Bab XII. Uji Hipotesis

12.

12. Pengujian HipotesisPengujian Hipotesis 12.1.

12.1. PendahuluanPendahuluan  Hipotesis

 Hipotesisadalah adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untukadalah adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya. Jika asumsi itu menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya. Jika asumsi itu dikhususkan mengenai populasi, maka hipotesis itu disebut

dikhususkan mengenai populasi, maka hipotesis itu disebut   hipotesis statistic.  hipotesis statistic. KecualiKecuali dinyatakan lain, di sini hipotesis dimaksudkan hipotesis statistic. Demikianlah misalnya, dinyatakan lain, di sini hipotesis dimaksudkan hipotesis statistic. Demikianlah misalnya, yang berikut dapat

yang berikut dapat dianggap sebagai hipotesis.dianggap sebagai hipotesis. 12.2.

12.2. Dua macam kekeliruanDua macam kekeliruan

Untuk menguji hipotesis, penelitian dilakukan, sampel acak diambil, nilai-nilai sta Untuk menguji hipotesis, penelitian dilakukan, sampel acak diambil, nilai-nilai sta tistiktistik yang perlu dihitung kemudian dibandingkan; menggunakan kriteria tertentu; dengan yang perlu dihitung kemudian dibandingkan; menggunakan kriteria tertentu; dengan hipotesis. Jika hasil yang didapat dar

hipotesis. Jika hasil yang didapat dar i penelitian itu, dalam pengertian peluang, jauh berbedai penelitian itu, dalam pengertian peluang, jauh berbeda dari hasil yang diharapkan terjadi berdasarkan hipotesis, maka

dari hasil yang diharapkan terjadi berdasarkan hipotesis, maka hipotesis ditolak hipotesis ditolak . Jika terjadi. Jika terjadi sebaliknya,

sebaliknya, hipotesis diterimahipotesis diterima..

Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada

Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruandua macam kekeliruan yang dapat terjadi, yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama:

dikenal dengan nama-nama: a)

a) Kekeliruan tipe I Kekeliruan tipe I : ialah menolak hipotesis yang seharusnya : ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima.diterima.  b)

 b) Kekeliruan tipe II Kekeliruan tipe II : ialah menerima hipotesis yang : ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.seharusnya ditolak.

Untuk mengingat hubungan antara hipotesis, kesimpulan dan tipe kekeliruan, dapat Untuk mengingat hubungan antara hipotesis, kesimpulan dan tipe kekeliruan, dapat dilihat dalam table di bawah ini.

dilihat dalam table di bawah ini.

Daftar 12.1 Daftar 12.1 Tipe kekeliruan ketika

Tipe kekeliruan ketika membuat kesimpulan tentang hipotesimembuat kesimpulan tentang hipotesi Kesimpulan

Kesimpulan Keadaan SebenarnyaKeadaan Sebenarnya Hipotesis

Hipotesis Benar Benar Hipotesis Hipotesis SalahSalah Terima Hipotesis

Terima Hipotesis BenarBenar KeliruKeliru (Kekeliruan tipe II) (Kekeliruan tipe II)

Tolak Hipotesi

Tolak Hipotesi KeliruKeliru (Kekeliruan tipe I)

(Kekeliruan tipe I) BenarBenar

Agar penelitian dapat dilakukan maka kedua tipe kekliruan itu kita nyatakan dalam Agar penelitian dapat dilakukan maka kedua tipe kekliruan itu kita nyatakan dalam  peluang.

 peluang. Peluang Peluang membuat membuat kekeliruan kekeliruan tipe tipe I I biasa biasa dinyatakan dinyatakan dengandengan   dan peluang  dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan

membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan . Berdasarkan ini, kekeliruan tipe I. Berdasarkan ini, kekeliruan tipe I dinamakan pula

dinamakan pula kekeliruankekeliruan   dan kekeliruan II dinamakan dan kekeliruan II dinamakan kekeliruankekeliruan  .. Dalam penggunaannya,

Dalam penggunaannya,   disebut pula  disebut pula taraf signifikantaraf signifikan  atau  atau taraf artitaraf arti  atau sering  atau sering disebut pula

disebut pula taraf nyatataraf nyata. Besar kecilnya. Besar kecilnya   dan  dan  yang dapat diterima dalam pengambilan yang dapat diterima dalam pengambilan kesimpulan bergantung pada akibat-akibat atas

kesimpulan bergantung pada akibat-akibat atas diperbuatnya kekeliruan-kekeliruan itu.diperbuatnya kekeliruan-kekeliruan itu.

Untuk keperluan praktis,

Untuk keperluan praktis,   akan diambil lebih dahulu dengan harga yang biasa  akan diambil lebih dahulu dengan harga yang biasa digunakan, yaitu

digunakan, yaitu   = 0,01 atau  = 0,01 atau   = 0,05. Dengan  = 0,05. Dengan   = 0,05 misalnya, atau sering pula  = 0,05 misalnya, atau sering pula disebut taraf nyata 5%, berarti kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa kita akan disebut taraf nyata 5%, berarti kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa kita akan menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin bahwa menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin bahwa kita telah membuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan

kita telah membuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan bahwabahwa hipotesishipotesis telah ditolak pada taraf nyata

telah ditolak pada taraf nyata 0,050,05 yang berarti kita mungkin salah dengan peluang 0,05. yang berarti kita mungkin salah dengan peluang 0,05. Untuk setiap pengujian dengan

Untuk setiap pengujian dengan  yang ditentukan, besar yang ditentukan, besar  dapat dihitung. Harga (1 - dapat dihitung. Harga (1 - ))  berbeda

 berbeda untuk untuk harga harga parameter parameter yang yang berlainan, berlainan, jadijadi   bergantung pada parameter,  bergantung pada parameter, katakanlah

katakanlah , sehingga didapat, sehingga didapat (() sebuah fungsi yang bergantung pada) sebuah fungsi yang bergantung pada . Bentuk. Bentuk (()) dinamakan fungsi

dinamakan fungsi ciri operasiciri operasi, disingkat, disingkat C.O.C.O., dan 1 -, dan 1 - (() disebut) disebut fungsi kuasafungsi kuasa..

12.3.

12.3. Langkah-Langkah Pengujian HipotesisLangkah-Langkah Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis akan membawa kepada kesimpulan untuk menerima hipotesis atau Pengujian hipotesis akan membawa kepada kesimpulan untuk menerima hipotesis atau menolak hipotesis. Pasangan H dan A diberikan untuk lebih tepatnya H

menolak hipotesis. Pasangan H dan A diberikan untuk lebih tepatnya H melawanmelawanA, lebihA, lebih  jauh juga

 jauh juga menentukanmenentukan kiteriakiteria pengujian yang terdiri dari pengujian yang terdiri dari daerah penerimaandaerah penerimaan  dan  dan daerahdaerah  penolakan

 penolakan hipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering pula dikenal dengan nama hipotesis. Daerah penolakan hipotesis sering pula dikenal dengan nama daerahdaerah kritis

kritis. Kalau yang sedang diuji itu parameter. Kalau yang sedang diuji itu parameter  (dalam penggunaannya nanti (dalam penggunaannya nanti  bisa bisa rata-ratarata-rata  

 ,, proporsi proporsi    , ,simpangan bakusimpangan baku  dan lain-lain), maka akan didapat hal-hal: dan lain-lain), maka akan didapat hal-hal: a)

a) Hipotesis mengandung pengertian sama. Dalam hal ini pasangan H dan A adalah:Hipotesis mengandung pengertian sama. Dalam hal ini pasangan H dan A adalah: 1) 1)  H : H :    = =   00 3) 3) H H ::    = =   00  A :  A :   = =  11 A :A :   > >  00 2) 2)  H : H :    = =   00 4) 4) H H ::    = =   00  A :  A :       00 A :A :    < <   00 dengan

dengan 00,, 11dua harga berlainan yang diketahui. Pasangan 1) dinamakandua harga berlainan yang diketahui. Pasangan 1) dinamakan pengujian pengujian

sederhana

sederhana lawan sederhanalawan sederhana  sedangkan pasangan yang lain merupakan  sedangkan pasangan yang lain merupakan  pengujian pengujian sederhana lawan komposit 

sederhana lawan komposit ..  b)

 b) Hipotesis mengandung pengertian maksimum. Unutk ini H dan Hipotesis mengandung pengertian maksimum. Unutk ini H dan A berbentuk:A berbentuk:  H :

 H :       00

 A :  A :   > >  00

Yang biasa dinamakan

Yang biasa dinamakan pengujian komposit law pengujian komposit lawan komposit an komposit .. c)

c) Hipotesis mengandung pengertian minimum. Perumusan H dan A bHipotesis mengandung pengertian minimum. Perumusan H dan A b erbentuk:erbentuk:  H :

 H :       00

A : A :  < < 00

Ini juga

Kemudian yang akan kita pelajari selanjutnya yakni pengujian terhadap hipotesis yang Kemudian yang akan kita pelajari selanjutnya yakni pengujian terhadap hipotesis yang  perumusannya

 perumusannya mengandung mengandung pengertian pengertian sama sama atau atau tidak tidak memiliki memiliki perbedaan, perbedaan, disebutdisebut hipotesis nol dengan lambang H

hipotesis nol dengan lambang H00 melawan hipotesis tandingannya dengan lambing H melawan hipotesis tandingannya dengan lambing H11 yang yang

mengandung pengertian tidak sama, lebih lebar atau lebih kecil. H

mengandung pengertian tidak sama, lebih lebar atau lebih kecil. H11 ini harus dipilih atau ini harus dipilih atau

ditentukan peneliti sesuai dengan persoalan yang ditentukan peneliti sesuai dengan persoalan yang dihadapi.dihadapi.

