BAB IX
PENGGUNAAN STATISTIK DALAM SIMULASI
9.1. Distribusi Kontinu
Distribusi ini memiliki sifat kontinu dimana data yang diamati berjalan secara kesinambungan dan tidak terputus. Maksudnya adalah bahwa data yang diamati tersebut tergantung waktu, seperti kedatangan pelanggan, lama antrian, variasi lama pemesanan pelanggan yang berduarasi mingguan.
Data yang berdistribusi kontinu biasanya dalam bentuk pecahan seperti waktu kedatangan pelanggan atau nasabah di sebuah bank, misalnya orang pertama datang pukul 06.30 kemudian masuk ke pelayanan pukul 06.31 dan pelanggan selesai dilayani oleh server pukul 06.58. misalnya juga data pengamatan yang menyatakan jumlah permintaan pasir di sebuah galangan tiap minggu 2.3 sampai 5.5 truk.
Pengolahan data berdistribusi kontinu tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa cara, diantaranya adalah distribusi normal, distribusi eksponensial, distribusi gamma, distribusi beta, dan masih banyak lagi.
Untuk menduga perilaku data apakah data tersebut berdistribusi kontinu atau bukan (distribusi diskret) maka dalam hal ini akan dibahas distribusi normal dan eksponensial saja karena yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari.
a. Pengujian Kolmogorov-Smirnov Normal
Pengujian bertujuan melihat tingkat kesesuaian antara fungsi distribusi hasil pengamatan dengan fungsi distribusi teoritik tertentu dengan menetapkan suatu titik yang menggambarkan perbedaan maksimum keduanya.
1. Statistik Uji
THitung = Maks | F(x) – S(x) |
Dimana :
F(x) : fungsi distribusi kumulatif dari suatu distribusi normal S(x) : fungsi distribusi kumulatif dari suatu distribusi pengamatan 2. Kriteria Penolakan
Jika nilai THitung ≥ W1- maka H0 ditolak (tabel yang digunakan
Kolmogorov-Smirnov) Langkah pengujian :
a. Menetapkan hipotesis awal dan hipotesis tandingan. Hipotesis : H0 : data mengikuti distribusi normal
H1 : data tidak mengikuti distribusi normal
b. Menghitung statistik uji
Untuk menentukan harga F(x) maka nilai X_ yang menyatakan nilai rata-rata
ditentukan dengan cara : n f x X n i i i
1 _ .* dimana X = _ = rata-rataDitentukan nilai probabilitas untuk masing-masing x, dari normal : Z = X
Dimana : X : nilai tengah dari kelas pada distribusi frekuensi : rata-rata (X ) _
: simpangan baku (SD)
Untuk mencari F(x) menggunakan tabel distribusi normal sesuai nilai Z yang didapat, dan S(x) diperoleh dari frekuensi kumulatif masing-masing nilai x dibagi dengan jumlah sampel.
c. Menetapkan (taraf signifikasi) d. Menentukan daerah penolakan e. Membuat kesimpulan
f. Membuat interpretasi dari kesimpulan
Contoh :
Studi kasus produksi sarung Betel Terbang tahun 2015 PT. ASEANTEX, pendekatan yang digunakan untuk menduga apakah data hasil pengamatan tersebut berditribusi normal atau tidak.
b. Distribusi Eksponensial
Banyak masalah simulasi membutuhkan pemecahan dengan menggunakan distribusi eksponensial, khususnya masalah-masalah yang melibatkan suatu rentetan kedatangan dan kepergian seperti simulasi antrian pada bank, pembayaran di supermaket, airport dan lain-lain.
Pengujian Kolmogorov-Smirnov Eksponensial
Pengujian bertujuan melihat tingkat kesesuaian antara fungsi distribusi hasil pengamatan dengan fungsi distribusi teoritik tertentu dengan menetapkan suatu titik yang menggambarkan perbedaan maksimum keduanya.
1. Statistik Uji
THitung = Maks | F(x) – S(x) |
Dimana :
F(x) : fungsi distribusi kumulatif dari suatu distribusi eksponesial S(x) : fungsi distribusi kumulatif dari suatu distribusi pengamatan 2. Kriteria Penolakan
Jika nilai THitung ≥ W1- maka H0 ditolak (tabel yang digunakan
Kolmogorov-Smirnov) Langkah pengujian :
a. Menetapkan hipotesis awal dan hipotesis tandingan. Hipotesis : H0 : data mengikuti distribusi eksponesial
H1 : data tidak mengikuti distribusi eksponesial
b. Menghitung statistik uji
Untuk menentukan harga F(x) maka nilai X (_ ) yang menyatakan nilai
rata-rata ditentukan dengan cara : n f x X n i i i
1 _ .* dimana X = _ = rata-rataDitentukan nilai probabilitas untuk masing-masing x, dari eksponesial :
x e x F 1 ) (
S(x) diperoleh dari frekuensi kumulatif masing-masing nilai x dibagi dengan jumlah sampel.
c. Menetapkan (taraf signifikasi) d. Menetukan daerah penolakan e. Membuat kesimpulan
f. Membuat interpretasi dari kesimpulan
Contoh : Studi kasus produksi sarung Betel Terbang tahun 2015 PT. ASEANTEX,
pendekatan yang digunakan untuk menduga apakah data hasil pengamatan tersebut berditribusi eksponensial atau tidak.
