1. Menganalisa gejala alam dan keteratur-annya dalam cakupan mekanika benda titik.
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai Indikator
1.1 Menganalisis gerak lurus, gerak melingkar, dan gerak parabola dengan menggunakan vektor.
Pada bab ini akan dipelajari: 1. Gerak Lurus
2. Gerak Melingkar 3. Gerak Parabola
Kerja keras
Kerja keras dalam belajar dan bekerja.
Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter
Persamaan Gerak
Siswa mampu menganalisis gerak lurus, gerak melingkar, dan gerak parabola dengan menggunakan vektor Menganalisis persamaan gerak lurus
menggunakan vektor
• Menjelaskan vektor satuan dan
vektor posisi
• Menjelaskan persamaan kecepatan
gerak benda
• Menentukan posisi benda dari
fungsi kecepatan
• Menjelaskan persamaan
percepat-an gerak benda
• Menentukan kecepatan dari fungsi
percepatan
Siswa mampu menganalisis persamaan gerak lurus menggunakan vektor
Menganalisis persamaan gerak parabola
• Menjelaskan kecepatan gerak benda
• Menjelaskan posisi benda saat
waktu t
• Menjelaskan posisi titik terjauh
benda di sumbu X
• Menentukan posisi benda di titik
tertinggi
Siswa mampu menganalisis persamaan gerak parabola Menganalisis persamaan gerak
melingkar
• Menjelaskan lintasan dan
per-pindahan benda
• Menjelaskan kecepatan linear dan
kecepatan sudut
• Menjelaskan percepatan linear dan
percepatan sudut
Siswa mampu menganalisis persamaan gerak melingkar
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Diketahui: r1 = (3 m)i + (7 m)j 2 r = (14 m)i + (15 m)j Ditanyakan: ∆r Jawab: ∆r = r2 – r1 = (14 m – 3 m)i + (15 m – 7 m)j = 11i + 8j Jadi, persamaan ∆r = 11i + 8j 2. Jawaban: b Diketahui: t1 = 0 t2 = 2 s 1 r = 16i + 19j 2 r = 24i + 25j Ditanyakan: vr t Jawab: r t v = ∆∆ r t = 2 1 2 1 − − r r t t = (24 + 25 ) (16 + 19 )iˆ jˆ2 0−− i j = 8 + 6 2 i j = 4i + 3j Vektor kecepatan rata-rata partikel 4i + 3j. 3. Jawaban: d Diketahui: rA= 200i + 800j B r = 800i + 1.050j ∆t = 5 s Ditanyakan: vrt Jawab: r t v = B− A ∆ r r t = (800 200) + (1.050ˆ 800)ˆ 5 − i − j = 600 + 250 5 i j = 120i + 50j vrt = (120 m/s) + (50 m/s)2 2 = 14.400 m /s + 2.500 m /s2 2 2 2 = 16.900 m /s2 2 = 130 m/s Kecepatan rata-rata pesawat 130 m/s.
4. Jawaban: e Diketahui: r = (2t2 – 5t + 3)i+ (t2 – 3t – 2)j t = 8 s Ditanyakan: v Jawab: v = d r d t = 2 (2 −5 + 3) d t t i dt + 2 ( 3 2) d t t j dt − − = (4t – 5)i + (2t – 3)j = (4(8) – 5)i + (2(8) – 3)j = 27i + 13j
Kecepatan saat t = 8 s adalah v = 27i + 13j 5. Jawaban: a Diketahui: r = 0i + 1,5j = 1,5j vy = 18 – 10t t = 0,5 s Ditanyakan: r Jawab:
Posisi dan kecepatan bola hanya memiliki sumbu Y. y0 = 1,5 m y = y0 + 0 t ∫vy dt = 1,5 + 0 t ∫(18 – 10t) dt = 1,5 + 18t – 5t2 y(t ) = 1,5 + 18t – 5t2 y(0,5) = (1,5) + 18(0,5) – 5(0,5)2 = 1,5 + 9 – 1,25 = 9,25
Posisi benda saat t = 0,5 s adalah (0; 9,25) m. 6. Jawaban: d Diketahui: x(t ) = 2t + 0,5t2 + t3 t = 2 s Ditanyakan: a saat t = 2 s Jawab: a = dv dt = 2 d x dt v = dx dt = 2 3 (2 + 0,5 + ) d t t t dt = 2 + t + 3t2 a = dv dt = 2 (2 + + 3 ) d t t d t = 1 + 6t a(t = 2) = 1 + 6(2) = 1 + 12 = 13
7. Jawaban: b Diketahui: vx = 4,5 t2 vy = 3t2 + 6t t = 1 s Ditanyakan: a Jawab: ax= dvx dt = 2 (4,5 ) d t dt = 9t ay= dvy dt = 2 (3 + 6t) d t dt = 6t + 6 a = axi + ayj = 9ti + (6t + 6)j a(t = 1) = 9(1)i + (6(1) + 6)j = 9i + 12j a = 9 + 122 2 = 81 + 144 = 225 = 15
Percepatan saat t = 1 s adalah 15 m/s2. 8. Jawaban: e Diketahui: v0= 5i a = (2 + 3t)i + (8 + 2t)j t = 2 s Ditanyakan: v saat t = 2 s Jawab: v = v0 + 0 t ∫ a dt = 5i + 0 t ∫((2 + 3t )i + (8 + 2t)j ) dt = 5i + (2t + 32t2)i + (8t + t2)j) v(t = 2) = 5i + (2(2) + 32(2)2)i + (8(2) + (2)2)j = 5i + (4 + 6)i + 20j = 15i + 20j v = (15) + (20)2 2 = 225 + 400 = 625 = 25
Kecepatan partikel saat t = 2 s adalah 25 m/s. 9. Jawaban: c
Diketahui: r = (7t – 4)i + (9t2 – 5t)j Ditanyakan: a. koordinat awal
b. perpindahan setelah t = 1 s c. kecepatan setelah t = 2 s d. gerak benda
Jawab:
a. Koordinat awal saat t = 0
r(t = 0) = (7(0) – 4)i + (9(0)2 – 5(0))j = –4i
Koordinat awal benda (–4, 0) m. b. r saat t = 1 s r(t = 1) = (7(1) – 4) + 9(1)2 – 5(1) = 3i + 4j r = 3 + 42 2 = 9 + 16 = 25 = 5
Perpindahan setelah 1 s adalah 5 m. c. v = d r d t = 2 ((7 4) + (9 5 )) d t i t t j dt − − = 7i + (18t – 5)j v(t = 1) = 7i + (18(1) – 5)j = 7i + 13j v = 7 + 132 2 = 49 + 169 = 218
Kecepatan setelah 1 s adalah 218 m. d. a = dv dt = d i(7 + (18t 5) )j dt − = 18
Benda mengalami percepatan 18 m/s2 sehingga termasuk dalam gerak lurus berubah beraturan. 10. Jawaban: c
Diketahui: vx = 5t vy = 4t2 + 8t t = 1 s Ditanyakan: v dan arah Jawab: vx (t = 1 s) = 5(1) = 5 vy (t = 1 s) = 4(1)2 + 8(1) = 12 v = vx2 + vy2 = 5 + 122 2 = 25 + 144 = 169 = 13 tan θ = y x v v = 12 5 θ = tan–1 12 5 = 67,4°
B. Uraian
1. Besar perubahan posisi pada sumbu X ∆x = |(5 – 10)i|
= 5i
Besar perubahan posisi pada sumbu Y ∆y = |(10 – 5)j|
= 5j
Besar perubahan posisi pada sumbu Z ∆z = |(20 – 15)k| = 5k 2. Diketahui: ∆r= (100 km)i + (50 km)j ∆t = 1 jam Ditanyakan: vt Jawab: t v = r t ∆ ∆ = (100 km) 1 jam i + (50 km) 1 jam j t v = (100 km/jam)i + (50 km/jam)j
Jadi, persamaan kecepatan rata-rata pereli tersebut t v = (100 km/jam)i + (50 km/jam)j. 3. Diketahui: y = 10t – 2t2 Ditanyakan: a. v0 b. v(t = 1,25 s) Jawab: a. v = dy dt = 2 (10 2t ) d t dt − = 10 – 4t v(t = 0) = 10 – 4(0) = 10
Kecepatan awal titik materi 10 m/s. b. v(t = 1,25 s) = 10 – 4(1,25)
= 10 – 5 = 5
Kecepatan titik materi setelah bergerak selama 1,25 sekon adalah 5 m/s.
4. Diketahui: r = (3t2 – 2t)i + (5t2)j t1 = 1 s
t2 = 3 s
Ditanyakan: besar dan arah ∆r Jawab: 1 r = (3(1)2 – 2(1))i + (5(1)2)j = i + 5j 2 r = (3(3)2 – 2(3))i + (5(3)2)j = (27 – 6)i + 45j = 21i + 45j ∆r= r2 – r1 = (21i + 45j) – (i + 5j ) = 20i + 40j ∆r = (20) + (40)2 2 = 400 + 1.600 = 2.000 = 20 5 tan θ = 40 20 = 2 θ = tan–1(2) = 63,43°
Benda berpindah sejauh 20 5 m ke arah 63,43°. 5. Diketahui: x(t ) = 2t2 + 0,5t3 Ditanyakan: a. persamaan a b. a saat t = 0 c. a saat t = 5 s Jawab: a. v = dx dt = 2 3 (2 0,5 ) d t t dt + = 4t + 1,5t2 a = dv dt = 2 (4 1,5 ) d t t dt + = 4 + 3t b. a(t) = 4 + 3(0) = 4
Percepatan awal pesawat adalah 4 m/s2. c. a(t = 5) = 4 + 3(5)
= 4 + 15 = 19
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Diketahui: ∆θ= 900 putaran ∆t = 1 menit = 60 s Ditanyakan: ω Jawab: ∆θ = 900 putaran × 2π rad/putaran = 1.800π rad ω = t ∆ ∆ θ = 1.800 rad60 sπ = 30π rad/s
Kecepatan sudut rata-rata 30π rad/s. 2. Jawaban: a Diketahui: θ = 18t + 2t2 – 0,5t3 Ditanyakan: ω Jawab: ω = d dt θ = 2 3 (18 2 0,5 ) d t t t dt + − = 18 + 4t2 – 1,5t2 ω(t = 4 s) = 18 + 4(4) – 1,5(4)2 = 18 + 16 – 24 = 10
Kecepatan sudut titik tersebut saat t = 4 s adalah 10 rad/s.
