ANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH

SUNARTI FAJARIYAH

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

2

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Model Peluang Bertahan Hidup dan Aplikasinya adalah karya saya sendiri dengan arahan dan bimbingan dari komisi pembimbing serta belum pernah diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan oleh pihak lain telah penulis sebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Januari 2009

Sunarti Fajariyah NRP G551060301

ABSTRACT

SUNARTI FAJARIYAH. Survival Analysis Model and Its Application. Supervised by HADI SUMARNO and N.K. KUTHA ARDANA.

Mortality is one of three demograpic components which influence population

change, besides fertilities and migration. Information on probability of death according to age in a region is presented in a table known as life table. Life table model reflects a survival model, which model express probability that someone can live on or more than certain time. Although modeling in mathematical demography are usually based on continuous models, but in practice, they are approximated using discrete models.

The objectives of this thesis are to estimate the parameters of survival function based on certain distribution function; and to apply the survival function to Banten life table data on the year 2005 to obtain the model of Banten survival function. To obtain the parameters of survival function based on some distribution

functions, hypothetical data are implemented. The hypothetical data are generated from exponential, Weibull, log-normal, log-logistic and Gompertz distribution.

Maximum likelihood method is used to estimate the distribution parameters.

The results of analysis on the hypothetical data show good value of _R 2

when an appropriate distribution are chosen. Regarding the life table of Banten, Weibull distribution shows the best fit compared to the other distributions.

.

4

RINGKASAN

SUNARTI FAJARIYAH. Analisis Model Peluang Bertahan Hidup dan Aplikasinya. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan N.K.KUTHA ARDANA. Mortalitas atau kematian merupakan salah satu di antara tiga komponen demografi yang dapat mempengaruhi perubahan penduduk, selain fertilitas (kelahiran) dan migrasi. Informasi tentang kematian penting baik bagi pemerintah maupun lembaga swasta. Salah satu diantaranya adalah perlunya angka peluang kematian menurut umur dalam proyeksi penduduk. Informasi tentang peluang kematian menurut umur suatu wilayah disajikan dalam bentuk tabel, yang dikenal dengan sebutan life table (tabel hayat/tabel mortalitas). Tabel hayat merupakan komponen penting dalam proyeksi penduduk yang dapat digunakan dalam bidang pendidikan yaitu untuk memperkirakan jumlah penduduk usia sekolah, jumlah murid, jumlah guru, gedung-gedung sekolah dan pendidikan pada masa yang akan datang (Pollard et al., 1982).

Seperti halnya model-model yang ada dalam bidang demografi lainnya, model teoritis dari life table merupakan model yang kontinu. Namun informasi saat ini pada umumnya masih dalam bentuk diskret.

Model life table merupakan model Survival, yang menyatakan peluang seseorang dapat bertahan hidup hingga atau lebih dari waktu tertentu. Secara teoritis, banyak model-model Survival yang telah dikenal dan sering digunakan. Maksud dari penelitian ini adalah mencari model teoritis dari fungsi Survival yang sesuai dengan model life table.

Berdasarkan hal tersebut di atas, maka penelitian ini bertujuan untuk melakukan pendugaan parameter fungsi Survival terhadap fungsi sebaran yang sering digunakan, serta mengaplikasikan fungsi Survival terhadap data tabel hayat Banten tahun 2005 untuk memperoleh model fungsi Survival Banten.

Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka, dengan menggunakan 2 macam data, yaitu data hipotetik dan Survival Banten (data tabel hayat Banten tahun 2005). Langkah pertama membangkitkan data hipotetik dengan menggunakan lima fungsi sebaran, kemudian melakukan pendugaan parameter dengan menggunakan metode Maximum Likelihood terhadap sebaran eksponensial, Weibull, log-normal, log-logistik dan Gompertz. Langkah kedua dengan menggunakan data Survival Banten dan metode Maximum Likelihood, dilakukan pendugaan parameter terhadap sebaran eksponensial, Weibull, log-normal, log-logistik dan Gompertz untuk memperoleh model fungsi Survival Banten. Untuk menguji kesesuaian data dan model dilakukan uji 2

R (koefisien

determinasi). Pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan metode

Maximum Likelihood, dibantu software Mathematica 6.0.

Fungsi Survival merupakan fungsi tak naik, pada saat

0, ( ) 1; , ( ) 0

x= S x = x→ ∞ S x → . Fungsi Survival sebaran eksponensial ( ) x S x =e−λ , sebaran Weibull 1 ( ) ( ) x S x e λ γ − = , sebaran log-normal

2 2 Log[ ] ( ) /(2 ) 0 1 ( ) 1 2 x t S x e dt μ σ μ σ σ π − − − = −

_∫

, sebaran log-logistik ( ) 1 1 k S x e xθ = + dan sebaran Gompertz ( 1 ) ( ) x e e S x e λ γ γ − + −

= . Berdasarkan fungsi Survival tersebut dilakukan pendugaan parameter dengan metode Maximum Likelihood.

Dari hasil penelitian disimpulkan: 1) Metode Maximum Likelihood dapat digunakan untuk melakukan pendugaan parameter dengan baik terhadap fungsi

Survival bila dapat memilih fungsi sebaran yang tepat, 2) Model life table dapat

didekati dengan model kontinu, yaitu dengan menggunakan sebaran Weibull, log-normal dan log-logistik, 3) Berdasarkan metode Maximum Likelihood dengan menggunakan data Survival Banten, sebaran Weibull merupakan fungsi sebaran yang terbaik dibandingkan dengan empat fungsi sebaran lainnya.

6

©Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008

Hak cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik dan tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

ANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN

HIDUP DAN APLIKASINYA

SUNARTI FAJARIYAH

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

8

Judul Tesis : Analisis Model Peluang Bertahan Hidup dan Aplikasinya Nama : Sunarti Fajariyah

NRP : G551060301

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS Ir.N.K. Kutha Ardana, M.Sc Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, MS

10

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya sehingga sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabat, serta seluruh umat manusia yang mengikuti petunjuk dan ajaran beliau.

Ungkapan terima kasih penulis sampaikan kepada orang tua dan seluruh keluarga yang telah memberikan dukungan, do’a dan kasih sayangnya. Selanjutnya penulis sampaikan terima kasih kepada:

1. Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS dan Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh kesabaran kepada penulis.

2. Ir. Retno Budiarti, MS selaku penguji luar komisi yang telah memberikan saran dan kritiknya.

3. Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan program magister di Institut Pertanian Bogor.

4. Rekan-rekan mahasiswa S-2 Matematika Terapan IPB angkatan 2006 baik BUD maupun regular atas persahabatannya selama ini dan semoga tidak akan berakhir.

5. Semua pihak yang telah membantu penulis, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari sempurna. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pihak lain yang membutuhkan.

Bogor, Januari 2009

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 7 Agustus 1972 dari ayah H. Abdurrahman dan Ibu Hj. Munih. Penulis merupakan anak ketiga dari lima bersaudara.

Tahun 1991 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Tangerang kota Tangerang dan pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IKIP Muhammadiyah Jakarta lulus tahun 1995.

Tahun 1996 penulis bekerja sebagai staf pengajar honorer di SMA Muhammadiyah 17 Cipondoh kota Tangerang sampai tahun 2006.

Tahun 1997 penulis masuk Pegawai Negeri Sipil di Departemen Agama Republik Indonesia, sebagai staf pengajar di Madrasah Tsanawiyah Negeri Tangerang 1, kota Tangerang Banten sampai sekarang.

Pada tahun 2006 penulis masuk program magister pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia dan menyelesaikannya pada tahun 2009.

