FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS TEKNOLOGI YOGYAKARTA
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL TAHUN AKADEMIK 2017/2018
PROGRAM STUDI: TEKNIK SIPIL
Mata Ujian
: Statistika (Kelas 1C)
Hari, Tanggal
: Rabu, 8 November 2017
Dosen
: Wayan Suparta, PhD
Waktu
: 100 Menit
Sifat
: Buku Terbuka
Perhatian: Dibolehkan menggunakan kalkulator; dilarang menggunakan Handphone, Laptop atau sejenisnya; tidak diperkenakan pinjam meminjam kalkulator atau alat lainnya dan dilarang keras menyontek, bekerjasama, dll. Jika kedapatan maka dinyatakan gugur dan diberi nilai NOL.
Petunjuk A: Soal-soal ini wajib dikerjakan.
1. Sebuah perusahaan menyediakan 3 alat berat Bulldozer untuk pelanggannya. Dari catatan sebelumnya diketahui bahwa 30% mengunakan Kobelco, 50% Dozer dan 20% Barkhoe. Jika 8% diantara alat-alat berat Kobelco, 5% Dozer dan 3% Barkoe terdapat kerusakan pada bagian pendongkraknya, hitung peluang bahwa:
a. Seorang pelanggan mendapat bulldozer dengan pendongkrak yang rusak
b. Seorang pelanggan diketahui mendapat bulldozer dengan pendongkrak yang rusak, ternyata menggunakan Kobelco.
2. Peubah acak X menyatakan banyaknya motor terjual per hari pada sebuah dealer motor di Jogja dengan sebaran peluangnya sebagai berikut:
X 1 2 3 4 5 6
P(x) 0.20 0.25 0.20 0.30 0.15 0.10 a. Cari rata-rata (nilai harapan) banyaknya motor yang terjual per hari!
b. Berapakah ragam dan simpangan baku banyaknya motor yang terjual per hari?
3. Jika 15 sampel dipilih secara acak dari alat seterika yang dihasilkan sebuah pabrik adalah rusak 10%. Tentukan probabilitas (a) dua seterika rusak, (b) sekurang-kurangnya 2 seterika rusak, (c) maksimum 2 seterika yang rusak, dan (d) dapatkan ragam dari permasalahan itu.
[25%]
[25%]
Petunjuk B: Pilih salah satu dari tiga soal yang disediakan.
4. Banyaknya waktu (dalam hari), fungsi pelapukan gedung sebelum retak adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang (PDF) sebagai berikut:
a. Berapa peluang bahwa gedung tersebut akan berfungsi antara 5 sampai 7 hari sebelum retak?
b. Berapa peluang bahwa gedung akan berfungsi kurang dari seminggu?
5. Produktivitas pertumbuhan lahan gambut diberikan seperti tabel berikut. Dapatkan Umur lahan Frekuensi
1 - 3 3 4 - 6 7 7 - 9 9 10 - 12 13 13 - 15 10 16 - 18 6 19 - 21 2 a. Mean b. Median c. Kuartil: Q1, Q2, dan Q3 d. Modus
e. Gambar grafik batang (histogram) dari distribusi tersebut. Selamat Bekerja dan Semoga Sukses
ws/nov2017
[25%]
lainnya untuk x C x f x 0 3 0 5 ) ( 3[25%]
SOLUSI UTS1: STATISTIKA
WAYAN SUPARTA, PhD
1. Rangkuman penyewaan bulldozer kepada pelanggan ini dapat dirangkum dalam tabel berikut.
Alat berat Kobelco (K) Dozer (D) Barkhoe (B) Penggunaan 0.30 0.50 0.20 Rusak Pendongkrak 0.08 0.05 0.03
Kasus ini adalah saling lepas yang dapat diselesaikan dengan Teorema Bayes. a. Jika P(A) = bulldozer yang rusak, maka
P(A|K) = 8% dari 30% ===> P(K) = 0.30 P(A|D) = 5% dari 50% ===> P(K) = 0.50 P(A|B) = 3% dari 20% ===> P(K) = 0.20 Jadi,
P(A) = P(A|K) P(K) + P(A|D) P(D) + P(A|B) P(B) = 0.08 (0.3) + 0.05 (0.5) + 0.03 (0.2)
= 0.055
b. Karena telah diketahui mendapat bulldozer yang rusak, maka
Jadi, peluang seorang pelanggan mendapat bulldozer Kobelco yang rusak adalah 43.6%. 2. Lihat tabel peubah acak X berikut:
X 1 2 3 4 5 6
P(x) 0.20 0.25 0.20 0.30 0.15 0.10 E(x) 0.20 0.50 0.60 1.20 0.75 0.60 a. Nilai harapan (E(x)):
E(x) = xi f(xi)
= 1 (0.20) + 2 (0.25) + 3 (0.20) + 4 (0.30) + 5 (0.15) + 6 (0.10) = 3.85 b. Ragam (2) dan simpangan baku ():
2
= E[(x - )2] = (xi - )2 f(xi) = (xi - )2 E(xi) atau gunakan yang lebih mudah 2 = E(xi2) - 2 436 . 0 055 . 0 ) 08 . 0 ( ) 3 . 0 ( ) ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) | ( A P K P K A P A P A K P A K P
E(x2) = 12 (0.20) + 22 (0.25) + 32 (0.20) + 42 (0.30) + 52 (0.15) + 62 (0.10) = 0.20 + 1 + 1.8 + 4.8 + 3.75 + 3.6
= 15.15
Jadi, 2= E(x2) - 2 = 15.15 - (3.85)2 = 0.3275, dan = 0.572
Cara lain: 2 = E(x - ) P(xi) 2 = (1 - 3.85) (0.20) + (2 - 3.85) (0.50) + (3 - 3.85) (0.60) + (4 - 3.85) (1.20) + (5 - 3.85) (0.75) + (6 - 3.85) (0.60) = -0.57 + (-0.925) + (-0.51) + 0.18 + 0.8625 + 1.29 2 = 0.3275 ==> = 0.572