3. Jawaban: c
Diketahui: ω = 7 rad/s – (3t rad/s2) t = 2 s Ditanyakan: θ Jawab: θ = 0 t
∫
ω dt = 0 t∫
(7 rad/s – 3t rad/s2) = 7t rad/s – 32t2 rad/s2
θ(t = 2 s) = 7(2 s) rad/s – 3
2(2 s)2 rad/s2 = 14 rad – 6 rad
= 8 rad
Posisi sudut titik tersebut saat t = 2 s adalah 8 rad. 4. Jawaban: b
Diketahui: θ(t ) = 9,0 rad – 1,5t rad/s + 2,0t rad/s3 t1= 1 s
t2= 2 s Ditanyakan: ω
Jawab: θ1 = θ(t = 1 s)
= 9,0 rad – 1,5(1 s) rad/s + 2,0(1 s)3 rad/s3 = 9,0 rad – 1,5 rad + 2 rad = 9,5 rad θ2 = θ(t = 2 s)
= 9,0 rad – 1,5(2 s) rad/s + 2,0(2 s)3 rad/s3 = 9,0 rad – 3 rad + 16 rad = 22 rad ω = 2 1 2 1 t t − − θ θ = (22 9,5) rad (2 1) s − − = 12,5 rad/s
Kecepatan sudut titik tersebut rata-rata sebesar 12,5 rad/s. 5. Jawaban: b Diketahui: ω0= 18 rad/s α = t – 0,5 t = 3 s Ditanyakan: ω(t = 3 s) Jawab: ω = ω0 + 0 t
∫
α dt = 18 + 0 t∫
(t – 0,5) dt = 18 + 12t2 – 0,5t ω(t = 3 s) = 18 + 1 2(3 s)2 – (0,5)(3) = 18 + 4,5 – 1,5 = 21Kecepatan sudut roda setelah 3 sekon sebesar 21 rad/s. 6. Jawaban: a Diketahui: α = 12t – 4 R = 20 cm = 0,2 m t = 2 s Ditanyakan: s Jawab: ω = 0 t
∫
α dt = 0 t∫
12t – 4 dt = 6t2 – 4t θ = 0 t∫
ω dt = 0 t∫
(6t2 – 4t ) dt = 2t3 – 2t2 θ(t = 2 s) = 2(2)3 – 2(2)2 = 16 – 8 = 8S = θR
= (8)(0,2 m) = 1,6 m
Jarak yang telah ditempuh titik setelah bergerak selama 2 sekon adalah 1,6 m.
7. Jawaban: e Diketahui: θ = 4,7 + 6,5t – 1,2t2 t = 2 s Ditanyakan: ω saat t = 2 s Jawab: ω = d dt θ = 2 (4,7 6,5 1,2 ) d t t dt + − = 6,5 – 2,4t ω(t = 2 s) = 6,5 – 2,4(2) = 6,5 – 4,8 = 1,7
Kecepatan meja putar saat t = 2 s adalah 1,7 rad/s. 8. Jawaban: c
Diketahui: θ(t ) = (0,5 rad/s4)t4 – (0,1 rad/s3)t3 t = 1,0 s Ditanyakan: α(t = 1,0 s) Jawab: ω(t ) = d t( ) dt θ = 4 4 3 3 ((0,5 rad/s ) (0,1rad/s ) ) d t t dt − = (2,0 rad/s4)t3 – (0,3 rad/s3)t2 dt α(t ) = d t( ) dt ω = 4 3 3 2 ((2,0 rad/s ) (0,3 rad/s ) )) d t t dt − = (6,0 rad/s4)t2 – (0,6 rad/s3)t dt α(t = 1 s) = (6,0 rad/s4)(1 s)2 – (0,6 rad/s3)(1 s) = 6,0 rad/s2 – 0,6 rad/s2 = 5,4 rad/s2
Percepatan sudut saat t = 1 s sebesar 5,4 rad/s2. 9. Jawaban: b
Diketahui: α(t ) = (1,8 rad/s3)t – 0,4 rad/s2 θ0 = 1,1 rad t = 2 s Ditanyakan: θ saat t = 2 s Jawab: ω(t ) = ω0 + 0 t
∫
α(t ) dt = 0 + 0 t∫
((1,8 rad/s3)t – 0,4 rad/s2) dt = (0,9 rad/s3)t2 – (0,4 rad/s2)t θ = θ0 + 0 t∫
ω(t ) dt = 1,1 rad + 0 t∫
((0,9 rad/s3)t2 – (0,4 rad/s2)t) dt = 1,1 rad + (0,3 rad/s3)t3 – (0,2 rad/s2)t2θ(t = 2 s)
= 1,1 rad + (0,3 rad/s3)(2 s)3 – (0,2 rad/s2)(2 s) = 1,1 rad + (0,3 rad/s3)(8 s3) – (0,2 rad/s2)(4 s2) = 1,1 rad + 2,4 rad – 0,8
= 2,7 rad
Posisi saat t = 2 s adalah 2,7 rad. 10. Jawaban: d
Diketahui: θ(t ) = (0,80 rad/s2)t2 + (0,02 rad/s3)t3 R = 50 cm = 0,5 m t = 4 s Ditanyakan: v saat t = 4 s Jawab: ω(t ) = d t( ) dt θ = 2 2 3 3 (0,80 rad/s ) + (0,02 rad/s ) d t t dt = (1,60 rad/s2)t + (0,06 rad/s3)t2 ω(t = 4 s) = (1,60 rad/s2)(4 s) + (0,06 rad/s3)(4 s)2 = 6,40 rad/s + 0,96 rad/s = 7,36 rad/s v = Rω = (0,5 m)(7,36 rad/s) = 3,68 m/s
Kecepatan titik materi sebesar 3,68 m/s.
B. Uraian
1. Diketahui: θ(t ) = 2,5t3 + 0,75t2 – 8,0t
Ditanyakan: a. ω saat t = 0 s sampai t = 2 s b. ω saat t = 2 s Jawab: a. θ1= θ(t = 0 s) = 2,5(0)3 + (0,75)(0)2 – 8,0(0) = 0 θ2 = θ(t = 2 s) = 2,5(2)3 + (0,75)(2)2 – 8,0(2) = 20 + 3 – 16 = 7 ω = 2 1 2 1 t t − − θ θ = (7 0) rad (2 0) s − − = 3,5 rad/s
Kecepatan sudut rata-rata partikel saat t = 0 s sampai t = 2 s sebesar 3,5 rad/s.
b. ω(t ) = d t( ) dt θ = 3 2 (2,5 + 0,75 8,0 ) d t t t dt − = 7,5t2 + 1,5t – 8,0 ω(t = 2 s) = 7,5(2)2 + (1,5)(2) – 8,0 = 30,0 + 3,0 – 8,0 = 25
2. Diketahui: ω(t ) = 7,2 rad/s – (0,4 rad/s2)t θ0 = 0,8 rad t = 3 s Ditanyakan: θ(t = 3 s) Jawab: θ(t ) = θ0 + 0 t
∫
ω(t ) dt = 0,8 rad + 0 t∫
(7,2 rad/s – (0,4 rad/s2)t ) = 0,8 rad + (7,2 rad/s)t – (0,2 rad/s2)t2) θ(t = 3 s)= 0,8 rad + (7,2 rad/s)(3 s) – (0,2 rad/s2)(3 s)2 = 0,8 rad + 21,6 rad – 1,8 rad
= 20,6 rad
Posisi saat t = 3 s adalah 20,6 rad.
3. Diketahui: θ(t ) = (6,3 rad/s)t + (0,8 rad/s2)t2 Ditanyakan: a. ω(t ) b. α(t ) c. α saat t = 5 sekon Jawab: a. ω(t ) = d t( ) dt θ = 2 2 ((6,3 rad/s) + (0,8 rad/s ) ) d t t dt = 6,3 rad/s+ (1,6 rad/s2)t b. α(t ) = d t( ) dt ω = 2 (6,3 rad/s + (1,6 rad/s ) ) d t dt = 1,6 rad/s2
c. Persamaan percepatan sudut α(t ) = 1,6 rad/s2. Berdasarkan persamaan tersebut percepatan sudut bernilai tetap.
4. Diketahui: α(t ) = 9t – 2,5 t = 2 s ω0= 0,7 rad/s θ0= 1,9 rad Ditanyakan: a. ω(t = 2 s) b. θ(t = 2 s) Jawab: a. ω(t ) = ω0 + 0 t
∫
α(t ) dt = 0,7 + 0 t∫
(9t – 2,5) dt = 0,7 + 9 2t 2 – 2,5t ω(t = 2 s) = 0,7 + 4,5(2)2 – 2,5(2) = 0,7 + 18 – 5 = 13,7Kecepatan sudut saat t = 2 s sebesar 13,7 rad/s.
b. θ= θ0 + 0 t
∫
ω(t ) dt = 1,9 + 0 t∫
(0,7 + 4,5t2 – 2,5t ) dt = 1,9 + 0,7t + 1,5t3 – 1,25t2 θ(t = 2 s) = 1,9 + (0,7)(2) + (1,5)(2)3 – 1,25(2)2 = 1,9 + 1,4 + 12 – 5 = 10,3Posisi sudut saat t = 2 s adalah 10,3 rad. 5. Diketahui: ω(t ) = (15 rad/s3)t2 + (0,8 rad/s2)t
– 0,5 rad/s Ditanyakan: a. θ(t = 1 s) b. α(t = 3 s) Jawab: a. θ= 0 t
∫
ω(t ) dt = 0 t∫
((15 rad/s3)t2 + (0,8 rad/s2)t – 0,5 rad/s)dt = (5 rad/s3)t3 + (0,4 rad/s2)t2 – (0,5 rad/s)t θ(t = 1 s)= (5 rad/s3)(1 s)3 + (0,4 rad/s2)(1 s)2 – (0,5 rad/s) (1 s)
= 5 rad + 0,4 rad – 0,5 rad = 4,9 rad
Posisi sudut saat t = 1 s adalah 4,9 rad. b. α(t ) = d t( )
dt ω
=
3 2 2
((15 rad/s ) + (0,8 rad/s ) 0,5 rad/s)
d t t dt − = (30 rad/s3)t + 0,8 rad/s2 α(t = 3 s) = (30 rad/s3)(3 s) + 0,8 rad/s2 = 90 rad/s2 + 0,8 rad/s2 = 90,8 rad/s2
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d
Diketahui: v0= 6,5 m/s sin α= 1213
g = 9,8 m/s2
Ditanyakan: lama waktu bola sampai ke tanah Jawab:
Waktu yang diperlukan bola untuk mencapai titik terjauh (ts) yaitu 2 kali waktu untuk mencapai titik tertinggi. ts = 2v0y sin g α = 2 12 13 2 (6,5 m/s) 9,8 m/s = 1,22 s
Jadi, waktu yang diperlukan bola untuk sampai ke tanah yaitu 1,22 s.
