
C
P
X
r
-
x
!
x!
r!
C
x r
N
-
r
-
n
x
!
x)!
-(n
r!
-N
C
n-x r -N
N
-
n
!
n!
r!
C
n N
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 28 D. DISTRIBUSI MULTINOMIAL
Adalah sebuah percobaan akan menghasilkan beberapa kejadian ( lebih dari 2 ) yang saling meniadakan /saling lepas.
k k X k X X k X X X
x
x
x
P
P
P
n
P
...
!...
!
!
2 1 2 1 1 2 2 1 ) ,... , (
Ilustrasi 6:Proses pembuatan produk “A” dipekirakan terdapat 85% produksi baik, 10% tidak baik tapi masih bisa diperbaiki, dan 5% rusak dan harus dibuang.
Jika diambil sampel acak 20 unit. Berapa peluang jumlah unit baik sebanyak 18 unit, tidak aik tapi bisa diperbaiki sebanyak 2 unit dan unit rusak tidak ada.
Penyelesaian : x1 = 18, x2 = 2, dan x3 = 0 P1 = 85%, P2 = 10% dan P3 = 5%
0
.
85
0
.
10
0
.
05
0
.
102
!
0
!
2
!
18
!
20
18 2 0 ) 0 , 2 , 18 (
P
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 29 Latihan :
1. Jumlah emiten di BEJ adalah 150 perusahaan, perusahaan memberi deviden pada tahun 2006 hanya 10%. Apabila BEJ meminta laporan dari emiten sebanyak 5 perusahaan. Berapa probabilitas 5 perusahaan membagikan deviden,
2. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola putih, dan 3 bola biru. Sebuah bola dipilih secara acak dari kotak, warnanya dicatat dan kemudian bolanya dimasukkan kembali.
Tentukanlah probabilitas bahwa dari 6 bola yang dipilih dengan cara ini, 3 diantaranya adalah merah, 2 adalah putih dan 1 adalah biru.
3. Berdasarkan Riset yg dilakukan oleh lembaga independen diproleh informasi bahwa orang Indonesia yang berpergian tujuan Asia 20%, Eropah 30%, dan lainnya 50%.
Apabila ada 5 org Indonesia yang akan pergi keluar negeri. Berapa prob. 2 org ke Asia 1 orang ke Eropah dan sisanya kenegara lain?.
4. Sebuah anggota komite terdiri dari 5 orang yaitu 3 wanita dan 2 pria, jika 2 orang dipilih dr anggota komite mewakili konvensi.
1. Berapa Prob. pilihan random di dapat 2 orang wanita ?
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 30 Chapter 5
DISTRIBUSI VARIABEL ACAK KONTINU A. Pengertian.
Variabel acak (random) kontinu adalah yang nilai-nilainya menghubungkan titik-titik dalam sebuah garis, atau didefinisikan sebagai berikut :
“Sbuah variabel random adalah yang dapat memuat setiap nilai did ala sebuah interval angka”
Distribusi probabilitas dari sebuah variabel acak (random) kontinu X harus memenuhi kondisi sebagai berikut :
a. F(x) ≥ 0 untuk semua nilai X.
b. Probabilitas bahwa X akan terletak di antara nilai-nilai a dan b sama dengan luas area f(x) antara a dan b.
c. Total area di bawah kurva f(x) adalah sama dengan 1.00. Gambar sifat-sifat sebuah variabel acak (random) kontinu.
Gambar ini merupakan kurva yang halus. Kehalusan kurva ini sesuai dengan kenyataan bahwa variabel kontinu X dapat mengambil setia nilai di dalam serbuah kontinum yang halus dari titik –titik yang ditunjukan oleh bagian dari sebuah garis
Ilustrasi :
Probabilitas dilukiskan berdasarkan interval-interval sebagai berikut :
Probabilitas bahwa sebuah produk membutuhkan waktu produksi antara 35 sampai dengan 40 jam adalah : P (35 ≤ X ≤ 40)
a
b
x
P(a≤ X ≤ bSYSEMM, Prob,TGD (2012) 31 Probabilitas untuk pergi ke Jakarta membutuhkan waktu maksimum 120 menit
adalah : P(X ≤ 120). B. Distribusi Normal.
