Analisis Struktur Anatomi Dan Histokimia Tiga Varietas Kumis Kucing (Orthosiphon Aristatus (Blume) Miq.)

(1)

ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN

PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGAN

PENGARUH SUHU

OKTAVIA AINI ZAKARIA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Kestabilan Model Penyebaran Penyakit Demam Berdarah dengan Pengaruh Suhu adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Maret 2016

Oktavia Aini Zakaria

(4)

ABSTRAK

OKTAVIA AINI ZAKARIA. Analisis Kestabilan Model Penyebaran Penyakit Demam Berdarah dengan Pengaruh Suhu. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan N K KUTHA ARDANA.

Dalam tulisan ini dipelajari model penyebaran penyakit DBD yang melibatkan nyamuk Aedes Aegypti. Populasi manusia dikelompokkan dalam tiga kompartemen, yakni rentan (S), terinfeksi (I) dan sembuh (R), sementara populasi nyamuk dikelompokan dalam dua kompartemen, yakni rentan (S) dan terinfeksi (I). Model yang disusun oleh Pongsumpun (2006) ini dimodifikasi dengan menambahkan pengaruh suhu ke dalam persamaan diferensialnya. Dihasilkan dua titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Analisis kestabilan bagi titik tetap tersebut ditentukan menggunakan kriteria Routh-Hurtwiz dan dihasilkan bilangan reproduksi dasar . Jika , maka titik tetap tanpa penyakit bersifat stabil sedangkan jika , maka titik tetap endemik bersifat stabil. Peningkatan suhu mengakibatkan naik sehingga penyebaran penyakit DBD semakin mudah mewabah dan semakin besar nilai rata-rata gigitan nyamuk juga menyebabkan penyebaran penyakit DBD mewabah. Pada bagian akhir dilakukan simulasi dengan menggunakan software Mathematica.

Kata kunci: Analisis kestabilan, bilangan reproduksi dasar, kriteria Routh-Hurtwiz.

ABSTRACT

OKTAVIA AINI ZAKARIA. Stability Analysis of Transmission Model of Dengue Fever with Temperature Effect. Supervised by ALI KUSNANTO dan N K KUTHA ARDANA.

This manuscript studied the spread of dengue hemorrhagic fever (DHF) models involving the mosquito Aedes Aegypti. The human population is grouped into three compartments, namely susceptible (S), infected (I) and recovery (R), while the mosquito population is classified into two compartments, namely susceptible (S) and infected (I). The model which was developed by Pongsumpun (2006) has been modified by adding the influence of temperature into a differential equation. This model produced two equilibrium points, namely the non-disease and endemic states. Analysis of stability of those equilibrium points were determined by using the Routh-Hurtwiz criterion and produced the basic reproduction number . If , then the non-disease equilibrium is stable whereas if , then the endemic equilibrium is stable. The increase of which is caused by higher temperature, as well as the increase of average number of mosquito bites, influence the endemic of dengue. At the end a simulation using Mathematica software was done.

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

ANALISIS KESTABILAN MODEL PENYEBARAN

PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGAN

PENGARUH SUHU

OKTAVIA AINI ZAKARIA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(6)

(7)

(8)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2015 ini ialah Analisis Kestabilan Model Penyebaran Penyakit Demam Berdarah dengan Pengaruh Suhu.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi dan Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku pembimbing, serta Bapak Dr Paian Sianturi sebagai penguji yang telah banyak memberi saran. Ungakapan terima kasih dan penghargaan penulis sampaikan kepada Ibu Irun Suswendarwati yang memberikan semangat, dan doa tiada henti. Di samping itu, ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Azan, Rizki, Ekki, Matematika 47, staff TU Matematika dan teman-teman atas doa dan dukungannya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Maret 2016

(9)

DAFTAR ISI

Nilai Eigen dan Vektor Eigen 3

Kestabilan Titik Tetap 3

Kriteria Routh-Hurwitz 3

Bilangan Reproduksi Dasar 4

MODEL PENYEBARAN DBD 5

Penyebaran Virus Demam Berdarah Dengue (DBD) 5

Model Matematika Penyebaran DBD 5

Persamaan Model Penyebaran virus DBD 6

Model Matematika Penyebaran DBD dengan Pengaruh Suhu 8

Penentuan Titik Tetap 9

Kasus 1: Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi

(10)

