PENENTUAN PELUANG BERTAHAN DALAM MODEL RISIKO KLASIK DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE AMIRUDDIN

(1)

PENENTUAN PELUANG BERTAHAN

DALAM MODEL RISIKO KLASIK

DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE

AMIRUDDIN

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2008

(2)

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Penentuan Peluang Bertahan dalam Model Risiko Klasik dengan Menggunakan Transformasi Laplace adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis.

Bogor, Juni 2008

(3)

ABSTRACT

AMIRUDDIN. Determination of Survival Probabilities in the Classical Risk

Model Using Laplace Transform. Under direction of I GUSTI PUTU

PURNABA and EFFENDI SYAHRIL.

The purpose of this thesis is to show that, for the classical risk model, explicit solutions for survival probability in a finite time horizon can be obtained through the inversion of double Laplace transform of the distribution of time to ruin. To do this, the probability of ultimate non-ruin function as developed by Gerber and Shiu (1998) is being considered. Two methods used in this research are Laplace transform and analytic inversion. In analytic inversion, algebraic manipulations and Laplace complex inversion formula are applied. The Laplace complex inversion uses residue theorem and Laurent series expansion for complex functions. At the end some numerical results using Mathematica software are presented.

The numerical results show that the increase in survival probability value is caused by the increase in initial capital or premium income, and the corresponding decrease is caused by the increase in time .

Keywords: classical risk model, double Laplace transform, time to ruin, ruin probability.

(4)

RINGKASAN

AMIRUDDIN. Penentuan Peluang Bertahan dalam Model Risiko Klasik

dengan Menggunakan Transformasi Laplace. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU

PURNABA dan EFFENDI SYAHRIL.

Dalam perusahaan asuransi, model risiko klasik adalah model untuk menentukan akumulasi kekayaan perusahaan pada suatu waktu tertentu (t), yang

ditulis sebagai ( )

1 .

( ) N t _i

i

U t u ct X , t 0 dan U(0) u. Peubah u adalah

modal awal, c adalah rata-rata premi yang masuk per satuan waktu, X_i adalah besar klaim ke-i dan N t( ) adalah banyaknya klaim yang terjadi dalam interval waktu [0,t]. X_i dengan i = 1, 2, 3, ..., N t( ) adalah variabel acak sebanyak N t( ) yang diasumsikan saling bebas dan X_i juga bebas terhadapN t( ). Dengan mengasumsikan bahwa { ( ), N t t 0}adalah proses Poisson dengan laju , maka

( ) 1 N t

i

i X , t 0, adalah proses Poisson majemuk, sehingga U t( ) merupakan proses stokastik.

Suatu perusahaan asuransi dinyatakan jatuh atau bangrut jika U t ( ) 0. Peluang jatuh adalah fungsi dalam u dan t, dinotasikan sebagai ( , ),u t dan peluang bertahan dinotasikan sebagai ( , ),u t sehingga ( , )u t 1 ( , ).u t Jika

i

X mengikuti suatu sebaran tertentu, maka solusi eksplisit dari ( , )u t dapat ditentukan.

Tujuan penelitian ini adalah menentukan fungsi sebaran peluang bertahan ( ( , )u t ) dengan asumsi X_i menyebar eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran. Dari masing-masing solusi ditentukan contoh perhitungannya dengan menggunakan software Mathematica.

Langkah awal dalam penentuan fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik adalah menentukan fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang pada peubah acak yang menyebar eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran .

Langkah berikutnya, didefinisikan suatu fungsi peluang bertahan ( ( , )u t )

dan suatu fungsi dalam u ( ( )u ). Dari kedua fungsi tersebut ditentukan fungsi transformasi Laplacenya, yaitu ˆˆ ( , )s dan ˆ( )s yang di dalamnya memuat fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang.

Langkah akhir, dengan ekspansi deret Maclaurin dan formula invers kompleks, fungsi ˆˆ ( , )s diubah menjadi fungsi ( , ).u t Fungsi terakhir adalah fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik

Penelitian ini menunjukkan bahwa, fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik dapat ditentukan melalui transformasi Laplace dan invers Laplace. Ekspansi deret Maclaurin dan formula invers kompleks digunakan pada analisis invers Laplace.

(5)

Untuk mengetahui perilaku dari masing-masing fungsi sebaran, dilakukan beberapa perhitungan numerik dengan menggunakan software Mathematica. Hasil akhir menunjukkan bahwa nilai peluang bertahan akan naik jika modal awal dan premi diperbesar dan akan turun jika interval waktu diperpanjang.

Dengan hasil ini, nilai peluang bertahan suatu perusahaan asuransi untuk beberapa waktu (t) ke depan dapat ditentukan dan dapat diatur dengan menentukan modal awal (u) dan besar premi (c).

Kata kunci: model risiko klasik, transformasi Laplace ganda, waktu jatuh dan peluang jatuh.

(6)

©Hak cipta milik IPB, tahun 2008

Hak cipta dilindungi Undang-undang

1 Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebut sumber.

a Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.

b Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.

2 Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

(7)

PENENTUAN PELUANG BERTAHAN

DALAM MODEL RISIKO KLASIK

DENGAN MENGGUNAKAN TRANSFORMASI LAPLACE

AMIRUDDIN

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2008

(8)

Judul Tesis : Penentuan Peluang Bertahan dalam Model Risiko Klasik dengan Menggunakan Transformasi Laplace

Nama : Amiruddin

NIM : G551060181

Disetujui

Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. Sc.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS.

(9)

(10)

PRAKATA

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga tesis ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2008 ini ialah peluang bertahan dalam model risiko klasik dengan judul Solusi Eksplisit Pada Peluang Bertahan Dalam Model Risiko Klasik.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. dan Bapak Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. Sc. selaku dosen pembimbing yang telah banyak memberi saran. Disamping itu penulis sampaikan ucapan terima kasih kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa untuk studi. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada isteri, anak dan seluruh keluarga, atas doa dan dukungannya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Juni 2008

(11)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Boyolali pada tanggal 25 Juli 1969 dari ayah H. Chamdani dan ibu Hj. Suparti. Penulis merupakan putra keempat dari lima bersaudara.

Tahun 1987 penulis lulus dari MAN Surakarta dan pada tahun 1991 lulus dari IAIN Sunan Kalijaga Yogjakarta. Tahun 1995 penulis diangkat menjadi PNS di lingkungan Departemen Agama dengan NIP. 150275020 dan ditugaskan sebagai guru matematika di MTsN Sumberlawang Sragen.

Penulis diterima sebagai mahasiswa pascasarjana Institut Pertanian Bogor tahun ajaran 2006/2007 melalui seleksi penerimaan beasiswa tugas belajar yang diselenggarakan oleh Departemen Agama Republik Indonesia kerja sama dengan Institut Pertanian Bogor.