Pada tahun 1733 DeMoivre menemukan persamaan matematika kurva normal yang menjadi dasar banyak teori statistika induktif. Distribusi normal sering pula disebut Distribusi Gauss untuk menghormati Gauss (1777 – 1855), yang juga menemukan persamaannya waktu meneliti galat dalam pengukuran yang berulang- ulang mengenai bahan yang sama. Ada Alasan mengapa distribusi normal menjadi penting:
Distribusi normal terjadi secara alamiah. Karena banyak peristiwa di dunia nyata yang terdistribusi secara normal.
Beberapa variable acak yang tidak terdistribusi secara normal dapat dengan mudah ditranformasikan menjadi suatu distribusi variabel acak yang normal. Banyak hasil dan teknik analisis yang berguna dalam pekerjaan statistik hanya
bisa berfungsi dengan benar jika model distribusinya berupa distribusi normal Ada beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan distribusi normal pada
populasinya Namun distribusi rata-rata sampel yang diambil secara random dari populasi tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal.
Distribusi normal adalah distribusi variabel kontinu dengan fungsi matematis adalah sebagai berikut:
dimana:
= rata-rata (mean)
= simpangan baku (standard deviation) = 3.14159
℮ = 2.71828
Karakterisik Distribusi Probabilitas Normal
1. Bentuk kurva normal seperti bel dan simetris.
2. Parameter , menunjukkan lebar dari kurva normal (semakin besar nilainya, semakin lebar).
3. Titik tertinggi dari kurva nomal terletak pada nilai rata-rata = median = modus .
4. Luas total area di bawah kurva normal adalah 1. (luas bagian di sebelah kiri µ = sebelah kanan µ).
5. Probabilita suaru random variabel normal sama dengan luas di bawah kurva normal. 2 2
2
)
(
2
1
)
(
X
e
x
f
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 32 Persentase nilai pada interval yang sering digunakan :
a. 68,26% nilai dari suatu variabel acak normal berada pada interval µ± b. 95,44% nilai dari suatu variabel acak normal berada pada interval µ±2 c. 99,72% nilai dari suatu variabel acak normal berada pada interval µ±3
C. Distribusi Normal baku (Standard)
Distribusi normal variable acak kontinu X dengan nilai-nilai parameter dan berapapun dapat diubah menjadi distribusi normal kumulatif standard jika variable acak X diubah menjadi variable acak standard Z. untuk mengubah distribusi normal menjadi distribusi Normal baku (standard) adalah dengan cara mengurangi nilai-nilai variabel X dengan rata-rata () dan membaginya dengan standard deviasi (), sehingga di peroleh variabel baru Z.
Nilai Z ini begitu penting, karena semua distribusi normal ukuran nilai apapun dapat ditransformasi ke dalam satu nilai, yaitu distribusi Z atau distribusi normal standard. Distribusi ini memilki dua sifat penting, yaitu :
1. Rata-rata distribusi Z, µ adalah 0 2. Deviasi standard Z, adalah 1.
x
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 33 Ilustrasi 1:
1. Jika P(11 ≤ x ≤ 14), dimana mean = 12 dan standard deviasi = 2
P(11 ≤ x ≤ 14) =
P(11 ≤ x ≤ 14) = P(0 ≤ Z ≤ 0,50) + P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0,1915 + 0,3413 = 0.5328
2. Jika P(-2 ≤ x ≤ 5 ), dimana : mean = 4 dan standard deviasi = 3
P(-2 ≤ x ≤ 5 ) = P(0 ≤ Z ≤ 2) + P(0 ≤ Z ≤ 0.33) = 0,4772 + 0,3413 = 0.6065 2 12 14 2 12 11 ( Z P 50 , 0 2 12 11 1 Z 1 2 12 14 2 Z Table Z1= 0.50 ↔ 0.1915 Table Z2= 1,00 ↔ 0,3413 2 3 4 2 1 Z ) 3 4 5 3 4 2 ( 5 2 ( X P Z P 33 . 0 3 4 5 2 Z Table Z= -2 ↔ 0,4772 Table Z= 0.33 ↔ 0,1239 12 11 14 50 , 0 0 1
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 34 3. Jika P(17,5 < x < 58,8 ), dimana : mean = 24 dan standard deviasi = 12
P(17,5 < x < 58,8 ) = P(0 < Z < -0,55) + P(0 ≤ Z ≤ 2,90) = 0,2088 + 0,4981 = 0,7069 55 , 0 12 24 5 , 17 1 Z 2,90 12 24 8 , 58 2 Z Table Z= -0,55 ↔ 0,2088 Table Z= 2.90 ↔ 0,4981 ) 12 24 8 , 58 12 24 5 , 17 ( ) 8 , 58 5 , 17 ( Z P Z P 4 2 5
2
0
0
,
33
24 4 , 17 58,8 0 1 50 , 0 SYSEMM, Prob,TGD (2012) 35 Latihan :
1. Anggaplah distribusi rata-rta berat isi bungkus suatu snack merk Pareto mendekati distribusi normal dengan rata-rata 32 ons dengan standard deviasi 1,3 ons. Berapa probabilitas bahwa sebuah bungkus yang dipilih secara acak/random akan memilki berat :
1. Di antara 32 sampai dengan 34 ons? 2. Di antara 30 sampai dengan 32 ons? 3. Di antara 30 sampai dengan 34 ons?. 4. Lebih dari 35 ons?
2. Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan :
a. Berapa persen yang beratnya lebih dari 4.500 gram.
b. Berapa bayi yang beratnya antara 3.500 gram dan 4.500 gram, jika semuanya ada 10.000 bayi?
c. Barapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4.000 gram jika semua ada 10.000 bayi?
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 36 Chapter 6
PENGUJIAN HIPOTESIS
1. Definisi Hipotesis
Hipotesis merupakan suatu proposisi atau anggapan yang mungkin benar dan sering digunakan sbg dasar pembuat keputusan/pemecahanpersoalan untuk penelitian lebih lanjut.
Untuk dapat diuji, Hipotesis harus dinyatakan secara Quantitatif.
Hipotesis statistik (statistical hypothesys) ialah suatu pernyataan tentang bentuk fungsi suatu variabel (apakah binomial, poisson, Normal dan sebagainya). Atau tentang niali sebenarnya suatu parameter (μ = rata-rata, P = proporsi/persetase, σ = Simpangan baku, B = Koefisien regresi, koefisien korelasi dan lainya).
Pengujian Hipotesis Statistik ialah prosedur yang memungkinkan keputusan dapat dibuat, yaitu keputusan untuk menolak atau menerima hipotesis yang sedang diuji.
Untuk pengujian hipotesis digunakan data yang dikumpul dari sampel, sehingga merupakan data perkiraan (estimate)
Keputusan yang dalam menolak/tidak menolak hipotesis mengandung ketidak pastian (uncertainly). Hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak menggunakan hipotesis nol (H0). Penolakan hipotesis nol mengakibatkan penerimaan suatu hipotesis alternatif (Ha).
2. Jenis kesalahan (Type of error)
Walaupun kita telah melakukan pengujian tentang kredibilitas Ho memlaui langkah yang panjang dan teliti, tatapi mengandung kemungkinan akan terjadi behwa keputusan yang akan kita ambil merupakan keputusan yang salah.
Ada 2 (dua) type kesalahan dalam hipotesis :
1. Kesalahan jenis I (type I error) ; Kesalahan disebabkan kerena kita menolak H0
padahal H0 itu benar, dengan kata lain menolak hal yang sebenarnya benar.
2. Kesalahan jenis II (type II error) ; Kesalahan yang disebabkan menerima H0,
dengan kata lain menerima hal yang sebenarnya salah.
Mengingat sertiap analisis statistic yang dilakukan mengandung suatu kesalahan, maka setiap peneliti harus sadar bahwa bagaimana baiknya analisis digunakan, kebenaran mutlak tidak dapat dicapai.
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 37 SITUASI KEPUTUSAN HO (BENAR) Ha (SALAH) TERIMA H0 KEPUTUSAN TEPAT (1 – ) KESALAHAN JENIS II ( β ) TOLAK Ha KESALAHAN JENIS I ( ) KEPUTUSAN TEPAT (1- β )
Pembuatan keputusan biasanya berusaha agar kedua jenis kesalahan tersebut ditekan seminimum mungkin terhadap dan β. Hal ini sukar dicapai sebab untuk sampel dengan n tertentu, nilai probabilitas β untuk membuat kesalah II meningkat , sewaktu nilai probabilitas untuk memebuat kesalahan I menurun (↓ ↑ β). Keduanya bias diperkecil kalau nilainya n meningkat (sampel makin besar) dan akan mengeluarkan biaya tambahan (biaya untuk memperkecil kesalahan).