Kasus 2: Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi

18 Kasus 3: Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi

20

Kasus 4: Dinamika populasi manusia dan nyamuk dengan mengubah

nilai rata-rata gigitan nyamuk 22

SIMPULAN 24

DAFTAR PUSTAKA 25

LAMPIRAN 26

(11)

DAFTAR GAMBAR

1 Skema penyebaran penyakit DBD 6

2 Skema penyebaran penyakit DBD dengan pengaruh suhu 8 3 Proporsi manusia rentan tanpa dan dengan pengaruh suhu

untuk 16

4 Proporsi manusia terinfeksi tanpa dan dengan pengaruh suhu

untuk 16

5 Proporsi manusia sembuh tanpa dan dengan pengaruh suhu

untuk 17

6 Proporsi nyamuk rentan tanpa dan dengan pengaruh suhu

untuk 17

7 Proporsi nyamuk terinfeksi tanpa dan dengan pengaruh suhu

untuk 17

8 Proporsi manusia rentan tanpa dan dengan pengaruh suhu

untuk 18

untuk 19

untuk 19 13 Proporsi manusia rentan tanpa dan dengan pengaruh suhu

untuk 19

untuk 20

untuk 21

18 Proporsi manusia rentan pada model tanpa (a) dan dengan

pengaruh suhu (b) 22

19 Proporsi manusia terinfeksi pada model tanpa (a) dan dengan

(12)

DAFTAR LAMPIRAN

1 Penyederhanaan persamaan 7 26

2 Penentuan titik tetap 27

3 Dinamika populasi manusia dan nyamuk 30

4 Proporsi populasi manusia dan nyamuk dengan mengubah

nilai rata-rata gigitan nyamuk (b) 32

5 Hubungan rata-rata gigitan nyamuk (b) dengan nilai bilangan

(13)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Penyakit demam berdarah dengue banyak ditemukan di daerah tropis. Pada awalnya ditemukan pertama kali di Manila, Filipina pada tahun 1953. Di Indonesia penyakit ini pertama kali ditemukan di Surabaya pada tahun 1962. Pada saat itu terjadi 58 orang terinfeksi dan 24 orang diantaranya meninggal dunia dengan angka kematian (AK: 41.3%) sehingga pada akhirnya menyebar ke seluruh Indonesia (Kemenkes RI 2010).

Demam berdarah dengue (DBD) atau Dengue haemorrhagic fever (DHF) adalah penyakit yang disebabkan oleh virus dengue yang ditularkan melalui gigitan nyamuk Aedes Aegypti dan Aedes albopictus. Penyakit ini memiliki empat serotipe virus dengue, yaitu DEN-1, DEN-2, DEN-3 dan DEN-4 (WHO 2009). Virus dengue yang dibawa oleh nyamuk Aedes Aegypti mencari inang untuk ditempatinya. Ketika virus mendapatkan sel inang untuk melangsungkan hidupnya, virus akan bereproduksi dan menghasilkan virus-virus baru. Masa inkubasi (masa mulai saat penularan penyakit masuk ke dalam tubuh sampai saat timbulnya penyakit) dari infeksi virus dengue ini berkisar 8 sampai 10 hari dingin. Suhu juga dapat memengaruhi pematangan nyamuk, suhu yang tinggi menghasilkan nyamuk betina kecil yang dipaksa untuk mengambil banyak darah makanan untuk mendapatkan protein yang dibutuhkkan untuk produksi telur. Suhu dan kelembaban dianggap memengaruhi periode inkubasi virus (Kuno 1995).

Populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu manusia yang rentan, manusia yang terkena infeksi, dan manusia yang sembuh. Manusia yang rentan adalah manusia yang bukan imun dan tidak terkena infeksi. Manusia yang terkena infeksi adalah manusia yang terkena virus DBD dan dapat menularkan kepada individu lain dengan perantara nyamuk. Manusia sembuh adalah manusia yang sembuh dari penyakit dan tidak dapat tertular lagi. Populasi nyamuk dibedakan menjadi dua kelas yaitu nyamuk yang rentan dan nyamuk yang terkena infeksi. Nyamuk yang rentan adalah nyamuk yang rentan terhadap penyakit demam berdarah dengue. Sedangkan nyamuk terinfeksi adalah nyamuk yang terkena infeksi dan dapat menularkan kepada individu lain.

(14)

2

Tujuan Penelitian

Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah: 1. Merekonstruksi model penyebaran penyakit DBD mengunakan model SIR. 2. Menentukan dan menganalisis kestabilan titik tetap dari model tersebut. 3. Melakukan simulasi numerik terhadap model SIR untuk penyebaran penyakit

DBD serta membandingkan model dengan pengaruh suhu.

LANDASAN TEORI

Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial sebagai berikut

maka suatu titik yang memenuhi disebut titik keseimbangan atau titik tetap dari sistem persamaan difernsial tersebut.

(Tu 1994) Pelinearan

Analisis kestabilan untuk sistem persamaan diferensial taklinear dilakukan dengan menggunakan teknik pelinearan. Sistem persamaan diferensial taklinear didefinisikan sebagai berikut

(2)

Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap x*, maka sistem persamaan (2) dapat ditulis sebagai

(3) dengan A adalah matriks Jacobi,

(15)

3

dan merupakan suku berorde tinggi yang mempunyai sifat . Bentuk sistem persamaan diferensial taklinear (3) setelah dilakukan pelinearan menjadi sebagai berikut

Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Nilai eigen dari matriks A_berukuran _{dapat diperoleh dengan}

Analisis kestabilan lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar titik kesetimbangan. Titik kesetimbangan disubstitusikan ke dalam persamaan matriks Jacobi sehingga diperoleh nilai-nilai eigennya dengan i = 1, 2, 3, ... n dari persamaan karakteristik (5)

det .

secara umum kestabilan titik kesetimbangan mempunyai tiga sifat sebagai berikut: 1. Stabil, jika

a. Setiap nilai eigen real adalah negatif ( untuk semua j).

b. Ada komponen bagian real dari nilai eigen kompleks bernilai nol (Re untuk suatu j ) dan Re untuk suatu . Kriteria Kestabilan Routh – Hurwitz

Kriteria Routh-Hurwitz adalah sebuah prosedur analitik ketika nilai eigen persamaan karakteristik tidak dapat ditentukan dengan mudah. Misal matriks J

pada persamaan (3) berukuran , maka persamaan karakteristiknya adalah

(16)

4

Bilangan reproduksi dasar dinotasikan dengan merupakan suatu ukuran potensi penyebaran penyakit dalam suatu populasi. Bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai nilai harapan banyaknya populasi rentan yang menjadi terinfeksi selama masa infeksi berlangsung.

Kondisi yang dapat terjadi adalah

1. Jika , maka satu nyamuk terinfeksi akan menginfeksi kurang dari satu manusia rentan atau satu manusia terinfeksi akan menginfeksi kurang dari satu nyamuk rentan, sehingga penyakit DBD akan hilang dari populasi.

2. Jika , maka satu nyamuk terinfeksi akan menginfeksi lebih dari satu manusia rentan atau satu manusia terinfeksi akan menginfeksi lebih dari satu nyamuk rentan, sehingga penyakit DBD akan bertahan di dalam populasi.

(17)

5 terjadi perubahan suhu dalam setiap suhunya, transmisi virus demam berdarah selalu berkurang pada suhu rendah. Contohnya mewabahnya virus pada demam berdarah di daerah dingin berhenti pada suhu yang turun ke pada awal suhu dingin. Hal ini disebabkan masa inkubasi ekstrinsik didalam suhu rendah itu adalah lebih lama dari masa inkubasi ekstrinsik di dalam suhu yang tinggi, padahal rata-rata hidup nyamuk 14 hari. Masa inkubasi ekstrinsik (Extrinsic Incubation Period – EIP) adalah masa di mana mulai saat masuknya gametosit ke dalam tubuh nyamuk sampai terjadinya stadium sporogami dalam nyamuk yaitu terbentuknya sporozoid yang kemudian masuk ke dalam kelenjar liur, atau dengan kata lain masa sampai virus bisa ditularkan oleh nyamuk. Nyamuk-nyamuk tidak pernah sembuh dari infeksi karena terinfeksi mereka berakhir dengan kematian (Gubler 1998).