(12)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... xii

DAFTAR GAMBAR ... xiii

DAFTAR LAMPIRAN ... xiv

I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Perumusan Masalah ... 2

1.3 Tujuan Penelitian ... 2

1.4 Ruang Lingkup Penelitian ... 2

1.5 Sistematika Pembahasan ... 3

II KONSEP DASAR ... 4

2.1 Proses Poisson ... 4

2.2 Sebaran Peubah Acak ... 5

2.3 Sebaran Jumlah dari Peubah Acak-Peubah Acak Yang Saling Bebas ... 8

2.4 Transformasi Laplace ... 8

2.5 Deret Maclaurin ... 10

2.6 Formula Invers Komplek ... 11

III PENENTUAN PELUANG BERTAHAN ... 12

3.1 Model Resiko Klasik ... 12

3.2 Sebaran dari Klaim Tunggal ... 13

3.3 Sebaran dari Jumlah Klaim ... 16

3.4 Peluang Jatuh dan Peluang Bertahan ... 16

3.5 Transformasi Laplace Pada dan ( , )u t ... 17

3.6 Transformasi Laplace Pada f ... 20

(13)

IV PERHITUNGAN NUMERIK ... 36

4.1 Parameter ... 36

4.2 Hasil Perhitungan Numerik ... 37

4.3 Analisis Hasil Perhitungan ... 41

V KESIMPULAN DAN SARAN ... 43

5.1 Kesimpulan ... 43

5.2 Saran ... 43

DAFTAR PUSTAKA ... 44

(14)

DAFTAR TABEL

Halaman

4.1 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial dengan parameter 1, parameter waktu antar kedatangan 1 dan besar premi c 1 ... 37 4.2 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim

menyebar eksponensial dengan parameter 1, parameter waktu antar kedatangan 1 dan besar premi c 1,1... 38 4.3 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim

menyebar eksponensial dengan parameter 1, parameter waktu antar kedatangan 1 dan besar premi c 1, 2 ... 38 4.4 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim

menyebar Erlang(2) dengan parameter 2, parameter waktu antar kedatangan 1 dan besar premi c 1 ... 39 4.5 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim

menyebar Erlang(2) dengan parameter 2, parameter waktu antar kedatangan 1 dan besar premi c 1,1... 39 4.6 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim

menyebar Erlang(2) dengan parameter 2, parameter waktu antar kedatangan 1 dan besar premic 1, 2... 40 4.7 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim

menyebar eksponensial campuran dengan parameter 1

2, 2 dan 1

3,

b parameter waktu antar kedatangan 1 dan besar premi c=1 ... 40 4.8 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim

2, 2 dan 1

3,

b parameter waktu antar kedatangan 1 dan besar premi c 1,1 .. 41 4.9. Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim

2, 2 dan 1

3,

(15)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

3.1 Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial

( 0, 5) ... 13 3.2 Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak tersebar eksponensial

( 0, 5 ) ... 13 3.3 Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar erlang(2) ( 0, 5) 14 3.4 Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak tersebar erlang(2) ( 0, 5 ) .. 14 3.5 Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial

campuran ( 0, 25; 0, 75dan b 0, 25) ... 15 3.6 Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak tersebar eksponensial

campuran ( 0, 25; 0, 75dan b 0, 25) ... 16 3.7 Dua akar persamaan dasar Lundberg ... 18 3.8 Grafik fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar

eksponensial ( 0, 5 ) ... 20 3.9 Grafik fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar

Erlang(2) ( 0, 5) ... 21 3.10 Grafik fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar

(16)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1 ... 46 Lampiran 2 ... 49 Lampiran 3 ... 79

(17)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Dalam perusahaan asuransi, proses surplus adalah proses akumulasi kekayaan yang dinotasikan dengan U t( ) dan didefinisikan oleh Bowers (1997) sebagai

( ) ( )

U t u ct S t , t 0 dan (0)U u.

(1.1) Peubah u adalah modal awal (initial capital), c adalah rata-rata premi yang masuk per satuan waktu, t adalah waktu dan S t( ) adalah proses akumulasi klaim (aggregate claims process). Persamaan (1.1) dikenal sebagai model risiko klasik.

Proses akumulasi klaim, dengan notasi S t( ), didefinisikan oleh Dickson (2005) sebagai ( ) 1 ( ) N t_i . _i, S t X X_i 0 untuk i = 1, 2, 3, ..., N t( ).

(1.2) Peubah acak X_i adalah besar klaim ke-i dan N t( ) adalah banyaknya klaim yang terjadi dalam interval waktu [0,t]. Untuk semua i = 1, 2, 3, ..., N t( ), X_i adalah peubah acak kontinu sebanyak N t( ) yang diasumsikan saling bebas dan X_i juga bebas terhadapN t( ). Dalam aplikasi asuransi, X_i dapat diasumsikan mengikuti suatu sebaran tertentu. Dalam penelitian ini, X_i diasumsikan menyebar eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran.

Pengambilan ketiga asumsi berkenaan dengan metode transformasi Laplace. Transformasi Laplace pada fungsi kepekatan peluang dari sebaran ekponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran lebih sederhana dibanding dengan transformasi Laplace pada sebaran yang lain. Hal ini juga berakibat pada penerapan metode invers Laplace.

Suatu perusahaan asuransi dinyatakan jatuh atau bankrut jika U t ( ) 0. Peluang jatuh adalah fungsi dalam u dan t, dinotasikan sebagai ( , ),u t dan peluang bertahan dinotasikan sebagai ( , ),u t sehingga sesuai dengan Ross (1996)

( , )u t 1 ( , )u t

(18)

1.2 Perumusan Masalah

Dari latar belakang masalah tersebut di atas, masalah penelitian dapat dirumuskan sebagai berikut:

1 Bagaimana menentukan fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik ( ( , )u t ), jika besarnya klaim yang datang (X ) menyebar: i

a eksponensial, b Erlang(2) dan

c eksponensial campuran?

2 Jika peubah dalam model risiko klasik (u, c dan t) dan parameter dalam fungsi kepekatan peluang dari ketiga sebaran tersebut ditentukan, bagaimana contoh hasil perhitungan numeriknya?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan perumusan masalah di atas, tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut:

1 Menentukan fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik ( ( , )u t ), jika besarnya klaim yang datang (Xi) menyebar:

a eksponensial, b Erlang(2) dan

c eksponensial campuran.

2 Menentukan contoh hasil perhitungan numeriknya, jika peubah-peubah dalam model risiko klasik dan parameter dalam fungsi kepekatan peluang pada ketiga sebaran tersebut ditentukan.

1.4 Ruang Lingkup Penelitian

Ruang lingkup penelitian ini adalah sebagai berikut: 1 Model risiko klasik.

2 Fungsi peluang dalam model risiko klasik.

3 Fungsi kepekatan peluang dari peubah acak yang menyebar secara eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran.

(19)

4 Transformasi Laplace pada fungsi peluang dalam model risiko klasik dan fungsi kepekatan peluang dari peubah acak yang menyebar secara eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran.

5 Formula invers kompleks.

6 Program komputasi dengan software Mathematica.

1.5 Sistematika Pembahasan

Dalam memahami model risiko klasik, dibahas beberapa konsep dasar, yaitu: proses Poisson, sebaran peubah acak, sebaran jumlah dari peubah acak-peubah acak yang saling bebas, transformasi Laplace dan formula invers kompleks. Konsep dasar ini disajikan pada bab II.

Langkah awal dalam penentuan fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik adalah menentukan fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang pada peubah acak yang menyebar eksponensial, Erlang(2) dan eksponensial campuran.