2. Jawaban: a
Diketahui: v0= 5 m/s α = 45° g = 10 m/s2
Ditanyakan: titik tertinggi lemparan batu (ymaks) Jawab: ymaks = 2 2 0 sin 2 v g α = 1 2 2 2 2 (5 m/s) ( 2) 2(10 m/s ) = 1 2 2 2 2 (25 m /s )( ) 20 m/s = 2 2 2 12,5 m /s 20 m/s = 0,625 meter 3. Jawaban: b Diketahui: v0 = 140 m/s xmaks = 2 km = 2 × 103 m g = 9,8 m/s2 Ditanyakan: α Jawab: xmaks= 2 0 sin 2 v g α 2 × 103 m = 2 2 (140 m/s) sin 2 9,8 m/s α 1,96 × 104 m2/s2= (1,96 × 104 m2/s2) sin 2α sin 2α= 1 2α= 90° α= 45°
Sudut elevasi penembakan sebesar 45°.
4. Jawaban: d Diketahui: x = 1,5 m h = 78,4 cm = 0,784 m g = 9,8 m/s2 Ditanyakan: v Jawab:
Ditinjau dari sumbu Y v0y = 0 h = v0yt + 21g t2 h = 0 + 21g t2 t = 2hg = 2 (2)(0,784 m) 9,8 m/s = 2 0,16 s = 0,4 s
Ditinjau dari sumbu X v0x = v dan x = v0xt v = x
t
= 1,5 m
0,4 s = 3,75 m/s
Kecepatan minimum yang diperlukan sebesar 3,75 m/s. 5. Jawaban: c Diketahui: v0 = 15 m/s α = 37° t = 0,4 s g = 10 m/s Ditanyakan: v Jawab: v0x= v0 cos 37° = (15 m/s)(0,8) = 12 m/s v0y= v0 sin 37° = (15 m/s)(0,6) = 9 m/s Setelah 0,4 sekon vtx= v0x = 12 m/s vty= v0y – gt = 9 m/s – (10 m/s2)(0,4 s) = (9 – 4) m/s = 5 m/s v = vtx2 + vty2 = (12 m/s) + (5 m/s)2 2 = 144 m /s + 25 m /s2 2 2 2 = 169 m /s2 2
6. Jawaban: c Diketahui: v0 = 50 m/s h = 1.960 m g = 9,8 m/s2 Ditanyakan: xAB Jawab: t = 2h g = 2 2(1.960 m) 9,8 m/s = 2 3.920 m 9,8 m/s = 2 400 s = 20 s xAB = v0t = (50 m/s)(20 s) = 1.000 m = 1 km Jadi, jarak AB adalah 1 km. 7. Jawaban: d Diketahui: v0= 25 m/s sin 53° = 0,8 cos 53° = 0,6 t = 2 s Ditanyakan: r Jawab: r = (v0 cos α t)i + (v0 sin α t – 1 2g t 2)j = ((25)(0,6)(2))i + ((25)(0,8)(2) – 21(9,8)(2)2)j = (30)i+ (40 – 19,6)j = 30i+ 20,4j
Posisi peluru setelah bergerak 2 sekon dituliskan dengan persamaan 30i+ 20,4j. 8. Jawaban: e Diketahui: v0 = 4 2 m/s α = 45° x = 1,2 m Ditanyakan: y Jawab: x = v0 cos α t t = 0 cos 45° x v = 1 2 1,2 m (4 2 m/s)( 2) = 0,3 s y = v0 sin 45° t – 12gt2 = (4 2m/s)(12 2)(0,3 s) – 21(9,8 m/s2)(0,3 s)2 = 1,2 m – 0,441 m = 0,759 m
Ketinggian bola saat jarak tempuh mendatarnya 1,2 m adalah 0,759 m. 9. Jawaban: c Diketahui: α = 60° xmaks = 100 3 m g = 9,8 m/s2 Ditanyakan: v0 Jawab: xmaks= 2 0 sin 2 v g α v02= (100 3 m)(9,8 m/s )2 sin 2(60 )° = 2 2 980 3 m /s sin 120° v0 = 2 2 1 2 980 3 m /s 3 = 1.960 m /s2 2 = 14 10 m/s
Kecepatan awal bola 14 10 m/s. 10. Jawaban: c Diketahui: vA = vB αA= 30° αB= 60° Ditanyakan: yA : yB Jawab: A B y y = 2 2 A A 2 2 B B sin 2 sin 2 v g v g α α = 2 2 sin 30° sin 60° = 2 2 1 2 1 2 3 = 1 4 3 4 = 1 3 Jadi, yA : yB = 1 : 3. B. Uraian 1. Diketahui: v0 = 14 3 m/s α = 60° g = 9,8 m/s2
Ditanyakan: koordinat posisi bola di titik tertinggi Jawab: xH = 2 0 sin 2 2 v g α = 2 2 (14 3 m/s) sin 2(60 ) 2(9,8 m/s ) ° = 1 2 2 2 2 (588 m /s )( 3) 2(9,8 m/s ) = 15 3 m
yH = 2 2 0 sin 2 v g α = 2 2 2 (14 3 m/s) sin 60 2(9,8 m/s ) ° = 1 2 2 2 2 2 (588 m /s )( 3) 19,6 m/s = 3 2 2 4 2 (588 m /s )( ) 19,6 m/s = 22,5 m
Koordinat posisi bola di titik tertinggi (15 3; 22,5) m. 2. Diketahui: α = 45° sin 45° = 21 2 v0 = 20 2m/s t = 1 s g = 9,8 m/s2 Ditanyakan: yt Jawab: yt = v0 sin αt – 1 2gt2 = (20 2m/s)(21 2)(1 s) – 21(9,8 m/s2)(1 s)2 = (20 – 4,9) m = 15,1 meter
Ketinggian bola setelah 1 s adalah 15,1 m. 3. Diketahui: v0= 20 m/s α = 60° g = 10 m/s2 t = 2 sekon Ditanyakan: yt Jawab: yt = v0 sin αt – 21gt2 = (20 m/s)(sin 60°)(2 s) – 1 2(10 m/s 2)(2 s)2 = (10 3)m – 20 m = 17 – 20 = –3 m
Tanda (–) menunjukkan bola bergerak turun (ke arah bawah). 4. Diketahui: α = 45° hP = 19,6 m v0 = 6 m/s Ditanyakan: xP Jawab: t = 2hg = 2 2(19,6 m) 9,8 m/s = 2 4 s = 2 s xP= v0 cos α t = (6 m/s)(cos 45°)(2 s) = (6)(21 2)(2) m = 6 2 m
Titik P berjarak 6 2 m dari bola pada arah mendatar.
5. Diketahui: h = 100 m θ = 30° x = 1.000 m Ditanyakan: v0 dan ymaks Jawab:
Kecepatan pada arah X tidak dipengaruhi oleh percepatan.
vx = v0x cos 30° dan x = v0 cos 30°t
Kecepatan pada arah sumbu y dipengaruhi oleh gaya gravitasi bumi.
vy = v0y – gt = v0 sin 30° – gt dan
y = y0 + v0yt – 1 2gt2
Massa sampai ke tanah dengan jarak 1.000 m dengan arah sumbu X dari posisi awal, berarti x = 1.000 m dan y = 0 m. x = v0 cos 30°t ⇔ 1.000 = v0 cos 30°t ⇔ t = 0 1.000 m cos 30 v ° . . .(1) y = y0 + v0yt – 12gt2 ⇔ 0 = 100 m + v0 sin 30°t – 12gt2 . . .(2) Subtitusi t dari persamaan (1) ke persamaan (2):
0 = 100 m + v0 sin 30° 0 1.000 m cos 30 v ° – 1 2g( 0 1.000 m cos 30 v °) 2 = 100 m + v0(1 2) 1 0 2 1.000 m 3 v – 1 2(10 m/s2)( 0 21 1.000 m ( 3) v )2 = 100 m + 1.000 m 3 – 6 3 2 0 4 5(10 ) ( ) v = (688,23 m – 6 3 2 2 0 6,66 × 10 m /s v ) 100 m Y v0y vo 30° v0x ymaks 1.000 m X
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Diketahui: v0 = 150 m/s a = (14 – 6t) m/s t = 2 s Ditanyakan: v Jawab: v = v0 + 0 t
∫
a dt = 150 + 0 t∫
(14 – 6t)dt = 150 + 14t – 3t2 v(t = 2 s) = 150 + 14(2) – 3(2)2 = 150 + 28 – 12 = 166Kecepatan elektron menjadi 166 m/s. 2. Jawaban: d Diketahui: r = 4t2 – 2 t1 = 1 s t2 = 3 s Ditanyakan: vr t Jawab: 1 r = 4t12 – 2 = 4(1)2 – 2 = 2 2 r = 4t22 – 2 = 4(3)2 – 2 = 34 r t v = 2 1 2 1 r r t t − − = 34 2 3 1 − − = 322 = 16
Kecepatan rata-rata gerak partikel dalam selang waktu t = 1 s sampai dengan t = 3 s sebesar 16 m/s.