Penularan virus ini dapat dikelompokkan menjadi dua mekanisme. Mekanisme pertama, transmisi vertikal dalam tubuh nyamuk, di mana virus dapat ditularkan oleh nyamuk betina pada telurnya dan juga dapat ditularkan dari nyamuk jantan ke nyamuk betina melalui kontak seksual, tetapi tidak berlaku sebaliknya (Malavige et al. 2004). Mekanisme kedua, transmisi dari nyamuk ke dalam tubuh manusia dan sebaliknya. Penularan dari manusia kepada nyamuk hanya dapat terjadi bila nyamuk menggigit manusia yang sedang mengalami viremia, yaitu 2 hari sebelum panas sampai 5 hari setelah demam timbul. Setelah virus berada dalam tubuh nyamuk, virus yang sampai ke dalam lambung nyamuk akan berkembang biak, kemudian akan migrasi yang akhirnya akan sampai di kelenjar ludah memerlukan waktu 8-10 hari untuk menyelesaikan masa inkubasi ekstrinsik. Virus yang berada pada lokasi ini setiap saat sudah dapat ditularkan kembali kepada manusia.

Model Matematika Penyebaran DBD

Populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu kelas yang rentan (susceptible) di mana manusia dalam populasi tidak terinfeksi tetapi berisiko terinfeksi virus, kelas yang terinfeksi (infected) di mana manusia telah terinfeksi dan dapat menularkannya, dan kelas yang disembuhkan (recovered) di mana manusia tidak bisa lagi terjangkit penyakit ini karena telah disembuhkan.

Populasi nyamuk dibedakan menjadi dua kelas yaitu nyamuk yang rentan (susceptible) di mana nyamuk dalam populasi tidak terinfeksi tetapi berisiko terinfeksi virus, kelas yang terinfeksi (infected) di mana nyamuk yang terinfeksi dan dapat menularkannya

(18)

6

Persamaan Model Peyebaran virus DBD

Model penyebaran virus DBD menggunakan asumsi:

1. Total populasi nyamuk dan total populasi manusia adalah konstan sehingga laju kelahiran sama dengan laju kematian.

2. Populasi manusia dan nyamuk adalah populasi yang tertutup. 3. Rata-rata gigitan nyamuk pada manusia per hari adalah konstan. 4. Nyamuk tidak pernah sembuh setelah terinfeksi.

Skema yang menggambarkan pola penyebaran penyakit demam berdarah dengue

dalam model SIR diberikan oleh Gambar 1.

Dari asumsi-asumsi tersebut, proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia terinfeksi dipengaruhi oleh peluang kontak antara nyamuk terinfeksi dengan manusia rentan , dengan nilai peluang transmisi virus dari nyamuk terinfeksi ke manusia rentan dengan banyaknya inang yang menjadi sumber makanan nyamuk dikalikan dengan rata-rata gigitan nyamuk pada manusia per hari , dinyatakan sebagai berikut: . manusia terinfeksi setiap hari yang meninggal secara alami sebanyak .

Proporsi perpindahan nyamuk rentan akibat menggigit manusia terinfeksi per hari dipengaruhi oleh nilai peluang transmisi virus demam berdarah dari manusia ke nyamuk dengan banyaknya inang yang menjadi sumber makanan nyamuk dikalikan dengan rata-rata gigitan nyamuk pada manusia per hari dan banyaknya manusia yang terinfeksi , dinyatakan sebagai berikut: Nyamuk rentan mati secara alami sebanyak per hari. Keterangan: perpindahan pengaruh

(19)

7

Skema Gambar 1 dapat dimodelkan menggunakan sistem persamaan diferensial:

: laju kelahiran manusia (per hari), : laju kelahiran nyamuk.

