BAB II
ANALISIS VARIANSI 2.1 Pengantar
Pada bab 1 kita telah membahas mengengenai uji hipotesis dengan ditribusi normal baku dan distribusi t. Kita menguji apakah rata-rata kedua populasinya sama?. Pada bab ini kita memperluas gagasan mengenai uji hipotasis. Kita akan mengga,barkan pengujian variansi dan kemudian pengujian secara serempak membandingkan beberapa rata-rata untuk menentukan apakah mereka berasal dari populasi yang sama?. Sebagai contoh andaikan kita memiliki 4 metode yang berbeda (A,B,C,D) dalam melatih para calon baru pemadam kebakaran. Kita secara acak akan menugaskan 40 calon pemadam kebakaran pada masing-masing metode. Diakhir program pelatihan, kita akan memberikan tes umum bagi keempat kelompok guna mengukur pemahaman teknik-teknik pemedaman. Pertanyaannya apakah terdapat perbedaan rata-rata skor ujian diantara ke empat kelompok? Jawaban pertanyaan ini akan memungkinkan kita untuk membandingkan kempat metode pelatihan.
Analisis variansi (Anava) atau yang lebih dikenal analysis of variance dengan (Anova) merupakan bagian dari metoda analisis statistika yang tergolong analisis komparatif lebih dari dua rata-rata (Riduwan.2008.Dasar-dasar Statistika.Bandung:Alfabeta). Analisis Varians (ANAVA) adalah teknik analisis statistik yang dikembangkan dan diperkenalkan pertama kali oleh Sir R. A Fisher (Kennedy & Bush, 1985).
2.2 Distribusi F
Pengujian hipotesis dlam Anova menggunakan distribusi F. Dinamai dimikian karena untuk menghormati Sir Ronald Fisher. Perbandingan serempak dari beberapa rata-rata populasi disebut dikenal analysis of variance (Anova) atau analisis variansi. Dalam Anova, populasinya harus mengikuti distribusi normal. Karakteristik distribusi F
1. Bersifat kontinu. Hal ini berarti bahwa ditribusi F dapat mengasumsikan sejumlah nilai tertentu diantara nol dan psitif tak hingga.
3. Distribusi asimetri positif. Ekor panjang distrubusi F menuju kesisi sebelah kanan. Semakin meningkatnya derajat kebebasan baik pada pembilang maupun penyebut, ditribusinya mendekati distribusi normal.
4. Distribusi asimtotik. Semakin bertambahnya nilai X, distribusi F menedekati sumbu X, namun tidak pernah menyinggungnya.
Gambar 2.1 Distribusi F 2.3 Asumsi ANOVA
Anova merupakan teknik analisis diaman kita dapat membendungkan beberapa rata-rata untuk ditentukan apakah nilainya sama. Untuk menggunakan Anova terdapat asumsi yang ahrus dipenuhi berikut
1. Populasinya mengikuti distribusi normal (uji normalitas).
2. Populasinya memiliki variansi dan standar deviasi yang sama (uji homoskedasitas).
3. Populasiya saling bebas.
Berdasarkan contoh kasuh pada subbab 2.1 menegenai 4 metode pelatihan pemadam kebakaran, kita memerlukan metode yang dapat melakukan uji rata-rata secara serempak. Anova akan memungkin kita membandingkan rata-rata yang ditangani secara serempak dan menghindari penamhan kesalahan jenis 1 dibandingkan jika kita menggunakan uji t pengatan berpasangan.
2.4 Uji Anova
Uji Anova digunakan untuk menentukan apakah berbagai rata-rata sampel berasal dari satu populasi atau populasi dengan rata-rata yang bebeda. Kita sesungguhnya membandingkan rata-rat sampel ini melalui variansinya. Salah satu asumsi dalam Anova pada subbab 2.3 adalah standar deviasi dari berbagai populasi normal harus sama. Kita mengambil manfaat dari persyaratan ini pada uji Anova. Dasar strateginya adalah memperkirakan variansi populasi.