Pasangan H

Pasangan H00 dan H dan H11 yang telah dirumuskan, akan ditulis dalam bentuk: yang telah dirumuskan, akan ditulis dalam bentuk:

 H   H 00 : :    = =   00  H   H 11 : :      00 atau atau  H  H 00 : :   = =  00  H   H 11 : :   > >  00 atau atau  H  H 00 : :   = =  00  H   H 11 : :    < <   00

Langkah berikutnya, kita pilih bentuk statistik mana yang harus digunakan, apakah z, t, Langkah berikutnya, kita pilih bentuk statistik mana yang harus digunakan, apakah z, t, x

x22, F atau lainnya. Harga statistik yang dipilih, besarnya dihitung dari data sampel yang, F atau lainnya. Harga statistik yang dipilih, besarnya dihitung dari data sampel yang dianalisis. Kemudian, berdasarkan pilihan taraf nyata

dianalisis. Kemudian, berdasarkan pilihan taraf nyata  atau disebut juga atau disebut juga ukuran daerahukuran daerah kritis

kritis, kriteria pengujian kita tentukan. Peran Hipotesis tandingan H, kriteria pengujian kita tentukan. Peran Hipotesis tandingan H11  dalam penentuan  dalam penentuan

daerah kritis adalah sebagai berikut: daerah kritis adalah sebagai berikut: 1)

1) Jika tandingan HJika tandingan H11 mempunyai perumusan mempunyai perumusan tidak samatidak sama, maka dalam distribusi statistik, maka dalam distribusi statistik

yang digunakan, normal untuk z, Student untuk t, dan seterusnya, didapat dua daerah yang digunakan, normal untuk z, Student untuk t, dan seterusnya, didapat dua daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung distribusi. Luas daerah kritis atau daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung distribusi. Luas daerah kritis atau daerah  penolakan pada tiap ujung adalah ½

 penolakan pada tiap ujung adalah ½ . Karena adanya dua daerah penolakan ini, maka. Karena adanya dua daerah penolakan ini, maka  pengujian hipotesi

 pengujian hipotesis dinamakans dinamakan uji dua pihak uji dua pihak ..

Kedua daerah dibatasi oleh d 

Kedua daerah dibatasi oleh d 11 dan d  dan d 22 yang harganya didapat dari daftar distribusi yang yang harganya didapat dari daftar distribusi yang

 bersangkutan

 bersangkutan dengan dengan menggunakan menggunakan peluang peluang yang yang ditentukan ditentukan oleholeh . Kriteria yang. Kriteria yang didapat adalah

didapat adalah terima hipotesis Hterima hipotesis Hoo jika harga  jika harga statistik yang dihitung statistik yang dihitung berdasarkanberdasarkan

data penelitian jatuh antara d

data penelitian jatuh antara d11dan ddan d22, dalam hal lainnya H, dalam hal lainnya Hoo ditolak. ditolak.

Gambar 12.1 Gambar 12.1 Daerah Daerah Penerimaan H Penerimaan H00 Luas = ½ Luas = ½ Luas = ½ Luas = ½ Daerah Penolakan H Daerah Penolakan H00 (daerah kritis) (daerah kritis) Daerah Penolakan H Daerah Penolakan H00 (daerah kritis) (daerah kritis) d d11 dd22 2)

2) Untuk tandingan HUntuk tandingan H11 mempunyai perumusan mempunyai perumusan lebih besar lebih besar , maka dalam distribusi yang, maka dalam distribusi yang

digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kanan. Luas digunakan didapat sebuah daerah kritis yang letaknya di ujung sebelah kanan. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan

daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan ..

Kriteria yang dipakai adalah

Kriteria yang dipakai adalah tolak Htolak Hoo  jika   jika statistik yang statistik yang dihitung dihitung berdasarkanberdasarkan

sampel tidak kurang dari d. dalam hal lainnya kita terima H

sampel tidak kurang dari d. dalam hal lainnya kita terima Hoo.. pengujian ini kita pengujian ini kita

namakan

namakan uji satu pihak,uji satu pihak,tepatnyatepatnya pihak kanan pihak kanan.. 3)

3) Akhirnya, jika tandingan HAkhirnya, jika tandingan H11 mengandung pernytaan mengandung pernytaan lebih kecillebih kecil, maka daerah kritis ada, maka daerah kritis ada

di ujung kiri dari distribusi yang digunakan. Luas daerah ini =

di ujung kiri dari distribusi yang digunakan. Luas daerah ini =  yang menjadi batas yang menjadi batas daerah penerimaan H

daerah penerimaan Hoo  oleh bilangan d yang didapat dari daftar distribusi yang  oleh bilangan d yang didapat dari daftar distribusi yang

 bersangkutan. Pel

 bersangkutan. Peluang untuk mendapatkan d diuang untuk mendapatkan d ditentukan oleh taraf nyatatentukan oleh taraf nyata ..

Kriteria yang digunakan adalah

Kriteria yang digunakan adalah terima Hterima Hoo  jika   jika statistik yang statistik yang dihitung dihitung berdasarkanberdasarkan

penelitian lebih besar dari d, sedangkan dalam hal lainnya H

penelitian lebih besar dari d, sedangkan dalam hal lainnya Hoo kita tolak. kita tolak.

Dengan demikian, dalam hal ini kita mempunyai

Dengan demikian, dalam hal ini kita mempunyai uji satu pihak,uji satu pihak,ialahialah pihak kiri. pihak kiri. Atas Atas dasar hasil pengujian yang dilakukan, a

dasar hasil pengujian yang dilakukan, a khirnya kesimpulan dapat dirumuskan.khirnya kesimpulan dapat dirumuskan. 12.4.

12.4. Menguji rata-rataMenguji rata-rata  : uji dua pihak : uji dua pihak

Umpamakan kita mempunyai sebuah populasi berdistribusi normal dengan rata-rata Umpamakan kita mempunyai sebuah populasi berdistribusi normal dengan rata-rata  dan simpangan baku

dan simpangan baku . Akan diuji mengenai parameter rata-rata. Akan diuji mengenai parameter rata-rata  Gambar 12.2 Gambar 12.2 Daerah Daerah Penerimaan H Penerimaan H00 Luas = Luas = Daerah Penolakan H Daerah Penolakan H00 (daerah kritis) (daerah kritis) d d Gambar 12.3 Gambar 12.3 Daerah Daerah Penerimaan H Penerimaan H00 d d Luas = Luas = Daerah Penolakan Daerah Penolakan H H00

Untuk ini, seperti biasa diambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistik

̅

dan s. kita bedakan hal-hal berikut:

Hal A).   diketahui

Untuk pasangan hipotesis H0 :  = 0

H1 : 0

dengan 0sebuah harga ya ng diketahui, digunakan statistik:



 =

̅

_

_/

_√ 



  12.1

Dari bab 10, statistik z ini berdistribusi normal baku, sehingga untuk menentukan kriteria pengujian seperti tertera dalam gambar 12.4, digunakan daftar distribusi normal baku. Ho  kita terima jika

−

 

 (



) <



 <



 

 (



)  dengan



 

 (



)

didapat dari daftar distribusi normal baku dengan peluang ½(1 - ). Dalam hal lainnya, Ho ditolak.

Contoh: Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar 800 jam. Akhir-akhir ini timbul dugaan bahwa masa pakai lampu itu telah berubah. Untuk menentukan hal ini, dilakukan p enelitian dengan jalan menguji lampu. Ternyata rata-rata 792 jam. Dari pengalaman, diketahui bahwa simpangan  baku masa hidup lampu 60 jam. Se lidikilah dengan taraf n yata 0,05 apakah kualitas lampu itu sudah  berubah atau belum.

Jawab: Dengan memisalkan masa hidup lampu berdistribusi normal, maka kita akan menguji H0 :  = 800 jam, berarti lampu itu masa pakainya 800 jam.