: laju kematian manusia. : laju kematian nyamuk.

: rata-rata gigitan nyamuk pada manusia (per hari),

: peluang transmisi virus demam berdarah dari nyamuk ke manusia, : peluang transmisi virus demam berdarah dari manusia ke nyamuk,

: laju kesembuhan manusia terinfeksi (per hari).

Sistem persamaan (6) dan kondisi (7) dapat disederhanakan dengan pemisalan

(20)

8

Model Matematika Penyebaran DBD dengan Pengaruh Suhu (PS)

Pada model yang kedua, diasumsikan bahwa hanya nyamuk terinfeksi yang dapat menularkan virus pada populasi manusia. Misalkan c merupakan banyak nyamuk terinfeksi yang belum menularkan penyakit.

Skema Gambar 2 dapat dituliskan dalam sistem persamaan diferensial sebagai berikut

Variasi di dalam masa inkubasi ekstinstik disebabkan oleh perubahan-perubahan suhu, semakin rendah suhu masa inkubasi semakin lama ini adalah penyebab pola suhu dalam penyebaran penyakit demam berdarah. Pada kasus ini pengaruh suhu masuk kedalam sistem persamaan (Pongsumpun 2006) karena bergantung pada c, sehingga fraksi nyamuk yang terinfeksi dituliskan sebagai:

di mana adalah periode masa inkubasi virus di dalam nyamuk (dalam hari). Selanjutnya, subtitusi ke dalam peluang transmisi penyebaran virus dari nyamuk Keterangan: perpindahan pengaruh

(21)

9

ke manusia . ini dapat dinyatakan sebagai suatu variasi sinusoidal sedemikian, sehingga

(Pongsumpun 2006) di mana adalah ukuran pengaruh suhu pada proses transmisi. Dengan demikian model matematika karena pengaruh suhu dapat dinyatakan oleh persamaan diferensial sebagai berikut:

Sistem persamaan (10) dapat disederhanakan dengan pemisalan , , , , dan , maka diperoleh sistem persamaan:

(22)

10

Titik tetap tanpa penyakit sistem persamaan diferensial Model Pengaruh Suhu (11) adalah dan titik tetap endemik, yaitu

Penentuan titik-titik tetap di atas dapat dilihat pada Lampiran 2. Analisis Kestabilan Titik Tetap

Analisis kestabilan akan dilakukan Model Penyebaran DBD (9) dan Model PS (12). Analisis kestabilan di sekitar titik tetap ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Menentukan matriks Jacobi sistem persamaan diferensial. 2. Menentukan matriks Jacobi pada titik tetap.

(23)

11

Dengan melakukan pelinearan terhadap sistem persamaan (11), diperoleh matriks Jacobi

(16)

Kestabilan dari suatu titik tetap dapat dilihat dari nilai eigennya. Nilai eigen sendiri dapat dicari dari persamaan karakteristik yang merupakan determinan dari matriks Jacobi. Selanjutnya, kestabilan di sekitar titik tetap diperiksa. Titik tetap disubtitusikan ke dalam persamaan matriks Jacobi persamaan (16),

Dari persamaan (19) dan (20) diperoleh bilangan reproduksi dasar sebagai berikut

(20)

(24)

12

Perilaku di Sekitar Titik Tetap Model Penyebaran DBD Menentukan kestabilan titik tetap endemik dilakukan menyubtitusikan ke dalam matriks Jacobi, sehingga dihasilkan matriks Jacobi

Sistem akan stabil jika semua nilai eigen yang diperoleh oleh matriks Jacobi mempunyai bilangan real negatif. Nilai eigen matriks Jacobi dapat ditentukan dengan menyelesaikan det . Denagn demikian diperoleh persamaan karakteristik dari , yaitu

(21) sekitar titik tetap akan diselidiki dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz kestabilan sistem pada titik tetap

akan stabil jika dan hanya jika memenuhi syarat-syarat berikut:

Berdasarkan kondisi tersebut, jika maka diperoleh . Dengan demikian kriteria Routh-Hurwitz terpenuhi jika

(25)

13

Dengan melakukan pelinearan terhadap sistem persamaan (15), diperoleh matriks Jacobi

Kestabilan dari suatu titik tetap dapat dilihat dari nilai eigennya. Nilai eigen sendiri dapat dicari dari persamaan karakteristik yang merupakan determinan dari matriks Jacobi. Selanjutnya, kestabilan di sekitar titik tetap diperiksa.