12

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL... xi

DAFTAR GAMBAR... xii

DAFTAR LAMPIRAN... xiii

I PENDAHULUAN... 1 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan Penelitian ... 1 II TINJAUAN PUSTAKA ... 3 2.1 Latar Belakang ... 3 2.2 Tabel Hayat ... 4 2.3 Teori Peluang ... 8 2.4 Survival ... 9

2.5 Metode Kemungkinan Maksimum ... 10

2.6 Koefisien Penentu (Determinasi) ... 11

2.7 Fungsi Sebaran ... 11

2.8 Pendugaan Parameter ... 16

III METODOLOGI PENELITIAN ... 22

3.1 Sumber Data ... 22

3.2 Langkah-langkah Penelitian ... 22

IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 23

4.1 Pendugaan Parameter Fungsi Survival ... 23

4.2 Pendugaan Parameter Fungsi Survival Banten ... 27

4.3 Model Tabel Hayat Kontinu Rachmadani... 31

V KESIMPULAN DAN SARAN ... 33

5.1 Kesimpulan ... 33

5.2 Saran ... 33

DAFTAR PUSTAKA ... 34

DAFTAR TABEL

Halaman 1. Tabel hayat Jepang tahun 2005 ... 5 2. Perbandingan nilai 2

R fungsi Survival ... 26

3. Perbandingan nilai _{R fungsi Survival Banten ...} 2 ₃₁

14

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1. Nilai q pada model Timur, Utara, Selatan dan Barat ketika e_x & = 25, e& =50

dan e& =70. ... 7

2. Kurva fungsi Survival sebaran eksponensial pada saat λ =0,05 (mulus) dan λ =0,03 (putus-putus). ... 12

3. Kurva fungsi Survival sebaran Weibull pada saat λ= (mulus) 3

dan λ = (putus-putus) ... 13 1 4. Kurva fungsi Survival sebaran log-normal pada saat σ =0,35 (mulus) dan σ = (putus-putus) ... 14 1 5. Kurva fungsi Survival sebaran log-logistik pada saat σ = (mulus) 3 dan σ =2,5 (putus-putus) ... 15

6. Kurva fungsi Survival sebaran Gompertz pada saat γ =0,001 (mulus) dan γ =0,02 (putus-putus) ... 16

7. Kurva fungsi Survival sebaran eksponensial ... 23

8. Kurva fungsi Survival sebaran Weibull ... 24

9. Kurva fungsi Survival sebaran log-normal ... 25

10. Kurva fungsi Survival sebaran log-logistik ... 25

11. Kurva fungsi Survival sebaran Gompertz ... 26

12. Kurva l penduduk laki-laki ... _x 28 13. Kurva l penduduk wanita ... x 28 14. Kurva l penduduk laki-laki dan wanita ... x 29 15. Kurva l penduduk Banten ... _x 29 16. Kurva fungsi Survival Banten dengan menggunakan sebaran Weibull (kurva mulus) ... 30

17. Kurva fungsi Survival Banten dengan menggunakan sebaran log-normal (kurva mulus) ... 30

18. Kurva fungsi Survival Banten dengan menggunakan sebaran log-logistik (kurva mulus)………... .. 31

19. Perbandingan kurva fungsi Survival model Rachmadani dan Weibull ... 32 xii

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1. Tabel hayat Banten tahun 2005 ... 37

2. Program Maximum Likelihood sebaran eksponensial (data hipotetik) ... 40

3. Program Maximum Likelihood sebaran Weibull (data hipotetik) ... 41

4. Program Maximum Likelihood sebaran log-normal (data hipotetik) ... 42

5. Program Maximum Likelihood sebaran log-logistik (data hipotetik) ... 43

6. Program Maximum Likelihood sebaran Gompertz (data hipotetik) ... 44

7. Program Maximum Likelihood sebaran Weibull (data Banten ) ... 45

8. Program Maximum Likelihood sebaran log-normal (data Banten) ... 46

9. Program Maximum Likelihood sebaran log-logistik (data Banten) ... 47

16

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Mortalitas atau kematian merupakan salah satu di antara tiga komponen

demografi yang dapat mempengaruhi perubahan penduduk, selain fertilitas (kelahiran) dan migrasi. Informasi tentang kematian penting baik bagi pemerintah maupun lembaga swasta. Salah satu diantaranya adalah perlunya angka peluang kematian menurut umur dalam proyeksi penduduk. Informasi tentang peluang kematian menurut umur suatu wilayah disajikan dalam bentuk tabel, yang dikenal dengan sebutan life table (tabel hayat/tabel mortalitas).

Seperti telah dijelaskan sebelumnya, tabel hayat merupakan komponen penting dalam proyeksi penduduk, di samping fertilitas dan migrasi. Selanjutnya proyeksi penduduk dapat digunakan dalam bidang pendidikan yaitu untuk memperkirakan jumlah penduduk usia sekolah, jumlah murid, jumlah guru, gedung-gedung sekolah dan pendidikan pada masa yang akan datang (Pollard et al., 1982). Selain itu model tabel hayat juga dapat diaplikasikan dalam bidang pendidikan untuk menduga angka harapan melanjutkan sekolah dan tingkat putus sekolah.

Seperti halnya model-model yang ada dalam bidang demografi lainnya, model teoritis dari life table merupakan model yang kontinu. Namun informasi saat ini pada umumnya masih dalam bentuk diskret.

Model life table merupakan model Survival, yang menyatakan peluang seseorang dapat bertahan hidup hingga atau lebih dari waktu tertentu. Secara teoritis, banyak model-model Survival, yang telah dikenal dan sering digunakan. Maksud dari penelitian ini adalah mencari model teoritis dari fungsi Survival yang sesuai dengan model life table.

1.2 Tujuan Penelitian

Dengan memperhatikan latar belakang masalah maka penelitian ini bertujuan:

1 Melakukan pendugaan parameter fungsi Survival terhadap sebaran yang sering digunakan.

2 Mengaplikasikan fungsi Survival terhadap data tabel hayat Banten tahun 2005 untuk memperoleh model fungsi Survival Banten.

18

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Latar Belakang

Dari zaman dahulu hingga zaman modern ini orang tertarik mengetahui tentang umur tertinggi yang ingin ia capai. Hidup adalah suatu persoalan pribadi yang sukar diramalkan bilamana akan berakhirnya. Kadang-kadang ada orang yang dapat mencapai umur sangat tua, seperti seorang warga Negara Denmark yang bernama Chtisten Jacobsen Drakenberg yang lahir pada tahun 1626, meninggal pada umur 146 tahun (Iskandar, 1981).

Sekalipun kita tidak dapat mengetahui panjangnya umur seseorang secara pribadi, jika kita tinjau secara aggregative atau keseluruhan menurut kelompok-kelompok umur dan jenis kelamin, dapat kita lihat adanya suatu ketentuan yang mengikuti pola-pola tertentu. Jika pada suatu saat di suatu negara andaikan telah dilahirkan 1000 orang laki-laki, maka berdasarkan data-data tertentu ditetapkan berapa banyak dari mereka nanti akan mencapai umur, misalnya umur 1 tahun, 2 tahun, 20 tahun, 40 tahun, 60 tahun dan seterusnya. Jika sisa mereka akhirnya setelah umur sekian meninggal juga, maka dapat dihitung umur rata-rata dari 1000 orang yang pada saat dan tempat yang sama telah dilahirkan sebagai bayi dan telah bersama-sama mengalami kejadian-kejadian yang sama di tempat itu sepanjang hidup mereka.

Keterangan-keterangan tentang jumlah yang meninggal pada berbagai tingkat umur, yang bertahan hidup pada berbagai tingkat umur dan tentang umur rata-rata yang mereka capai diterangkan oleh apa yang disebut tabel hayat atau life

table.

John Graunt pada pertengahan abad ke-17 telah melakukan observasi pada daftar kematian London dan telah menemukan gambaran awal apa yang kemudian disebut tabel hayat. Tabel hayat ini dalam menduga besarnya angka kematian anak dilakukan dengan teliti, dalam tabel hayat sekarang disebut kolom kematian dan kolom yang dapat bertahan hidup. Tabel Graunt setelah 40 tahun kemudian telah membuat Halley, seorang astronom, untuk menyusun tabel hayat modern pertama dari kota Breslau pada tahun 1687 – 1691 ( Coale & Demeny, 1983).

Empat puluh tahun kemudian Kresseboom menyusun tabel yang lain berdasarkan catatan tahunan kehidupan di Holland yang terdapat pada tahun 1738, dan tabel yang terkenal dari Deparcieux telah dipublikasikan pada tahun 1746. Macam-macam tabel hayat yang telah disusun di atas merupakan dasar untuk menyusun model tabel hayat.

2.2 Tabel Hayat

Tabel hayat berguna untuk menggambarkan aspek kematian manusia secara singkat dan jelas serta menunjukkan kematian sebagai sebuah fungsi dari umur (Coale & Demeny, 1983).

