IV PEMBAHASAN
4.1 Analisis Model HSC Tanpa Terapi
4.1.1 Penentuan Titik Tetap Model HSC Tanpa Terapi
Titik tetap dari persamaan (3.1) – (3.3) akan diperoleh dengan menetapkan
,
, dan
, dengan menggunakan bantuan software Mathematica
7.0, diperoleh dua titik tetap ( ) dan ( ) dengan
( ) ( ) (4.1) ( ) ( ) (4.2) ( ) ( ) (4.3)
Penentuan titik tetap ini dapat dilihat pada lampiran 1.
4.1.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model HSC tanpa Terapi Pelinearan
Misalkan persamaan (3.1) – (3.3) dituliskan sebagai berikut:
( ) ( ) ( )
dengan mendeferensialkan persamaan (3.1) – (3.3) terhadap Q, N, P dan mengatur ̅( ) ( ) , ̅( ) ( ) dan ̅( ) ( ) , maka pelinearan diperoleh dengan cara
( ( ) ( ) ( ) ) ( ) (4.4)
( ) (4.5)
( ) (4.6) Sehingga diperoleh
, ( ) ( ) ( ) - ( ) (4.7)
( ) (4.8) ( ) (4.9) dan pelinearan diperoleh
̅ ( ) ̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅ ̅̅̅ ̅ (4.10) ̅ ̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (4.11) ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ (4.12) dengan ( ) ( ) ( ) ̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅ ( ) .
Penurunan selengkapnya proses pelinearan ini dapat dilihat pada lampiran 2.
Untuk memperoleh nilai kestabilan maka diperoleh matriks Jacobi (lihat lampiran 3) dari persamaan (4.9) – (4.11) sebagai berikut
J = (
)
(4.13)
Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik dari ( ( ) ) , yaitu: det ( ( ) ) = 0 (4.14)
(4.15)
dan nilai eigen diperoleh
** ( )+ * + * ++ (4.16)
4.1.3 Analisis Kestabilan di Titik Tetap T1
Nilai eigen di titik tetap ( ) diperoleh dengan mensubsitusi nilai parameter pada Tabel 1
{{ }, { }, { }}. (4.17) Proses selengkapnya dapat dilihat pada lampiran 5. Artinya nilai-nilai eigen dititik tetap T1 adalah dan real positif. Hal ini menunjukkan titik tetapnya bersifat sadel.
4.1.4 Analisis Kestabilan di Titik Tetap
Pada analisis kestabilan titik tetap ini dipengaruhi adanya kematian sel ( ) dan laju perkembangan sel ( ). Untuk memperoleh kestabilan sistem di titik tetap , penyelesaian nilai eigen sangat sulit untuk diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik ( ) , Untuk memperoleh kestabilan sistem di titik tetap ( ) terlebih dahulu melakukan pelinearan titik tetap dengan mensubstitusikan nilai parameter pada Tabel 1, maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
( ) (
)
(4.18)
dan nilai eigen diperoleh: {{ 1.77}, { = 0.15}, { 2.4}}, artinya
dan real positif, nilai-nilai eigen yang diperoleh menunjukkan titik tetapnya bersifat sadel.
Untuk mengamati pengaruh pertumbuhan populasi ketiga kompartemen HSC tanpa terapi G-CSF, maka diperlukan bidang solusi yang menunjukkan
hubungan antara banyaknya populasi sel terhadap waktu. Solusi numerik menggunakan software Mathematica 7.0 dilakukan dengan mensubsitusi nilai-nilai parameter Tabel 1 ke persamaan model sel batang HSC tanpa terapi G-CSF, sehingga diperoleh hubungan antara perkembangan hematopoietic, leukosit, dan platelet, berdasarkan analisis kestabilan titik tetapnya.