Misalnya, serorang pemilik pabrik bola lampu buatan pabriknya adalah 3 tahun, kenyataannya hanya bias nyala selama 2 tahun. Berdasarkan hipotesis yang sudah diterima itu, dia member jaminan 2 ½ tahun. Akibatnya, pabrik akan mengalami kerugian dengan menmgganti bola lampu yang rusak/mati sebelum waktunya. Menolak H0 menerima Ha, sebaliknya menerima H0 berarti menolak Ha. 3. PERUMUSAN HIPOTESIS
Hipotesis yang merupakan anggapan / pendapatan dapat berdasarkan atas : 1. Teori
2. Pengalaman (pengalaman sendiri atau pengalaman orang lain)
3. Ketajaman berfikir (orang yang cerdas sering mempunyai pendapat tentang pemecahan suatu persoalan).
Ilustrasi :
Seorang ahli ekonomi merencanakan untuk memperkirakan permintaan linier sebagai berikut :
Q = C + dP
Dimana : Q = Banyak barang diminta, P = Harga barang, c dan d konstanta. Berdasarkan Ahli ekonomi mengharapkan “jumlah barang akan turun
(berkurang) apabila harga barang tersebut mengalami kenaikan. Pada umumnya, kalau P↑ Q↓ dengan asumsi faktor lain tidak mempengaruhi.
Oleh sebab itu nilai d akan kurang dari nol ( d < 0 ), sehingga rumus hipotesisnya :
Ho : d = 0
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 38 Penjabaran sebagai berikut :
Ho : d = 0 (P tidak mempengaruhi Q)
Ha : d > 0 (Pengaruh P terhadap Q Positif, dalam hal Q = jumlah barang yang
ditawarkan.)
Ha : d < 0 (Pengaruh P terhadap Q Negatif, dalam hal Q = jumlah barang
yang Diminta)
Ha : d ≠ 0 (P mepengaruhi Q , tanpa memperhatikanpengaruh itu positif atau
negatif)
4. Langkah-langkah pengujian Hipotesis
Dalam pengujian hipotesis kita mengenal beberapa langkah yaitu : a. Tentukan/rumuskan hipotesis.
b. Tentukan nilai = tingkat nyata (significant level) =probabilitas melakukan kesalahan Jenis I dan cari nilai Z atau Z/2 dari table normal.
c. Analisa data sampel.
d. Buat keputusan yang berkaitan dengan H0 1. Pengujian Hipotesa rata-rata tunggal.
Uji hipotesis rata-rata tunggal digunakan apabila kita ingin mengetahui karakteristik sebuah populasi malalui hasil analisis sampel yang ditarik dari popolasi. Prosedur pengujian hipotesis sebagai berikut :
1. Rumusan Hipotesis :
a. Hipotesis mengandung pengertian Maksimum
b. Hipotesis mengandung pengertian minimum
c. Hipotesis mengandung pengertian sama
Z -Z H0 : μ ≥ μ0 Ha : μ <μ0 H0 : μ ≤ μ0 Ha : μ > μ0 H0 : μ = μ0 Ha : μ ≠ μ0 -Z/2 Z/2 /2 /2 Daerah Penerimaa n Daerah Penolakan
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 39 Cara perumusan a dan b adalah Pengujian satu arah ( one tail test) dan c pengujian satu arah atas dan satu arah bawah (upper and lower tail/two tail
test).
2. Tentukan nilai = tingkat nyata (significant level) =probabilitas melakukan kesalahan Jenis I dan cari nilai Z atau Z/2 dari table normal.
3. Hitung nilai Zhitung sebagai kreteria pengujian :
a. Untuk sampel besar (n > 30)
X X n X Z 0 0 0 Dimana : n = Jumlah sampel. x Kesalahan baku X
µ0 = Nilai µ sesuai dengan H0
Z0 = Z atau Z/2 masing-masing disebut nilai observasi dan nilai teoritis
dari table normal.