Langkah berikutnya, didefinisikan suatu fungsi peluang bertahan ( ( , )u t ) dan suatu fungsi peluang jatuh dalam u ( ( )u ). Dan dari kedua fungsi tersebut

ditentukan fungsi transformasi Laplacenya, yaitu ˆˆ ( , )s dan ˆ( )s yang di

dalamnya memuat fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang.

Langkah akhir, dengan formula invers kompleks, fungsi ˆˆ ( , )s diubah menjadi fungsi ( , ).u t Fungsi terakhir adalah solusi eksplisit pada peluang bertahan pada model risiko klasik.

Ketiga langkah tersebut di atas disajikan pada bab III. Selanjutnya dalam bab IV dan bab V masing-masing disajikan simulasi atau contoh perhitungan dan kesimpulan akhir dari penelitian ini.

Beberapa teorema dan persamaan yang ada dalam bab II dan bab III memerlukan bukti, penjelasan atau uraian aljabar. Untuk mengefektifkan penulisan dan kepadatan isi, rangkaian bukti, penjelasan atau uraian aljabar ditulis pada lampiran 1 dan lampiran 2. Sedangkan program untuk menentukan contoh hasil perhitungan numerik disajikan dalam lampiran 3.

(20)

BAB II

KONSEP DASAR

Konsep dasar yang ditulis dalam bab 2 ini, merupakan beberapa dasar acuan yang akan digunakan untuk menganalisa model risiko klasik dan menentukan fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik. Diantara dasar acuan tersebut adalah: proses Poisson, sebaran peubah acak, sebaran pada jumlah dari beberapa peubah acak yang saling bebas, transformasi Laplace, deret Maclaurin dan formula invers kompleks.

2.1 Proses Poisson

Definisi 2.1 Proses stokastik

Proses stokastik (stochastic process) { ( ), N t t T adalah koleksi dari } peubah acak. Untuk setiap t dalam himpunan indeks T, N t( ) merupakan peubah acak. Jika t menyatakan waktu, maka N t( ) menyatakan kondisi proses saat t. Jika T himpunan indeks terhitung maka, { ( ), N t t T} disebut proses stokastik waktu diskret dan jika T kontinu, maka { ( ), N t t T} disebut proses stokastik waktu kontinu.

Ross (1996)

Definisi 2.2 Proses pencacahan

Suatu proses stokastik{ ( ), N t t 0}disebut sebagai proses pencacahan (counting process) jika N t( ) menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi dalam selang waktu [0, ]t dan N t harus memenuhi: ( )

(i) N t( ) 0.

(ii) N t bernilai bulat. ( ) (iii) Jika s t, maka N s( )

( ).

N t

(iv) Untuk s t, N t( ) N s( )menyatakan banyak kejadian yang terjadi dalam selang waktu (s,t].

Ross (1996)

Definisi 2.3 Proses Poisson

Suatu proses pencacahan { ( ), N t t 0} disebut proses Poisson (Poisson

(21)

(i) N(0)= 0.

(ii) proses memiliki kenaikan bebas.

(iii) banyaknya kejadian yang terjadi dalam setiap selang waktu sepanjang t menyebar Poisson dengan rataan t. Sehingga untuk semua s, t 0 berlaku

1 P[ ( ) ( ) ] ( ) ! t n N t s N s n e t n , n = 0, 1, 2, …. Ross (1996)

Definisi 2.4 Proses Poisson majemuk

Suatu proses stokastik{ ( ), S t t 0}disebut sebagai proses Poisson majemuk (compound Poisson process), jika dapat dinyatakan sebagai

( ) 1 ( ) _iN t _i

S t X , t 0,

dimana { ( ), N t t 0}adalah proses Poisson dengan laju , untuk semua i = 1, 2, 3, ..., X_i adalah peubah acak iid (independent and identically distributed) dan juga bebas terhadap { ( ), N t t 0}. Peubah acak iid adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran yang identik.

Ross (1996)

2.2 Sebaran Peubah Acak

Definisi 2.5 Fungsi sebaran pada peubah acak diskret

Jika X adalah suatu peubah acak diskret, maka fungsi F didefinisikan pada ( ,+ ) sebagai F(t) = P(X t) dan disebut sebagai fungsi sebaran (distribution function) pada X. Fungsi F merupakan akumulasi dari semua peluang X yang

yang nilainya termuat dalam selang ( ,t], sehingga F disebut juga sebagai fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari X yang memenuhi:

(i) F fungsi tak turun, jika t u maka F(t) F(u).

(ii) lim ( ) 1 t F t . (iii) lim ( ) 0. t F t

(iv) lim ( )_n ( ). n F t F t Ghahramani (2000)

(22)

Definisi 2.6 Fungsi peluang peubah acak diskret

Fungsi peluang p pada peubah acak diskret X dengan himpunan nilai yang mungkin { ,x x x1 2, 3,...}adalah suatu fungsi dari R ke R yang memenuhi:

(i) p x( ) 0, jika x { ,x x x₁ ₂, ₃,...}. (ii) p x( )_i P(X x dan ( )_i) p x_i 0, (i 1, 2, 3,...). (iii) =1 ( )i 1 i p x . Ghahramani (2000) Jika X adalah peubah acak diskret, maka fungsi sebarannya dinyatakan sebagai

1 1 ( ) n ( )_i

i

F t p x , x_n ₁ t x_n,

dimana p adalah fungsi peluang (probability function).

Ghahramani (2000)

Definisi 2.7 Nilai harapan peubah acak diskret

Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan nilai yang mungkin adalah A. Jika p(x) adalah fungsi peluang dari X, maka nilai harapan (expected value) dari peubah acak X didefinisikan sebagai

E( ) ( )

x

X x p x

A

dan E( )X dikatakan ada jika ( ) x

x p x A

konvergen mutlak.

Ghahramani (2000)

Definisi 2.8 Simpangan baku dan ragam peubah acak diskret

Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan nilai yang mungkin adalah A, p(x) adalah fungsi peluang dari X dan E( )X = adalah nilai harapan dari X, maka _X dan Var(X) masing-masing adalah simpangan baku (standard deviation) dan ragam (variance) dari X didefinisikan sebagai

2 E[( ) ] X X dan 2 Var(X) E[(X ) ]. Ghahramani (2000)

(23)

Definisi 2.9 Fungsi kepekatan peluang pada peubah acak kontinu

Misalkan X peubah acak kontinu bernilai real. Suatu fungsi kepekatan peluang (probability density function) pada X yang dinotasikan sebagai f x( ) adalah fungsi real yang memenuhi

. . P( ) b ( ) a a X b f x dx, a,b R. Jika E R, maka . P(X ) f x dx( ) . E E Ross (2007)

Definisi 2.10 Fungsi sebaran peluang pada peubah acak kontinu

Jika f adalah fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X yang kontinu dengan fungsi sebaran F, maka f harus memenuhi:

(i) . . f x dx( ) 1. (ii) F x'( ) f x( ). (iii) . . P( ) a ( ) 0. a X a f x dx

(iv) . . P( ) P( ) P( ) P( ) b ( ) . a a X b a X b a X b a X b f x dx Ghahramani (2000) Menurut Ross (1996), jika X adalah peubah acak kontinu, maka fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai

( ) F t . . ( ) t f x dx = . . 1 ( ) , t f x dx

dimana f(x) adalah fungsi kepekatan peluang.