H1 :   800 jam, berarti kualitas lampu telah berubah dan bukan 800 jam lagi.

Dengan pengalaman, simpangan baku  = 60 jam.

Dari penelitian didapat

̅

 = 792 jam dengan n = 50. Statistik yang digunakan adalah seperti dalam rumus 12.1 dengan mensubstitusikan o= 800. Didapat:



 =792

−

800 60/

√ 

50 =

−

0,94

Kriteria yang dipakai, dari daftar normal baku untuk uji dua pihak dengan   = 0,05 yang memberikan z0,475 = 1,96 adalah

Daerah Penerimaan H0

Terima H0  jika z hitung terletak

antara -1,96 dan 1,96. Dalam hal lainnya H0 ditolak.

Dari penelitian sudah didapat z = -0,96 dan ini jelas terletak dalam daerah penerimaan H0. Jadi H0

diterima. Gambar 12.4 0,025 0,025 Distribusi Normal baku -1,96 1,96

Ini berarti dalam taraf nyata 0,05, penelitian memperlihatkan bahwa memang masa pakai lampu masih sekitar 800 jam. Jadi belum berubah.

Catatan: pengujian yang menghasilkan H0 diterima dalam taraf nyata 0,05 dinamakan uji tak nyata atau uji tak

berarti atau uji non-signifikan.

Hal B).   tidak diketahui

Pada kenyataannya, simpangan baku  sering tidak diketahui. Dalam hal ini maka diambil taksirannya ialah simpangan baku s yang dihitung dari sampel dengan menggunakan rumus 5.5. statistik yang digunakan untuk menguji pasangan hipotesis:

H0 :  = 0

H1 : 0

Tidak lagi seperti dalam rumus 12.1, akan tetapi:



 =

̅

_

_/

_√ 



  12.2

Untuk populasi normal, dari bab kita ketahui bahwa t berdistribusi Student dengan dk = (n-1). Karena itu, distribusi untuk menentukan kriteria pengujian digunakan distribusi Student pula. Ho  kita terima jika

−

t



½ <



< t



½

dengant



½ didapat dari daftar distribusi t dengan peluang (1 – ½ ) dan dk = (n

 – 1). Dalam hal lainnya, H0 kita tolak.

Contoh: untuk contoh di muka tentang masa pakai lampu, misalkan simpangan baku populasi tak diketahui, dan dari sampel didapat s = 55 jam. Maka dari rumus 1 2.2 dengan

̅

 = 792,  = 800, s = 55 dan n = 50, didapat:



 =792

−

800

55/

√ 

50 =

−

1,029

Penelitian menghasilkan t = -1,029 yang jelas terletak dalam daerah penerimaan. Kesimpulan sama seperti pada contoh di atas.

Dari daftar distribusi Student dengan   = 0,05 dan dk =49 untuk uji dua  pihak, didapat t = 2,01. Kriteria  pengujian: terima H0  jika t hitung

terletak antara -2,01 dan 2,01, sedangkan dalam hal lainnya H0

ditolak. Gambar 12.5 0,025 0,025 Distribusi Student dk = 49 -2,01 2,01 Daerah Penerimaan H0

12.5. Menguji rata-rata  : uji satu pihak

Perumusan yang umum untuk uji pihak kanan mengenai rata-rata  berdasarkan H0 dan

H0adalah H0 : =0

H1 : >0

Kita misalkan populasi berdistribusi normal dan dari padanya sebuah sampel acak  berukuran n telah diambil. Seperti biasa, dari sampel tersebut dihitung

̅

 dan s. didapat

hal-hal berikut: Hal A).   diketahui

Jika simpangan baku   untuk populasi diketahui, seperti biasa digunakan statistik z yang tertera dalam rumus 12.1. Sketsa untuk kriteria pengujian seperti Nampak dalam gambar 12.2, ialah menggunakan distribusi normal baku. Batas kriteria, tentunya didapat dari daftar normal baku. Kita tolak H0  jika z  z0,5 -   dengan z0,5 -   didapat dari daftar

normal baku menggunakan peluang (0,5 - ). Dalam hal lainnya H0 kita terima.

Contoh: Proses pembuatan barang rata-rata menghasilkan 15,7 unit per jam. Hasil produksi mempunyai varians = 2,3. Metode baru diusulkan untuk mengganti yang lama jika rata-rat perjam menghasilkan  paling sedikit 16 buah. Untuk menentukan apakah metode dig anti atau tidak, metode baru dicoba

20 kali dan ternyata rata-rata per jam menghasilkan 16,9 buah.

Pengusaha bermaksud mengambil resiko 5% untuk menggunakan metode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan lebih dari 16 buah. Apakah keputusan si pengusaha?

Jawab: Dengan memisalkan hasil produksi berdistribusi normal, maka kita akan menguji pasangan hipotesi :

H0 : = 16; berarti rata-rata hasil metode baru paling tinggi 16. Jika ini terjadi, metode lama masih

dipertahankan.

H1 : >16; berarti rata-rata hasil metode baru lebih dari 16 dan karenanya metode lama dapat

diganti.

Harga-harga yang perlu untuk menggunakan rumus 12.1 adalah

̅

 = 16,9 buah, n = 20,  =

√ 

2,3 dan 0 = 16 bu ah. Didapat:



 =16,9

−

16

 

(2,3)/ 20= 2,65

Gambar 12.6

Dari daftar Normal baku standar dengan  = 0,05 diperoleh = 1,64. Kriteria pengujian: tolak H0 jika z hitung lebih besar atau sama

dengan 1,64. Jika z hitung lebih kecil dari 1,64 maka H0 diterima. 0,05 Distribusi Normal baku 1,64 Daerah Penerimaan H0

Dari penelitian didapat z = 2,65 yang jelas jatuh pada daerah kritis. Jadi H0 ditolak. Ini

menyimpulkan bahwa metode baru dapat mengganti metode lama dengan mengambil resiko 5%.

Catatan: Pengujian yang menghasikan H0  ditolak dengan taraf nyata 0,05 dinamakan uji nyata  atau uji

berarti atau uji signifikan.

Jika H0  ditolak pada taraf 5% tetapi diterima pada taraf 1% maka dikatakan bahwa hasil uji

“barangkali” berarti. Dalam hal ini dianjurkan untuk melakukan penelitian lebih lanjut dan  pengujian dapat dilakukan lagi.

Sering dikehendaki berapa besar peluang yang terjadi ketika keputusan berdasarkan hasil pengujian dibuat. Untuk contoh diatas misalnya, peluang tersebut a dalah P(z  2,65) = 0,5 – 0,4960 = 0,0040.

Ini berarti: berdasarkan penelitian yang dilakukan, kesempatan melakukan kekeliruan ketika memutuskan mengambil metode baru adalah 4 dari setiap 1.000. dalam bentuk ini biasa dituliskan bahwa peluang p < 0,05, bahkan p < 0,01.

Contoh: Bagaimana kesimpulannya jika d iambil  = 0,01?

Jawab: Untuk  = 0,01, dari daftar normal baku didapat z = 2,33. Dari perhitungan, harga z = 2,65 dan ini lebih besar dari 2,33. Jadi jatuh pada daerah kritis. Karenanya H0 ditolak. Kesimpulan dapat dibuat

seperti di atas. Hanya sekarang resikonya 1%.

Catatan : Uji yang berarti pada taraf 1% dikatakan hasil uji sangat berarti, atau sangat nyata atau sangat signifikan .

Contoh: Dengan melakukan percobaan sebanyak 20 kali, berapa seharusnya hasil rata-rata per jam paling sedikit untuk menyakinkan si pengusaha mengganti metode lama?

Jawab: Dengan   = 0,01 dan dimisalkan populasi hasil produksi berdistribusi normal dengan nilai-nilai



 =

√ 

2,3, 0 = 16 dan n = 20, maka dari rumus 12.1 didapat:

2,33 =

 ̅

_ 

₍

_

_,

_

_/

_

 atau

̅

 = 16,79

Dari 20 percobaan yang dilakukan paling sedikit harus mencapai rata-rata 16,79 buah  perjam.

Hal B).   tidak diketahui

Seperti dalam bagian 4, maka jika  tidak diketahui, statistik yang digunakan untuk menguji

H0 :  = 0

H1 : >0

Adalah statistik t seperti dalam r umus 12.2.

Kriteria pemgujian didapat dari daftar distribusi Student t dengan dk ( n – 1) da n peluang (1 - ). Jadi kita tolak H0 jika t  t1 -  dan terima H0 dalam hal lainnya.

Contoh: Dikatakan bahwa dengan menyuntikan semacam hormone tertentu kepada ayam akan menambah  berat telurnya rata-rata dengan 4,5 gram. Sampel acak yang terdiri atas 31 butir telur tersebut telah

disuntikan hormone dan rata-ratanya menjadi 4,9 gram, simpangan bakunya s = 0,8 gram. Cukup  beralasankah untuk menerima pernyataan bahwa pertambahan rata-rata berat telur paling sedikit 5,5

gram?