3. Jawaban: d Diketahui: (x0, y0) = (2, 1) m vx = 3t2 vy = 2 + 6t2 Ditanyakan: r Jawab: x = x0 + 0 t
∫
vx dt = 2 + 0 t∫
3t2dt = 2 + t3 y = y0 + 0 t∫
vy dt = 1 + 0 t∫
(2 + 6t2) = 1 + 2t + 2t3 r = xi + yj = (2 + t3)i + (1 + 2t + 2t3)jPersamaan posisi titik materi setelah selang waktu t adalah (2 + t3)i + (1 + 2t + 2t3)j . 4. Jawaban: d Diketahui: r = (2t3 – 6t2)i + (92t2)j t = 2 s Ditanyakan: a Jawab: v = d r d t = 9 3 2 2 2 ((2 6 ) + ) d t t i t j dt − = (6t2 – 12t)i + 9tj v02= 6,66 × 10 m /s6 3 2 688,23 m v0 = 98,4 m/s y = 100 m + ymaks = 100 m + 2 2 0 sin 2 v g α = 100 m + 2 2 2 (98,4 m/s) (sin 30 ) 2(10 m/s ) ° = 100 m + 1 2 2 2 2 2 (9.682,56 m /s) ( ) 20 m/s = 100 m + 121,032 m = 221,032 m
Kecepatan awalnya 98,4 m/s dan titik puncaknya 221,032 cm.
a = d vd t = 2 ((6 12 ) + 9 ) d t t i t j dt − = (12t – 12)i + 9j a(t = 2 s) = (12(2) – 12)i + 9j = 12i + 9j a = 12 + 92 2 = 144 + 81 = 225 = 15
Percepatan titik materi saat t = 2 s sebesar 15 m/s2. 5. Jawaban: b Diketahui: v0= 2 m/s a = 12t + 4 0 r = 3 m Ditanyakan: r Jawab: v = v0 + 0 t
∫
adt = v0 + 0 t∫
(12t + 4) dt = 2 + 6t2 + 4t r = r0 + 0 t∫
vdt = 3 + 0 t∫
(2 + 6t2 + 4t) dt = 3 + 2t + 2t3 + 2t2Jadi, persamaan posisi benda setelah waktu t adalah r = 2t3 + 2t2 + 2t + 3. 6. Jawaban: e Diketahui: x = (2 + 3 2t 2) y = (6 + 2t2) t = 5 s Ditanyakan: v Jawab: vx= dx dt = 3 2 2 (2 ) d t dt + = 3t vy= dy dt = 2 (6 2 ) d t dt + = 4t v = vx2 + vy2 = (3(5)) + (4(5))2 2 = 15 + 202 2 = 225 + 400 = 625 = 25
Kecepatan titik materi saat t = 2 s sebesar 25 m/s. 7. Jawaban: a Diketahui: r = 2t3 – 18t Ditanyakan a saat t = 2 s Jawab: v = d r d t = 3 (2 18 ) d t t dt − = 6t2 – 18 a = d vd t = 2 (6 18) d t dt − = 12t a(t = 2 s) = 12(2) = 24
Percepatan benda saat t = 2 s adalah 24 m/s2. 8. Jawaban: b Diketahui: θ = t2 + 5t – 2 t1= 1 s t2= 2 s Ditanyakan: ωrt Jawab: θ1 = θ(t1) = t12 + 5t 1 – 2 = (1)2 + 5(1) – 2 = 4 θ2 = θ(t2) = t22 + 5t 2 – 2 = (2)2 + 5(2) – 2 = 4 + 10 – 2 = 12 ωrt = 2 1 2 1 t t − − θ θ = 12 4 2 1 − − = 8
Kecepatan sudut rata-rata sebesar 8 rad/s. 9. Jawaban: e Diketahui: θ0 = 1,3 rad ω = 9,4 rad/s – (2,8 rad/s2)t t = 2 s Ditanyakan: θ saat t = 2 s Jawab: θ = θ0 + 0 t
∫
ω(t ) dt = 1,3 rad + 0 t∫
(9,4 rad/s – (2,8 rad/s2)t) dt = 1,3 rad + (9,4 rad/s)t – (1,4 rad/s2)t2θ(t = 2 s)
= 1,3 rad + (9,4 rad/s)(2 s) – (1,4 rad/s2)(2 s)2 = 1,3 rad + 18,8 rad – 5,6 rad
= 14,5 rad
Posisi sudut saat t = 2 s adalah 14,5 rad. 10. Jawaban: d Diketahui: θ = 7,5t2 – 1,2t t = 4 s Ditanyakan: a saat t = 4 s Jawab: ω = d dt θ = 2 (7,5 1,2 ) d t t dt − = 15t – 1,2 α = d dt ω = d(15tdt−1,2) = 15
Percepatan sudut di setiap waktu selalu tetap, yaitu sebesar 15 rad/s.
11. Jawaban: b
Diketahui: α(t ) = (12 rad/s3)t – (4 rad/s2) ω0 = 2 rad/s t = 1 s Ditanyakan: θ(t = 1 s) Jawab: ω(t ) = ω0 + 0 t
∫
α(t ) dt = 2 rad/s + 0 t∫
(12 rad/s3)t – (4 rad/s2)) dt = 2 rad/s + (6 rad/s3)t2 – (4 rad/s2)t θ(t ) = 0 t∫
ω(t ) dt = 0 t∫
(2 rad/s + (6 rad/s3)t2 – (4 rad/s2)t ) dt = (2 rad/s)t + (2 rad/s3)t3 – (2 rad/s2)t2 θ(t = 1 s)= (2 rad/s)(1 s) + (2 rad/s3)(1 s)3 – (2 rad/s2)(1 s)2 = (2 + 2 – 2)
= 2 rad
Posisi sudut saat t = 1 s adalah 2 rad. 12. Jawaban: a
Diketahui: θ(t ) = (0,5 rad/s4)t4 – (0,1 rad/s3)t3 t = 2 s Ditanyakan: α saat t = 2 s Jawab: ω(t ) = d t( ) dt θ = 4 4 3 3 ((0,5 rad/s ) (0,1 rad/s ) ) d t t dt − = (2,0 rad/s4)t3 – (0,3 rad/s3)t2 α(t ) = d t( ) dt ω = 4 3 3 2 ((2,0 rad/s ) (0,3 rad/s ) ) d t t dt − = (6,0 rad/s4)t2 – (0,6 rad/s3)t θ(t = 2 s) = (6,0 rad/s4)(2 s)2 – (0,6 rad/s3)(2 s) = 24 rad/s2 – 1,2 rad/s2 = 22,8 rad/s2
Percepatan sudut saat t = 2 s sebesar 22,8 rad/s2. 13. Jawaban: b
Diketahui: α(t ) = (2,2 rad/s2) – (0,6 rad/s3)t t1 = 1 s t2 = 2 s Ditanyakan: ∆θ Jawab: ω(t ) = 0 t
∫
α(t ) dt = 0 t∫
(2,2 rad/s2) – (0,6 rad/s3)t) dt = (2,2 rad/s2)t – (0,3 rad/s3)t2 θ(t ) = 0 t∫
ω(t ) dt = 0 t∫
((2,2 rad/s2)t – (0,3 rad/s3)t2) dt = (1,1 rad/s2)t2 – (0,1 rad/s3)t3 θ1 = θ(t = 1 s) = (1,1 rad/s2)(1 s)2 – (0,1 rad/s3)(1 s)3 = (1,1 – 0,1) rad = 1,0 rad θ2 = θ(t = 2 s) = (1,1 rad/s2)(2 s)2 – (0,1 rad/s3)(2 s)3 = (4,4 – 0,8) rad = 3,6 rad ∆θ= θ2 – θ1 = (3,6 – 1,0) rad = 2,6 radPerpindahan sudutnya sebesar 2,6 rad. 14. Jawaban: e
Diketahui: α = 48t – 6 θ0 = 4,5 rad t = 3 s
Ditanyakan: θ Jawab: ω = 0 t
∫
α dt = 0 t∫
(48t – 6) dt = 24t2 – 6t θ = θ0 + 0 t∫
ω dt = 4,5 + 0 t∫
(24t2 – 6t )dt = 4,5 + 8t3 – 3t2 θ(t = 3 s) = 4,5 + 8(3)3 – 3(3)2 = 4,5 + 216 – 27 = 193,5 radPosisi sudut saat t = 3 sekon adalah 193,5 rad. 15. Jawaban: d Diketahui: α = 30° v0 = 14 m/s g = 9,8 m/s2 Ditanyakan: xmaks Jawab: xmaks = 2 0 sin 2 v g α = 2 2 (14 m/s) sin 60 9,8 m/s ° = 1 2 2 2 2 (196 m /s )( 3) 9,8 m/s = 10 3 m
Jarak mendatar terjauh yang dicapai bola adalah 10 3 m.
16. Jawaban: b
Diketahui: α = 60° v0 = 14 m/s g = 9,8 m/s Ditanyakan: vektor posisi Jawab: xH = 1 2xmaks = 1 2 2 0 sin 2 v g α = 2 2 (14 m/s) sin 2(60 ) 2(9,8 m/s ) ° = 1 2 2 2 2 (196 m /s )( 3) 19,6 m/s = 5 3 m yH = 2 2 0 sin 2 v g α = 2 2 2 (14 m/s) sin 60 2(9,8 m/s ) ° = 1 2 2 2 2 2 (196 m /s )( 3) 19,6 m/s = (10 m)(3 4) = 7,5 m
Vektor posisi benda di titik tertinggi adalah (5 3; 7,5) m. 17. Jawaban: d Diketahui: v0 = 20 m/s x = 4 m g = 10 m/s2 Ditanyakan: h Jawab: v = v0 = x t t = x v = 4 m 20 m/s t = 2hg t2 = 2h g h = 2 2 gt = 2 2 (10 m/s )(0,2 s) 2 = 2 2 (10 m/s )(0,04 s ) 2 = 0,2 m = 20 cm Perbedaan ketinggian parit adalah 20 cm. 18. Jawaban: c Diketahui: v0 = 12 m/s α = 45° x = 4,2 m g = 10 m/s2 2 = 1,4 Ditanyakan: y Jawab: x = v0 cos α t t = 0 cos 45 x v ° = 1 2 4,2 m (12 m/s)( 2) = 4,2 m (12 m/s)(0,7) = 4,2 m 8,4 m/s = 0,5 s
y = v0 sin α t – 1 2gt 2 = (12 m/s)(sin 45°)(0,5 s) – (1 2)(10 m/s 2)(0,5 s) = (12)(0,7)(0,5) m – (5)(0,25) m = 4,2 m – 1,25 m = 2,95 m
Ketinggian bola saat jarak mendatar 4,2 m adalah 2,95 m. 19. Jawaban: d Diketahui: α = 45° Ditanyakan: xH : yH Jawab: H H x y = 2 0 2 2 0 sin 2 2 sin 2 v g v g α α = 2 sin 2(45°) sin 45° = 2 sin 90° sin 45° = 1 2 2 1 ( 2) = 1 2 1 = 2 1 Jadi, xH : yH = 2 : 1. 20. Jawaban: c Diketahui: α = 30° t = 2 s y = 176,4 m Ditanyakan: v0 Jawab: y = v0 sin α t – 1 2gt 2 176,4 = v0 sin 30°(2) – 1 2(9,8)(2) 2 176,4 = v0 (1 2)(2) – 19,6 v0= 176,4 + 19,6 = 196
Kecepatan awal peluru 196 m/s.