Definisi 2.11 Nilai harapan pada peubah acak kontinu

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan f sebagai fungsi kepekatan peluang, maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai

. .

E( )X xf x dx.( )

(24)

Definisi 2.12 Simpangan baku dan ragam pada peubah acak kontinu

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan E( )X = , maka _X dan Var(X) masing-masing adalah simpangan baku dan ragam dari X yang didefinisikan

sebagai 2 E[( ) ] X X dan . 2 2 . Var( )X E[(X ) ] (x ) f x dx( ) . Ghahramani (2000)

2.3 Sebaran Jumlah dari Peubah Acak-Peubah Acak yang Saling Bebas Teorema 2.1 Teorema konvolusi

Misalkan X dan Y adalah dua peubah acak yang saling bebas dengan fungsi kepekatan peluang berturut-turut f dan ₁ f serta fungsi sebaran peluang berturut-₂

turut F dan ₁ F Jika g dan G berturut-turut adalah fungsi kepekatan peluang dan ₂. fungsi sebaran peluang dari X + Y, maka

1 . . 2 ( ) ( ) ( ) g t f x f t x dx

(2.1) dan 1 . 2 . ( ) ( ) ( ) . G t f x F t x dx

(2.2) Bukti teorema ada pada lampiran 1 sub 1.1. Bentuk (2.1) dan (2.2) dapat juga ditulis sebagai: 2 . . 1 ( ) ( ) ( ) g t f y f t y dy dan ₂ . 1 . ( ) ( ) ( ) . G t f y F t y dy Ghahramani (2000) 2.4 Transformasi Laplace

Definisi 2.13 Transformasi Laplace

Transformasi Laplace dari fungsi f t( ), 0. t ,adalah fungsi [f] pada peubah real s yang dinyatakan sebagai

[f](s) = ˆ ( )f s = . .0 ( ) st e f t dt = .0 lim e stf t dt( ) .

(2.3) Transformasi terdefinisikan untuk semua bilangan real s jika limit (2.3) ada.

Borrelli dan Coleman (1998) Menurut Dickson (2005), untuk fungsi f dengan dua peubah bebas (x,y), yaitu ( , ),f x y 0 x dan 0 y maka

(25)

. 0 . ˆ ( , ) sy ( , ) f x s e f x y dy

(2.4) dan 0 . . ˆ ( , ) x ( , ) . f y e f x y dx

(2.5) Sehingga transformasi ganda dapat ditulis sebagai

. . .0 .0 ˆˆ( , ) x sy ( , ) . f s e f x y dxdy

(2.6) Beberapa bentuk transformasi Laplace, yang berkaitan dengan aplikasi dalam teori risiko, sebagaimana dikemukan oleh Dickson (2005) adalah transformasi Laplace pada jumlah dua fungsi atau lebih, fungsi integral, fungsi turunan dan konvolusi fungsi.

Misalkan h , ₁ h₂ masing-masing adalah fungsi dan ₁, ₂ masing-masing adalah konstanta. Jika tranformasi Laplace dari h dan ₁ h ada, maka ₂

1 2 1 2 0 . . ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ). sy e ₁h y ₂h y dy ₁h s ₂h s (2.7)

Lihat lampiran 1 sub 1.2.

Misalkan h adalah fungsi yang memiliki transformasi Laplace dan

.0

.

( ) x ( ) ,

H x h y dy

maka transformasi Laplace dari H x dengan ( ) H(0) 0 adalah 1 ˆ ˆ ( ) ( ). H s h s s

(2.8) Lihat lampiran 1 sub 1.3.

Misalkan d h y( )

dy adalah turunan dari h terhadap y maka transformasi

Laplacenya adalah .0 . ˆ ( ) ( ) (0). sy d e h y dy sh s h dy

Misalkan konvolusi dari fungsi h dan ₁ h₂ adalah h₁ h₂ = h didefinisikan

sebagai 1 2 0 . ( ) ( ) ( ) , h x h y h x y dy

(26)

maka transformasi Laplace dari h adalah

1 2

ˆ_{( )} ˆ_{( ) ( ).}ˆ

h s h s h s

Misalkan H dan h berturut-turut adalah fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X yang kontinu dengan H(0) = 0, maka

ˆ E[ sX] ( ).

e h s

2.5 Deret Maclaurin

Definisi 2.14 Deret Maclaurin

Deret Maclaurin dari suatu fungsi f(z) ditulis sebagai ( ) f z = (1) (2) (3) ( ) 2 3 (0) (0) (0) (0) (0) ... ... 1! 2! 3! ! k k f f f f f z z z z k

= ( ) 0 (0) . ! k k k f z k

Dengan f(0)( )z = ( )f z dan f( )k ( )z adalah turunan ke-k dari ( ).f z

Stewart (2003) Beberapa deret Maclaurin yang digunakan dalam pembahasan pada bab III adalah: (i) ez = 2 3 1 ... 1! 2! 3! z z z = 0 . ! k k z k

(ii) exp 1 z = 1 2 3 1 ... 1! 2! 3! z z z = 0 . ! k k z k

(iii) 1 1 az = 2 2 3 3 1 az a z a z ...

= 0 . k k k a z

(iv) 1 1 a z = 1 az 1 a z2 2 a z3 3 ... = 0 . k k k a z

(27)

2.6 Formula Invers Kompleks Definisi 2.15 Fungsi analitik

Misal U C, C adalah sistem bilangan kompleks dan fungsi f U: C. Jika ( )f z dengan z U turunannya ada, maka f disebut fungsi analitik pada U.

Marsden (1973)

Definisi 2.16 Singularitas

Misal ( ,z R R0 1, 2) { |z R1 z z0 R2} dan ( , 0,z0 R2) B z R( , ) {0}.0 Fungsi f dikatakan mempunyai singularitas di z0 jika ada R 0 sedemikian hingga f fungsi analitik pada (z₀, 0, ).R Singularitas dikatakan terhapuskan jika

0 n

z untuk semua n 0.

Marsden (1973)

Definisi 2.17 Residu

Misalkan f fungsi analitik yang mempunyai sebuah singularitas di z0, maka f dapat ditulis dalam ekspansi Laurent sebagai

( ) f z = 2 1 0 1 0 2 0 0 ... ... ( ) ( ) b b a a z z z z z z dan 1

b disebut sebagai residu dari f di z0.

Marsden (1973)

Definisi 2.18 Formula invers kompleks

Misalkan fungsi rasional f z( ) g z( ) / ( )h z adalah transformasi Laplace dari f t( ) dan singularitas C dari f z( ) adalah solusi dari ( )h z 0, maka invers laplace dari ( )f z adalah

( )

f t = Residu dari e f zzt ( ) di setiap titik singularitas C .

Marsden (1973) Misalkan ( )g z dan ( )h z mempunyai singularitas di z₀, maka residu dari fungsi rasional ( )f z = ( )g z / ( )h z adalah 0 0 ( ) , '( ) g z h z dengan g z( )0 0, h z( )0 0 dan 0 '( ) 0 h z .

(28)

BAB III

PENENTUAN PELUANG BERTAHAN

3.1 Model Risiko Klasik

Sebagaimana telah disebutkan dalam bab I, bahwa persamaan (1.1) adalah model risiko klasik. Dengan mensubstitusikan persamaan (1.2) ke dalam persamaan (1.1) diperoleh ( ) 1 . ( ) _iN t i U t u ct X , t 0 dan (0)U u.