Jawab: yang kita hadapi adalah pasangan hipotesi:

H0:   = 4,5; menyuntik ayam dengan hormone tidak menyebabkan bertambahnya rata-rata berat telur

dengan 4,5 gram.

H1 :  > 4,5; suntikan hormone mengakibatkan berat telur rata-rata bertambah paling sedikit dengan 4,5 gram.

Dari rumus 12.2 dengan

̅

 = 4,9 gram , s = 0,8 gram, n = 31 dan 0 = 4,5 didapat



 =4,9

−

4,5

0,8/

√ 

31= 2,78

Kriteria pengujian adalah: ……

Contoh: Akhir-akhir ini masyarakat mengeluh dan mengatakan bahwa isi bersi makanan A dalam kaleng tidak sesuai dengan yang tertulis pada kemasan sebesar 5 ons. Untuk meneliti hal ini, 23 kaleng makanan A telah diteliti secara acak. Dari ke 23 isi kaleng tersebut, berat rata-ratanya 4,9 ons dan simpangan bakunya 0,2 ons. Dengan taraf nyata 0,05, tentukan apa yang akan kita katakana tentang keluhan masyarakat tersebut?

Jawab: …..

12.6. Menguji rata-rata  : uji dua pihak

Misalkan kita mempunyai populasi binom dengan proporsi peristiwa A = . Berdasarkan sebuah sampel acak yang diambil dari populasi itu, akan diuji mengenai uji dua pihak: H0 :  = 0

H1 :   0

dengan 0  sebuah harga yang diketahui. Dari sampel ukuran n itu kita hitung proporsi

sampel x/n adanya peristiwa A. dengan menggunakan pendekatan oleh distribusi normal, maka untuk pengujian ini digunakan statistik z yang rumusnya:



 =

_ 

 ⁄ 





(





)/



  12.3

Dengan mengambil   = 0,01 dari daftar distribus t dengan dk = 30 didapat t = 2 ,46

Gambar 12.7 Daerah Penerimaan H0 =0,01 Distribusi Student Dk = 30 2,46

(lihat juga bab 10 rumus 10.7)

Kriteria untuk pengujian ini, dengan taraf nyata  adalah terima H0 jika –z1/2(1-) < z <

z1/2(1-), di mana z1/2(1-). Dalam hal lainnya, hipotesis H0 ditolak.

Contoh: Kita ingin menguji bahwa jenis kelamin perempuan dan laki-laki adalah sama. Sebuah sampel acak terdiri atas 4.800 orang mengandung 2.458 laki-laki. Dalam taraf nyata 0,05, betulkah distribusi kedua jenis kelamin itu sama.

Jawab: …??

12.7. Menguji rata-rata  : uji satu pihak

Jika yang diuji dari populasi binom itu berbentuk: H0 :  = 0

H1 :  > 0

maka pengujian demikian merupakan uji pihak kanan. Untuk ini pun, statistik yang digunakan masih statistik z seperti tertera dalam rumus 12.3. Yang berbeda hanyalah dalam  penentuan kriteria pengujiannya. Dalam hal ini, tolak H0 jika z  z0,5-, dimana z0,5- didapat

dari daftar normal baku dengan peluang (0,5 - ). Untuk z < z0,5- hipotesis H0 diterima.

Contoh: Seorang pejabat mengatakan bahwa paling banyak 6 0% anggota masyarakat termasuk golongan A. sebuah sampel acak telah diambil yang terdiri atas 8.500 0rang dan ternyata 5.426 mtermasuk golongan A. apabila  = 0,01, benarkah pernytaan tersebut.

Jawab: Yang akan diuji ialah H0 :  = 0,6

H1 :  > 0,6

Contoh: akan diuji H0 :  = 0,3

H1 :  < 0,3

Sampel acak berukuran n = 425 memberikan x/n = 0,28. Bagaimana hasil pengujian dengan  = 0,05? Jawab: dari rumus 12.3 didapat:



 =

_ 



,



,



(



,



)(



,



)/



 =

−

0,90

Dari daftar normal baku dengan  = 0,05 didapat z0,45 = 1,64. Untuk uji pihak kiri maka

tolak H0 jika z hitung  -1,64 dan terima H0 dalam hal lainnya. Jelas bahwa z hitung = -0,90

ada pada daerah penerimaan H0. Jadi H0 :  = 0,3 diterima pada taraf nyata 0,05. Pengujian

tak berarti.

12.8. Menguji varians 2

Ketika menguji rata-rata  untuk populasi normal, didpat hal di mana simpangan baku  diketahui (lihat bagian 4). Harga yang diketahui ini umumnya didapat dari pengalaman dan untuk menentukan besarnya perlu diadakan pengujian. Untuk ini, kita misalkan

 populasi berdistribusi normal dengan varians 2  _{dan daripadanya diambil sebuah sampel}

acak berukuran n. Varians sampel besarnya s2 _{dihitung dengan rumus 5.5 ata u rumus 5.6.}

Kita bedakan dua hal berikut: Hal A). Uji dua pihak.

Untuk ini, pasangan H0 dan H1 adalah:

H0 : 2 =





H1 : 2





Untuk pengujian ini dipakai statistik Chi-Kuadrat (lihat ba b 10.8)

 



 =(



_

)







  12.4

Jika dalam pengujian dipakai taraf nyata , maka kriteria pengujian adalah terima H0

 jika

 

  



<

 



 <

 



  

  dimana

 

  



dan

 

  



didapat dari daftar distribusi chi-kuadrat dengan dk = (n – 1) dan masing-masing dengan peluang ½  dan (1 – ½ ). Dalam hal lainnya H0 ditolak.

Contoh: Diketahui hidup lampu  = 60 jam. Dengan sampel berukuran n = 50 didapat s = 55 jam. Jika masa hidup lampu berdistribusi normal, b enarkah  = 60 jam dalam taraf  = 0,05?

Jawab: Untuk menyelidiki benar atau tidaknya tentang , maka kita berhadapan dengan pengujian H0 : 2 = 3.600 jam

H1 : 2 3.600 jam

Dari rumus 12.4 dengan n = 50 dan s2 _{= 3.025, maka}

 



 =(50

−

1)(3.025)

3.600   = 41,174

Dengan dk = 49 dan peluang 0,025 dan 0,975, dari daftar distribusi chi-kuadrat berturut-turut didapat

 





,



  = 32,4 dan

 





,



  = 71,4.

Kriteria pengujian: terima H0 jika X 2 antara 32,4 dan 71,4. Untuk harga-harga lainnya,

H0 ditolak. Dari perhitungan didapat  X 2 = 41,174 dan ini jatuh antara 32,4 dan 71,4; jadi

dalam daerah penerimaan hipotesis. Kesimpulan: hipotesis   = 60 jam dapat diterima dengan menanggung resiko 5% akan terjadinya penolakan hipotesis bahwa 2 _{= 3.600 jam.}

Hal B).Uji satu pihak

Dalam kenyataannya sangat sering dikehendaki adanya varians yang berharga kecil. Untuk ini pengujian diperlukan dan akan merupakan uji pihak kanan:

H0 : 2 =





H1 : 2 >





Statistik yang digunakan masih tetap  X 2 seperti dalam rumus 12.4. kriteria pengujian dalam hal ini adalah: tolak H0 jika X 2

 





, di mana

 





, didapat dari daftar chi-kuadrat

dengan dk = (n -1) dan peluang (1 - ). Dalam hal lainnya, H0 diterima. Jika hipotesis nol

dan tandingannya menyebabkan uji pihak kiri, yakni pasangan: H0 : 2 =





H1 : 2 <





Maka hal yang sebaliknya akan terjadi mengenai kriteria pengujian, yaitu tolak H0 jika X 2

 



, di mana

 



  didapat dari daftar chi-kuadrat dengan dk = (n – 1) dan peluang  sedangkan statistik  X 2 _{tetap dihitung oleh rumus 12.4.}

Contoh: Proses pengisian semacam minuman kedalam botol oleh mesin, paling tinggi mencapai varians 0,50 cc. akhir-akhir ini ada dugaan bahwa isi botol telah mempunyai variabilitas yang lebih besar. Diteliti 20 botol dan isinya ditakar. Ternyata sampel ini menghasilkan simpangan baku 0,90 cc. dengan  = 0,05, perlukah mesin distel?

Jawab: pengujian yang akan dilakukan adalah mengenai : H0 :  = 0,50

H1 :  > 0,50

Dengan s2 _{= 0,81 dan n = 20 serta }2 _{= 0,50 dari rumus 1 2.4 didapat:}

 



 =(20

−

1)(0,81)

0,50   = 30,78

Dari daftar chi-kuadarat dengan dk = 19 dan peluang 0,95 maka diperoleh

 





,



  = 30,1.