B. Uraian 1. Diketahui: r = 12t – t2 + 3 Ditanyakan: a. v saat t = 0 s b. a c. v saat t = 4 s Jawab: a. v = d r d t = 2 (12 + 3) d t t dt − = 12 – 2t v(t = 0 s) = 12 + 2(0) = 12
Jadi, kecepatan awal partikel 12 m/s.
b. a = d v d t = d(12 2 )t dt − = –2
Percepatan bertanda negatif artinya partikel mengalami perlambatan sebesar 2 m/s2. c. v(t = 4 s) = 12 – 2(4)
= 12 – 8 = 4
Keadaan partikel saat t = 4 s adalah 4 m/s. 2. Diketahui: r(t) = (1,5 m/s2)t2 + (0,5 m/s)t – 0,8 m Ditanyakan: a. a b. v setelah t = 5 s Jawab: a. v = d r d t = 2 2 ((1,5 m/s ) (0,5 m/s) 8) d t t dt + − = (3,0 m/s2)t + 0,5 m/s a = d v d t = 2 ((3,0 m/s ) + (0,5 m/s)) d t dt = 3,0 m/s2
Percepatan benda tetap yaitu 3,0 m/s2. b. v = (3,0 m/s2)t + 0,5 m/s
= (3,0 m/s2)(5 s) + 0,5 m/s = 15,0 m/s + 0,5 m/s = 15,5 m/s
Kecepatan benda setelah t = 5 s adalah 15,5 m/s. 3. Diketahui: θ = 53° v0 = 15 m/s Ditanyakan: v Jawab: vx = v0 cos θ = (15 m/s)(cos 53°) = (15 m/s)(0,6) = 9 m/s vy = v0 sin θ = (15 m/s)(sin 53°) = (15 m/s)(0,8) = 12 m/s v = vxi + vyj = 9i + 12j
Jadi, vektor kecepatannya 9i + 12j. 4. Diketahui: a = 1,2i + 0,9j
Ditanyakan: a. besar dan arah v saat t = 2 s b. posisi sepeda motor saat t = 2 s
Jawab: a. v = t
∫
0 a dt = t∫
0(1,2i + 0,9j) dt = 1,2ti + 0,9tj v(t = 2 s) = 1,2(2)i + 0,9(2)j = 2,4i + 1,8j v = 2,4 + 1,82 2 = 5,76 + 3,24 = 9 = 3 tan θ = y x v v = 1,8 2,4 = 0,75 θ = arc tan θ = tan–1(0,75) = 36,87°Kecepatan sepeda motor 3 m/s ke arah 36,87°.
b. r = 0 t
∫
v dt = 0 t∫
1,2ti + 0,9tj = 0,6t2i + 0,45t2j r(t = 2 s) = 0,6(2)2i + 0,9(2)2j = 2,4i + 1,8j r = 2,4 + 1,82 2 = 5,76 + 3,24 = 9 = 3Posisi sepeda motor saat t = 2 s adalah 3 m. 5. Diketahui: θ = 4 + 2t + 3t2
Ditanyakan: a. ω dari t = 0 s sampai t = 5 s b. ω saat t = 2 s Jawab: a. θ1 = θ(t = 0 s) = 4 + 2(0) + 3(0)2 = 4 θ2 = θ(t = 5 s) = 4 + 2(5) + 3(5)2 = 4 + 10 + 75 = 89 ω = dt ∆θ = 2 1 t − ∆ θ θ = (89 4) rad (5 0) s − − = 85 rad 5 s = 17 rad/s
Kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s sampai dengan t = 5 s adalah 17 rad/s.
b. ω = d t( ) dt θ = 2 (4 + 2 + 3 ) d t t dt = 2 + 6t ω(t = 2 s) = 2 + 6(2) = 2 + 12 = 14
Kecepatan sudut saat t = 2 s sebesar 14 rad/s. 6. Diketahui: ω(t ) = 9,0 rad/s – (1,0 rad/s2)
θ0= 7,2 rad t = 3 s Ditanyakan: θ saat t = 3 s Jawab: θ = θ0 + 0 t
∫
ω(t ) dt = 7,2 rad + 0 t∫
(9,0 rad/s – (1,0 rad/s2)t ) dt = 7,2 rad + (9,0 rad/s)t – (0,5 rad/s2)t2 θ(t = 3 s)= 7,2 rad + (9,0 rad/s)(3 s) – (0,5 rad/s2)(3 s)2 = 7,2 rad + 27 rad – 4,5 rad
= 29,7 rad
Posisi saat t = 3 s adalah 29,7 rad.
7. Diketahui: α = (1,5 rad/s3)t – (0,2 rad/s2) θ0 = 2,5 rad Ditanyakan: θ (t = 1 s) Jawab: ω = 0 t
∫
α dt = 0 t∫
((1,5 rad/s3)t – (0,2 rad/s2)) dt = (0,75 rad/s3)t2 – (0,2 rad/s2)t θ = 0 t∫
ω dt = 0 t∫
((0,75 rad/s3)t2 – (0,2 rad/s2)t) dt = (0,25 rad/s3)t3 – (0,1 rad/s2)t2 θ(t = 2 s) = (0,25 rad/s3)(2 s)3 – (0,1 rad/s2)(2 s)2 = (0,25)(8) rad – (0,1)(4) rad= 2 rad – 0,4 rad = 1,6 rad Jadi, θ(t = 2 s) adalah 1,6 rad. 8. Diketahui: v = 25 m/s
h = 490 m g = 9,8 m/s2 Ditanyakan: xPP′
Jawab: t = 2h g = 2 2(490 m) 9,8 m/s = 2 980 m 9,8 m/s = 2 100 s = 10 s xPP′= v0t = (25 m/s)(10 s) = 250 m
Jadi, jarak xPP′ adalah 250 m. 9. Diketahui: vA = 10 m/s a = 2 m/s sAB = 75 m h = 4,9 m Ditanyakan: xlembah Jawab: vB2= v A2 + 2 a sAB = (10 m/s)2 + 2(2 m/s2)(75 m) = 100 m2/s2 + 300 m2/s2 vB = 400 m /s2 2 = 20 m/s t = 2h g = 2 2(4,9 m) 9,8 m/s = 2 9,8 m 9,8 m/s = 2 1 s = 1 s xlembah = vBt = (20 m/s)(1 s) = 20 m
Jadi, lebar lembah 20 m. 10. Diketahui: v0 = 40 m/s α = 37° g = 10 m/s2 Ditanyakan: (xH; yH) Jawab: xH = 2 0 sin 2 2 v g α = 2 2 (40 m/s) sin 2(37 ) 2(10 m/s ) ° = 2 2 2 (1.600 m /s )(0,96) 20 m/s = 76,8 m yH = 2 2 0 sin 2 v g α = 2 2 2 (40 m/s) sin (37 ) 2(10 m/s ) ° = 2 2 2 2 (1.600 m /s )(0,6) 20 m/s = 28,8 m
1. Menganalisis gejala alam dan keteraturan-nya dalam cakupan mekanika benda titik.
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai
1.2 Menganalisis
kete-raturan gerak planet dalam tata surya berdasarkan hukum-hukum Newton.
Rasa Ingin Tahu
Menggali informasi mengenai data masing-masing planet dan menghitung percepatan gravitasinya.
Pada bab ini akan dipelajari: 1. Hukum Newton tentang Gravitasi 2. Hukum-Hukum Kepler dan Gerak Satelit
Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter
Indikator
Hukum Gravitasi dan Gerak Planet
Siswa mampu menganalisis keteraturan gerak planet dalam tata surya berdasarkan hukum-hukum Newton Menjelaskan hukum Newton tentang
gravitasi
Menjelaskan hukum Kepler dan gerak satelit
• Menganalisis gaya gravitasi umum
• Menganalisis kuat medan gravitasi
• Menghitung energi potensial gravitasi
• Menjelaskan hukum I Kepler
• Menjelaskan hukum II Kepler
• Menjelaskan hukum III Kepler
• Menghitung kelajuan satelit mengorbit
planet
Siswa dapat menjelaskan hukum Newton tentang gravitasi
Siswa dapat menjelaskan hukum-hukum Kepler dan kelajuan satelit mengorbit planet
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Diketahui: m1= m2 = m r = 10 cm = 0,1 m G = 6,67 × 10–11 Nm2/kg2 F = 6,003 × 10–20 N Ditanyakan: m Jawab: F = G 1 2 2 mm r F = G 2 2 m r m2= Fr2 G m = r Fg = 0,1 m 20 11 2 2 6,003 10 N 6,67 10 Nm /kg − − × × = 0,1 m 10 2 2 kg m 9 10× − = (0,1)(3 × 10–5) kg = 3 × 10–6 kg
Jadi, massa benda sebesar 3 × 10–6 kg. 2. Jawaban: e Diketahui r1 = R r2 = R + 1 2R = 32R Ditanyakan: g1 : g2 Jawab: g = G 2 M r 1 2 g g = 2 2 2 1 r r = 3 2 2 2 ( R) R = 94 Jadi, g1 : g2 = 9 : 4. 3. Jawaban: d Diketahui: wpermukaan = w h = 14R Ditanyakan: wh Jawab: h w w = h g g = 2 2 ( + ) R R h = 2 1 2 4 ( + ) R R R = 2 5 2 4 ( ) R R = 1625 wh = 1625w
Jadi, berat satelit di ketinggian tersebut sebesar 16 25w. 4. Jawaban: b Diketahui: g = G 2 M R h = 2R Ditanyakan: gh Jawab: gh = G 2 ( + ) M R h = G( +2 )2 M R R = 1 9g 2 M R = 1 9g Jadi, percepatan gravitasi di 2R sebesar 1
9g. 5. Jawaban: d Diketahui: MA : MB = 7 : 8 RA : RB = 3 : 4 Ditanyakan: gA : gB Jawab: A B g g = A B M M 2 B A R R = 2 7 4 8 3 = 7 16 8 9 = 14 9 Jadi, perbandingan antara percepatan gravitasi planet A dan B adalah 14 : 9.