9.2. Distribusi Diskrit
Distribusi diskrit digunakan untuk pendekatan terhadap data yang bertipe bukan pecahan (seperti data yang tidak tergantung oleh waktu). Distribusi ini diberlakukan pada data yang pasti dan sifatnya bulat, seperti jumlah kendaraan bermotor yang masuk ruang parkir di suatu tempat pada jam 07.00 – 09.00 setiap hari senin, atau kedatangan nasabah suatu bank pada waktu jam 11.00 – 13.00 tahun 2010 dll, jadi tidak ada nilai yang sifatnya pecahan. Dalam buku Pengantar Statistik oleh Pasaribu menjelaskan bahwa Distribusi Poisson ini mempunyai sample space yang terdiri dari bilangan-bilangan asli dari 0 sampai dengan ∞ (tak terhingga).
Uji Keselarasan Pearson’s
Uji keselarasan Pearson digunakan untuk menguji seberapa tepatkah frekuensi yang teramati (observed frequencies, fo) cocok atau sesuai dengan frekuensi yang
dharapkan (expected frequencies, fe). Untuk uji keselarasan ada dua hal yang penting,
yaitu :
a. Frekuensi yang diharapkan sama (fo = fe)
b. Frekuensi yang diharapkan tidak sama (fo ≠ fe)
Langkah-langkah untuk melakukan pengujian : 1. Menentukan hipotesis
Hipotesis yang disusun adalah hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif (H1). H0
menyatakan bahwa tidak ada perbedaan antara frekuensi observasi dengan frekuensi harapan dan H1 menyatakan bahwa ada perbedaan antara frekuensi
observasi dengan frekuensi harapan. H0 : fo = fe
2. Menghitung nilai statistik uji
fe (E) dihitung dengan terlebih dahulu menghitung P(X = x), dimana P(X=x) adalah
probabilitas dari distribusi teoritis yang ditentukan pada hipotesis awal. Banyaknya parameter pada distribusi poisson adalah satu, yaitu µ yang menyatakan nilai rata-rata. Untuk mencari P(X=x) digunakan rumus :
P(X = x) =
!
x e x
Kemudian untuk mencari frekuensi harapan (fe atau E) digunakan rumus:
Ei = P(X = x) * n Dimana : P(X = x) : probabilitas e : 2.71 == _ X : rata-rata
x : nilai tengah atau banyaknya kejadian Ei : Frekuensi ekspektasi
n : jumlah sampel 3. Menentukan taraf nyata dan nilai kritis
Taraf nyata adalah daya toleransi terhadap kemungkinan kesalahan (biasanya 1-10%, untuk bidang yang kritis 1-5%). Distribusi chi-kuadrat memerlukan derajad bebas df = n – k, nilai n adalah kategori atau sampel dan k adalah variabel. Setelah didapat df dan taraf nyata maka dapat dicari nilai kritis Chi-kuadrat dengan menggunakan tabel Chi-kuadrat.
4. Uji statistik chi-kuadrat
Hipotesis yang diuji adalah kesesuaian antara nilai harapan dengan yang teramati.
i i i k i h E E O x 2 1 2
( ) Dimana :Xh 2 = Statistik uji chi-kuadrat
Oi = frekuensi observasi (fo)
Ei = frekuensi ekspektasi (fe)
5. Menentukan daerah keputusan (penolakan)
H0 diterima jika nilai kuadrat hasil perhitungan sama atau lebih kecil dari nilai
chi-kuadrat kritis dan sebaliknya H0 ditolak (H1 diterima)jika chi-kuadrat lebih besar dari
chi-kuadratkritis.
6. Menentukan keputusan (kriteria penolakan)
Contoh : Studi kasus produksi sarung Betel Terbang tahun 2015 PT. ASEANTEX, data
hasil pengamatan yang didapat juga dapat dikategorikan sebagai data diskrit. Dari perilaku data yang di atas berarti distribusi Poisson dapat digunakan apakah data hasil pengamatan tersebut berditribusi Poisson atau bukan.
Penyelesaian :
1. Buat kelas yang terbentuk menjadi urutan nomor dari suatu kejadian yang memiliki frekuensi.
2. Tentukan (masukkan) nilai Oi (frekuensi) yang telah dibuat dari kelas pada
saatpembuatan distribusi frekuensi.
3. Buat Xi, dari satu (1) sebanyak kelas yang terbentuk
4. Kalikan Xi dan Oi
5. Cari nilai P(X=x) dengan rumus poisson
6. Cari nilai Ei, jika nilai Ei yang dihitung mendapatkan angka lebih kecil atau sama
dengan 5 maka tambahkan nilai tersebut dengan nilai yang terdekat, kemudian proses perhitungan diulang.
Tetapi jika terdapat 3 angka yang lebih kecil dari lima (5) dan ketika dijumlahkan masih lebih kecil dari 5, maka tambah lagi dengan yang terdekat (atas atau bawahnya) untuk mendapatkan nilai lebih besar dari 5.
7. Cari nilai Chi-square
Jika Ei seluruhnya lebih besar dari 5 maka pengujian Goodness of Fit Pearson dapat
dilakukan dengan membandingkannya dengan jumlah dari Chi-Square (hitung). 8. Bandingkan nilai Chi-Square(hitung) dengan Chi-Square(tabel)