Penelitian tentang tabel hayat yang telah ada misalnya Barendregt et al. pada tahun 1996 telah menerapkan tabel hayat multi-state pada bidang kesehatan masyarakat. State adalah keadaan tentang kesehatan, yaitu tentang penyakit yang diderita secara individu misalnya penyakit cardiovascular yang diderita secara terus-menerus.

Shavelle & Strauss (1999), telah melakukan penelitian tentang tabel hayat

multi state untuk waktu yang lama dengan menggunakan data micro. Metodologi

tabel hayat multi state adalah menggunakan asumsi Markov kejadian sekarang tidak bergantung pada kejadian sebelumnya, misalnya pada sistem biologi dan proses pada masalah sosial.

Penelitian lain tentang tabel hayat dilakukan oleh Muller et al. (2004) yang meneliti tentang menyusun tabel hayat dan menduga fungsi survival dari individu-individu yang ditandai pada umur yang tidak diketahui. Penelitian ini dilakukan pada populasi binatang liar, dengan sampel yang diambil secara acak. Data untuk menyusun tabel hayat diperoleh dari data tanggal kelahiran subjek yang tidak diketahui. Model yang diperoleh merupakan titik awal yang dapat dikembangkan dalam bidang demografi.

De Roos (2008) telah melakukan penelitian tentang analisis demografi dari perjalanan hidup dengan waktu kontinu. Pada penelitian ini dilakukan pendekatan komputasi untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dengan parameter-parameter yang sangat sensitif terhadap sebaran penduduk stabil dan menghasilkan pertumbuhan penduduk yang eksponensial. Untuk menghitung laju

20

pertumbuhan penduduk, metode yang digunakan adalah persamaan integral Lotka.

2.2.1 Tabel Hayat Coale–Demeny

Berdasarkan karakteristik pola kematian pada penduduk di negara-negara Eropa, model tabel hayat diklasifikasikan menjadi 4 model yaitu model Timur (East model), model Utara (North model), model Selatan (South model) dan model Barat (West model), setiap model terdiri dari 24 level. Ke-4 model ini dipublikasikan oleh Coale & Demeny tahun 1966. Untuk menyusun tabel hayat Coale-Demeny diperlukan data tentang angka kematian bayi yang kemudian dibuat model angka harapan hidup. Berikut ini salah satu contoh tabel hayat model Barat pada negara Jepang tahun 2005 (Tabel 1).

Tabel 1 Tabel hayat Jepang tahun 2005 Wanita x x l d_x q_x L_x T_x e_&x 0 100000 252 0.00252 99800 8551573 85.52 1 99748 34 0.00034 99730 8451773 84.73 5 99658 11 0.00011 99653 8052997 80.81 10 99614 7 0.00007 99611 7554824 75.84 15 99576 12 0.00012 99571 7056838 70.87 20 99489 26 0.00026 99476 6559144 65.93 25 99338 32 0.00032 99322 6062060 61.02 30 99178 37 0.00037 99160 5565763 56.12 35 98966 52 0.00053 98940 5070372 51.23 40 98665 74 0.00075 98628 4576253 46.38 45 98232 111 0.00113 98177 4083942 41.57 50 97566 172 0.00176 97481 3594327 36.84 55 96549 256 0.00265 96423 3108874 32.20 60 95086 347 0.00364 94914 2629605 27.66 65 93077 499 0.00536 92831 2158898 23.19 70 90058 802 0.0089 89664 1700476 18.88 75 85054 1338 0.01574 84396 1261615 14.83 80 76839 2227 0.02898 75746 855184 11.13 85 62965 3586 0.05696 61193 502782 7.99 90 42706 4511 0.10563 40453 236336 5.53 95 20840 3740 0.17947 18938 78555 3.77 100 6090 1711 0.28088 5202 15470 2.54 105 808 334 0.41302 629 1370 1.70 110 32 18 0.57053 22 36 1.12 114 1 0 0.70259 0 1 0.82

Keterangan kolom-kolom pada tabel di atas sebagai berikut: 1. x : umur-tepat penduduk

2. l : banyaknya orang yang dapat bertahan hidup pada umur-tepat x x

3. d : banyaknya kematian antara umur x sampai x + 1 _x

4. q : peluang kematian pada umur x sebelum mencapai umur x +1 _x

5. L : banyaknya penduduk umur x sampai x +1 _x

6. T : total penduduk berumur x sampai akhir hayatnya _x

7. e& : angka harapan hidup pada umur x _x

Angka harapan hidup dibedakan atas pria dan wanita. Setelah diketahui

angka harapan hidup penduduk dari suatu negara, dengan menggunakan tabel hayat model Coale-Demeny dapat diketahui letak level tabel hayat tersebut, kemudian dapat disusun tabel hayat.

Tabel hayat model Timur (East model) berasal dari negara Austria, German (sebelum tahun 1900), Republik Federal German (setelah perang dunia ke-2), Italia Utara dan Pusat, Polandia dan Czechoslovakia. Pola tabel-tabel ini bila dibandingkan dengan pola yang mayoritas digunakan, terdapat penyimpangan. Ciri dari tabel hayat model Timur adalah tingginya angka kematian bayi dan peningkatan dengan cepat angka kematian setelah umur 50 tahun, bila digambar grafiknya berbentuk huruf U ( Coale & Demeny, 1983).

Tabel hayat model Utara (North model) diamati berdasarkan tabel hayat Islandia (1941-1950), Norwegia (1856-1880 dan 1946-1955) dan Swedia (1851-1890). Ciri dari tabel hayat model Utara adalah angka kematian bayi rendah, pada anak angka kematiannya tinggi dan umur diatas 50 tahun angka kematian meningkat pada musim gugur, mungkin pola kematiannya karena endemic

tuberculosis. Model ini direkomendasikan pada negara yang memilki kejadian

penyakit tuberculosis yang tinggi ( Coale & Demeny, 1983).

Tabel hayat model Selatan (South model) berdasarkan tabel hayat Spanyol, Portugal, Italia, Italia Selatan dan daerah Sisilia dari tahun 1876 hingga tahun 1957. Ciri tabel hayat model Selatan adalah tingginya angka kematian di bawah

22

umur 5 tahun, umur 40 sampai 60 tahun angka kematiannya rendah tetapi tinggi untuk umur di atas 65 tahun ( Coale & Demeny, 1983).

Tabel hayat model Barat (West model) disusun berdasarkan tabel hayat yang dikumpulkan dari negara-negara yang mempunyai tradisi pencatatan kelahiran dan kematian, sehingga mutu data statistik dikatakan memuaskan. Negara-negara yang tercakup oleh tabel hayat model Barat bukan hanya negara-negara Barat, tetapi juga negara di Timur Tengah (Israel), di Timur (Jepang, Taiwan), di Selatan (Afrika Selatan) dan Selandia Baru ( Coale & Demeny, 1983).

Gambar 1 Nilai q pada model Timur, Utara, Selatan dan Barat ketika ex & = 25, e& =50 dan e& =70.

Pada Gambar 1 di atas dapat dilihat perbedaan angka kematian untuk tabel

hayat model Timur, Utara, Selatan dan Barat, dengan nilai q dikali 1000. _x

Indonesia memperoleh data kependudukan dari sensus (setiap 10 tahun) dan survei (setiap 5 tahun), belum memiliki data statistik yang lengkap mengenai

kematian, dalam membuat tabel hayat menggunakan model Barat, demikian juga dengan provinsi Banten.

2.3 Teori Peluang

Definisi 2.3.1 ( Ruang Contoh dan Kejadian )

Himpunan semua kemungkinan dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dan dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω.

(Grimmet & Stirzaker, 1992) Definisi 2.3.2 (Field F )

Suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω disebut

field jika memenuhi syarat-syarat berikut:

1 jika ,A B∈F F F maka dan A∪ ∈B A∩ ∈B

2 jika maka c A∈F F A ∈

3 Ø ∈F

(Grimmet & Stirzaker, 1992) Definisi 2.3.3 (Medan – σ)

Medan – σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω yang memenuhi syarat-syarat berikut:

1 Ø ∈F 2 Jika A A₁, ₂, ... ∈ F , maka 1 i i A ∞ =

U

∈ F 3 Jika A ∈ F maka A c ∈ F

(Grimmet & Stirzaker, 1992) Definisi 2.3.4 ( Peubah Acak )

Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X :Ω → R dengan sifat

{ω∈Ω: ( )X ω ≤ ∈x} F untuk setiap x∈ R . F adalah suatu field

(Grimmet & Stirzaker, 1992) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperi x, y, z.