Karena chi-kuadrat dari penelitian lebih besar dari 30,1 maka H0 ditolak pada taraf 5%.

Ini berarti variasi isi botol telah menjadi lebih besar, sehingga dianjurkan untuk menyetel kembali mesin agar mendapatkan pengisian yang lebih merata.

12.9. Menguji kesamaan dua rata-rata : uji dua pihak

Banyak penelitian yang memerlukan perbandingan atara dua keadaan atau tepatnya dua  populasi. Misalnya membandingkan dua cara mengajar, dua cara produksi, daya sembuh dua macam obat dan lain sebagainya. Untuk keperluan ini akan digunakan dasar distribusi sampling mengenai selisih statistik, misalnya selisih rata-rata dan selisih proporsi.

Misalkan kita mempunyai dua populasi normal masing-masing dengan rata-rata 1 dan

2  sedangkan simpangan bakunya adalah 1  dan 2. Secara independen sampel acak

 berukuran n1 dan n2 diambil dari masing-masing populasi. Dari kedua sampel ini

berturut-turut didapat

̅



, s1 dan

̅



, s2. Akan diuji tentang rata-rata 1 dan 2.

Pasangan hipotesis nol dan tandingannya yang a kan diuji adalah H0 : 1 = 2

H1 : 1 2

Hal A) 1 =  2= dan diketahui

Statistik yang digunakan jika H0 benar adalah



 =

 ̅



̅



 







  12.5

Dengan taraf nyata 1, maka kriteria pengujian adalah terima H0 jika

−

 

 (



) <



 <



 

 (



) dimana



 

 (



) didapat dari daftar normal baku d engan peluang ½(1 - ). Dalam

hal lainya H0 ditolak.

Hal B) 1 =  2= tetapi tidak diketahui

Jarang sekali  1dan  2 diketahui besarnya. Jika H0 benar dan  1 =  2 =   sedangkan  

tidak diketahui harganya, statistik yang digunakan ada lah



 =

 ̅



̅



 

_



_

  12.6

Dengan





 =(







_

)







(







)













  12.7

Menurut teori distribusi sampling, bab 10, maka statistik t di atas berdistribusi Student dengan dk = (





 +





−

2). Kriteria pengujian adalah terima H0  jika

−

 

 (



) <



 <



 

 (



), di mana



 

 (



) didapat dari daftar distribusi t dengan dk = (





 +





−

2) dan

 peluang =(1

−

1

 

₂ ). Untuk harga-harga t lainnya H0 ditolak.

Contoh: Sebuah sampel acak terdiri atas 11 ayam diberi makanan A dan 10 ayam diberi makanan B. Tambahan berat masing-masing (dalam ons) hasil penelitian adalah sebagai b erikut:

Kelompok A : 3,1 3,0 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4 Kelompok B : 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3,0 3,0 2,6 3,7

Dalam taraf nyata  = 0,05, tentukan apakah kedua jenis makanan itu sama baiknya atau tidak?

Jawab: Dari data di atas di dapat

̅



  = 3,22,

̅



 = 3,07,





= 0,1996 dan





= 0,1112. Simpangan baku gabungan, dari rumus 12.7 didapat s = 0,397. Rumus 12.6 memberikan:



 = 3,22

−

3,07

0,397

 

(1/11) + (1/10)= 0,862

Harga t0,975 dengan dk = 19 dari daftar distribusi Student adalah 2,09. Kriteia pengujian adalah terima

H0 jika t hitung terletak antara -2,09 dan 2,09 dan tolak H0 jika t mempunyai harga-harga lain. Dari penelitian didapat t = 0,862 dan ini jelas ada dalam daerah penerimaan. Jadi H0

diterima.

Hal B) 1  2 = dan kedua-duanya tidak diketahui

Jika kedua simpangan baku tidak sama tetapi kedua populasi berdistribusi normal, hingga sekarang belum ada statistik yang tepat yang dapat digunakan. Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistik t’ sebagai berikut:



 =

̅



̅



 

(





/





)



(





/





)

  12.8

Kriteria pengujian adalah terima hipotesis H0 jika

−







+













 +





<





 <









 +













 +





Dengan :





 =





/





;





 =





/









 =



  

,(







) dan





 =



  

,(







)

t, m didapat dari daftar distribusi Student dengan peluang  dan dk = m. untuk

harga-harga t lainnya, H0 ditolak.

Contoh: Semacam barang dihasilkan dengan menggunakan dua proses. Ingin diketahui apakah dua proses itu menghasilkan hal yang sam aatau tidak terhadap kulaitas barang itu ditinjau dari rata-rata daya tekannya. Untuk itu diadakan percobaan sebanyak 20 dari hasil proses pertama dan 20 lainny dari hasil proses kedua. Rata- rata dan simpangan bakunya berturut-turut

̅



= 9,25 kg, s1 = 2,24 kg,

̅



=

10,40 kg, s2  = 3,12 kg. jika varians kedua populasi tidak sama dengan taraf nyata 0,05,

 bagaimanakah hasilnya? Jawab: Hipotesis H0 dan H1adalah

H0 : 1 = 2; kedua proses menghasilkan barang dengan rata-rata daya tekan yang sama

H1 : 1 2; kedua proses menghasilkan barang dengan rata-rata daya tekan yang berlainan

Harga-harga yang diperlukan adalah:





 =   9,25

−

10,40

 

(5,017/ 20) +(9,7344_{20 )} = 1,339





 =



,



_

  = 0,2509





 =



,



_

  = 0,4862.





 =



(



,



),



 = 2,09, dan





 =



(



,



),



 = 2,09 Sehingga didapat:









+













 +





= (0,2509)(2,09) + (0,4867)(2,09) 0,2509+ 0,4869   =2,09

Kriteria pengujian adalah terima H0  jika -2,09 < t’ < 2,09 dan tolak H0  dalam hal

lainnya. Jelas bahwa t’ = 1,339 ada dalam daerah penerimaan H0. Jadi kita terima H0 dalam

taraf yang nyata 0,05. Hal D) observasi berpasangan

Untuk observasi berpasangan, lihat bab 11, bagian 7.C, kita mabil B= 1 - 2.

Hipotesis nol dan tandingannya adalah H0 : B = 0

Jika B1 = x1-y1, B2 = x2 – y2, …, Bn = xn – yn, maka data B1, B2, …, Bn menghasilkan

rata-rata



 dan simpangan baku sB. Untuk pengujian hipotesis, gunakan sta tistik:



 =

_





/

√ 

  12.9

dan terima H0 jika –t1 – ½  < t < t1 – ½  dimana t1 – ½  didapat dari daftar distribusi t dengan

 peluang (1 – ½ ) dan dk = (n – 1). Dalam hal lainnya H0 ditolak.

Contoh: Kita ambil contoh dalam bab 11.7 C mengenai tinggi anak laki-laki pertama dan tinggi ayah. Di sana telah didapat n = 10,



 = 0,8 dan





 = 11,07. Maka,



 = 0,8

 

11,07/10= 0,762

Dari daftar distribusi t dengan peluang 0,975 dan dk = 9 didapat t0,975 = 2,26. Ternyata t = 0,762 ada dalam

daerah penerimaan H0. Jadi penelitian menghasilkan uji yang tak berarti.

12.10. Menguji kesamaan dua rata-rata : uji satu pihak

Sebagaimana dalam uji dua pihak, untuk uji satu pihak pun dimisalkan bahwa kedua  populasi bersistribusi n ormal dengan rata-rata 1  dan 2  dan simpangan baku 1  dan 2.

Karena umumnya besar 1  dan 2  tidak diketahui, maka di sini akan ditinjau hal-hal

tersebut untuk keadaan 1 = 2 atau 1 2.

Hal A). Uji pihak kanan

Yang diuji adalah H0 : 1 = 2

H1 : 1> 2

Dalam hal 1 = 2, maka statistik yang digunakan adalah statistik t seperti dalam r umus

12.6 dengan s2 _{seperti dalam rumus 12.7. Kriteria pengujian yang berlaku ialah terima H} 0

 jika t < t1 -  dan tolak H0 jika t mempunyai harga-harga lain. Sedangkan dk = (n1 + n2 – 2)

dengan peluang (1 - ). Jika 1 2, maka statistik yang digunakan ada lah statistik t’ sperti

dalam rumus 12.8. Dalam hal ini, kriteria pengujian adalah tolak hipotesis H0  jika

′ ≥





_



















dan terima H0 jika terjadi sebaliknya, dengan





 =





/





;





 =





/





,





 =



(



),(







)

dan





 =



(



),(







). Peluang untuk penggunaan daftar distribusi t ialah (1

−



)sedangkan dk-nya masing-masing(





−

1) dan(





−

1).