(26)

14

(26)

Dari persamaan (25) dan (26) diperoleh bilangan reproduksi dasar sebagai berikut

(27)

Titik tetap tanpa penyakit bersifat stabil jika dan bersifat takstabil jika . Nilai bilangan reproduksi dasar diberikan oleh Teorema 2.

Perilaku di Sekitar Titik Tetap Model PS

Menentukan kestabilan titik tetap endemik dilakukan menyubtitusikan ke dalam matriks Jacobi, sehingga dihasilkan matriks Jacobi

Sistem akan stabil jika semua nilai eigen yang diperoleh oleh matriks Jacobi mempunyai bilangan real negatif. Nilai eigen matriks Jacobi dapat ditentukan dengan menyelesaikan det . Dengan demikian diperoleh persamaan karakteristik dari , yaitu

(28) sekitar titik tetap akan diselidiki dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz kestabilan sistem pada titik tetap

(27)

15

Berdasarkan kondisi tersebut, jika maka diperoleh . Dengan demikian kriteria Routh-Hurwitz terpenuhi jika

, dengan kata lain titik tetap stabil jika . Nilai adalah nilai bilangan reproduksi dasar penyebaran penyakit DBD.

SIMULASI NUMERIK

Salah satu tujuan dalam karya ilmiah ini adalah melakukan simulasi numerik pada model penyebaran DBD. Simulasi ini dilakukan karena pengamatan terhadap sistem sulit dilakukan secara langsung dan dapat mempermudah untuk dipelajari hal-hal yang terjadi dalam dinamika populasi.

Simulasi dilakukan merujuk pada analisis kestabilan yang telah dilakukan sebelumnya. Simulasi dilakukan untuk melihat kestabilan di sekitar titik tetap tanpa penyakit ketika dan stabil di sekitar titik tetap endemik ketika . Simulasi juga dibuat dengan melakukan perubahan rata-rata gigitan nyamuk per hari (b).

Nilai Parameter

Nilai-nilai parameter yang akan dimasukkan dalam simulasi adalah yaitu laju kematian populasi manusia dengan

per hari sesuai dengan harapan hidup manusia 70 tahun. Nilai laju kelahiran populasi manusia sesuai dengan asumsi awal, yaitu sama dengan laju kematian populasi manusia. Rata-rata hidup nyamuk adalah 14 hari (Pongsumpun 2006), maka laju kematian nyamuk

Laju kelahiran manusia per hari 0.0000391

Laju kelahiran nyamuk per hari 0.071

Laju kematian manusia per hari 0.0000391

Laju kematian nyamuk per hari 0.071

Peluang transmisi virus demam berdarah dari nyamuk ke manusia

0.5 Peluang transmisi virus demam berdarah dari manusia ke nyamuk

0.7 Rata-rata gigitan nyamuk per hari 0.6*

0.07** Laju kesembuhan manusia terinfeksi per hari 1/3 Perbandingan populasi nyamuk dengan populasi manusia

(28)

16

Hasil Simulasi

Simulasi ini dilakukan dengan syarat awal bahwa terdapat sejumlah populasi individu dan nyamuk yang sudah terinfeksi. Nilai-nilai parameter pada Tabel 1 disubtitusikan ke sistem persamaan dengan nilai Proporsi awal populasi individu rentan (0), manusia terinfeksi (0)]= 0.3, dan nyamuk terinfeksi .