24

Definisi 2.3.5 (Fungsi Sebaran)

Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah suatu fungsi F:R →[0,1] yang diberikan oleh F x( ) P(= X ≤x).

(Grimmet & Stirzaker,1992)

Definisi 2.3.6 (Fungsi Kepekatan Peluang)

Fungsi kepekatan peluang adalah limit dari peluang suatu individu mengalami kejadian pada interval pendek t ke t+ Δ persatuan panjang tt Δ , dan dapat

diekspresikan sebagai, 0 ( ) ( ) lim t P t T t t f t t Δ → ≤ < + Δ = Δ

(Cox & Oakes, 1984) Definisi 2.3.7 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai ( ) ( ) d , x F x f u u x −∞ =

_∫

∈R

dengan f :R→[0, )∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f dikatakan

fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X .

(Grimmet & Stirzaker, 1992)

2.4 Survival

Definisi 2.4.1 (Data Survival)

Data Survival adalah data tentang pengamatan jangka waktu dari awal pengamatan sampai dengan terjadinya suatu peristiwa, peristiwa itu dapat berupa kematian, respon, timbul gejala dan lain-lain.

(Lee, 1992) Definisi 2.4.2 (Fungsi Survival)

Fungsi Survival S(t) adalah fungsi yang menyatakan peluang seseorang dapat bertahan hidup hingga atau lebih dari waktu t. Rumus umum dari fungsi Survival didefinisikan sebagai berikut:

( )S t =P T( ≥ = −t) 1 F t( )

0

( ) ( ) ( )

t

F t =P T ≤ =t

∫

f u du

Peubah acak T mempunyai fungsi kepekatan peluang f(t) adalah f t( ) dS t( )

dt

− = Teorema 1

Jika fungsi Survival S dengan ( )S t =P T( ≥ maka fungsi kepekatan peluang t) dari T adalah f dengan:

f t( ) dS t( ) dt − = Bukti: ( ) ( ) t S t f x dx ∞ =

_∫

karena ( ) ( ) 1 t t f x dx f x dx ∞ −∞ + =

∫

∫

maka ( ) 1 ( ) t f x dx S t −∞ = −

∫

[ ( ) ] [1 ( )] t d f x dx d S t dt dt −∞

∫

₌ − f t( ) dS t( ) dt = − terbukti. (Collet, 1994)

2.5 Metode Kemungkinan Maksimum

Metode kemungkinan maksimum merupakan salah satu metode pendugaan

parameter yang menghasilkan nilai dugaan dengan memaksimumkan fungsi kemungkinan (likelihood). Misal X₁,...,X adalah suatu contoh acak berukuran n _n yang ditarik dari suatu populasi diskret atau kontinu dengan fungsi kepekatan peluangnya ( ; )f xθ , maka fungsi kemungkinannya didefinisikan sebagai:

₁ 1 ( ; ,..., _n) n ( ; )._i i L θ X X f X θ = =

∏

26

yang merupakan fungsi kepekatan bersamanya. Untuk suatu fungsi kemungkinan

( )

Lθ , ˆθ merupakan penduga kemungkinan maksimum bagi θ (Serfling, 1980). Seringkali penduga ˆθ diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan fungsi kemungkinan, ˆ log 0, ( 1,..., ), i L i k θ θ θ ₌ ∂ _{= =} ∂

Jika ˆθ merupakan penduga kemungkinan maksimum bagi θ maka untuk sembarang fungsi ( )g θ penduga kemungkinan maksimum bagi ( )g θ adalah

ˆ ( ).

g θ

2.6 Koefisien Penentu (Determinasi)

Nilai koefisien penentu (determinasi) yang dilambangkan dengan 2

R

menunjukkan sejauh mana peubah bebas (X) dapat menjelaskan keragaman di dalam peubah tak bebas (Y)(Agresti&Finlay, 1999).

2 2 1 2 1 ˆ ( ) 1 ( ) n i i i n i i y y R y y = = − = − −

∑

∑

dengan y = aktual, ˆi y = dugaan, dan y = rata-rata i 2.7 Fungsi Sebaran

2.7.1 Sebaran Eksponensial

Sebaran eksponensial merupakan sebaran yang paling sederhana dan banyak digunakan dalam masalah bertahan hidup. Sebaran eksponensial hanya memiliki satu parameter yaitu λ, yang menunjukkan penskalaan.

Fungsi kepekatan peluang dari sebaran eksponensial adalah ( ) x f x =λe−λ .

Dapat dibuktikan bahwa fungsi Survival sebaran eksponensial adalah ( ) x S x =e−λ . Bukti: Karena 0 ( ) ( ) , x F x =

∫

f u du maka 0 ( ) x u F x =

∫

λe−λ du ( ) 1S x = −F x( )

= 0 1 x u e λ du λ − −

∫

= −1 e−λu ₀x = 1 (1− −e−λx) ( ) x S x =e−λ (Lee, 1992)

Pada Gambar 2 dapat dilihat kurva fungsi Survival sebaran eksponensial

Gambar 2 Kurva fungsi Survival sebaran eksponensial pada saat λ =0,05

(mulus) dan λ =0,03 (putus-putus). 2.7.2 Sebaran Weibull

Sebaran Weibull merupakan bentuk umum dari sebaran eksponensial. Ciri dari sebaran Weibull adalah adanya 2 parameter yaitu

γ

dan λ. Nilai

γ

menunjukkan kemiringan kurva sebaran, sedangkan nilai λ menunjukkan penskalaan. Fungsi kepekatan peluang dari sebaran Weibull adalah

( ) 1 ( ) x f x x e λ λ λ γ λγ− − −

= . Dapat dibuktikan bahwa fungsi Survival sebaran Weibull adalah 1 ( ) ( ) x S x e γ λ − = . Bukti : Karena 0 ( ) ( ) ( ), x F x =

∫

f u d u maka ( ) 1 0 ( ) . u x F x u e du λ λ λ γ λγ− − − =

_∫

λ =0,05 20 40 60 80 100 Umur x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 S x

28 Misal 1 ( ) ( ) x S x e λ γ − = maka _{( )} 1 ( ) _, u u ds e du λ λ γ λ γ γ − − = − Sehingga 1 ( ) 0 0 ( ) u x x u e du ds λ λ γ λ γ γ − − − = −

∫

∫

0 ( ) x F x = −s 1 ( ) 0 x u e λ γ − = − 1 ( ) 1 e x . λ γ − = − Jadi ( ) 1S x = −F x( ) 1 ( ) 1 1 e x λ γ − = − + 1 ( x) e λ γ − = . (Lee, 1992) Pada Gambar 3 dapat dilihat kurva fungsi Survival sebaran Weibull.

Gambar 3 Kurva fungsi Survival sebaran Weibull pada saat λ= (mulus) dan 3 1

λ= (putus-putus). 2.7.3 Sebaran Log-normal

Secara sederhana bentuk sebaran log-normal dapat didefinisikan sebagai sebaran suatu peubah dalam bentuk logaritma yang menyebar normal. Sebaran log-normal memiliki 2 parameter yaitu μ dan σ, dengan μ menunjukkan

γ =58 20 40 60 80 100 Umur x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 S x

rata, σ menunjukkan simpangan baku dari ln (X). Fungsi kepekatan peluang dari sebaran log-normal adalah _{( )} 1 [ln( ) ]/(2 2)

2 x f x e x μ σ σ π − −

= , dengan fungsi sebaran kumulatif F x( ) ln( )x μ

σ

−

⎛ ⎞

= Φ ⎜_⎝ ⎟_⎠, maka fungsi Survival sebaran log-normal adalah ln( ) ( ) 1 x S x μ σ − ⎛ ⎞

= − Φ ⎜_⎝ ⎟_⎠, dimana Φ adalah fungsi kumulatif dari sebaran normal baku.(http://id.wikipedia.org). 2 2 Log[ ] ( ) /(2 ) 0 1 ( ) 1 2 x t S x e dt μ σ μ σ σ π − − −

= −

_∫

. Pada Gambar 4 dapat dilihat kurva fungsi

Survival sebaranlog-normal.