Peubah u adalah modal awal (initial capital), c adalah rata-rata premi yang masuk per satuan waktu, t adalah waktu,X_i adalah besar klaim ke-i dengan i = 1, 2, 3, ..., N t( ), sehingga X_i

0. Peubah acak N t( ) menyatakan banyaknya klaim yang terjadi dalam interval waktu [0,t]. Untuk semua i = 1, 2, 3, ..., N t( ), X_i

adalah peubah acak kontinu sebanyak N t( ) yang diasumsikan saling bebas dan i

X juga bebas terhadapN t( ). Dengan mengasumsikan X_i mengikuti sebaran tertentu, maka analisis terhadap U t( ) dapat dilakukan. Dalam tesis ini, Xi diasumsikan mengikuti sebaran eksponensial, sebaran Erlang(2) atau sebaran eksponensial campuran.

Karena N t( ) adalah banyaknya klaim yang terjadi dalam interval waktu [0,t], maka N t( ) 0, N t bernilai bulat,( ) N s( ) N t( ) untuk s t dan untuk

,

s t N t( ) N s( ) menyatakan banyak kejadian yang terjadi dalam interval waktu (s,t]. Sehingga menurut definisi 2.2, N t( )adalah proses pencacahan.

Jika { ( ), N t t 0}diasumsikan sebagai proses Poisson dengan laju , dan i

X dengan i = 1, 2, 3, ...,N t diasumsikan sebagai peubah acak independent and ( )

identically distributed dan juga bebas terhadap { ( ), N t t 0}, maka menurut definisi 2.4, ( ) 1 { ( ) , 0} N t i i

(29)

3.2 Sebaran dari Klaim Tunggal

Misalkan klaim tunggal yang dinotasikan dengan X adalah peubah acak kontinu memiliki fungsi sebaran F x( ) dengan F (0) 0 dan fungsi kepekatan peluang ( )f x , maka :

( ) = ( ).

f x F' x

Sesuai dengan pembahasan sub bab 3.1, bahwa klaim tunggal X_i dengan

i = 1, 2, 3, ...,N t( )diasumsikan mengikuti sebaran eksponensial, sebaran Erlang(2) dan sebaran eksponensial campuran.

3.2.1 Klaim Tersebar Eksponensial

Jika X_i tersebar eksponensial dengan parameter , maka menurut Ross (1996), fungsi kepekatan peluangnya dapat dinyatakan sebagai

( ) = ef x x dengan x 0 (3.1) dan fungsi sebaran peluangnya dapat ditulis sebagai

( )

F x = 1 e x.

Gambar 3.1 dan 3.2 adalah grafik sebagai ilustrasi perilaku dari fungsi kepekatan dan fungsi sebaran peluang untuk peubah acak yang tersebar eksponensial dengan laju = 0,5.

Gambar 3.1 Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial ( 0, 5)

(30)

Gambar 3.2 Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak tersebar eksponensial ( 0, 5)

3.2.2 Klaim Tersebar Erlang(2)

Jika X_i tersebar Erlang(2) dengan parameter , maka fungsi kepekatan peluangnya menurut Dickson dan Hipp (2001) dapat dinyatakan sebagai

2 x

( ) =

f x xe dengan x 0 (3.2)

dan fungsi sebaran peluangnya dapat ditulis sebagai ( )

F x =1 x+1 e x.

Gambar 3.3 dan 3.4 adalah grafik sebagai ilustrasi perilaku dari fungsi kepekatan dan fungsi sebaran peluang untuk peubah acak yang tersebar Erlang(2) parameter = 0,5.

Gambar 3.3 Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar Erlang(2) ( 0, 5)

(31)

Gambar 3.4 Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak tersebar Erlang(2) ( 0, 5)

3.2.3 Klaim Tersebar Eksponensial Campuran

Jika X_i tersebar eksponensial campuran dengan parameter dan dengan proporsi b dan (1 b), maka fungsi kepekatan peluangnya menurut Garcia (2005) dapat dinyatakan sebagai

( ) = x+(1 ) x

f x b e b e dengan x 0 (3.3)

dan fungsi sebaran peluangnya dapat ditulis sebagai ( )

F x =1 [ x+(1 ) x].

be b e

Gambar 3.5 dan 3.6 adalah grafik sebagai ilustrasi perilaku dari fungsi kepekatan dan fungsi sebaran peluang untuk peubah acak yang tersebar eksponensial campuran dengan parameter = 0,25; = 0,75 dan b = 0,75.

Gambar 3.5 Grafik fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial campuran ( 0, 25; 0, 75 dan b 0, 75)

(32)

Gambar 3.6 Grafik fungsi sebaran peluang peubah acak tersebar eksponensial campuran ( 0, 25; 0, 75 dan b 0, 75)

3.3 Sebaran dari Jumlah Klaim

Misalkan F adalah fungsi sebaran dari peubah acak X. Jika F F* adalah konvolusi dari F dengan F yang dinotasikan sebagai F2, sehingga

2 F F F*

3 F F F F* *

* ( * ) F F F

2 * F F

4 F F F F F* * *

* ( * * ) F F F F

3 * F F

.

n F = konfolusi dari * * * n F F F F * ... F konvolusi dari * ( * * ) (n-1) F F F F * ... F F*F_n-1

maka F_nadalah fungsi sebaran dari Z nX.

Fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang dari jumlah klaim (aggregate

claims) dapat dinotasikan berturut-turut sebagai F x_t( ) dan f x_t( ). Sehingga : t

F = F_{N t}_{( )} = F₁*F₂*F₃*... F* _{N t}_{( )} dan f_t = f_{N t}_{( )} = f₁*f₂* f₃*... f* _{N t}_{( )}.

3.4 Peluang Jatuh dan Peluang Bertahan

Peluang jatuh dan peluang bertahan dalam waktu terbatas (finite time) pada suatu perusahaan asuransi sampai waktu t dengan modal awal u 0 berturut-turut dinotasikan sebagai ( , )u t dan ( , ),u t sehingga:

( , ) 1u t ( , ).u t

(33)

Peluang jatuh dan peluang bertahan dalam waktu takterbatas (infinite time) adalah (u, ) (u) dan ( , )u ( ),u sehingga

( ) 1u ( ).u

Misalkan T adalah waktu untuk jatuh, maka

...

inf{ | ( ) 0}

jika ( ) 0 untuk semua 0

... . .. -t U -t T U t t

Peluang jatuh dalam waktu takterbatas adalah suatu fungsi dalam u. Gerber dan Shiu (1998) mendefinisikan fungsi tersebut sebagai

( )u P[T |U(0) u] dan didefinisikan fungsi sebagai

( ) E[ T ( ) (0) ]

u e I T U u , (3.5)

dengan I adalah fungsi indikator dan adalah parameter tak negatif dalam bidang komplek. Untuk = 0, ( )u ( ).u Fungsi dapat ditulis sebagai

. .0 ( )u e t ( , )u t dt t = ˆ ( , )u ( , 0).u

3.5 Transformasi Laplace pada dan ( , )u t

Misalkan g t( ) e t adalah fungsi kepekatan peluang dari waktu antar kedatangan dua klaim yang berurutan. Fungsi segera setelah klaim pertama terjadi, sebagaimana disampaikan oleh Garcia (2005), dapat ditulis sebagai :

( )u = . . 0 .0 ( ) . ( ) ( ) ( ) u ct t u ct g t e f x dx f x u ct x dx dt

= . . . .0 ( )[1 ( )]. .0 ( ). .0 ( ) ( ) u ct t t g t F u ct e dt + g t e f x u ct x dxdt..