2.4.1 Anova 1 Arah
Bagaimana uji Anova digunakan?. Sebagai contoh utuk ilustrasi dari uji Anova diguankan kasus berikut. Maskapai-maskapai berikut telah mengurangi layanan makana berat dan ringan selama penerbangan dan memulai menetapkan beberapa layanan tambahan seperti menampung bagasi yang terlalu berat, pergatian penerbagan pada menit terakhir dan perjalanan hewan peliharaan didalam kabin. Akan tetapi mereka masih fokus mengenai layanannya. Akhir-akhir ini sebuah kelompok yang terdiri atas empat perusahaan penerbangan merekrut Brunner Marketing Research. Untuk mensurvei parapenumpang megenai tingkat kepuasannya dengan penerbangan terkini. Survey meliputi pertanyaan mengenai tiket, keberangkatan, layanan peerbangan, penanganan bagasi, komunikasi pilot dan sebagainya. 25 pertanyaan akan dijawab penumpang dengan luar buiasa, bagus, cukup atau buruk. Jawaban jawaban tersebut kemudian dijumlahkan sehingga total skornya perupakan penanda kepuasan penerbangan. Semakin besar skornya penanda semakin tinggi tingkat kepuasan layanannya. Skor paling tinggi yang paling mungkin adalah 100. Brunner Marketing Research secara acak memilih dan mensurvei para penumpang dari 4 maskapai. Apakah terdapat perbedaan rata-rata tigkat kepuasan antara keempat maskapai?. Berikut diperoleh hasil jawaban responden yang menjadi sampel.
Tabel 2.1 Hasil jawaban responden masing-masing maskapai
Northern WTA Pocono Branson
94 75 70 68
90 68 73 70
85 77 76 72
80 83 78 65
68 65 85
Prosedur uji hipotesis Anova 1 arah 1. Munyatakan Hipotesis
k
H0 : 1 2 3 ... (rata-rata seluruh populasi sama) k
H1: 1 2 3 ... (rata-rata seluruh populasi tidak sama) 2. Menentukan tingkat signifikansi
tingkat signifikansi yang sering digunakan dalam penelitian ekonomi adalah 05
, 0
3. Menentukan statistik uji
statistik uji yang digunakan adalah distribusi F. 4. Merumuskan keputusan
dalam menentukan keputusan derajat kebebsan pada pembilang dan penyebut. Derajat kebebasan pada pembilang sama dengan jumlah perlakuan (k) dikurangi 1. Sedangkan derajat kebebasan pada penyebut adalah total jumlah pengamatan (n) dikurangi jumlah perlakuan (k).
5. Menentukan sampel, melakukan perhitungan, dan membuat keputusan berikut perhitugan F statistic yang disimpulkan pada tabel Anova.
Tabel 2.2 Tabel Anova 1 arah Sumber
Variasi rata-rataJumlah KebebasanDerajat Kuadrat rata-rata F
Perlakuan SST k-1 MST=SST/k-1 MST/MSE
Kesalahan SSE n-k MSE=SSE/n-k
Total Total SS n-1 2 ) (
X XG SS Total
( )2 C X X SSE keterangan: X =pengamatan sampel GX =rata-rata besar atau keseluruhan C
Format Anova pada tabel 2.1 juga digunakan oleh perangkat lunak. Untuk peneyelesaian contoh ini dapat dilihat pada modul praktikum.
2.4.2 Anova Dua Arah
Pada contoh penilaian penumpang maskapai pada Anova 1 arah, kita membagi variasi total kedalam dua kategori: variasi antar perlakuan dan variasi dalam perlakuan. Kita juga menyebut variasi dalam perlakuan sebagai kesalahan variasi acak. Dengan kata lain kita hanya mempertimbangkan dua sumber vaiasi yang terkait perlakuan dan perbedaan acak. Pada contoh penilaian penumpang maskapai barangkali terdapat penyebab variasi lainnya. Seperti: musim, bandara atau jumlah penumpang. Manfaat jika kita mempertimbangkan faktor lainnya adalah kita dapat mengurangi variansi kesalahan (SSE-nya). Jika kita mampu menjelaskan lebih banyak mengenai variasinya, maka kesalahannya akan lebih sedikit.
Sebagai contoh untuk menjelaskan Anova 2 arah dengan interaksi. Trans JKT (TJ) memperluas layanan bus. Terdapat 4 rute yang dipertimbangkan dari harmoni ke Grogol. Rute 1, rute 2, rute3 dan ryte 4. Pihat pengelola TJ melkukan beberapa pengujian untuk memutuskan apakah terdapat perbedaan rata-rata waktu perjalanan melalu keempat rute. Karena akan terdapat berbagai penegmudi yang berbeda , pengujiannya diatur sehingga setiap pengemudi yang berkendara melali keempat rute tersebut. Tentuakn apakah terdapat rata-rata perbedaan waktu tempuh keempat rute?. Berikut merupaka waktu perjalanan dalam menit untuk setiap kombinasi pengemudi dan rute.