Gambar 4 Kurva fungsi Survival sebaran log-normal pada saat σ =0,35 (mulus) dan σ = (putus-putus). 1

2.7.4 Sebaran Log-logistik

Sebaran log-logistik memiliki 2 parameter θ dan k . Fungsi kepekatan peluangnya adalah 1 2 ( ) (1 ) k k e kx f x e x θ θ − = + .

Fungsi sebarannya adalah 1 ₂

0 ( ) (1 ) x k k e ky F x dy e y θ θ − = +

∫

Misal 1 k u= +e yθ 1 1 k k du ke y dy du dy ke y θ θ − − = = μ=3,95 20 40 60 80 100 Umur x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 S x

30 maka 1 ₂ 0 ( ) (1 ) x k k e ky F x dy e y θ θ − = +

∫

1 2 1 0 2 0 1 0 (1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x k k x k x k k k k e k y d u u k e y u d u e y e x e x e x e x θ θ θ θ θ θ θ − − − − = = = − + = − + + = − + + − = +

∫

∫

jadi ( ) 1 k k e x F x e x θ θ = + .

Fungsi Survival dari sebaran log-logistik adalah ( ) 1S x = −F x( ) ( ) 1 1 k k e x S x e x θ θ = − + 1 1 k k k e x e x e x θ θ θ + − = + 1 1 k e xθ = + (Nurmaulidah, 2007) Pada Gambar 5 dapat dilihat kurva fungsi Survival sebaran log-logistik.

Gambar 5 Kurva fungsi Survival sebaran log-logistik pada saat σ = (mulus) 3 dan σ =2,5 (putus-putus). θ= − 10 20 40 60 80 100 Umur x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 S x

2.7.5 Sebaran Gompertz

Sebaran Gompertz memiliki 2 parameter λ dan γ. Fungsi kepekatan

peluangnya adalah 1 ( ) ( ) ( ) x x e e f x e λ γ λ λ γ γ + + − − = . Fungsi sebarannya 1 ( ) ( ) 0 ( ) t x _{t e e} F x e dt λ γ λ λ γ γ + + − − =

_∫

( 1 ) 1 x e e e λ γ γ − + − = −

Fungsi Survival dari sebaran Gompertz adalah S x( ) 1= −F x( ),

( 1 ) ( ) x e e S x e λ γ γ − + −

= . Pada Gambar 6 dapat dilihat kurva fungsi Survival sebaran Gompertz.

Gambar 6 Kurva fungsi Survival sebaran Gompertz pada saat γ =0,001 (mulus) dan γ =0,02 (putus-putus).

2.8 Pendugaan Parameter

Pendugaan parameter dilakukan terhadap sebaran eksponensial, Weibull, log-normal, log-logistik dan Gompertz dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood).

2.8.1 Metode Kemungkinan Maksimum Sebaran Eksponensial

Sebaran eksponensial memiliki fungsi kepekatan peluang ( ) x f x =λe−λ .

Berikut ini tahapan pendugaan parameter.

λ= −3,12 20 40 60 80 100 Umur x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 S x

32 1 1 ( ) 1 1) ( ) ( ) ( ) 2) Log ( ) log[ ] n i i n i i X n n i i L f X e L n X λ λ λ λ λ λ λ = = − = = ∑ = = −

∏

∑

Untuk memperoleh nilai penduga λ yang memaksimumkan fungsi

log-likelihood maka turunan pertama dari L( )λ terhadap λ harus sama dengan 0 sehingga 1 1 1 log ( ) 3) n _i 0 i n i i n i i L n X n X n X λ λ λ λ λ = = = ∂ _{= − =} ∂ ⇔ = ⇔ =

∑

∑

∑

Jadi 1 ˆ n i i n X λ = =

∑

2.8.2 Metode Kemungkinan Maksimum Sebaran Weibull

Sebaran Weibull memiliki fungsi kepekatan peluang

1 ( )

( ) ( ) x

f x =λγ λx γ− e−λ γ . Berikut ini tahapan pendugaan parameter.

1 1 1 1 1 1 1) ( , ) ( , ) ( ) ( )( )

2) Log ( , ) log[ ] log[ ] log[ ] log[ ] log[ ] n i i n i i X n n i n n i i i i n i i i L f X e X L n n X X X X λ γ λ λ λ λ λ γ λ γ γ λ λ γ λ γ λ λ γ = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _{− −} ⎝ ⎠ = = − = = ∑ = = − + − + −

∏

∑

∑

∑

Untuk memperoleh nilai penduga λ danγ yang memaksimumkan fungsi

log-likelihood maka turunan pertama dari ( , )L λ γ terhadap γ dan ( , )L λ γ

1 1 1 1 1 1 1 log ( , ) 3) 0 1 1 n i i n i i n i i n i i n i i L n X n X n X X n X n λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ γ _{λ γ λ} γ γ λ λ γ λ γ _λ γ γ − − = = = = = ∂ _{= − + =} ∂ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⇔ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

∑

∑

∑

∑

Jadi 1 ˆ ˆ 1 ˆ n i i X n λ λ γ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

1 1 1 log ( , )

4) log[ ] log[ ] log[ ] log[ ] 0 n n i i i i n i i i L n n X X X X λ λ λ λ λ γ _{γ γ γ} λ λ γ − = = − = ∂ _{= − + + −} ∂ =

∑

∑

∑

Hasil turunan parsial

log ( , ) 0

L λ γ

λ

∂ ₌

∂ tidak dapat disajikan dalam bentuk analitik/eksak, sehingga ˆλ tidak dapat diperoleh secara eksplisit, dengan bantuan

software Mathematica 6.0 diperoleh hasil secara numerik.

2.8.3 Metode Kemungkinan Maksimum Sebaran Log-normal

Sebaran log-normal memiliki fungsi kepekatan peluang

2 2 (ln( ) ) /(2 ) 1 ( ) 2 x f x e x μ σ σ π ⎡− − ⎤ ⎣ ⎦

34 2 1 2 1 ( log[ ]) 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1) ( , ) ( , ) ( 2 )

( log[2 ] 2 log[ ]) 2 log[ ] 2 log[ ] 2) Log ( , ) 2 log[ ] 2 n n i i n i i X n n n i i n n i i i i n i i L f X e X n X X L X μ σ μ σ μ σ π σ μ σ π σ σ μ σ μ σ σ σ = = ⎛ ⎞ ⎜ − + ⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = = = = ∑ = + + − + = − −

∏

∑

∑

∑

∑

Untuk memperoleh nilai penduga μ danσ yang memaksimumkan fungsi

log-likelihood maka turunan pertama dari L( , )μ σ terhadap μ danL( , )λ γ terhadap σ harus sama dengan 0, sehingga :

1 2 1 1 2 2 log[ ] log ( , ) 3) 0 2 log[ ] log[ ] n i i n i i n i i n X L n X X u n μ μ σ μ σ μ = = = − ∂ _{= − =} ∂ ⇔ = ⇔ =

∑

∑

∑

Jadi 1 log[ ] ˆ n i i X u n = =

∑

. Dengan menyubstitusi 1 log[ ] ˆ n i i X u n = =

∑

ke log ( , )L μ σ σ ∂ ∂ diperoleh 2 2 1 1 ( log[ ]) log[ ] ˆ n n i i i i X n X n σ = = − + =

∑

∑

2.8.4 Metode Kemungkinan Maksimum Sebaran Log-logistik

Sebaran log-logistik memiliki fungsi kepekatan peluang

1 2 ( ) (1 ) k k e kx f x e x θ θ − =

+ . Berikut ini tahapan pendugaan parameter. 1 1 1 2 1 1 1 1 1) ( , ) ( , ) (1 )

2) Log ( , ) Log[ ] Log[ ] Log[ ] 2 Log[1 ]

n i i n n n i i n i i n n n i i i i i i L f X e X e X L n n X X e X θ κ θ κ θ κ θ κ θ κ κ θ κ θ κ κ = − + = = = = = = = + = + − + − +

∏

∑

∑

∑

∑

∑

1 log ( , ) 3) 2 0 1 n i i i e X L n e X θ κ θ κ

θ κ

θ

= ∂ _{= − =} ∂

∑

+

Hasil turunan parsial

log ( , ) 0

L θ κ

θ

∂ ₌

∂ tidak dapat disajikan dalam bentuk analitik/eksak, sehingga ˆθ tidak dapat diperoleh secara eksplisit, dengan bantuan

software Mathematica 6.0 diperoleh hasil secara numerik.