4.1.5 Dinamika Populasi Kompartemen HSC tanpa Terapi
Dalam simulasi model, penulis membuat simulasi proses dinamika populasi kompartemen HSC mulai dari awal terinfeksi hingga benar-benar terinfeksi atau dikatakan memasuki fase CML, dapat dilihat pada gambar berikut:
Gambar 2 Dinamika populasi HSC dengan waktu kematangan sel ( )
Gambar 2 menunjukkan dinamika populasi HSC pada awal terinfeksi leukemia dengan . Dinamika yang terjadi tanpa osilasi dan meningkat stabil. (lihat lampiran 6)
Gambar 3 menunjukkan dinamika populasi HSC setelah 10 hari terinfeksi leukemia dengan . Dinamika osilasi tak stabil mulai terjadi kemudian berosilasi. (lihat lampiran 7)
Gambar 4 Dinamika populasi HSC dengan waktu kematangan sel ( )
Gambar 4 menunjukkan dinamika populasi HSC setelah 20 hari terinfeksi leukemia dengan . Dinamika dengan osilasi tak stabil terus terjadi sampai hari ke-300. (lihat lampiran 8)
Gambar 5 Dinamika populasi HSC dengan waktu kematangan sel ( )
Gambar 5 menunjukkan dinamika populasi HSC setelah 40 hari terinfeksi leukemia dengan . Dinamika dengan osilasi tak stabil ini bisa dikatakan memasuki fase kronis atau disebut CML. (lihat lampiran 9)
Gambar 6 Dinamika populasi HSC dengan waktu kematangan sel ( )
Gambar 6 menunjukkan dinamika populasi HSC setelah 80 hari terinfeksi leukemia dengan waktu kematangan sel, . Dinamika dengan osilasi tak stabil ini bisa dikatakan memasuki fase leukemia akut. (lihat lampiran 10)
Hasil simulasi HSC diatas menunjukkan dinamika populasi mulai dari awal terinfeksi hingga dapat dikatakan memasuki fase kronis atau CML. Hasil analisis kestabilan titik tetap HSC tanpa terapi G-CSF yang diperoleh sama dengan hasil simulasi menggunakan software Mathematica 7.0 yaitu sadel tak stabil. Ini berarti penyakit akan berkembang terus hingga memasuki fase akut jika tidak ada terapi obat.
Gambar 7 Dinamika populasi Leukosit dengan waktu kematangan sel ( )
Gambar 7 menunjukkan dinamika populasi leukosit pada awal terinfeksi leukemia dengan . Dinamika populasi meningkat tanpa osilasi dan stabil. (lihat lampiran 11)
Gambar 8 Dinamika populasi leukosit dengan Waktu kematangan sel ( )
Gambar 8 menunjukkan dinamika populasi leukosit setelah 10 hari terinfeksi leukemia dengan . Dinamika dengan osilasi tak stabil dan rentang osilasi yang terjadi per 10 hari. (lihat lampiran 12)
Gambar 9 Dinamika populasi Leukosit dengan waktu kematangan sel ( )
Gambar 9 menunjukkan dinamika populasi leukosit setelah 20 hari terinfeksi leukemia dengan . Dinamika dengan osilasi tak stabil terus terjadi sampai hari ke-300. (lihat lampiran 13)
Gambar 10 Dinamika populasi Leukosit dengan waktu kematangan sel ( )
Gambar 10 menunjukkan dinamika populasi leukosit setelah 40 hari terinfeksi leukemia dengan . Dinamika dengan osilasi tak stabil ini bisa dikatakan memasuki fase kronis atau disebut CML dengan rentang osilasi per 40 hari. (lihat lampiran 14).
Gambar 11 Dinamika populasi Leukosit dengan waktu kematangan sel ( )
Gambar 11 menunjukkan dinamika populasi leukosit setelah 80 hari terinfeksi leukemia dengan . Dinamika dengan osilasi tak stabil ini bisa dikatakan memasuki fase akut. (lihat lampiran 15).
Hasil simulasi leukosit diatas menunjukkan dinamika populasi mulai dari awal terinfeksi hingga dapat dikatakan memasuki fase kronis atau CML. Populasi terus berkembang tidak terkontrol, jika tidak ada terapi yang diberikan maka fase
kronis tersebut akan memasuki fase akut yang artinya penyakit semakin parah dan sulit untuk disembuhkan.
Gambar 12 Dinamika populasi Platelet dengan waktu kematangan sel ( , , ,
, )
Gambar 12 diatas menunjukkan bahwa terinfeksinya HSC hanya dipengaruhi oleh laju perubahan leukosit yang meningkat, tetapi tidak berpengaruh terhadap dinamika populasi platelet. Hasil yang didapat tetap sama sejak awal terinfeksi leukemia sampai memasuki fase kronis atau CML. Ini artinya memang platelet selalu memproduksi sesuai dengan kebutuhan diri. (lihat lampiran 16).