Kasus 1 : Dinamika populasi manusia dan nyamuk untuk kondisi

Gambar 3 Proporsi manusia rentan tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk

Gambar 3 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia rentan pada model tanpa pengaruh suhu ini meningkat dan sebaliknya model dengan pengaruh suhu menurun. Hal ini disebabkan karena pada saat kondisi ini penyakit tidak mewabah sehingga dengan pengaruh suhu proporsi manusia rentan menjadi menurun.

Gambar 4 Proporsi manusia terinfeksi tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk

(29)

17

Gambar 5 Proporsi manusia sembuh tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk

Gambar 5 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia sembuh pada model tanpa pengaruh suhu ini menurun dan sebaliknya model dengan pengaruh suhu meningkat. Hal ini disebabkan karena pada saat kondisi ini penyakit tidak mewabah sehingga dengan pengaruh suhu proporsi manusia rentan menjadi meningkat.

Gambar 6 Proporsi nyamuk rentan tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk

Gambar 6 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk rentan pada model pengaruh suhu ini meningkat lebih cepat dibandingkan model tanpa pengaruh suhu. Hal ini disebabkan karena pada saat kondisi penyakit tidak mewabah populasi nyamuk rentan menjadi banyak karena pada model pengaruh suhu nyamuk menjadi banyak tetapi belum tentu menularkan penyakitnya.

(30)

18

Gambar 7 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk terinfeksi pada model pengaruh suhu lebih cepat menuju nilai stabil daripada model tanpa pengaruh suhu, hal ini pada kondisi penyakit belum mewabah.

Gambar 8 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia rentan pada model tanpa pengaruh suhu terus menurun lebih cepat daripada model dengan pengaruh suhu. Hal ini disebabkan pada kondisi model tanpa pengaruh suhu penyakit ini mulai mewabah.

(31)

19

Gambar 10 Proporsi manusia sembuh tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk

Gambar 10 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia sembuh pada model dengan pengaruh suhu lebih cepat meningkat daripada model pengaruh suhu. Hal ini disebabkan dinamika populasi tanpa pengaruh suhu pada saat kondisi penyakit mewabah.

Gambar 11 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk rentan pada model dengan pengaruh suhu ini meningkat dan sebaliknya model tanpa pengaruh suhu menurun menuju nilai stabil. Hal ini disebabkan karena pada saat kondisi model tanpa pengaruh suhu penyakit mulai mewabah sehingga proporsi nyamuk rentan mulai menurun.

Gambar 12 Proporsi nyamuk terinfeksi tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk

(32)

20

karena pada model tanpa pengaruh suhu kondisi penyakit mewabah sedangkan pada model pengaruh suhu tidak mewabah.

Gambar 13 menunjukkan bahwa ketika kondisi penyakit mewabah, dinamika populasi manusia rentan pada model dengan pengaruh suhu lebih cepat menurun menuju nilai stabil dibandingkan dengan model tanpa pengaruh suhu.

Gambar 14 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia terinfeksi pada model pengaruh suhu menigkat lalu menurun lebih cepat dibandingkan dengan model tanpa pengaruh suhu, hal ini disebabkan kondisi penyakit mewabah.

(33)

21

Gambar 15 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia sembuh pada model dengan pengaruh suhu lebih cepat berosilasi menuju niali stabil dibandingkan dengan model tanpa pengaruh suhu, hal ini disebabkan kondisinya penyakit mewabah.

Gambar 16 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk rentan pada model pengaruh suhu menurun lalu meningkat lebih cepat daripada model tanpa pengaruh suhu pada kondisi penyakit mewabah.

Gambar 17 Proporsi nyamuk terinfeksi tanpa dan dengan pengaruh suhu untuk

(34)

22

Kasus 4: Dinamika populasi manusia dan nyamuk dengan mengubah nilai rata-rata gigitan nyamuk

Gambar 18 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia rentan pada model tanpa dan dengan pengaruh suhu terus menurun dengan rata-rata ggigitan nyamuk terinfeksi, ini artinya makin mewabahnya panyakit maka populasi manusia rentan semakin menurun.

Gambar 19 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia terinfeksi pada model tanpa dan dengan pengaruh suhu akan meningkat seiring dengan meningkatnya rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi yang artinya mewabahnya penyakit ini menyebabkan manusia terinfeksi semakin banyak.