Contoh: Diduga bahwa pemuda yang senang  berenang r ata-rata lebih tinggi badannya daripada pemuda sebaya yang tidak senang berenang. Untuk meneliti ini telah diukur 15 pemuda yang senang  berenang d an 20 pemuda yang tidak s enang b erenang. Rata-rata tinggi b adannya b erturut-turut

adalah 167,2 cm dan 160,3 cm. simpangan bakunya masing-masing 6,7 cm dan 7,1 cm. Dalam taraf nyata  = 0,05, dapatka kita mendukung dugaan tersebut?

Jawab: Jika distribusi tinggi badan untuk kedua kelompok pemuda itu normal dan 1 = 2, maka statistic t

dalam rumus 12.6 dapat digunakan. Kita punya n1 = 15,

̅



= 16,72 cm, s1  = 6,7 cm, n2= 20,

̅



=

160,3 cm dan s2 = 7,1 cm. dari rumus 12.7 didapat varians gabungan





 =(15

−

1)(44,89) + (20

−

1)(50,41)

15+20

−

2   = 48,07 Sehingga statistic t mempunyai harga:



 = 167,2

−

160,3

 

(48,07){(1/15) +(1/20)}= 2,913 Dari daftar distribusi t dengan peluang 0,95 dan dk = 33, didapat t0,95= 1,70.

Dari penelitian didapat t = 2,913 dan ini lebih besar dari t = 1,70. Jadi H0 : 1 = 2 ditolak.

Penyelidikan memberikan hasil yang berarti pada taraf 5%. Dugaan di muka dapat diterima. Jika untuk contoh di muka dimisalkan 1 2, maka digunaka statistik t’ dalam r umus

12.8. harga-harga yang perlu adalah

w1 = 44,89/15 = 2,99 ; w2 = 50,41/20 = 2,52 t1 = t(0,95),14 = 1,76 ; t2 = t(0,95),19 = 1,73





_



















=(



,



)(





,



,



)



(



,



,



)(



 ,



)= 1,75 Sehingga diperoleh:

′

 =   167,2

−

160,3

 

44,89/15) + (50,41/ 20)= 2,49

Kriteria pengujian adalah tolak H0 jika t’  1,75. Karena t’ = 2,49 maka H0 ditolak dan

hasil pengujian seperti di atas dapat disimpulkan.

Untuk observasi berpasangan, pasangan hipotesis nol H0  dan hipotesis tandingan H1

untuk uji pihak kanan adalah H0 : B = 0

H1 : B> 0

Statistik yang digunakan masih statistik t dalam rumus 12.9 dan tolak H0 jika t  t1 -  di

mana t1 -  didapat dari daftar distribusi Student dengan dk = (n – 1) dan peluang (1 - ).

Contoh: Untuk mempelajari kemampuan belajar 10 anak laki-laki dan 10 anak perempuan telah diambil secara acak. Dari pengamatan, kemampuan belajar anak laki-laki lebih baik daripada kempuan  belajar anak perempuan. Hasil ujian yang dilakukan adalah

Laki-laki : 30 21 21 27 20 25 27 22 28 18 Perempuan : 31 22 37 24 30 15 25 42 19 38 Apakah yang dapat disimpulkan dari hasil u ji ini?

Jawab: Ambil L  = rata-rata hasil ujian untuk anak laki-laki dan P  = rata-rata hasil ujian untuk anak

Akan diuji pasangan hipotesis: H0 : B = P - L = 0

H1 : B> 0

Dari data di atas, setelah dihitung berasarkan beda (selisih) tiap pasang data, didapat



 = 4,4 dan sB =

11,34. Rumus 12.9 memberikan



 = 4,4 11,34

√ 

10= 1,227

Dengan dk = 9 dan peluang =0,95 dari daftar distribusi student didapat t0,95 = 1,83. Karena t = 1,22 lebih kecil

dari 1,83 maka H0diterima. Dalam hal ini masih dapat d ikatakan bahwa rata-rat hasil ujian anak laki-laki lebih

 baik dari pada rata-rata hasil ujian anak perempuan.

Hal B). Uji pihak kiri

Perumusan hipotesis H0 dan hipotesis tandingan H1 untuk uji pihak kiri adalah

H0 : 1 = 2

H1 : 1< 2

Langkah-langkah yang ditempuh dalam hal ini sejalan dengan ya ng dilakukan untuk uji  pihak kanan.

Jika 1 = 2, kedua-duanya memiliki nilai yang tidak diketahui, maka digunakan

statistik t dalam rumus 12.6. Kriteria pengujian adalah tolak H0 jika t  -t1-, di mana t1-

didapat dari daftar distribusi t dengan dk = (n1 + n2 – 2) dan peluang (1 - ). Untuk

harga-harga t lainnya, H0 diterima.

Jika 1 2, maka yang digunakan adalah statistik t’ dalam rumus 12.8 dan tolak H0

untuk

′ ≤



(

















)









di mana w1, w2, t1 dan t2 semuanya seperti telah diuraikan di muka. Jika t’ lebih besar

dari harga tersebut, maka H0 diterima.

Untuk observasi berpasangan, hipotesis H0 dan tandingannya yang akan diuji adalah

H0 :  = 0

H1 :  < 0

Statistik yang digunakan adalah statistik t dalam rumus 12.9 dan tolak H0 jika t  - t(1 -), (n – 1) dan terima H0 untuk t > - t(1 - ), (n – 1).

12.11. Menguji kesamaan dua proporsi : uji dua pihak

Misalkan sekarang kita mempunyai dua populasi binom yang didalamnya masing-masing didapat proporsi peristiwa A sebesar 1  dan 2. Dari populasi pertama diambil

sebuah sampel acak berukuran n1  dan didalamnya terdapat proporsi peristiwa A sebesar

x1/n1. Dari populasi kedua, angka-angka tersebut berturut-turut adalah n2 dan x2/n2. Kedua

sampel diambil secara independen. Akan diuji hipotesis: H0 : 1 = 2

H1 : 1 2

Untuk ini digunakan pendekatan oleh distribusi normal d engan statistik



 =

_

(





_{(/

_



_/



_

)



(





/





)



)



(



/





)}  12.10

dengan



 =



_













 dan



 = 1

−

.

Jika dalam pengujian ini digunakan taraf nyata , maka kriteria pengujian adalah terima H0 untuk

−

 

 (



) <



 <



 

 (



)dan tolak H0 untuk harga-harga z lainnya.

Seperti biasa,

−

 

 (



)  didapat dari daftar distribusi normal baku dengan peluang

1 2



(1

−

).

Contoh: Suatu penelitian dilakukan di daerah A terhadap 250 pemilih. Ternyata 150 pemilih menyatakan akan memilih calon C. di daerah B penelitian dilakukan terhadapa 300 pemilih dan terdapat 162 yang akan memilih calon C. adakah perbedaan yang nyata mengenai pemilihan calon C di antara kedua daerah itu?

Jawab: Hipotesis yang akan diuji adalah

H0 :A =B tidak terdapat perbedaan yang nyata antara kedua daerah itu terhadap pemilihan calon C.

H1 : A B terdapat adanya perbedaan yang nyata antara kedua daerah terhadap pemilihan calon C.

12.12. Menguji kesamaan dua proporsi : uji satu pihak

Untuk uji pihak kanan, maka pasangan hipotesisinya adalah H0 : 1 = 2

H1 : 1> 2

Statistik yang digunakan masih berdasarkan pendekatan oleh distribusi normal, jadi digunakan statistik z dalam rumus 12.10. Dalam hal ini tolak H0 jika z  z0,5 -  dan terima

H0 untuk z < z0,5 - , dengan  = taraf nyata.

Apabila uji pihak kiri, maka hipotesis nol H0 dan tandingannya H1 berbentuk

H0 : 1 = 2

H1 : 1< 2

Dengan statistik yang sama seperti di atas, tolak H0 untuk z  -z0,5 -  dan terima H0 jika

z > z0,5 - didapat dari daftar distribusi normal baku dengan peluang (0,5 - ).

Contoh: Terdapat dua kelompok ialah A dan B, masing-masing terdiri dari 100 pasien yang menderita semacam penyakit. Kepada kelompok A diberikan sebuah serum tertentu tetapi tidak kepada kelompok B. kelompok B sering dinamakan kelompok control. Setelah jangka waktu tertentu,

terdapat 80 yang sembuh dari kelompok A dan 68 dari kelompok B. apakah penelitian ini memperlihatkan bahwa pemberian serum ikut membantu memyembuhkan penyakit?