1 1 Log[ ] log ( , ) 4) Log[ ] 2 0 1 n n i i i i i i e X X L n X e X θ κ θ κ

θ κ

κ

κ

= = ∂ _{= + − =} ∂

∑

∑

+

Hasil turunan parsial

log ( , ) 0

Lθ κ

κ

∂ ₌

∂ tidak dapat disajikan dalam bentuk analitik/eksak, sehingga

κ

ˆ tidak dapat diperoleh secara eksplisit, dengan bantuan

software Mathematica 6.0 diperoleh hasil secara numerik.

2.8.5 Metode Kemungkinan Maksimum Sebaran Gompertz

Sebaran Gompertz memiliki fungsi kepekatan peluang

1 ( ) ( ) ( ) x x e e f x e λ γ λ λ γ γ + + − −

36 1 1) ( , ) n ( _i , ) i L λ γ f X λ γ = =

∏

1 1 n Xi n i i i ne e X n e γ λ λ γ λ γ + ∑ = = − + − +∑ + = 1 2) Log ( , ) i n X i n e e n L λ γ λ γ λ γ γ γ + = − = +

∑

1 log ( , ) 3) 0 i n X i n e L e n λ γ λ

γ

λ γ

λ

γ

γ

+ = − ∂ _{= + =} ∂

∑

Hasil turunan parsial

log ( , )L λ γ ₀

λ

∂ ₌

∂ tidak dapat disajikan dalam bentuk analitik/eksak, sehingga ˆλ tidak dapat diperoleh secara eksplisit, dengan bantuan

software Mathematica 6.0 diperoleh hasil secara numerik.

2 1 1 2 2 1 1 log ( , ) 4) 2 0 i i n n X i i i n n X i i i i n e X L e n n X e X λ γ λ λ γ γλ γ λ γ γ γ γ λ γ γ + = = + = = −∑ + ∑ ∂ _{= −}− _{− +} ∂ + ∑ −∑ =

Hasil turunan parsial

log ( , ) 0

L λ γ

γ

∂ ₌

∂ tidak dapat disajikan dalam bentuk analitik/eksak, sehingga ˆγ tidak dapat diperoleh secara eksplisit, dengan bantuan

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Sumber Data

Penelitian ini menggunakan dua jenis data, yaitu: 1 Data hipotetik.

2 Data Survival Banten (data tabel hayat Banten tahun 2005).

Data hipotetik digunakan untuk melakukan pendugaan parameter beberapa fungsi Survival. Sedangkan untuk aplikasi model digunakan data Survival Banten.

3.2 Langah-langkah Penelitian

1 Membangkitkan data hipotetik dengan menggunakan lima fungsi sebaran, kemudian melakukan pendugaan parameter dengan menggunakan metode

Maximum Likelihood terhadap sebaran-sebaran eksponensial, Weibull,

log-normal, log-logistik dan Gompertz, dibantu software Mathematica 6.0.

2 Dengan menggunakan data Survival Banten dan metode Maximum Likelihood, dilakukan pendugaan parameter terhadap sebaran eksponensial, Weibull, log-normal, log-logistik dan Gompertz, dibantu software Mathematica 6.0 untuk memperoleh model fungsi Survival Banten.

3 Untuk menguji kesesuaian data dan model dilakukan uji _{R (koefisien} 2

determinasi).

38

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini disajikan hasil utama dari penelitian, yang terdiri atas bagian

utama, yaitu hasil pendugaan parameter dan pengujian model dengan menggunakan koefisien determinasi 2

R .

Pendugaan parameter dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum (Maximum likelihood) terhadap fungsi kepekatan peluang terhadap sebaran - sebaran eksponensial, Weibull , log-normal, log-logistik dan Gompertz dengan bantuan software Mathematica 6.0.

4.1 Pendugaan Parameter Fungsi Survival

4.1.1 Pendugaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Eksponensial

Dengan menggunakan data hipotetik yang dibangkitkan berdasarkan parameter λ= 0,05 + RandomReal [{-0,007 , 0,007}], menghasilkan nilai penduga parameter λ = 0,052, sehingga persamaan fungsi Survival pada sebaran eksponensial adalah _{S x( )}=_e−0,052x_{, seperti terlihat pada Gambar 7 di}

bawah ini.

Gambar 7 Kurva fungsi Survival sebaran eksponensial.

S x( )=e−0,052x R2 =0,990 20 40 60 80 100 Umur x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 S x

4.1.2 Pendugaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Weibull

Dengan menggunakan data hipotetik yang dibangkitkan berdasarkan parameter λ = 1,5 + RandomReal [{-0,2 , 0,2}] dan γ =30 + RandomReal [{-2 , 2}], menghasilkan nilai-nilai penduga parameter λ = 1,50 dan γ = 31,32 sehingga persamaan fungsi Survival pada sebaran Weibull adalah

1,5 1 ( ) 31,32 ( ) x S x e −

= , seperti terlihat pada Gambar 8 di bawah ini.

Gambar 8 Kurva fungsi Survival sebaran Weibull. 4.1.3 Pendugaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Log-normal

Dengan menggunakan data hipotetik yang dibangkitkan berdasarkan parameter μ= 4 + RandomReal [{-0,1 , 0,1}] dan σ = 0,2 + RandomReal [{-0,02 , 0,02}], menghasilkan nilai-nilai penduga parameter μ = 4,00 dan σ = 0,202, sehingga persamaan fungsi Survival pada sebaran log-normal adalah:

2 2 Log[ ] 4 0,2 ( 4) /(2(0,2) ) 0 1 ( ) 1 0, 2 2 x t S x e dt π − − −

= −

_∫

, seperti terlihat pada Gambar 9 di bawah ini. 1,5 1 ( ) 31,32 ( ) x S x e − = R2=0,996 20 40 60 80 100 Umur x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 S x

40

Gam

bar 9 Kurva fungsi Survival sebaran log-normal.

4.1.4 Pendugaaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Log-logistik

Dengan menggunakan data hipotetik yang dibangkitkan berdasarkan parameter θ = -10 + RandomReal [{-0,4 , 0,4}] dan

κ

=3 + RandomReal [{-0,05 , 0,05}] pada sebaran log-logistik menghasilkan nilai-nilai penduga parameter

θ = -10,27 dan k = 3,07, sehingga persamaan fungsi Survival pada sebaran log-logistik adalah ( ) _{10,27 3,07}1

1

S x

e− x

=

+ , seperti terlihat pada Gambar 10 di bawah ini.

Gambar 10 Kurva fungsi Survival sebaran log-logistik. 2 2 Log[ ] 4 0,2 ( 4) /(2(0,2) ) 0 1 ( ) 1 0, 2 2 x t S x e dt π − − − = −

_∫

R2 =0,985 20 40 60 80 100 Umur x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 S x

_____ Nilai Dugaan ... Nilai Sebenarnya

( ) _{10,27 3,07}1 1 S x e− x = + 2 _0,992 R = 20 40 60 80 100 Umur x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 S x

4.1.5 Pendugaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Gompertz

Dengan menggunakan data hipotetik yang dibangkitkan berdasarkan parameter λ = -3 + RandomReal [{-0,6 , 0,6}] dan γ = -0,01 + RandomReal [{-0,001 , [{-0,001}]. Pendugaan parameter fungsi Survival pada sebaran Gompertz menghasilkan nilai-nilai penduga parameter λ = -2,56 dan

γ

= -0,003 sehingga persamaan fungsi Survival pada sebaran Gompertz adalah

2,56_{( 1} 0,003₎ 0,003 ( ) x e e S x e − _{− +} − − −

= , seperti terlihat pada Gambar 11 di bawah ini.

Gambar 11 Kurva fungsi Survival sebaran Gompertz.