6. Jawaban: a Diketahui: gh = 9 16g Ditanyakan: h Jawab: h g g = 2 2 ( ) GM R h GM R + h g g = 2 2 ( + ) R R h
9 16g g = 2 2 ( ) R R h+ 9 16 = 2 2 ( ) R R h+ 3 4 = R R h+ 3(R + h) = 4R 3R + 3h = 4R 3h = R h = 1 3R
Jadi, ketinggian tempat tersebut 1
3R di atas permukaan bumi. 7. Jawaban: a Diketahui: ρA = ρB = ρ Ditanyakan: gA : gB Jawab: ρ = mV ρA = ρB A A m V = B B m V A B m m = A B V V = 3 A 3 B 4 4 R R π π = 3 A 3 B R R
Perbandingan antara percepatan gravitasi A : B
A B g g = 2 A B B A m R m R = 2 3 A B 3 A B R R R R = A B R R
Jadi, perbandingan percepatan gravitasi planet A dan B sebesar RA : RB. 8. Jawaban: c Diketahui: m1= 2m m2= m m3= 9m F2 = 0 r12 = x r23 = y Ditanyakan: xy Jawab: F = 0 F21= F23 G 1 2 2 21 ( ) mm r = G 2 3 2 23 ( ) m m r 1 2 21 ( ) m r = 3 2 23 ( ) m r 2 2m x = 2 9m y 2 9 m m = 2 2 x y 2 9 = x y 2 3 = x y
Jadi, nilai xy sebesar 1 3 2. 9. Jawaban: c Diketahui: hA = 2R hB = 3R Ditanyakan: Ep A : EpB Jawab: A B P P E E = A B Mm r Mm r G G − − = B A r r = B A ( ) ( ) + + R h R h = 2 3 R R R R + + = 3 4
Jadi, perbandingan antara energi potensial A dan B adalah 3 : 4. 10. Jawaban: e Diketahui: wB= 500 N wx= 400 N gB = 9,8 m/s2 Ditanyakan: gx Jawab: x B w w = x B m g m g x B w w = x B g g 400 N 500 N= x 2 9,8 m/s g gx= 2 (400 N)(9,8 m/s ) (500 N) = 7,84 m/s2
Jadi, percepatan gravitasi planet X sebesar 7,84 m/s2.
2m F21 m F 9m
x Fxy y Fyz z B. Uraian 1. Diketahui: mx= 9m my= 2m mz= 25m Fy = 0 Ditanyakan: r1 : r2 Jawab: Fxy= Fyz G x2y 1 ( ) m m r = G y z 2 2 ( ) m m r x 2 1 ( ) m r = z 2 2 ( ) m r x z m m = 2 1 2 r r x z m m = 1 2 r r 1 2 r r = 9 25 m m 1 2 r r = 3 5 Jadi, r1 : r2 = 3 : 5. 2. Diketahui: R = 6.370 km = 6,37 × 106 m g = 9,8 m/s2 G = 6,67 × 10–11 Nm2/kg2 Ditanyakan: M Jawab: g = G 2 M R M = 2 R g G = 6 2 2 11 2 2 (6,37 × 10 m) (9,8 m/s ) (6,67 ×10− Nm /kg ) = 5,96 × 1024 kg
Jadi, massa bumi sebesar 5,96 × 1024 kg. 3. Diketahui: wB= 18 N Mp= 12MB Rp= 3RB Ditanyakan: wp Jawab: p B w w = p B g g = p 2 p B 2 B M R M R G G = 2 p B B p M R M R = 2 B B B B 12 3 M R M R = 129 p (18 N) w = 129 wp= 129(18 N) = 24 N
Jadi, berat batu ditimbang di planet sebesar 24 N. 4. F1 = F3 = G 2 (2 )( )m m r = 2 2 2 Gm r F2 = G 2 (5 )( )m m r = 5 2 2 Gm r F4 = G 2 (6 )( )m m r = 6 2 2 Gm r
Σ
Fx= F2 – F3 = 5 2 2 Gm r – 2 2 2 Gm r = 3 2 2 Gm rΣ
Fy= F1 – F4 = 2 2 2 Gm r – 6 2 2 Gm r = –4 2 2 Gm r R = Fx2+Fy2 = 2 2 2 2 2 2 3 4 + − Gm Gm r r = 5 2 2 Gm rJadi, gaya gravitasi yang dialami m sebesar 5 2 2 Gm r . 2m 2m 5m 6m m F3 F4 F1 F2 Fx = 3 2 2 Gm r R Fy = 4 2 2 Gm r
5. A B g g = 2 B A + + R h R h A 0 g g = 2 A + R R h A B g g = 2 2 + + R R R R = 2 R R R + A B g g = 2 2 9 4 R R = 1 4 2 B 9 m/s g = 9 4 g0= 4gA gB= 2 4(9 m/s ) 9 g0= 4(9 m/s 2) = 4 m/s2 = 36 m/s2
Jadi, percepatan gravitasi di B sebesar 4 m/s2, sedangkan percepatan gravitasi di permukaan planet sebesar 36 m/s2.
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e
Hukum II Kepler menyatakan tentang gerak edar planet. Garis khayal yang menghubungkan planet dengan matahari akan menyapu luas juring yang sama dalam selang waktu yang sama. Dengan demikian, kelajuan revolusi planet terbesar ketika berada di titik dekat matahari (perihelium) dan kelajuan planet terkecil ketika planet berada di titik terjauh (aphelium). Bentuk lintasan planet dikemukakan dalam hukum I Kepler. Jadi, jawaban yang benar mengenai hukum II Kepler ditunjukkan oleh pernyataan nomor 2), 3), dan 4).
2. Jawaban: d Diketahui: RA : RB = 1 : 3 TA = 88 hari Ditanyakan: TB Jawab: 2 A 3 A T R = 2 B 3 B T R 2 3 (88) 1 = 2 B 3 (3) T TB2= (88)2(3)3 TB= (88) (3)2 3 = 264 3 hari
Jadi, kala revolusi (periode) planet adalah 264 3 hari. 3. Jawaban: c Diketahui: RA= 4R RB= 9R Ditanyakan: TA : TB Jawab: 2 A 3 A T R = 2 B 3 B T R 2 A B T T = 3 A B R R 2 A B T T = 3 3 (4 ) (9 ) R R A B T T = 3 3 4 9 A B T T = 8 27
Jadi, perbandingan antara kala revolusi A dan B adalah 8 : 27. 4. Jawaban: b Diketahui: R = 6.400 km = 6,4 × 106 m h = 3.400 km = 3,4 × 106 m g = 9,8 m/s2 Ditanyakan: vs Jawab: vs= R (R hg+ ) = 6,4 × 106 m 2 6 6 9,8 m/s (6,4 10× +3,4 10 ) m× = (6,4 × 106)(10–3) m/s = 6,4 × 103 m/s
Jadi, kelajuan satelit saat mengorbit sebesar 6,4 × 103 m/s.
5. Jawaban: a Diketahui: vs = 7,04 × 103 m/s R = 6.400 km = 6,4 × 106 m g = 9,8 m/s2 m = 400 kg Ditanyakan: h Jawab: vs = R ( ) g R h+ vs2 = R2 ( ) g R+h (R + h) = 2 2 s R g v = 6 2 2 3 2 (6,4 10 m) (9,8 m/s ) (7,04 10 m/s) × × = 8,1 × 10 6 m h = 8,1 × 106 m – 6,4 × 106 m = 1,7 × 106 m = 1.700 km
Jadi, ketinggian satelit 1.700 km. 6. Jawaban: a Diketahui: M = 5,98 × 1024 kg R = 6.400 km = 6,4 × 106 m G = 6,67 × 10–11 Nm2/kg2 Ditanyakan: vt Jawab: vt = 2GM R = 11 2 2 24 6 2(6,67 10 Nm /kg )(5,98 10 kg) (6,4 10 m) − × × × = 1,1 × 104 m/s
Jadi, kelajuan minimum sebuah benda yang dilempar ke atas sehingga tidak kembali lagi ke permukaan bumi sebesar 1,1 × 104 m/s.
7. Jawaban: d Diketahui: RA= R RB= 2R vA = v Ditanyakan: vB Jawab: B A v v = B A GM GM R R = A B R R = 2 R R vB = 1 2v = 1 2v 2
Jadi, kelajuan satelit B adalah 21v 2.
8. Jawaban: a Diketahui: RP : RQ = 9 : 16 TQ = 128 hari Ditanyakan: TP Jawab: 2 P Q T T = 3 P Q R R 2 P 2 (128) T = 3 9 16 TP= 128 3 2 9 16 = 128(3 4) 3 = 128(27 64) = 54
Jadi, periode planet P mengelilingi matahari selama 54 hari. 9. Jawaban: c Diketahui: R = 3,395 km = 3,395 × 106 m G = 6,67 × 10–11 Nm2/kg2 g = 3,7 m/s2 Ditanyakan: vt Jawab: vt = 2gR = 2(3,7 m/s )(3,395 10 m)2 × 6 ≈ 5.012 m/s ≈ 5,0 km/s
Jadi, kelajuan lepas roket sebesar 5,0 km/s. 10. Jawaban: c Diketahui: R = 6.400 km hA = 3.600 km hB = 8.600 km Ditanyakan: TA : TB Jawab: 2 3 T R = k 2 A B T T = 3 A B R R = 3 A B R h R h + + = 3 6.400 3.600 6.400 8.600 + + = 3 10.000 15.000
= 3 2 3 = 8 27 A B T T = 8 27 = 2 2 3 3
Jadi, perbandingan antara periode satelit A dan B mengelilingi bumi adalah 2 2 : 3 3.