3. Soal ini adalah peubah acak binomial.
Diketahui: n = 15, p = 10% = 1/10 dan q = 1- p = 9/10 a. P(x = 2) = b(x,n,p) = b(2,15,1/10) = nCx px qn-x b. P(x 2) = b(x < 2) = 1 - b(1,15,1/10) = 1 - [b(x = 0) + b(x = 1)] c. P(x 2) = b(x = 0) + b(x = 1) + b(x = 2) d. Variasi: 2 = Npq = (15) (1/10) (9/10) = 1.35 267 . 0 10 9 10 1 ! 13 ! 2 ! 15 10 9 10 1 2 15 2 15 2 2 13 451 . 0 ] 343 . 0 206 . 0 [ 1 10 9 10 1 ! 14 ! 1 ! 15 10 9 10 1 ! 15 ! 0 ! 15 1 10 9 10 1 1 15 10 9 10 1 0 15 1 14 1 15 0 14 1 15 0 816 . 0 267 . 0 343 . 0 206 . 0 10 9 10 1 ! 13 ! 2 ! 15 10 9 10 1 ! 14 ! 1 ! 15 10 9 10 1 ! 15 ! 0 ! 15 10 9 10 1 2 15 10 9 10 1 1 15 10 9 10 1 0 15 13 2 14 1 15 0 2 15 2 1 15 1 0 15 0
4. Keretakan sebuah gedung dalam PDF:
a. Cari nilai harapan x dan ragammnya.
b. Berapa peluang bahwa gedung tersebut akan retak antara 5 sampai 7 hari sebelum retak? Penyelesaian:
a. = E(x) dan 2
Kita cari dulu nilai C menggunakan sifat fungsi kepekatan (PDF),
Jadi,
Nlai ragam (2) dapat dihitung dengan:
b. P(5 < x < 7) =
lainnya untuk x C x f x 0 3 0 5 ) ( 3
1
)
(
x
dx
f
33 2 1 6 3 ) 3 ( 5 , 1 | 6 5 1 3 5 2 3 0 2 3 0
C C x x C dx x C
3 0)
3
5
(
.
)
(
.
)
(
x
x
f
x
dx
x
C
x
dx
E
33
51
9
3
3
2
5
33
2
9
2
5
33
2
)
3
5
(
33
2
)
3
5
(
33
2
.
)
(
3 2 3 0 3 2 3 0 2 3 0
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
E
2 2 2 2 2E
x
μ
x
f(x)
dx
μ
σ
242
181
33
51
66
207
μ
x
E
σ
Var(X)
66
207
dx
)
3
x
5
(
33
2
dx
)
3
5
(
33
2
.
x
x
E
2 2 2 2 3 0 3 2 3 0 2 2
x
x
Peluang keretakan adalah 84%
5. Produktivitas pertumbuhan lahan gambut dapat dilengkapkan seperti berikut. Umur lahan Frekuensi (fi) xi f kumulatif fixi
1 - 3 3 2 3 6 4 - 6 7 5 10 35 7 - 9 9 8 19 72 10 - 12 13 11 32 143 13 - 15 10 14 42 140 16 - 18 6 17 48 102 19 - 21 2 20 50 40 Jumlah 50 538
a. Mean atau rata-rata:
b. Median (nilai tengah)
c. Kuartil: Q1, Q2, dan Q3
Dimana:
Qi = kuartil ke i
bi = batas bawah sebelum kuartil ke i 76 . 10 50 538 i i i f x f x
884 . 10 384 . 1 5 . 9 3 13 19 2 / 50 5 . 9 2 / c f Fa N b Med i i
c f Fa N i b Q i i i ( /4)%
84
33
28
6
5
)
5
(
5
6
7
)
7
(
5
33
2
6
5
33
2
dx
)
3
5
(
33
2
)
7
5
(
2 2 7 5 2 7 5
x
x
x
x
P
c = lebar interval N = jumlah data
Fa = frekuensi kumulatif sesudah frekuensi ke i atau kelas lebih rendah fi = frekuensi kelas i atau frekuensi letak angka yang dicari
Jadi,
Q1 ==> ada di kelas/interval: i (N+1)/4 ==> 1 (50 +1) / 4 = 12.75 (lihat f kumulatif). Jadi ada di kelas 7 - 9.
Q2 ==> ada di kelas/interval: i (N+1)/4 ==> 2 (50 +1) / 4 = 25.50 (lihat f kumulatif). Jadi ada di kelas 10 - 12.
Q3 ==> ada di kelas/interval: i (N+1)/4 ==> 3 (50 +1) / 4 = 38.25 (lihat f kumulatif). Jadi ada di kelas 13 -15.
Selanjutnya kita cari Q1, Q2 dan Q3 masing-masing. ==> Q1 (lihat tabel) ==> bi = 6.5, Fa = 10, fi = 9, dan c = 3
==> Q2 (lihat tabel) ==> bi = 9.5, Fa = 19, fi = 13, dan c = 3
Q2 ini sebenarnya sama dengan median
==> Q3 (lihat tabel) ==> bi = 12.5, Fa = 32, fi = 10, dan c = 3
d. Modus (angka yang sering muncul)
Frekuensi (lihat tabel): bi = 9.5, d1 = 9 - 4 = 4, dan d2 = 13 - 10 = 3