Tabel 2.3 Waktu Tempuh TJ Harmoni-Grogol
Pengemudi Rute 1 Rute 2 Rute 3Watu tempuh TJ (menit)Rute 4 Deans 18 17 21 22 Snaverly 16 23 23 22 Orson 21 21 26 22 Zollaco 23 22 29 25 Filbeck 25 24 28 28
Prosedur pengujian hipotesis sama dengan 1 arah, hanya saja terdapat perbedaan pada tabel Anova.
Tabel 2.4 Anova 2 arah Sumber
Variasi rata-rataJumlah KebebasanDerajat Kuadrat rata-rata F
Perlakuan SST k-1 MST=SST/k-1 MST/MSE
Penghalang SSB b-1 MSB=SSB/b-1 MSB/MSE
Kesalahan SSE (k-1)(b-1) MSE=SSE/(k-1)(b-1)
Total SS Total n-1 SSB SST Total SS SSE
2.4.3 Anova Dua Arah dengan Interaksi
Pada contoh Anova 2 arah sebelumnya kita menentukan apakah terdapat perbedaan waktu tempuh Harmoni-Grogol. Asumsikan bahwa terdapat perbedaan waktu tempuh anatar 4 rete tersebut. Hal ini dipastikan terkait perbedaan jarak antar rute. Hasilnya juga menunjukan perbedaan rata-rata waktu berkedara diantar pengemudi. Tentunya perbedaan ini dijelaskan dengan membedakan kecepatan rata-rata para pengemudi tanpa menghiraukan retenya. Terdapat pengaruh lainnya yang barangkali mempengaruhi waktu perjlanan. Hal ini disebut efek initeraksi antara rute dengan pengemudi terhadap waktu perjalanan. Pada kasus ini pengaruh gabungan dari penegmudi dan rute baangkali turut menjelaskan perbedan rata-rata waktu perjalanan. Untuk mengukur pengaruh persimpangan diperlukan sedikitnya 2 pengamatan pada setiap elemen. Untuk kasus ini kita menyebut variabel dengan faktor. Dengan demikian terdapat 3 faktor yaitu rute, faktor pengemudi dan interaksi dari pengemudi dan rute. Contoh studi kasus pada yang sama pada waktu tempuh TJ Harmoni-Grogol pada Anova 2 arah. Hanya saja setiap pengemudi di uji hingga 3 kali untuk tiap rute. Berikut data waktu tempuh.
Tabel 2.5 Waktu Tempuh TJ Harmoni-Grogol untuk 3 kali uji coba Pengemudi Rute 1 Rute 2 Rute 3 Rute 4
Deans 18 14 20 19 Deans 15 17 21 22 Deans 21 20 22 25 Snaverly 19 20 24 24 Snaverly 15 24 23 22 Snaverly 14 25 22 20 Ormson 19 23 25 23
Ormson 21 21 29 23 Ormson 23 19 24 20 Zollaco 24 20 30 26 Zollaco 20 24 28 25 Zollaco 25 22 29 24 Filbeck 27 24 28 28 Filbeck 25 24 28 30 Filbeck 23 24 28 26
Sehingga dalam Anova 2 arah dengan interaksi akan diuji a. Apakah terdapat interaksi di antar rute dengan pengemudi? b.Apakah waktu tempuh untuk kelima penegmudi sama? c. Apakah waktu tenpuh untu keempat rute sama?
Sama halnya dengan Anova 2 Arah tanpa interaksi, pengujian hipotesis Anova 2 arah dengan interaksi dilakuan seperti Anova 1 arah.
Tabel 2.6 Anova 2 arah dengan interaksi Sumber
Variasi rata-rataJumlah KebebasanDerajat Kuadrat rata-rata F Rute
Faktor A (pengaruh
rute) k-1 MSA=SSA/k-1 MSA/MSE
Pengemudi
Faktor B (pengaruh
penegmudi) b-1 MSB=SSB/b-1 MSB/MSE
Hubungan SSI (k-1)(b-1) MSI=SSI/(k-1)(b-1) MSI/MSE
Kesalahan SSE n-kb MSE=SSE/n-kb
Total SS Total n-1
2 . . j G i ij X X X X bk n SSI keterangan i=rute j=penegmudik=jumlah dari pengaruh rute
b=jumlah dari tingakatan pengaruh pengemudi n=jumlah pengamatan
ij
X =rata-rata waktu perjalan pada rute i, penegmudi j
.
i
X =ra rata-rata waktu perjalan pada rute i j
X. = rata-rata waktu perjalan pada penegmudi j
G