B. Uraian
1. Hukum Kepler mengenai gerak edar planet dikemukakan dalam hukum II Kepler. Hukum II Kepler menyatakan bahwa garis khayal yang menghubungkan antara matahari dan planet akan menyapu luas juring yang sama dalam selang waktu yang sama. Hal ini mengakibatkan kelajuan orbit planet tidak konstan. Planet akan memiliki kelajuan terbesar ketika berada di titik terdekat dengan matahari (perihelium). Sebaliknya, planet akan memiliki kelajuan terendah ketika berada di titik terjauh dengan matahari (aphelium).
2. Diketahui: TP : TQ = 8 : 27 RQ = 10 SA Ditanyakan: RP Jawab: 2 P Q T T = 3 P Q R R 2 8 27 = 3 P 10 R RP3= 2 3 2 (8) (10) (27) RP= 2 3 3 2 (8) (10) (27) SA = (4)(10) 9 SA = 4,4 SA
Jadi, jarak planet P ke matahari sejauh 4,4 SA. 3. Diketahui: h = 3.600 km = 3,6 × 106 m g = 9,8 m/s2 R = 6.400 km = 6,4 × 106 m Ditanyakan: v Jawab: v = R (R hg+ ) = (6,4 × 106 m) 2 6 6 9,8 m/s (6,4 10× +3,6 10 ) m× = (6,4 × 106 m) 9,8 10 s× −7 −2 = 6335,6 m/s = 6,3 km/s
Jadi, kelajuan satelit 6,3 km/s. 4. Diketahui: D = 3.476 km R = 1.738 km = 1.738.000 m gbulan= 1 6gbumi = 1 6(9,8 m/s 2) = 1,63 m/s2 Ditanyakan: vt Jawab: vt = 2gR = 2(1,63 m/s )(1.738.000 m)2 = 2.380,3 m/s = 2,38 km/s
Jadi, kelajuan lepas suatu benda dari bulan sebesar 2,38 km/s. 5. Diketahui: RX : RZ = 9 : 25 TZ = 125 bulan Ditanyakan: TX Jawab: 2 X Z T T = 3 X Z R R 2 X 125 T = 3 9 25 TX= 125 3 2 9 25 = 125 3 3 5 = 12512527 = 27
Jadi, periode planet X mengelilingi matahari selama 27 bulan.
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e
Percepatan gravitasi suatu planet dirumuskan:
g = G 2 M r
dengan M adalah massa planet, r adalah jari-jari planet, dan G adalah konstanta gravitasi umum. Dengan demikian, percepatan gravitasi suatu planet sebanding dengan massa planet dan berbanding terbalik dengan kuadrat jari-jari planet. 2. Jawaban: a Diketahui: mA= 5 × 1024 kg mB= 1 × 1024 kg r = 5 × 1012 m G = 6,67 × 10–11 Nm2/kg2 Ditanyakan: F Jawab: F = G A B 2 m m r = (6,67 × 10–11 Nm2/kg2) 24 24 12 2 (5 10 kg)(1 10 kg) (5 10 m) × × × = 1,33 × 1013 N
Jadi, gaya gravitasi rata-rata antara kedua planet 1,33 × 1013 N. 3. Jawaban: c Diketahui: g = 9,8 m/s2 h = 13R Ditanyakan: g′ Jawab: ′ g g = 2 2 ( ) m R h m R G G + g′ = 2 2 ( ) R R h+ g = 2 1 2 3 ( ) R R+ R g = 9 16g = 9 16(9,8 m/s 2) = 5,51 m/s2
Jadi, percepatan gravitasi di ketinggian 1
3R di atas permukaan bumi sebesar 5,51 m/s2.
4. Jawaban: d Diketahui: mA= 2m hA = 2R mB= m hB = R Ditanyakan: gA : gB Jawab: A B g g = 2 A 2 B M r M r G G = 2 B A r r = 2 B A h R h R + + = 2 2 R R R R + + = 4 9
Jadi, perbandingan antara kuat medan gravitasi yang dialami benda A dan B adalah 4 : 9.
5. Jawaban: c Diketahui: Rp= 0,5R Mp= 0,2MB g = 9,8 m/s2 Ditanyakan: gp Jawab: p g g = 2 p B p M R M R p 2 (9,8 m/s ) g = B 1 B 2 0,2M R M R gp= (0,2)(4)(9,8 m/s2) = 7,84 m/s2
Jadi, percepatan gravitasi di planet tersebut sebesar 7,84 m/s2. 6. Jawaban: b Diketahui: wbumi = 144 N gbulan = 16gbumi Ditanyakan: wbulan Jawab: bulan bumi w w = bulan bumi m g m g wbulan= bulan bumi g g (wbumi) = 1 6g g (144 N) = 24 N
Jadi, berat benda di bulan sebesar 24 N. 7. Jawaban: e
Diketahui: m1= 6 × 109 kg m2= 8 × 106 kg r = 4 × 105 m
Ditanyakan: Fg Jawab: Fg = G 1 2 2 mm r = (6,67 × 10–11 Nm2/kg2) 9 6 5 2 (6 10 kg)(8 10 kg) (4 10 m) × × × ≈ 2 × 10–5 N
Jadi, gaya gravitasi antara planet dan satelitnya sebesar 2 × 10–5 N. 8. Jawaban: b Diketahui: F = G 1 2 2 mm r m2′ = 3m2 r′ = 2r Ditanyakan: F′ Jawab: F′ = G ( )1 22 m m r ′ ′ ′ = G 1 2 2 (3 ) (2 ) m m r = 34G 1 2 2 mm r = 34F
Jadi, gaya gravitasi antarpartikel menjadi 34F. 9. Jawaban: d Diketahui: g′ = 4 25g Ditanyakan: h Jawab: g g ′ = 2 R R ′ 4 25 = 2 R R h + 2 5 = R R h+ 3(R + h) = 5R h = 5 2 2 − R R = 3 2R
Jadi, benda berada di ketinggian 3 2R. 10. Jawaban: d Diketahui: rA : rB = 1 : 4 TA = 100 hari Ditanyakan: TB Jawab: 2 B A T T = 3 B A R R TB= 3 B A 2 A ( ) R R T = 3 2 4 1 (100) = 800 hari
Jadi, periode planet B mengelilingi matahari selama 800 hari. 11. Jawaban: e Diketahui: R = 7,18 × 104 km = 7,18 × 107 m M = 1,9 × 1027 kg G = 6,67 × 10–11 Nm2/kg2 Ditanyakan: g Jawab: g = G 2 M R = (6,67 × 10–11 Nm2/kg2) 27 7 2 (1,9 10 kg) (7,18 10 ) × × = 24,6 m/s2
Jadi, percepatan gravitasi di permukaan planet Yupiter sebesar 24,6 m/s2. 12. Jawaban: e Diketahui: tbumi = 6 s gbulan = 1 6gbumi Ditanyakan: tbulan Jawab: h = 1 2gt 2 t = 2hg bulan bumi t t = bumi bulan g g bulan 6 s t = bumi 1 bumi 6 g g tbulan= 6 6s
Jadi, waktu yang diperlukan untuk jatuh di bulan selama 6 6s. 13. Jawaban: c Diketahui: rA = 3R rB = 4R vA = v Ditanyakan: vB Jawab:
Gaya gravitasi yang dialami satelit adalah gaya sentripetal masing-masing satelit.
G 2 Mm r = m 2 v r 1 r ~ v 2
Dengan demikian, kelajuan satelit (v) sebanding dengan 1
r . Perbandingan antara kelajuan satelit A dan B sebagai berikut.
B A v v = A B r r vB = vA A B r r = v 3 4R = 1 2 3v = 1 2v 3
Jadi, kelajuan satelit B sebesar 1 2v 3. 14. Jawaban: a
Konstanta pada hukum Kepler dapat dihitung dari besarnya gaya sentripetal dan gaya gravitasi matahari (bintang). Fs= Fg m 2 v R = G 2 Mm R m 2 2 4 kR π = G 2 Mm R k = 2 4 GM π
Jadi, nilai konstanta pada hukum III Kepler bernilai 2 4 GM π . 15. Jawaban: d
Berdasarkan hukum II Kepler, planet akan menyapu luas juring yang sama dalam selang waktu yang sama. Dengan demikian, planet akan memiliki kelajuan terbesar di titik terdekat (perihelium). Planet akan memiliki kelajuan terendah pada titik terjauh (aphelium). Matahari berada di salah satu fokus elips.
16. Jawaban: d
Hukum III Kepler sering disebut dengan hukum harmonik yang menyatakan bahwa perbandingan kuadrat periode dan pangkat tiga dari setengah sumbu panjang elips adalah sama untuk semua planet.
Planet bergerak mengelilingi matahari dalam lintasan elips dikemukakan dalam hukum I Kepler. Planet akan menyapu luas juring yang sama dalam selang waktu yang sama dikemukakan dalam hukum II Kepler.
Benda-benda di alam akan saling tarik-menarik dengan gaya yang sebanding dengan massa benda dan berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya dikemukakan dalam hukum Newton tentang gravitasi.
Gaya aksi-reaksi dikemukakan dalam hukum III Newton. 17. Jawaban: b Diketahui: gx : gy = 9 : 25 Ditanyakan: rx : ry Jawab: x y g g = 2 y x r r 9 25 = 2 y x r r x y r r = 25 9 x y r r = 5 3
Jadi, perbandingan antara jarak X dan Y dari pusat bumi adalah 5 : 3. 18. Jawaban: a Diketahui: gP = gB MP= 9MB Ditanyakan: RP Jawab: gB= gP G B 2 B M R = G P 2 P M R B 2 B M R = B 2 P 9M R RP2= B B2 B 9M R M RP= 9RB2 RP= 3RB
Jadi, jari-jari planet tersebut tiga kali jari-jari bumi. 19. Jawaban: d Diketahui: vB = v Mx= 81MB Rx= 4RB Ditanyakan: v Jawab: vt = 2GM R x B v v = x B B x M R M R = B B B B 81 4 M R M R
x v v = 9 2 vx = 92v
Jadi, kelajuan lepas dari planet X adalah 92v.