Berdasarkan hasil pendugaan parameter dari beberapa sebaran fungsi

Survival di atas, pada Tabel 2 dapat dilihat nilai koefisien penentu (determinasi)

yang dilambangkan dengan _{R masing-masing fungsi Survival.} 2

Tabel 2 Perbandingan nilai 2

R fungsi Survival

sebaran eksponensial Weibull log-normal log-logistik Gompertz

2

R 0,990 0,996 0,985 0,992 0,959

Nilai R2 dinilai baik jika mendekati 1

2,56_{( 1} 0,003 ₎ 0,003 ( ) x e e S x e − _{− +}− − − = R2 =0,959 0 20 40 60 80 100 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

42

Berdasarkan hasil di atas dapat dinyatakan bahwa jika kita melakukan pendugaan parameter dengan menggunakan metode Maximum Likelihood, dengan memilih sebaran yang tepat, akan diperoleh hasil dugaan yang sangat baik. Oleh karena itu hal yang paling penting dalam pemilihan model adalah memperhatikan bentuk sebaran dari data yang digunakan.

4.2 Pendugaan Parameter Fungsi Survival Banten

Dengan mengaplikasikan hasil penelitian tentang pendugaan parameter pada

sebaran-sebaran di atas, maka dilakukan pendugaan parameter fungsi Survival Banten dengan menggunakan metode Maximum Likelihood terhadap data Survival Banten tahun 2005.

Pendugaan parameter fungsi Survival Banten dilakukan dengan menggunakan sebaran Weibull, log-normal dan log-logistik. Sebaran eksponensial dan Gompertz tidak digunakan dalam pendugaan parameter karena bentuk kurva seperti terlihat pada Gambar 7 dan 11 di atas, yang sangat berbeda dengan bentuk kurva data Survival Banten (Gambar 15).

4.2.1 Tabel Hayat Provinsi Banten

Tabel hayat provinsi Banten bentuk diskret disusun dengan menggunakan model Brass. Berdasarkan data SUPAS tahun 2005 angka harapan hidup laki-laki provinsi Banten 65,4 dan wanita 69,3 yang terletak diantara level 20 dan 21 pada tabel hayat model Barat Coale-Demeny. Hasil interpolasi angka harapan hidup laki-laki terletak pada level 20,74 dan wanita 20,72.

Pada tabel hayat model Barat Coale-Demeny nilai α dan β dibedakan atas umur 0 sampai 15 tahun dan umur lebih dari 15 tahun. Hasil interpolasi nilai α laki-laki usia 0 sampai 15 adalah -0,7976 dan nilai

β

adalah 0,6287, sedangkan hasil interpolasi nilai α wanita usia 0 sampai 15 tahun adalah -0,9194, untuk umur lebih dari 15 tahun hasil interpolasi nilai α lakilaki adalah -0,41896 dan β adalah 1,2169, sedangkan untuk umur lebih dari 15 tahun nilai α wanita adalah -0,4172 dan nilai

β

adalah 1,2154.

Rumus nilai λ level 16 adalah 0.5ln (0) ( ) ( )

l l x l x

λ = ⎡_⎢ − ⎤_⎥

⎣ ⎦. Nilai l diperoleh dengan x menggunakan rumus (0)

( )x _{1 e}(2( ( )))

l l = _{α βλ+}

+ . Pada Gambar 12 di bawah ini ditampilkan gambar kurva l laki-laki.x

lx (Laki-Laki) 0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 1 13 25 37 49 61 73 85 97 Um ur(x) lx lx (Laki-Laki)

Gambar 12 Kurva l penduduk laki-laki. x

Kurva l wanita ditampilkan pada Gambar 13 di bawah ini: _x

lx (Wanita) 0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 1 13 25 37 49 61 73 85 97 Um ur(x) lx lx (Wanita) Gambar 13 Kurva l penduduk wanita. x

44

Perbedaan banyaknya penduduk laki-laki dan wanita yang bertahan hidup di provinsi Banten dapat dilihat pada Gambar 14 di bawah ini.

Perbandingan Kurva lx 0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 1 16 31 46 61 76 91 Umur(x) lx lx (Wanita) lx (Laki-Laki)

Gambar 14 Kurva l penduduk laki-laki dan wanita. _x

Pada Gambar 14 dapat dilihat banyaknya penduduk wanita yang bertahan hidup lebih tinggi dari laki-laki karena pada angka harapan hidup wanita lebih tinggi dari laki-laki.

Berdasarkan Gambar 14 untuk umur 0 sampai 40 tahun antara penduduk laki-laki dan wanita banyaknya yang bertahan hidup masih relatif sama, setelah umur 40 tahun penduduk laki-laki mulai terlihat tidak dapat bertahan hidup dan yang dapat bertahan hidup semakin menurun sampai mendekati 0 pada umur 100 tahun.

Tabel hayat Banten 2005 diperoleh dari gabungan tabel hayat laki-laki dan wanita Banten seperti pada Gambar 15 berikut.

lx Banten 0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 1 16 31 46 61 76 91 Umur (x) lx lx Banten

4.2.2 Pendugaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Weibull

Hasil pendugaan parameter pada data Survival Banten dengan

menggunakan sebaran Weibull dapat dilihat pada Gambar 16.

Gambar 16 Kurva fungsi Survival Banten dengan menggunakan sebaran Weibull (kurva mulus).

4.2.3 Pendugaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Log-normal

Hasil pendugaan parameter pada data Survival Banten dengan

menggunakan sebaran log-normal dapat dilihat pada Gambar 17.

Gambar 17 Kurva fungsi Survival Banten dengan menggunakan sebaran log- normal (kurva mulus).

4 1 ( ) 75,04 ( ) x S x e − = R2=0,958 20 40 60 80 100 Umur x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 S x

_____ Nilai Dugaan ... Data Banten

2 2 Log[ ] 4,11 0,29 ( 4,11) /(2(0,29) ) 0 1 ( ) 1 0, 29 2 x t S x e dt π − − − = −

_∫

R2 =0,852 20 40 60 80 100 Umur x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 S x

46

4.2.4 Pendugaan Parameter Fungsi Survival Sebaran Log-logistik

Hasil pendugaan parameter pada data Survival Banten dengan

menggunakan sebaran log-logistik seperti terlihat pada Gambar 18.

Gambar 18 Kurva fungsi Survival Banten dengan menggunakan sebaran log-logistik (kurva mulus).

Berdasarkan hasil pendugaan parameter dari sebaran di atas, pada Tabel 3 dapat dilihat perbedaan nilai koefisien penentu (determinasi) yang dilambangkan dengan 2

R pada masing-masing fungsi Survival Banten.

Tabel 3 Perbandingan nilai _{R fungsi Survival Banten} 2

Sebaran Weibull log-normal log-logistik

2

R 0,958 0,852 0,870

Dari Tabel 3 terlihat nilai R yang tinggi terdapat pada fungsi Survival 2

sebaran Weibull. Berdasarkan hal tersebut fungsi Survival Banten dapat di dekati sebaran Weibull dengan persamaan fungsi Survival

4 1 ( ) 75,04 ( ) x S x e − = . 4.3 Model Tabel Hayat Kontinu Rachmadani

Rachmadani (2006) telah melakukan penelitian untuk menyusun tabel hayat dengan menggunakan pendekatan kontinu dengan menganalisis data tentang laju kematian (

μ

( )x ). Model yang diperoleh adalah S x( )=e( 0,0157− e0,051x+0,0157).

15,03 3,58 1 ( ) 1 S x e− x = + 2 _0,870 R = 20 40 60 80 100 Umur x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 S x

Dengan menggunakan data Survival Banten tahun 2005 pada model Rachmadani dan model fungsi Survival Weibull, diperoleh nilai R2 =0,942 untuk model Rachmadani, sedangkan untuk model fungsi Survival Weibull diperoleh nilai

2 _0,958

R = . Nilai R model fungsi Survival Weibull lebih tinggi dari model 2

Rachmadani, yang menunjukkan model fungsi Survival Weibull lebih baik dalam pengepaskan data Survival Banten (lihat Gambar 19).

Perbandingan Kurva S(x) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 Umur (x) S( x ) S(x) Data S(x) Weibull S(x) Kontinu R

Gambar 19 Perbandingan kurva fungsi Survival model Rachmadani dan Weibull.

48

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pendugaan parameter dan hasil penghitungan R terhadap 2

sebaran eksponensial, Weibull, log-normal, log-logistik dan Gompertz maka dapat disimpulkan bahwa :

1 Metode Maximum Likelihood dapat digunakan untuk melakukan pendugaan parameter dengan baik terhadap fungsi Survival bila dapat memilih fungsi sebaran yang tepat.