b. Untuk sampel kecil (n ≤ 30 ), Z0, Z dan Z/2 diganti dengan t0, tdan t/2
dimana t0 sebagai berikut :
n s X t 0 0 Dimana :
S = Penduga σ = langsung dihitung dari observasi : X1, x2……Xn
t0, = t dan t/2 diperoleh table t dengan menggunakan α atau α/2 dan
derajat kebebasan (degrees of freedom) 4. Pengujian hipotesis dan aturan kesimpulan
a. H0 : μ = μ0 Apabila Z0 ≥ Z , H0 di tolak
Ha : μ >μ0 Apabila Z0 < Z , H0 diterima
b. H0 : μ = μ0 Apabila Z0 ≤ - Z , H0 ditolak Ha : μ < μ0 Apabila Z0 > - Z , H0 diterima
c. H0 : μ = μ0 Apabila Z0
≥
Z/2 atau Z0≤
- Z/2 , H0 ditolak Ha : μ ≠ μ0 Apabila Z0<
Z/2 atau Z0> - Z
, H0 diterimaSYSEMM, Prob,TGD (2012) 40 Ilustrasi 1:
1. Menggunakan sampel besar dengan rata-rata tunggal.
Dari 100 nasabah bank rata-rata melakukan penarikan $495 per bulan elalui ATM, dengan simpangan baku = $45. Dengan taraf nyata 5% , ujilah : a. Apakah rata-rata nasabah menarik melalui ATM kurang dari $500 per
bulan?
b. Apakah rata-rata nasabah menarik melalui ATM tidak sama dengan $500 per bulan ?
Penyelesai :
1. Perumusana Hipotesis
n = 100, x = $495, σ = $45 dan µ = 500 H0 : µ = 500 Ha : µ < 500
2. Tingkat kesalahan (significant level) α= 5%, (titik kritis ): Zα = Z5% = 1.64 (lihat
tabel distribusi normal)
3. Kreteria pengujian (Statistik hitung) Zhitung:
11 , 1 5 , 4 5 100 $ 45 $ 500 $ 495 $ h Z 4. Kesimpulan :
Z hitung = -1.11 ada di daerah penerimaan H0
H0 diterima, rata-rata pengambilan uang di ATM masih = $ 500
2. Uji hipotesis menggunakan sampel kecil (n ≤ 30)
Seorang job-specialist menguji 25 karyawan dan mendapatkan bahwa rata-rata penguasaan pekerjaan kesekretarisan adalah 22 bulan dengan simpangan baku = 4 bulan.Dengan taraf nyata 5% , ujilah :
a) Apakah rata-rata penguasaan kerja kesekretarisan lebih dari 20 bulan?
-1,65
=5% Daerah
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 41 b) Apakah rata-rata penguasaan kerja kesekretarisan tidak sama dengan 20 bulan?
Penyelesaian :
Diketahui : n = 25, x = 22, s = 4 dan µ = 20 1. Perumusana Hipotesis
H0 : µ = 20 Ha : µ ≠ 20
2. Tingkat kesalahan (significant level),
Taraf nyata pengujian = α/2 = 5% / 2 = 2,5%
df = 25 – 1 = 24
Titik kritis : tα/2, df = t5%/2,24= 2,64, maka - t5%/2,24 = -2,64
3. Kreteria pengujian (Statistik hitung) thitung:
5 , 2 8 , 0 2 25 4 20 22 0 t 4. Kesimpulan :
t hitung = -2.5 ada di daerah penolakan H0, maka H0 ditolak, Ha diterima , rata-rata penguasaan pekerjaan kesekretarisan H0 ≠ 20 bulan
latihan :
1. Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bias tahan pakai sekitar 800 jam. Akhir-akhir ini timbul dugaan bahwa masa pakai lampu itu telah berubah. Untuk menentukan hal ini, dilakukan penyilidikan dengan jalan menguji 50 lampu. Ternyata rata-ratanya 792 jam. Dari pengalaman, diketahui bahwa simpangan baku masa hidup lampu 60 jam. Diselidiki dengan taraf nyata 0,05. Ujilah, apakah kualitas lampu itu sudah berubah atau belum!
2. Proses pembuat barang rata-rata menghasilkan 15,7 per jam. Hasil produksi mempunyai varians = 2.3. Metode baru diusulkan untuk mengganti yang lama. Jika rata-rata per jam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan apakah metode diganti atau tidak, metode baru dicoba 20 kali dan ternyata rata-rata perjam menghasilkan 16,9 buah. Pengusaha bermaksud mengambil
-α/2= -2,5%
-2,64 2,64
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 42 resiko 5% untuk menggunakanmetode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan tidak lebih 16 buah.
Jika anda pengusaha tersebut keputusan apa yang akan anda ambil?.