(3.7)

Dengan mensubstitusikan ( )g t e t ke persamaan (3.7) diperoleh

( )u = ( ) ( ) 0 0 0 . . . . [1 ( )]. . . ( ) ( ) u ct t t e F u ct dt + e f x u ct x dx. dt.

(3.8)

(34)

Untuk s u ct, maka t (s u) / ,c dt ds/ c dan u s , sehingga

( )u = ( ) / . ( . . . . . ) / ( ) / 0 [1 ( )]. s ( ) ( ) u c s c s c u u e e F s ds + e f x s x dxd. s c . (3.9)

Turunan ( )u terhadap u pada persamaan (3.9) adalah ( ) d u du = . .0 ( )u [1 F u( )] u f x( ) (u x dx) c c c .

(3.10) dan transformasi Laplace dari (3.10) adalah

ˆ( )s = ˆ (0) [1 ( )] ˆ ( ) s c f s cs f s . (3.11)

Untuk menentukan singularitas C dari persamaan (3.11), penyebutnya diberi nilai 0. Kondisi ini dapat ditulis sebagai

ˆ ( ).

cs f s

(3.12) Persamaan (3.12) oleh Dickson dan Hipp (2001) disebut sebagai Persamaan dasar Lundberg. Persamaan tersebut memiliki akar tak negatif p dan akar negatif R sebagaimana diilustrasikan pada gambar 3.7.

Gambar 3.7 Dua akar persamaan dasar Lundberg

Jika = 0, maka p = 0 dan R adalah koefisien penyesuaian Lundberg. Untuk , s p

ˆ (0) [1 ( )] c f p

(3.13)

(35)

dan ˆ( )s = ˆ ˆ [1 ( )] [1 ( )] ˆ ( ) p f p s f s cs f s . (3.14)

Peluang jatuh suatu perusahaan dalam interval waktu [0,t] adalah ( , )u t

dan jika t 0, maka ( , 0)u 0, sehingga ( , )u t = ( , )u t 0

= ( , )u t ( , 0)u . (3.15)

Dan persamaan (3.15) disubstitusikan ke persamaan (3.4) menjadi ( , )u t = 1 ( , )u t

= 1 ( , )u t ( , 0)u . (3.16)

Transformasi Laplace dari (3.16) dengan parameter 0 dan s 0 menghasilkan :

ˆ ( , )u = 1 1 ( )u dan ˆˆ ( , )s = 1 1 ˆ( )s

s . (3.17)

Persamaan (3.14) disubstitusikan ke persamaan (3.17) menghasilkan ˆˆ ( , )s = ˆ (0) [1 ( )] 1 ˆ ( ) c s f s s cs f s

= ˆ( ) (0) [1 ˆ( )] ˆ ( ( )) cs f s cs f s s cs f s

= (0) ˆ ( ( )) cs cs s cs f s . (3.18)

Untuk s = p, dengan alasan dan bukti yang sama seperti pada persamaan (3.13), maka

(0) 1

cp. (3.19)

Persamaan (3.19) disubstitusikan ke persamaan (3.18) menghasilkan :

ˆˆ( , )s = ˆ ( ( )) s p s cs f s = ( ˆ( )) p s ps cs f s . (3.20)

(36)

3.6 Transformasi Laplace pada f 3.6.1 Klaim Tersebar Eksponensial

Jika X_i menyebar eksponensial dengan parameter , maka menurut persamaan (3.1) fungsi kepekatan peluangnya dapat dinyatakan sebagai

( ) = ef x x dengan x 0. (3.21) Dan transformasi Laplace dari (3.21) adalah

ˆ ( )

f s =

s, Re( )s .

Gambar 3.8 adalah grafik sebagai ilustrasi perilaku dari fungsi ˆ ( )f s , yaitu

transformasi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial dengan parameter = 0,5.

Gambar 3.8 Grafik fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial ( 0, 5)

Jika X_i menyebar Erlang(2) dengan parameter , maka menurut persamaan (3.2) fungsi kepekatan peluangnya dapat dinyatakan sebagai

2 ( ) = x

(37)

Transformasi Laplace dari (3.23) adalah ˆ ( )

f s =

2 2

( s) , Re( )s . (3.24) Lihat lampiran 2 sub 2.11.

transformasi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar Erlang(2) dengan parameter = 0,5.

Gambar 3.9 Grafik fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar Erlang(2) ( 0, 5)

Jika X menyebar eksponensial campuran dengan fungsi kepekatan peluang _i

seperti dalam persamaan (3.3), yaitu ( ) = x+(1 ) x

f x b e b e dengan x 0, (3.25)

maka transformasi Laplace dari (3.25) adalah ˆ ( )

f s = b (1 b)

s+ s, Re( )s .

(3.26)

(38)

fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar eksponensial campuran dengan parameter = 0,25; = 0,75 dan b = 0,75.

Gambar 3.10 Grafik fungsi Laplace dari fungsi kepekatan peluang peubah acak tersebar Erlang(2) ( 0, 25; 0, 75 dan b 0, 75)

3.7 Invers Kompleks pada ˆˆ

3.7.1 Klaim Tersebar Eksponensial

Persamaan (3.22) disubstitusikan ke persamaan (3.12) menjadi

cs =

s. (3.27)

Selanjutnya persamaan (3.27) disubstitusikan ke persamaan (3.20) diperoleh ˆˆ( , )s = ( ) p s ps cs s

= ₂( )( ) ( ) p s s ps cs cs s s

= ( ₂p s)(₂ s) ₂ ₃ p s p s p s pc s pcs . (3.28)

(39)

Invers pertama dari ˆˆ ( , ),s yaitu mengganti s dengan u menjadi ˆ ( , )u dapat ditentukan melalui formula invers komplek pada transformasi Laplace yang dikemukakan oleh Marsden (1973) sebagai berikut :

ˆ ( , )u = (Residu dari us ˆˆ( , )

e s pada setiap singularitas dalam C). (3.29) Singularitas terjadi pada s 0dan s R. Sedangkan s p merupakan singularitas yang terhapuskan, karena residunya bernilai 0. Sehingga

ˆ ( , )u = Re s_s ₀eus ˆˆ( , )s Re s_{s R}eus ˆˆ( , )s

= 1 ( )( ) ₂ 2 2 2 3 uR p R R e p p R p R pc R pcR . (3.30)

Invers ke dua dari ˆ ( , ),u yaitu mengganti dengan t menjadi ( , ).u t

Invers dari suku pertama adalah 1 dan invers dari suku kedua adalah residu dari :

2 ( )( ) 2 2 2 3 t uR p R R e p p R p R pc R pcR , (3.31) sehingga

( , )u t = 1 (Residu dari (3.31) pada setiap singularitas dalam C). (3.32) Jika s = R disubstitusikan ke persamaan (3.27), diperoleh

= cR

R. (3.33)

Untuk 0, maka diperoleh tiga titik penting yaitu R 0, R r _c dan

R . Ketiga titik tersebut merupakan singularitas dari residu (3.41) setelah dikalikan dengan d /dR. Nilai dari r disebut koefisien penyesuaian Lundberg.