Jawab: untuk ini diperoleh



 =

_{}



 = 0,74 dan



 = 0,26

Sehingga statistik z besarnya



 = 0,80

−

0,68

 

(0,74)(0,26)(0,02)= 1,94

Jika A menyatakan presentase yang sembuh dari kelompok A dengan B yang sembuh dari kelompok B,

maka diperoleh hipotesis H0 : A = B

H1 : A< B

Tolak H0untuk z  1,64 dan terima H0 untuk z < 1,64 dengan  = 0,05. Penelitian menghasilkan z = 1,9 4

yang jatuh dalam daerah kritis. Jadi pengujian barangkali berarti (untuk  = 0,01 harga z = 2,33)

Meskipun pada taraf sekarang kita dapat mengatakan pemberian serum membantu menyembuhkna penyakit, namun untuk lebih meyakinkan lagi dianjurkan agar penelitian lebih lanjut dilakukan lagi.

12.13. Menguji kesamaan dau varians

Ketika menaksir selisih rata-rata, lihat bab 11.7 dan menguji kesamaan atau perbedaan rata-rata telah berulang kali ditekankan adanya asumsi bahwa kedua populasi mempunyai varians yang sam agar menaksir dan menguji bisa berlangsung. Dalam hal varians yang  berlainan, hingga sekarang hanya digunakan cara-cara pendekatan. Oleh karena itu terasa  perlu untuk melakukan pengujian mengenai kesamaan dua varians atau lebih. Populasi- populasi dengan varians yang sama besar dinamakan Populasi- populasi dengan varians yang

homogen.dalam hal lainnya disebut populasi dengan varians yang heterogen. Dalam bagian ini akan dilakukan pengujian kesamaan varians untuk dua populasi. Misalkan kita mempunyai dua populasi normal untuk pasangan hipotesis nol H0dan





.

Akan diuji mengenai uji dua pihak untuk pasanga hipotesisH0 dan tandingannyaH1:

H0 :





 =





H1 :





≠ 

Berdasarkan sampel acak yang masing-masing secara independen diambil dari populasi tersebut. Jika sampel dari populasi pertama berukuran n1 dengan varians





 dan sampel

dari populasi kedua berukuran n2 dengan varians





 maka untuk menguji hipotesis di atas

digunakan statistik.



 =



_





  12.11

Kriteria pengujian ialah terima hipotesisH0 jika



(



)(







) <



 <



  

 (







,







) untuk taraf nyata , di mana F  (m, n) didapat dari

daftar distribusi F dengan peluang , dk pembilang = n dan deka penyebut = n ( lihat contoh dalam bab 8.9).

Statistik lain yang digunakan dalam uji hipotesis H0 di muka juga adalah



 =



_{}

12.12

Dan tolak H0 hanya jika F   F  ½ (v1, v2).

dengan F  ½  (v1, v2) didapat dari daftar distribusi F dengan peluang ½ , sedangkan dk v1 dan

v2 masing-masing sesuai dengan dk pembilang dan dk penyebut dalam rumus 12.12. seperti

 biasa,  = taraf nyata.

Dalam perhitungan F dari daftar, jika peluang beda dari 0,01 atau 0,05, maka digunakan rumus 8.22.

Contoh: Ada dua macam pengukuran kelembaban suatu zat. Cara ke-I dilakukan 10 kali yang menghasilkan s2  _{= 24,7 dan cara ke-II dilakukan 13 kali dengan s}2  _{= 37,2. Dengan   = 0,10 tentukan apakah}

kedua cara pengukuran tersebut mempunyai varians yang homogin? Jawab: Dengan rumus 12.12 didapat F = 37,2 / 24,7 = 1,506.

Derajat kebebasan untuk pembilang = 12 dan untuk penyebut = 9. Dengan   = 0,01, dari daftar distribusi F didapat F0,05(12,9)= 3,07.

Dari penelitian di dapat F = 1,506 dan ini lebih kecil dari 3,07. Jadi H0:





=





diterima dan H1:











  ditolak. Kedua cara pengukuran dapat dikatakan mempunyai

varians yang sama besar.

Jika yang digunakan rumus 12.11, maka F = 24,7/37,2 = 0,664. Dengan  = 0,10, dari daftar distribusi F didapat F0,05(9,12)  = 2,80. Untuk mencari harga F0,05(9,12)  kita gunakan

rumus 8.22. dari daftar didapat F0,05(9,12) = 3,07. SehinggaF



,



(



,



) =

 

_,



 = 0,328

Kriteria pengujian adalah terima H0  jika 0,328 < F < 2,80 dan tolak H0  dalam hal

lainnya. Kita punya F = 0,664 yang jatuh dalam daerah penerimaan H0. Jadi H0 diterima,

dan kesimpulan sama seperti di muka.

Jika pengujian yang dihadapi merupakan uji satu pihak yaitu uji pihak kanan, untuk hipotesis nol H0 dengan tandingan H1

H0 :





 =





H1 :





 >





Dan uji pihak kiri H0 :





 =





Maka dalam kedua hal, statistik yang digunakan masih F =





/





 seperti dalam rumus 12.1. untuk uji pihak kanan, kriteria pengujian adalah tolak H0 jika

 ≥ 



(







,







) sedangkan

untuk uji pihak kiri, tolak H0 jika

 ≤ 

(



)(







,







). Dalam hal-hal lain, H0 diterima.

Contoh: Penelitian terhadap dua metode penimbangan menghasilkan





 = 25,4 gram dan





  = 30,7 gram. Penimbangan masing-masing dilakukan sebnayak 13 kali. Ada anggapan bahwa metode pertama menghasilkan penimbangan dengan variabilitas yang lebih kecil. Betulkah itu?

Jawab: Yang akan diuji H0 :





 =





H1 :





 >





Dari rumus 12.11 didapat F = 25,4/30,7 = 0,83. Dari daftar distribusi F didapat F0,05(12,12) =

2,69. Karena 0,83 < 2,69, maka dalam taraf nyata 0,05 kita terima H0.

Metode penimbangan pertama variabilitasnya lebih kecil dari pada metode kedua.

12.14. Kuasa uji dan kurva ciri operasi

Dalam bagian 4 bab ini, diberikan contoh tentang uji rata-rata masa hidup lampu, ialah H0 :  = 800 jam melawan H1 :   800 jam dengan  = 60 jam diketahui. Dengan sampel

 berukuran n = 50 dan

̅

 = 792 jam, pengujian menyatakan menerima H0 pada taraf  = 0,05.

Jika sebenarnya rata-rata masa hidup lampu itu bukan 800 jam, melainkan  = 778 jam,  berapakah , yaitu peluang membuat kekeliruan tipe II, dalam pengambilan keputusan di

atas?

Untuk menentukan , kita buat sketsa dua distribusi normal yang satu dengan  = 800 dan satu lagi dengan  = 778. Kedua-duanya mempunyai  = 60.

Uji dua pihak dengan  = 0,05 menghasilkan daerah penerimaan H0 berbentuk -1,96 <

z < 1,96 atau -1,96 <

_

̅

/

√ 

 < 1,96 atau 783,36 <

̅

 < 816,64.

  adalah bagian grafik dalam distribusi normal dengan   = 778 yang dalam daerah  penerimaan H0 yaitu dari 783,36 ke 816,46. Dalam distribusi normal baku, ini sama dengan

Gambar 12.9 800 _816,64 0,025 783,36 778 0,025

dari



 =



_

,



_/

_√ 

 ke



 =



_

,



_/

_√ 

 atau dari z = 0,63 ke z = 4,55 atau praktis dari z = 0,63 ke kanan. Luasnya adalah 0,5 – 0,2357 = 0,2643. Jadi  = 0,2643

Ini berarti peluang menerima hipotesis nol bahwa rata-rata masa hidup lampu 800 jam  padahal sebenarnya 778 jam adalah 0,2643. Unutk ini, kuasa uji dapat ditentukan ialah (1 -) = 0,7357 dan ini tiada lain daripada peluang menolak hipotesis   = 800 karena sebenarnya  = 778.

Jika sekarang   = 825, maka   merupakan bagian grafik dalam distribusi normal dengan  = 825 yang terletak dalam daerah penerimaan H0 yaitu antara 783,36 dan 816,64.

Dalam angka z, ternyata  antara z = -1,49 dan z = 0,99 atau praktis dari z = -0,99 ke kiri. Luasnya adalah 0,5 – 0,3389 = 0,1111. Dengan demikian  = 0,1111 dan kuasa uji = 0,8889.

Dengan cara yang sama   dan (1 - ) dapat dihitung untuk harga-harga   yang  berlainan. Beberapa diantaranya dapat dilihat berikut ini.