(a) (b)

Gambar 18 Proporsi manusia rentan pada model tanpa (a) dan dengan pengaruh suhu (b)

(a) (b)

Gambar 19 Proporsi manusia terinfeksi pada model tanpa (a) dan dengan pengaruh suhu (b)

(a) (b)

(35)

23

Gambar 20 menunjukkan bahwa dinamika populasi manusia sembuh pada model tanpa dan dengan pengaruh suhu akan meningkat seiring makin besarnya rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi, ini artinya mewabahnya penyakit mengakibatkan manusia menjadi sembuh menjadi banyak setelah terinfeksi.

Gambar 21 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk rentan pada model tanpa dan dengan pengaruh suhu dengan semakin rendah rata-rata gigitan nyamuknya (b) semakin meningkat populasinya pada kondisi penyakit mewabah.

Gambar 22 menunjukkan bahwa dinamika populasi nyamuk terinfeksi pada model tanpa dan dengan pengaruh suhu dengan semakin rendah rata-rata gigitan nyamuknya (b) semakin menurun populasinya pada kondisi penyakit mewabah.

Rata-rata gigitan nyamuk (b) juga memengaruhi nilai bilangan reproduksi dasar yang menyatakan mewabahnya penyakit, di mana semakin besar nilai rata-rata gigitan nyamuk (b) semakin mewabahnya penyakit. Hal ini dibuktikan pada Lampiran 5.

(a) (b)

Gambar 21 Proporsi nyamuk rentan pada model tanpa (a) dan dengan pengaruh suhu (b)

(a) (b)

(36)

24

SIMPULAN

Berdasarkan hasil pembahasan, dapat disimpulkan hasil analisis yang telah dilakukan pada model penyebaran penyakit DBD tanpa dan dengan pengaruh suhu diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap tanpa penyakit

dan titik tetap endemik dengan adalah proporsi manusia rentan, adalah proporsi manusia terinfeksi, dan adalah proporsi nyamuk terinfeksi. Pada titik tetap , populasi hanya terdiri dari proporsi manusia rentan saja. Sedangkan pada titik tetap , populasi terdiri dari tiga kelas. Analisis kestabilan bergantung pada nilai , dengan adalah bilangan reproduksi dasar. Jika , maka titik tetap bersifat stabil. Pada titik tetap

bersifat stabil jika

(37)

25

DAFTAR PUSTAKA

Anton H, Rorres C. 2004. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-8. Indriasari R, Harmein I, Penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga.

Edelstein, Keshet L. 1988. Mathematical Models in Biology. New York (US): Random House.

Gubler DJ. 1998. Dengue and Dengue Hemorhagic Fever. Clinical Microbiology Review 11: 450-496.

Kemenkes RI. 2010. Epidemilogi (Demam Berdarah Dengue).[Internet]. [diacu 15 Maret 2015].

Tersedia dari: http://www.depkes.go.id/folder/view/01/structure-publikasi-pusdatin-buletin.html

Kuno, G. 1995. Review of the factors modulating dengue transmission.

Epidemiology Review, 17, 321-335.

Malavige GN, Fernando S, Fernando DJ, Seneviratne SL. 2004. Dengue viral infections. Postgrad Med J. 80:588–601. doi: 10.1136/pgmj.2004.019638.

Nuraini N, Soewono E, Sidarto KA. 2007. A mathematical model of dengue internal transmission process. J. Indones. Math. Soc. (MIHMI) 13(1): 123- 132. Pongsumpun P. 2006. Transmission model for dengue disease with and without

the effect of extinstic period. KMITL Sci. Tech. J. 6: 74-82

Tu PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Applications in Economics and Biology. New York (US): Springer-Verlag

van den Driessche P, Watmough J. 2002. Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission. Matehmatical Biosciences. 180: 29-48. PII: S0025-5564(02)00108-6.

(38)

26

Lampiran 1 Penyederhanaan Persamaan 7

(39)

27

Lampiran 2 Penentuan Titik Tetap

dan