Turunan dari terhadap R adalah

d dR = 2 2 2 2 ( ) c c R cR R . (3.34)

Akar-akar dari persamaan dasar Lundberg, yaitu p dan R memiliki hubungan sebagai

(40)

p = R c

c . (3.35)

Jika persamaan (3.33) disubstitusikan ke persamaan (3.35) diperoleh

p = 2 ( ) c c R c R

Persamaan (3.33) dan (3.36) disubstitusikan ke (3.31), diperoleh

2 1 exp ( ) t c t cRt u uR R c cR R _R R

(3.37)

Lihat lampiran 2 sub 2.17

Hasil (3.37) dikalikan dengan (3.34) diperoleh :

2 2 2 exp ( ) t c t cRt u uR c c R cR R R c cR R

(3.38) Lihat lampiran 2 sub 2.18. Sehingga

( , )u t = 1 (Residu dari (3.38) pada setiap singularitas dalam C). (3.39) Evaluasi residu dua singularitas pertama, yaitu R 0 dan R r _c

menghasilkan negatif, dan ini tidak memberikan makna pada nilai peluang sebagaimana diharapkan dari ( , ).u t Sedangkan R akan menghasilkan pembagi yang nilainya 0. Sehingga haruslah R 0, misalkan R z atau

.

R z

Res_R _z(3.38) = Res_z=0 1exp ( t u ct) 1

cz z

1 exp (u ct z) exp t . z

Persamaan (3.40) disubstitusikan ke (3.39) diperoleh ( , )u t =1 Res_z=0 1exp ( t u ct) 1 cz z

1 exp (u ct z) exp t z

(3.41)

(41)

Perlu dicatat bahwa nilai z tergantung pada R dan nilai R tergantung pada . Padahal berjalan dari 0 sampai . Akibatnya persamaan (3.51) belum dapat digunakan untuk menentukan nilai ( , ).u t Dalam hal ini faktor ketiga, keempat dan kelima pada suku kedua dari (3.41) dapat diuraikan dengan menggunakan deret kuasa (power series).

1 cz z = 0 1 1 . , j j j j c z

(3.42) exp (u ct z = ) 0 ( ) ! k k k u ct z k dan (3.43) 1 exp t z = 0 ( ) ! k k k t z k

Persamaan (3.42), (3.43) dan (3.44) disubstitusikan ke persamaan (3.41) diperoleh ( , )u t = ( ) 0 0 . 1 1 1 Res 1 j j t u ct j z j c e z

0 0 ( ) ( ) ! ! k k k k k k u ct z t z k k .

Menurut definisi 2.17, residu pada singularitas z = 0 adalah koefisien dari 1

z , sehingga ( , )u t = 1 ( ) 0 1 ( ) ( ) 1 !( 1)! k k t u ct k u ct t e k k

1 ( ) 0 0 1 1 ( ) ( ) !( 1)! . j j _k _{j k} t u ct j k c u ct t e k j k

(3.45)

Persamaan terakhir adalah fungsi sebaran peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim yang menyebar eksponensial.

(42)

Persamaan (3.24) disubstitusikan ke persamaan (3.12) menjadi

cs = 2 2 ( s)

(3.46)

yang mempunyai tiga akar persamaan, yaitu : Q, R dan p dengan hubungan

0 .

Q R p Untuk p 0 jika dan hanya jika 0. Jika (3.24) disubstitusikan ke persamaan (3.20) diperoleh

ˆˆ( , )s = ₂ 2 ( ) ( ) p s ps cs s

= 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) p s s ps cs s s s

= 2 2 2 3 2 2 2 2 2 ( )( ) 2 2 2 p s s ps cs cs cs s s s s

= 2 2 2 2 2 2 3 ( )( ) . 2 2 2 p s s ps s s s s cs cs cs

(3.47)

Invers pertama dari ˆˆ ( , ),s yaitu mengganti s dengan u menjadi ˆ ( , )u = (Residu dari us ˆˆ( , )

e s pada setiap singularitas dalam C) (3.48)

Singularitas terjadi pada s = Q keluar dari domain ˆ ( )f s dan singularitas

s = p terhapuskan. Sehingga ˆ ( , )u = Re s 0 ˆˆ( , ) Re s ˆˆ( , ) us us s e s s Re s

= 1 2 2 2 2 2 2 3 ( )( ) . 4 3 4 3 2 6 4 uR p R R e p R R R R cR cR cR (3.49) Lihat lampiran 2 sub 2.22.

Invers ke dua dari ˆ ( , ),u yaitu mengganti dengan t menjadi ( , ).u t

Invers Laplace dari suku pertama adalah 1 dan invers Laplace dari suku kedua adalah residu dari :

2 2 2 2 2 2 3 ( )( ) 4 3 4 3 2 6 4 t uR p R R e p R R R R cR cR cR

(3.50)

(43)

sehingga

( , )u t = 1 (Residu dari (3.50) pada setiap singularitas dalam C). (3.51) Jika s = R disubstitusikan ke persamaan (3.46), diperoleh

= 2 2 ( ) cR R

(3.52)

Untuk 0, maka diperoleh tiga titik penting yaitu R1 , R 2 0 dan 3 1,2

R r . Ketiga titik tersebut merupakan singularitas dari residu (3.50) setelah

dikalikan dengan d /dR dan r adalah koefisien penyesuaian Lundberg. Turunan dari terhadap R adalah

d dR = 2 3 2 ( ) c R

= 2 3 2 2 3 3 2 3 3 . ( ) c c R c R cR R

Akar-akar dari persamaan dasar Lundberg, yaitu p dan R memiliki hubungan sebagai

p = R c

c

(3.54) dan jika persamaan (3.52) disubstitusikan ke persamaan (3.54) diperoleh

p = 2 3 2 2 2 2 ( ) c c R c R c R

(3.55)

Persamaan (3.52) disubstitusikan ke (3.50) kemudian dikalikan dengan (3.53), diperoleh 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 exp ( ) t Rt c t c Rt cR t u uR uR R R p R = 2 2 2 2 2 1 2 2 2 exp ( ) t Rt c t c Rt cR t u uR uR R R R 2 2 2 2 2 1 2 2 2 exp ( ) t Rt c t c Rt cR t u uR uR R p R

(44)

Sehingga

( , )u t = 1 (Residu dari (3.56) pada setiap singularitas dalam C). (3.57) Residu suku pertama dari (3.56) pada singularitas R z atau

,

R z adalah

2 2 1

exp c t u t exp u ct z exp t z

z

Misalkan a u ct dan b 2 t, maka (3.58) dapat ditulis menjadi

2 1

exp exp az exp

c t u t e bz

z

(3.59) Dengan deret kuasa terhadap z diperoleh

2 0 0 0 1 ! ! j k k k k c t u t j k k j a z b z e z k k

= 1 1 1 1 2( 1) 1 1 1 1 1 ( 1)! ( 1)! j k k k k c t u t j k k j a z b z e z k k

= 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 (2 1)! 1 ! (2 2)! 1 ! j k k j j k k j c t u t j k k a b a b e k k j k k j