3. Dengan menyuntikkansemacam hormone tertentu kepada ayam akan menambah berat telurnya rata-rata 4,5 gram. Sampel acak yang terdiri atas 31 butir telur ayam yang telah diberi suntikan hormone tersebut memberikan rata-rata berat 4,9 gram dan simpangan baku (s) = 0,8 gram.
Apakah cukup alasan untuk menerima pernyataan bahwa pertambahan rata-rata berat telur paling sedikit 4,5 gram. ujilah alas an tersebut bias diterima atau tidak, dengan taraf nyata sebesar (α=0,01)!
2. Pengujian Hipotesis perbedaan dua rata-rata.
Tujuan: menguji hipotesis (dugaan) tentang perbedaan dua rata-rata populasi
Uji beda dua rata-rata populasi dengan df = n1 + n2 – 2 < 30 disebut sampel
kecil. Pengujian dilakukan menggunakan distribusi t
Uji beda dua rata-rata populasi dengan df = n1 + n2 – 2 ≥ 30 disebut sampel
besar. Pengujian dilakukan menggunakan distribusi Z. Prosedur Pengujian Hipotesis Beda Dua Rata-Rata
1. Rumusan Hipotesis
a. H0 : μ 1- μ2 = 0 atau μ 1= μ2 (tidak ada perbedaan atau sama).
b. Ha : μ 1- μ0 > 0 (ada perbedaan, μ 1 > μ2)
c. Ha : μ 1- μ0 < 0 (ada perbedaan, μ 1 < μ2)
d. Ha : μ 1- μ0 ≠ 0 (μ 1 tidak sama dengan μ2, atauμ 1 berbeda dari μ2 )
2. Nilai kritis: (cari di tabel t atau Z) 3. Nilai Hitung:
a. Bila n > 30 (sampel besar) Z hitung adalah :
2 1 2 1 0 x xX
X
Z
Dimana apabila
12 dan 2 2
diketahui dapat estimasikan sebagai berikut :2 2 2 1 2 1 _ 2 _ 1 x
n
n
x
Dimana apabila
12 dan 2 2
tidak diketahui dapat estimasikan sebagai berikut :SYSEMM, Prob,TGD (2012) 43 2 2 2 1 2 1 _ 2 _ 1
n
S
n
S
S
x x
4. Kesimpulan : H0 diterima, jika - Zα/2 ≤ Z0 (Zh) atau Zh ≤ Zα/2 H0 Ditolak, Jika Zα/2 > Z0 (Zh) atau Zh < - Zα/2
Ilustrasi 1 : Bila n > 30 (sampel besar).
Seorang pemilik toko yang menjual dua macam bola lampu merek A dan B, berpendapat bahwa tak ada perbedaan rata-rata lamanya menyala bola lampu kedua merek tersebut. Untuk menguji pendapat, maka dilakukan eksperimen dengan data sebagai berikut:
Bola merek bola A : sampel sebanyak 100 buah, menyala rata-rata selama 925 jam, simpangan baku sebesar 85 jam.
Bola lampu Merek B : sampel sebanyak 50 buah, menyala rata-rata 987 jam simpangan baku 92 jam.
Ujilah Apakah perbedaan menyala antara lampu merek A dan B dengan mengunakan α = 5%.
Penyelesaian :
1. Perumusan Hipotesis
H0 : µ1 = µ2 atau µ1 - µ2 = 0
Ha : µ1 ≠ µ2 atau µ1 - µ2 ≠ 0
2. Tingkat kesalahan (significant level)
o Taraf nyata pengujian = α/2 = 5% / 2 = 2,5% ,
o Titik kritis : Zα/2 = Z2,5%= 1,96, maka - Z2,5% = -1,96
3. Kreteria pengujian (Statistik hitung) Hhitung:
Diketahui : A ↔ n1 =100, _ 1 X = 952,
1 = 85 B ↔ n2 =50, _ 2 X = 987,
2= 92 25 , 2 50 92 100 85 987 952 2 2 0 ZSYSEMM, Prob,TGD (2012) 44 4. Kesimpulan : Karena Zhitung (Z0) = -2,25 < Zα/2 = -1,96, maka H0 ditolak.
Berarti rata-rata lamanya menyala dari bola lampu kedua merek tersebut tidak sama.
1. Bila n ≤ 30 (sampel kecil)
2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 n n n n s n s n X X tt0 mempunyai distribusi t dengan derajat kebebasan (df) sebesar = n1 + n2 - 2
Ilustrasi : Bila n < 30 (sampel kecil).