DAFTAR 12.2

BEBERAPA NILAI KUASA UJI UNTUK BERBAGAI  H0 :  = 800 MELAWAN H1 :   800

750 765 778 790 800 810 825 845 870

 0,0000 0,0154 0,2643 0,7815 0,95 0,7815 0,1111 0,0004 0,0582 1 -  1,0000 0,9846 0,7357 0,2185 0,05 0,2185 0,8889 0,9996 0,9418

Kita lihat bahwa   menyatakan peluang menerima H0:   = 800 apabila sebenarnya

harga  = 800, maka  diartikan sebagai peluang menerima  = 800 apabila memang itu harus diterima. Dalam hal ini, besar  = 0,95.

Grafik   terhadap  dinamakan kurva cirri operasi, disingkat kurva CO yang dapat dilihat di bawah ini:

Gambar 12.10 825 816,64 0,025 783,36 800 0,025

Bentuk kurva CO seperti di atas adalah khas untuk uji dua pihak. Makin tajam puncak kurva makin baik aturan keputusan u ntuk menolak hipotesis yang tidak berlaku.

Grafik (1 - ) terhadap  dinamakan kurva kuasa untuk uji hipotesis. Unutk uji dua  pihak da lam contoh di muka, bentuk kurva kuasanya dapat dilihat dalam gambar 12.12.

ternyata bahwa bentuknya persis kebalikan daripada kurva cirri operasi.

(1 - ) disebut juga  fungsi kuasa, karena memperlihatkan kuasa daripada pengujian untuk menolak hipotesis yang seharusnya ditolak.

Untuk uji satu pihak akan kita ambil uji pihak kanan mengenai proporsi   sebagai contoh. Misalkan akan menguji H0   = 0,5 melawan H1 :   > 0,5 dengan   = 0,05

 berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n = 100. Ukuran sampel cukup besar, sehingga dapat digunakan pendekatan oleh distribusi normal dengan rumus 12.3. dinyatakan dalam  perbandingan sampel f = x/n, kita terima H0 jika



,



 

(



,



)(



,



)/



 < 1,64 atau f < 0,58 atau jika

x < 58.

Jika sebenarnya  = 0,4 berapakah besarnya ?

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 740 760 780 800 820 840 860 880 Gambar 12.11  = 0,05 Gambar 12.12 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 740 760 780 800 820 840 860 880 1 -  = 0,05

Dengan melakukan penyesuaian terhadap x, dalam hal ini dikurangi 0,5 maka dalam kurva distribusi normal baku, letak daerah   ada di sebelah kiri dari



 =

_



,



(



,



)

(



,



)(



,



)=

3,57. Luasnya = 0,9998. Jadi  = 0,9998 dan kuasa uji (1 - ) = 0,0002. Jika sebenarnya  = 0,7, maka  = 0,0032 dan kuasa uji 0,9968. Dengan jalan yang sama, nilai  dan (1-) untuk  berbagai  diberikan di bawah ini.

DAFTAR 12.3

BEBERAPA NILAI KUASA UJI UNTUK BERBAGAI  H0 :  = 0,5 MELAWAN H1 :  > 0,5

 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

 1,0000 0,9998 0,95 0,3050 0,0032 0,0000

1 -  0,0000 0,0002 0,05 0,6950 0,9968 1,0000

Kurva cirri operasi (CO) untuk pengujian di atas dapat dilihat dalam gambar 12.13. Makin tegak jalan kurva makin baik aturan keputusan untuk menolak hipotesis yang seharusnya ditolak.

Kurva kuasa pengujian di atas dapat dilihat dalam gambar 12.14. ternyata kebalikan daripada kurva cirri operasi.

Kurva ciri operasi dan kurva kuasa adalah ekivalen.

Hingga kini,   dan (1 - ) telah dihitung  berdasarkan populasi normal dengan   tidak diketahui. Jika   tidak diketahui, pengujian akan  berdasarkan distribusi t dan untuk menentukan kuasa diperlukan distribusi yang nonsentral. Hal ini tidak dibicarakan lebih lanjut, karena memerlukan teori yang lebih jauh.

Hal yang sama juga berlaku untuk pengujian yang menggunakan distribusi F dan distribusi Chi-Kuadrat. Dalam hal ini untuk menghitung  diperlukan distribusi F nonsentral dan chi-kuadrat nonsentral.

Distribusi-distribusi yang kita kenal sekarang di sini semuanya distribusi sentral.

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1  = 0,05 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 2 4 6 8 1

-12.15. Menentukan ukuran sampel

Dalam bab 11.9 telah diuraikan bagaimana cara menentukan ukuran sampel sehubungan dengan penaksiran parameter. Sekarang sesudah kita mempelajari cara menguji hipotesis, akan diberikan beberapa contoh bagaimana menentukan banyak objek yang perlu diteliti. Faktor yang ikut menentukan dalam hal ini adalah

a. Mengenai parameter apakah hipotesis yang kan diuji itu  b. Bagaimana pengujian dilakukan, satu pihak atau dua pihak

c. Berapa besar taraf nyata yang a kan digunakan, atau ini tiada lain daripada d. Berapa besar kekeliruab yang mau dilakukan

e. Berapa besar penyimpangan yang dapa t diterima diukur dari nilai hipotesis. Contoh : Sebuah sampel acak diperlukan untuk menguji hipotesis H0 :  = 50 melawan H1 =   50 dengan

syarat-syarat sebagai berikut:

a) Peluang menolak H0 apabila sebenarnysa  = 50 paling tinggi 0,05.

b) Peluang menerima H0 apabila sebenanya  berbeda dari 50 dengan 5 paling tinggi 0,10.

Jika diketahui populasi berdistribusi normal dengan   = 6, berapa obyek yang paling sedikit yang perlu diteliti?

Jawab : Syarat a) mengatakan bahwa paling tinggi  = 0,05 sedangkan s yarat b) mengatakan paling tinggi  = 0,10 terjadi pada  = 45 dan  = 55. Keadaan ini dapat dilihat dalam gambar 12.15.

Daerah penenrimaan H0  adalah antara z = -1,96 dan z = 1,96. Dengan rumus 12.1, dari distribusi normal

dengan  = 50 didapat:

1,96=

̅

_



_/



_√ 

 ,



  = ukuran sampel, dan dari distribusi normal baku dengan   = 55 dan   = 0,10 didapat

−

1,28=

̅

_





/

√ 

 ,



 = ukuran sampel.

Kedua persamaan diatas memberikan 11,76

⁄

√ 

=

̅ −

50

−

7,68

⁄

√ 

=

̅−

55

Setelah diselesaikan didapat n = 15,12. Paling sedikit perlu diteliti 16 obyek.

Dengan n = 16 ini akan didapat

̅

 = 52,9 dan

̅



 = 47,1 Gambar 12.15 50

̅



0,025 55 45 0,025

 ̅



Kriteria pengujian adalah jik adari sampel berukuran 16 didapat

̅

 antara 47,1 dan 52,9 maka H0 diterima,

sedangkan dalam hal lainnya H0 harus ditolak.

Catatan : Hasil yang sama akan diperoleh apabila diambil distribusi normal dengan  = 50 dan  = 45. Jika untuk contoh di a tas diambil  = 0,05, maka persamaan yang perlu diselesaikan adalah 1,96=

̅

_



_/



_√ 

 dan

−

1,645 =

̅

_



_/



_√ 

Atau

11,76/

√ 

 =

̅ −

50

−

9,87/

√ 

 =

̅−

55

Hal ini memberikan hasil n = 18,71 yang berarti paling sedikit sampel itu harus berukuran 19.

Kita lihat bahwa makin kecil kekeliruan yang dikehendaki makin besar ukuran sampel yang diperlukan. Hal yang sama akan terjadi apabila menghendaki penyimpangan yang semakin kecil dari nilai yang dihipotesiskan.

Contoh : Diduga bahwa paling banyak 30% anggota masyarakat menderita penyakit A. Kita ingin menguji  pernyataan ini dengan mengambil  = 0,05 dan  = 0,05 untuk penyimpangan maksimal 10% dari

yang dihipotesiskan. Berapa anggota masyarakat yang harus diteliti?

Jawab : kita lihat bahwa hal ini uji pihak kanan dengan keadaan seperti tertera dalam gambar di bawah ini.

Daerah penerimaan H0 adalah z = 1,645 ke kiri dalam kurva distribusi normal yang sesuai dengan  = 0,3.

Dari rumus 12.3 didapat

1,645 =

_ 

₍



_

_,/

_



₎₍

_

_,

_

,



_)/

_

, n = ukuran sampel

Dari  = 0,05 dengan menggunakan kurva distribusi normal yang sesuai dengan  = 0,4 didapat 1,645 =

_ 

₍



_

_,/

_



₎₍

_

_,

_

,



_)/

_

, n = ukuran sampel

Kedua persamaan di atas menjadi:  x/n 0,3 =0,7983/

√ 

 x/n 0,4 =0,8059/

√ 

Setelah diselesaikan didapat n = 257,35. Berarti sampel kita paling sedikit berukuran 258. Gambar 12.16

0,25

 x 0,05