Untuk menentukan residu suku kedua dari (3.56) dengan merubah 1/p menjadi fungsi dalam R. Dari persamaan (3.46) dapat ditulis menjadi

2 3 2 2 2 2 2 0 s s s c c c c c

Jikaa₁ 2 , c c 2 2 2 2 a c c dan 2 3 a c , maka 3 2 1 2 3 0 s a s a s a (3.62)

Dari persamaan (3.54) dan (3.52) dapat ditulis menjadi

p = 3 1 ( ) ( ) a a z p z

(3.63)

(45)

dan = 2 3 2 2 2 z cz cz z

(3.64) Lihat lampiran 2 sub 2.30,

serta 1 p = 2 2 2 2 . 2 pcz p cz z pcz

(3.65)

Solusi dari persamaan terakhir untuk 1/p ada dua tetapi hanya satu yang merepresentasikan 1/p, yaitu : ( ) h z = 1 p = 2 2 2 3 2 2 4 1 . 2 cz cz cz z

(3.66)

Persamaan (3.66) dapat diekspresikan dalam Maclaurin’s Series, sebagai 1 p = 0 k k k c z

dengan k c = . 0 1 ( ) . ! k k z d h z k dz

(3.68)

Sehingga residu suku kedua dari (3.56) pada singularitas R z atau , R z dengan a u ct dan 2 , b t adalah 2 0 ! 0 ! 0 k k k k c t u t k k k k k a z b z e c z k k

= 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1(2 1)!( 1)! 1(2 2)!( 1)! k k j k k j c t u t j j j k k a b a b e c c k k j k k j

(3.69)

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.60) dan (3.69) ke dalam persamaan (3.57) diperoleh :

(46)

( , )u t 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 (2 1)! 1 ! (2 2)! 1 ! j k k j j k k j c t u t j k k a b a b e k k j k k j

2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1(2 1)!( 1)! 1(2 2)!( 1)! k k j k k j c t u t j j j k k a b a b e c c k k j k k j

= 1 e c t u t

2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 (2 1)! 1 ! (2 2)! 1 ! (2 1)!( 1)! (2 2)!( 1)! j k k j j k k j j k k k k j k k j j j k k a b a b k k j k k j a b a b c c k k j k k j

Dengan mensubstitusikan kembali nilai a dan b diperoleh

( , )u t =1 e c t u t 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ₂ ₂ ₂ ₁ 2 1 1 1 ( ) ( ) (2 1)! 1 ! 1 ( ) ( ) (2 2)!( 1)! j k k j j j k j _k _k _j j k u ct t c k k j u ct t c k k j (3.70)

Persamaan terakhir adalah fungsi sebaran peluang bertahan dari model risiko klasik untuk besar klaim yang menyebar Erlang(2).

Persamaan (3.26) disubstitusikan ke persamaan (3.20) diperoleh ˆˆ( , )s = ˆ ( ( )) p s ps cs f s

= (1 ) p s ps cs b b s+ s = ( )( )( ), ( ) p s s s h s

dengan ( )

h s = ps cs( 3 ( c c )s2 [ (b c ) b ]s ).

(47)

Untuk ( )h s = 0 mempunyai akar persamaan 0, Q, R dan p yang memenuhi 0

Q R p

dan p bergerak dari 0 . Dan R bergerak dari kanan ke kiri yaitu dari r hingga . Q di luar domain ˆ ( ),f s sehingga tidak digunakan dalam evaluasi invers.

Singularitas s = p adalah singularitas terhapuskan, sehingga invers pertama dari (3.71) adalah residu dari r(s) pada singularitas s = 0 dan s = R. Dengan

( ) r s = ( )( )( ), '( ) p s s s h s

(3.73) sehingga ˆ ( , )u =1 e r RuR ( ).

Invers suku pertama dari (3.84) adalah 1 dan invers suku kedua dari (3.74) adalah residu dari fungsi

+ ( ). t uR e r R

(3.75) Dari persamaan (3.12) dapat di tulis sebagai

cR f Rˆ ( )

(3.76) dan jika persamaan (3.76) disubstitusikan ke (3.75) kemudian dikalikan dengan

'( ),R diperoleh ˆ ( ( )) ( ) '( ) cR f R t uR e r R R

(3.77) dan dapat ditulis menjadi

2 2 1 1 exp ( )( ) t Rt c t c Rt c Rt cR t t b t b u uR uR uR R R R R p = 2 2 1 exp ( )( ) t Rt c t c Rt c Rt cR t t b t b u uR uR uR R R R R

2 2 1 exp . ( )( ) t Rt c t c Rt c Rt cR t t b t b u uR uR uR R R R p (3.78)

(48)

2 2 1 exp ( ) ( ) zt tc z tc z tcz t b t b u z u z uz z z z z = e t tc u e(u ct z) exp t b exp t 1 b 1 . z z z

(3.79)

Deret kuasa dari z untuk masing-masing faktor adalah: 1 z

= 0 1 , k k k z (u ct z) e = 0 ( ) , ! k k k u ct z k exp t b z = 0 ( ) ! k k k t b z k dan 1 exp t b z = 0 k k k c z dengan 0 . 1 1 exp . ! k k k z d b c t k dz z

Sehingga persamaan (3.79) dapat ditulis menjadi

0 0 0 0 ( ) ( ) 1 ! ! k k k t tc u k k k k k k k k k u ct t b e z z c z z k k = 1 1 0 1 1 1 ( ) ( ) . ( 1)! ( 1)! k _{j k l} _l t tc u j j k l t b u ct e c j k l l

(3.80) Dengan cara yang sama, R z disubstitusikan ke dalam suku pertama dari (3.78), diperoleh 0 0 0 0 ( ) ( (1 ) ) 1 ! ! k k k t tc u k k k k k k k k k u ct t b e z z c z z k k = 1 1 0 1 1 1 ( (1 ) ) ( ) , ( 1)! ( 1)! k _{j k l} _l t tc u j j k l t b u ct e e j k l l

(3.81) dengan . 0 1 exp . ! j j j z d b e t j dz z

(49)

Untuk merubah suku kedua dari (3.78) dalam deret kuasa, 1/p harus

diekspresikan sebagai fungsi dalam z. Dari persamaan (3.76) dan (3.12) diperoleh (1 ) cs b b s s dan 3 2 1 2 3 s a s a s a = 0 dengan 1 2 3 . c c a c b b c a c a c

(3.82)

Persamaan (3.82) mempunyai tiga akar penyelesaian, yaitu p, R dan R1. Dan

untuk R z memiliki hubungan

p = a₁ R R₁ = 3 1 ( ) . ( ) a a z p z

(3.83) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.92) ke (3.93), diperoleh

p = ( ) . ( ) c c z c cp z

(3.84)

sebagai fungsi dalam z dapat ditulis : = c z( ) f zˆ( )

= 2 ( ) . ( ) z cz cz cz b b z z z

(3.85)

Jika disubstitusikan ke persamaan (3.84), diperoleh persamaan dalam x 1 p, yaitu : 2 0 1 2 2 0 2 2 2 1 2 2 0 dengan ( ( ) ) . ( ) ( (1 ) ) ( ) ( ) b x b x b b cz c c z b b b c z c c b b z b b cz c z (3.86)