20. Jawaban: d Diketahui: Rp = 15RB Ditanyakan: Tp Jawab: 2 p B T T = 3 p B R R Tp= TB 3 p B R R = TB 3 B B 16R R = 64TB
Periode revolusi bumi adalah 1 tahun sehingga periode revolusi planet tersebut selama 64 tahun.
B. Uraian 1. Diketahui: m1= 5 kg m2= 4 kg r = 20 cm = 0,2 m G = 6,67 × 10–11 Nm2/kg2 Ditanyakan: Fg Jawab: Fg = G 1 2 2 mm r = (6,67 × 10–11 Nm2/kg2) 2 (5 kg)(4 kg) (0,2 m) = 3,33 × 10–8 N
Jadi, besar gaya gravitasi yang dialami kedua benda sebesar 3,33 × 10–8 N. 2. FAC= FBC G A C 2 AC m m r = G B C 2 BC m m r A 2 AC ( ) m r = B 2 BC ( ) m r 2 16m x = 2 9 ( − ) m a x 4 x = 3 a x− 4(a – x) = 3x 4a = 3x + 4x 7x = 4a x = 4 7a
Jadi, planet C berada sejauh 4
7a dari planet A. 3. Diketahui: g = 9,8 m/s2 Ditanyakan: a. g(h = 1 2R) b. g(h = 2R) c. g(h = 3R) Jawab: g′ = 2 R R h + g a. g1= 2 1 2 + R R R g = 9 4 1 (9,8 m/s2) = 49(9,8 m/s2) = 4,35 m/s2 b. g2= 2 2 + R R R g = 1 9(9,8 m/s 2) = 1,09 m/s2 c. g3= 2 3 R R R + g = 1 16(9,8 m/s 2) = 0,61 m/s2 4. Diketahui: TA : TB = 1 : 27 RA= 2 SA Ditanyakan: RB Jawab: 2 A B T T = 3 A B R R 2 1 27 = 3 B 2 R RB3= (27)2(2)3 RB= 3(3 ) (2)3 2 3 = 32(2) = 18
Jadi, jarak antara planet B ke matahari sejauh 18 satuan astronomi.
A C
B
16m FAC FBC 9m
5. Diketahui: M = 8,4 × 1022 kg R = 9,0 × 105 m G = 6,67 × 10–11 Nm2/kg2 Ditanyakan: g Jawab: g = G 2 M R = 11 2 2 22 5 2 (6,67 10 Nm /kg )(8,4 10 kg) (9,0 10 m) − × × × ≈ 6,9 m/s2
Jadi, percepatan gravitasi planet sebesar 6,9 m/s2. 6. Diketahui: v = 1,6 × 103 m/s R = 6.400 km = 6,4 × 106 m g = 9,8 m/s2 Ditanyakan: h Jawab: v = R 0 ( ) g R+h v2= 2 0 ( + ) R g R h (R + h) = 2 0 2 R g v (R + h) = 6 2 2 3 2 2 (6,4 10 m) (9,8 m/s ) (1,6 10 m/s ) × × (R + h) = 1,568 × 108 m h = 156,8 × 106 m – R = 156,8 × 106 m – 6,4 × 106 m = 150,4 × 106 m = 1,504 × 108 m
Jadi, satelit mengorbit bumi di ketinggian 1,504 × 108 m. 7. Diketahui: Rx : Ry = 9 : 16 Tx = 135 hari Ditanyakan: Ty Jawab: 2 y x T T = 3 y x R R Ty = Tx 3 2 y x R R = (135 hari) 3 2 16 9 = (135 hari)6427 = 320 hari
Jadi, periode planet Y mengelilingi matahari selama 320 hari. 8. Diketahui: mA= 8 kg mB= 5 kg mC= 2 kg G = 6,67 × 10–11 Nm2/kg2 BC= 4 m θ = 60° Ditanyakan: FC Jawab: cos 60° = BC AC 1 2 = 4 m AC AC = 8 m FAC = G A C 2 AC ( ) m m r = (6,67 × 10–11 Nm2/kg2) 2 (8 kg)(2 kg) (8 m) = 1,66 × 10–11 N FBC = G B C 2 BC ( ) m m r = (6,67 × 10–11 Nm2/kg2) 2 (5 kg)(2 kg) (4 m) = 4,17 × 10–11 N FC = FAC2+FBC2+2F FAC BC cos 60° = 11 2 11 2 11 11 1 2 (1,66 10× − N) +(4,17 10× − ) +2(1,66 10× − )(4,17 10× − ) = 5,2 × 10–11 N
Jadi, gaya gravitasi yang dialami benda C sebesar 5,2 × 10–11 N. 9. Diketahui: m = 80 kg h = 10 km g = 9,8 m/s2 R = 6.370 km Ditanyakan: a. w′ b. ∆w Jawab: a. ww′ = gg′ w mg ′ = 2 R R h + w′ = 2 6.370 6.370 10 + (80 kg)(9,8 m/s 2) = 781,5 N
Jadi, berat pria tersebut menjadi 781,5 N. A B C 60° 4 m FAC FBC 60° C
b. w = m g = (80 kg)(9,8 m/s2) = 784 N Penyusutan = w w ∆ × 100% = (784 781,5) 784 − × 100% = 0,318%
Jadi, berat pria tersebut menyusut 0,318%. 10. Diketahui: d = 6.790 km R = 3.395 km = 3,395 × 106 m M = 6,42 × 1023 kg G = 6,67 × 10–11 Nm2/kg2 Ditanyakan: vt Jawab: vt = 2GM R = 11 2 2 23 6 2(6,67 10 Nm /kg )(6,4 10 kg) (3,395 10 m) − × × × = 2,5148 10× 7 m/s ≈ 5,014 × 103 m/s ≈ 5,014 km/s
Jadi, kelajuan minimal pesawat ulang-alik dari planet Mars sebesar 5,014 km/s.
Siswa mampu menganalisis sifat elastis bahan dan gerak harmonik sederhana serta penerapannya
dalam kehidupan sehari-hari Menganalisis sifat elastisitas bahan
• Mendeskripsikan sifat elastisitas
pada zat padat
• Melakukan percobaan hukum
Hooke untuk menentukan tetapan gaya pada pegas
• Menganalisis hukum Hooke untuk
susunan seri dan paralel pada pegas
Siswa mampu menganalisis sifat elastisitas bahan
Menganalisis gerak harmonik sederhana pada pegas dan ayunan
sederhana
1. Menganalisis gejala
alam dan keteraturan-nya dalam cakupan mekanika benda titik.
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai Indikator
1.3 Menganalisis penga-ruh gaya pada sifat elastisitas bahan. 1.4 Menganalisis hubungan
antara gaya dengan gerak getaran.
Pada bab ini akan dipelajari: 1. Elastisitas
2. Gerak Harmonik Sederhana
Jujur Jujur dalam melaksanakan kegiatan praktikum.
Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter
Elastisitas dan Gerak Harmonik Sederhana
• Menganalisis besaran-besaran
pada gerak harmonik sederhana
• Menganalisis gerak harmonik
pada pegas
• Menganalisis gerak harmonik
pada ayunan sederhana
Siswa mampu menganalisis gerak harmonik sederhana pada pegas
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: a
Tetapan pada benda gaya elastis dirumuskan sebagai berikut.
k = 0 YA
Dengan demikian, tetapan gaya pada benda elastis dipengaruhi oleh faktor-faktor berikut. 1) Modulus elastisitas bahan (Y). Setiap bahan
memiliki modulus elastisitas berbeda-beda. Jadi, jenis bahan yang digunakan memenga-ruhi besarnya tetapan gaya.
2) Luas penampang benda (A). 3) Panjang awal benda (0).
Jadi, faktor-faktor yang memengaruhi besarnya tetapan gaya pada benda elastis ditunjukkan oleh nomor 1), 2), dan 3).
2. Jawaban: e
Berdasarkan hukum Hooke, gaya pemulih pada pegas dirumuskan sebagai berikut.
F = –k ∆x
Konstanta pegas dapat dihitung dengan rumus:
k = ∆F x
Besarnya konstanta pegas merupakan per-bandingan antara besarnya gaya dan pertambahan panjang pegas. Konstanta pegas sebanding dengan F dan berbanding terbalik dengan ∆x. Jadi, grafik yang menunjukkan konstanta terbesar ditunjukkan gambar pada pilihan e.
3. Jawaban: c
Diketahui: = 140 cm = 1,4 m A = 2 mm2 = 2 × 10–6 m2 F = 100 N
∆= 1 mm = 1 × 10–3 m Ditanyakan: modulus elastisitas (Y) Jawab:
Y = AF∆ = 6 2 3 (100 N)(1,4 m)
(2 × 10− m )(1 × 10− m)
= 7 × 1010 N/m2
Modulus elastisitas bahan kawat sebesar 7 × 1010 N/m2. 4. Jawaban: e Diketahui: = 1 m r = 0,5 mm = 5 × 10–4 m F = 20 N Ditanyakan: tegangan (σ) Jawab: σ = FA σ = 2 F r π = 4 2 20 N (3,14)(5 × 10− m) = 7 2 20 N 7,85 × 10− m = 2,55 × 107 N/m2
Tegangan yang dialami kawat sebesar 2,55 × 107 N/m2. 5. Jawaban: c Diketahui: σA= 20 × 107 N/m2 eA = 16 × 10–4 Ditanyakan: Y Jawab: Y = A A e σ = 7 2 4 20 10 N/m 16 10− × × = 1,25 × 1011 N/m2
Jadi, modulus Young bahan sebesar 1,25 × 1011 N/m2. 6. Jawaban: d Diketahui: ∆x = 26,4 cm – 25 cm = 1,4 cm = 1,4 × 10–2 m m = 500 g = 0,5 kg g = 9,8 m/s2 Ditanyakan: k Jawab: k = ∆Fx = mg∆x = 2 2 (0,5kg)(9,8 m/s ) (1,4 10 m)× − = 350 N/m
Jadi, konstanta pegas sebesar 350 N/m. 7. Jawaban: a Diketahui: k = 1.200 N/m g = 9,8 m/s2 m = 3 kg Ditanyakan: ∆x Jawab: ∆x = F k = mg k = 2 (3 kg)(9,8 m/s ) (1.200 N/m) = 2,45 × 10–2 m = 2,45 cm