Seorang petugas pengawasan rokok dari departemen Kesehatan berpendapatan bahwa tidak ada perbedaan antara rata-rata nikotin yang dikandung oleh batang rokok merek A dan merek B. untuk menguji pendapat itu dilakukan surve, maka diperoleh data sebagai berikut :
Rokok merek A : sampel sebanyak 10 batang, Kandungan nikotin rata-rata 23,1 mg, simpangan baku sebesar 1,5 mg.
Rokok Merek B : sampel sebanyak 8 batang, kandungan nikotin rata-rata 22,7 mg, simpangan baku 1,7 mg
Ujilah Apakah ada perbedaan menyala antara lampu merek A dan B dengan mengunakan α = 0,05.
1. Rumusan Hipotesis
H0 : µ1 = µ2 atau µ1 - µ2 = 0
Ha : µ1 ≠ µ2 atau µ1 - µ2 ≠ 0
2. Tingkat kesalahan (significant level)
Taraf nyata pengujian = α/2 = 0,05/2 = 0,025, df = 10+ 8 – 2 = 16
Titik kritis : tα/2 = t0,025 (16) = 2,120, maka - t0,025 (16)= -2,120
3. Statistik Hitung : Diketahui : A ↔ n1 =10 _ 1 X = 23,1 S1 = 1,5 B ↔ n2 = 8, _ 2 X = 22,7, S2= 1,7 α/2=- 0,25 α/2= 0,25 1,96 -1,96 0,95
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 45
10 1 10 1 2 8 10 7 , 1 ) 1 8 ( 5 , 1 1 10 7 , 22 1 , 23 2 2 0 t = 0.534. Kesimpulan : Karena t hitung (t0) = 0,53 < tα/2 = 2,120 maka H0 ditolak. Berarti
memang tidak ada perbedaan antara rata-rata nikotin yang dikandung oleh batang rokok merek A dan merek B tersebut.
2. Pengujian Hipotesis sampel Berpasangan (Paired Samples)
Untuk pengamatan yang berasal dari dua populasi yang berpasangan pada umumnya terdapat pada penelitian-penelitian ekspremen dimana ada perlakuan tertentu terhadap populasi tertentu atau danya informasi baru sehingga mengubah perilaku populasi tertentu.
Prosedur pengujian hipotesis sebagai berikut : 1. Rumuskan Hipotesis : H0 dan Ha
H0 : µD ≥ 0
Ha : µD < 0 → ( µ1 < µ2 ) → Pengujian satu arah
H0 : µD ≤ 0
Ha : µD > 0 → ( µ1 > µ2 ) → Pengujian satu arah
H0 : µD ≥ 0
Ha : µD = 0 → ( µ1 ≠ µ2 ) → Pengujian dua arah
2. Tentukan nilai = tingkat nyata (significant level) cari nilai t atau t/2 dari
table dengan df = n-1. 3. Nilai Hitung: D D S n D t _ 0 α/2=- 0,025 α/2= 0,025 -2,120 0,95 2,120
SYSEMM, Prob,TGD (2012) 46 Dimana : 1 2
n D D S i D → 2 D DS
S
n
S
S
D D
_5. Kesimpulan : membandingkan nilai kriteria uji t yang dihitung (t0), jika thitung >
tTabel. Tapi untuk sampel berpasangan (tak bebas) df = n-1.
Ilustrasi 2 :
Direktur pemasaran akan melanjutkan pelatihan teknik penjualan bagi para salesman, jika rata-rata hasil penjualan setelah terlatih, lebih tinggi dari sebelumnya dilatih. Hasil penjualan salesman dari sepuluh orang salesman sebagai berikut :
Setelah dilatih Sebelum dilatih
20 12 18 11 10 8 12 9 19 15 22 16 8 4 11 17 17 13 13 5
Ujilah : apakah pelatihan teknik penjualan perlu dilanjutkan, mengapa?. Penyelesaian :
1. H0 : µD ≤ 0 → ( µ1 ≤ µ2 )
Ha : µD > 0 → ( µ1 ≤ µ2 )
2. Tingkat kesalahan (significant level)
Taraf nyata pengujian = α = 0,05, df = 10-1 = 9 Titik kritis : tα = t0,05 (10-1) = 1,833