2 Model life table dapat didekati dengan model kontinu, yaitu dengan menggunakan sebaran Weibull, log-normal dan log-logistik.

3 Berdasarkan metode Maximum Likelihood dengan menggunakan data Survival Banten, sebaran Weibull merupakan sebaran yang terbaik dibandingkan dengan empat sebaran lainnya.

5.2 Saran

Perlu dikembangkan fungsi Survival lain yang lebih representatif dalam menggambarkan perilaku data.

DAFTAR PUSTAKA

Agresti A, Barbara, F. 1986. Statistical Methods for the Social Sciences. Ed. Ke-2. California. D. ellen Publishing Company.

Brown, R.L.1997. Introduction to the Mathematics of Demography. Ed ke-3. Winsted: Actec Publications.

Barendregt, J.J, Oortmarssen, G.V, Van Hout, B, Van Den Bosch, J.M. 1998. Coping With Multiple Morbidity In a Life Table. Mathematical

Population Studies 7(1): 29 – 49.

Coale A.J , Paul, D. 1983. Regional Model Life Tables and Stable Population. Ed ke-2. New York: Academic Press.

Cox D.R, Oakes. 1984. Analysis of Survival Data. Cambridge: University Press. De Roos, A.M. 2008. Demographic analysis of continuous-time life-history

models. Ecology Letters 11: 1 – 15.

Grimmett G.R, Stirzaker, D.R. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2. Clarendon Press. Oxford.

Lee, E.T. 1992. Statistical Methods for Survival Data Analysis. Ed ke-2. New York: A Wiley Interscience Publication.

Muller, H.G et al. 2004. Demographic window to aging in the wild: constructing life tables and estimating survival functions from marked individuals of known age. J Aging Cell. Vol 3. pp 125 – 131.

Nurmaulidah. 2007. Model dan Analisis Data Survival Menggunakan Sebaran

Log-Logistik. Skripsi. Departemen Matematika FMIPA-IPB.

Pollard, A.H, Yusuf Farhat, Pollard, G.N.1982. Teknik Demografi. Munir Rozy, Budiarto, penerjemah, Jakarta: Bina Aksara. Terjemahan dari:

Demographic Techniques.

Rachmadani, N. 2006. Penyusunan Tabel Hayat. Skripsi. Departemen Matematika FMIPA-IPB.

Serfling, R.J. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley and Sons.

Shavelle, Strauss, D. 1999. A Long Period Multistate Life Table Using Micro Data. Mathematical Population Studies 7(2): 161 – 177.

50

United Nations. 1983. Manual X Indirect Techniques for Demographic

Estimation. New York.

52

Lampiran 1 Tabel hayat Banten tahun 2005

TABEL HAYAT BANTEN 2005 TABEL HAYAT BANTEN 2005

Wanita Laki-laki x l x d x L x T x e&x x l x d x L x T x e& x 0 100000 3286 98357 6878296 69 0 100000 4822 97589 6547436 65 1 96714 457 96486 6779939 70 1 95178 132 95112 6449847 68 2 96257 228 96143 6683453 69 2 95046 67 95013 6354735 67 3 96029 160 95949 6587310 69 3 94979 52 94953 6259723 66 4 95869 134 95802 6491361 68 4 94927 37 94909 6164770 65 5 95735 102 95684 6395559 67 5 94890 39 94871 6069861 64 6 95633 76 95595 6299875 66 6 94851 40 94831 5974991 63 7 95557 53 95531 6204280 65 7 94811 39 94792 5880160 62 8 95504 35 95487 6108750 64 8 94772 37 94754 5785368 61 9 95469 21 95459 6013263 63 9 94735 34 94718 5690615 60 10 95448 7 95445 5917805 62 10 94701 3 94700 5595897 59 11 95441 4 95439 5822360 61 11 94698 5 94696 5501197 58 12 95437 6 95434 5726921 60 12 94693 10 94688 5406502 57 13 95431 16 95423 5631487 59 13 94683 22 94672 5311814 56 14 95415 30 95400 5536064 58 14 94661 38 94642 5217142 55 15 95385 85 95343 5440664 57 15 94623 90 94578 5122500 54 16 95300 102 95249 5345322 56 16 94533 109 94479 5027922 53 17 95198 119 95139 5250073 55 17 94424 128 94360 4933443 52 18 95079 131 95014 5154934 54 18 94296 143 94225 4839083 51 19 94948 142 94877 5059921 53 19 94153 157 94075 4744859 50 20 94806 142 94735 4965044 52 20 93996 166 93913 4650784 49 21 94664 150 94589 4870309 51 21 93830 176 93742 4556871 49 22 94514 157 94436 4775720 51 22 93654 185 93562 4463129 48 23 94357 163 94276 4681284 50 23 93469 192 93373 4369568 47 24 94194 170 94109 4587009 49 24 93277 198 93178 4276195 46 25 94024 173 93938 4492900 48 25 93079 193 92983 4183017 45 26 93851 179 93762 4398962 47 26 92886 198 92787 4090034 44 27 93672 185 93580 4305201 46 27 92688 204 92586 3997247 43 28 93487 191 93392 4211621 45 28 92484 209 92380 3904661 42 29 93296 198 93197 4118230 44 29 92275 216 92167 3812282 41

30 93098 204 92996 4025033 43 30 92059 221 91949 3720115 40 31 92894 211 92789 3932037 42 31 91838 230 91723 3628166 40 32 92683 218 92574 3839248 41 32 91608 239 91489 3536443 39 33 92465 226 92352 3746674 41 33 91369 248 91245 3444955 38 34 92239 233 92123 3654322 40 34 91121 260 90991 3353710 37 35 92006 241 91886 3562200 39 35 90861 269 90727 3262719 36 36 91765 249 91641 3470314 38 36 90592 283 90451 3171992 35 37 91516 259 91387 3378674 37 37 90309 298 90160 3081542 34 38 91257 268 91123 3287287 36 38 90011 315 89854 2991382 33 39 90989 278 90850 3196164 35 39 89696 332 89530 2901528 32 40 90711 286 90568 3105314 34 40 89364 350 89189 2811998 31 41 90425 297 90277 3014746 33 41 89014 372 88828 2722809 31 42 90128 310 89973 2924470 32 42 88642 395 88445 2633981 30 43 89818 324 89656 2834497 32 43 88247 419 88038 2545537 29 44 89494 340 89324 2744841 31 44 87828 447 87605 2457499 28 45 89154 348 88980 2655517 30 45 87381 467 87148 2369895 27 46 88806 367 88623 2566537 29 46 86914 500 86664 2282747 26 47 88439 392 88243 2477914 28 47 86414 536 86146 2196083 25 48 88047 417 87839 2389671 27 48 85878 577 85590 2109937 25 49 87630 448 87406 2301833 26 49 85301 621 84991 2024348 24 50 87182 482 86941 2214427 25 50 84680 667 84347 1939357 23 51 86700 519 86441 2127486 25 51 84013 720 83653 1855011 22 52 86181 558 85902 2041045 24 52 83293 777 82905 1771358 21 53 85623 601 85323 1955143 23 53 82516 838 82097 1688453 20 54 85022 647 84699 1869821 22 54 81678 904 81226 1606356 20 55 84375 673 84039 1785122 21 55 80774 958 80295 1525130 19 56 83702 731 83337 1701084 20 56 79816 1037 79298 1444835 18 57 82971 796 82573 1617747 19 57 78779 1123 78218 1365538 17 58 82175 872 81739 1535174 19 58 77656 1219 77047 1287320 17 59 81303 955 80826 1453435 18 59 76437 1323 75776 1210274 16 60 80348 1048 79824 1372610 17 60 75114 1443 74393 1134498 15 61 79300 1148 78726 1292786 16 61 73671 1561 72891 1060106 14 62 78152 1258 77523 1214060 16 62 72110 1687 71267 987215 14 63 76894 1375 76207 1136537 15 63 70423 1817 69515 915949 13 64 75519 1501 74769 1060330 14 64 68606 1956 67628 846434 12 65 74018 1617 73210 985562 13 65 66650 2115 65593 778806 12