Dari gambar 2 – gambar 12 dapat disimpulkan bahwa dinamika populasi HSC tanpa terapi G-CSF akan meningkat dan terjadi osilasi tak stabil mulai hari ke 10 dan memasuki fase leukemia pada hari ke 40 – 80 sampai menuju ke fase akut.
4.2 Analisis Model HSC Dengan Terapi G-CSF
4.2.1Penentuan Titik Tetap Model HSC Dengan Terapi G-CSF
Titik tetap dari persamaan (3.7) – (3.11) akan diperoleh dengan menetapkan , , , , dan dengan menggunakan bantuan software Mathematica 7.0, diperoleh titik tetap (Q,N,P,X,G) dengan:
( ( ) ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ( ) ) , ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) (4.19) Selengkapnya dapat dilihat pada lampiran 17
4.2.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model HSC Dengan Terapi G-CSF
Dari persamaan (3.7) – (3.11) diperoleh matriks Jacobi (lihat pada lampiran 18) yaitu: ( ( ) ) (4.20)
Untuk memperoleh nilai eigen dengan menyelesaikan persamaan karakteristik ( ) yang terdapat pada lampiran 19, yaitu:
det ( ( ) ) = 0 (4.21) Dan diperoleh nilai eigennya (lihat pada lampiran 20) yaitu
** + * ( )+ * + * + * ++
(4.22)
Dengan mensubsitusi nilai-nilai parameter pada Tabel 1 nilai eigen dapat diperoleh sebagai berikut
{{ = 0 }, { = 0.103104 }, { = 0.25 }, { = -0.379289 – 330161 i}, { -0.379289 + 3301.61 i}} (4.23)
dapat disimpulkan bahwa nilai-nilai eigen menunjukkan titik tetapnya bersifat spiral stabil.
Untuk mengamati pengaruh pertumbuhan populasi ketiga kompartemen HSC dengan terapi G-CSF, maka diperlukan bidang solusi yang menunjukkan hubungan antara banyaknya populasi sel terhadap waktu. Solusi numerik menggunakan software Mathematica 7.0 dilakukan dengan mensubsitusi nilai-nilai parameter ke persamaan model sel batang HSC dengan terapi G-CSF, sehingga diperoleh hubungan antara perkembangan hematopoietic, leukosit, dan platelet, berdasarkan analisis kestabilan titik tetapnya. Pengaruh yang signifikan pada model terapi pengobatan G-CSF ini adalah jadwal pemberian suntikan I(t).
4.2.3 Dinamika Populasi Kompartemen HSC dengan terapi G-CSF
Solusi numerik menggunakan software Mathematica 7.0 dilakukan dengan mensubsitusi nilai-nilai parameter Tabel 1 ke persamaan (3.7) – (3.11), sehingga diperoleh hubungan antara populasi Q, N, P yang menggunakan terapi pengobatan G-CSF yang ditunjukkan dalam gambar berikut :
Gambar 13 menunjukkan dinamika populasi HSC saat sudah terinfeksi leukemia dengan yang meningkat kemudian turun dan berosilasi stabil. (lihat lampiran 21)
Gambar 14 Dinamika Leukosit dengan Terapi G-CSF
Gambar 14 menunjukkan dinamika populasi leukosit yang sudah terinfeksi leukemia dengan menurun setelah diberikannya terapi G-CSF dan kemudian stabil . (lihat lampiran 22)
Gambar 15 Dinamika Platelet dengan Terapi G-CSF
Gambar 15 menunjukkan dinamika populasi platelet saat sudah terinfeksi leukemia dengan yang menurun dan stabil tanpa osilasi. (lihat lampiran 23)
Dari gambar 13, 14, dan 15 diperoleh informasi bahwa jika sel batang hematopoietic, leukosit dan platelet disimulasikan dengan menggunakan terapi pengobatan G-CSF, perkembangan dapat menurun setelah beberapa saat untuk kemudian berosilasi stabil pada sel batang hematopoietic, sedangkan pada leukosit dan platelet populasi menurun kemudian stabil tanpa osilasi. Dengan terapi pengobatan G-CSF menghasilkan pengaruh dinamika perkembangan ketiga kompartemen, yaitu memperlambat perkembangan dan menurunkan jumlah populasi hematopoietic, leukosit dan platelet.
