TEORI TERZAGHI KO K N O S N O S L O I L DA D S A I S SA S T A U T U DI D ME M N E S N I S

TEORI TERZAGHI

KONSOLIDASI SATU DIMENSI

KONSOLIDASI SATU DIMENSI

Teori Terzaghi tentang

Konsolidasi Satu Dimensi

Anggapan-anggapan • Tanah homogen

• Tanah jenuh

• Butiran tanah dan air tidak dapat dimampatkan • Butiran tanah dan air tidak dapat dimampatkan

• Kemampatan dan aliran hanya satu dimensi (vertikal) • Regangan kecil

• Hukum Darcy berlaku untuk semua gradien hidrolis • Koef permeabilitas dan koef perubahan volume

konstan

• Ada hubungan unieque tidak tergantung waktu, antara angka pori dan tegangan efektif.

TUGAS

Tegangan total Waktu

Proses konsolidasi

Waktu Excess Pore Pressure

Tegangan efektif Waktu

Proses konsolidasi

Penurunan Waktu

Potongan

v_z

∆∆∆∆z _{meninggalkan elemen}Laju aliran air

Penurunan persamaan konsolidasi

1. Aliran air (karena konsolidasi)

v v z z z z ++++ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∆∆∆∆ Penam-pang A Potongan ∆∆∆∆z _{meninggalkan elemen} ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ v z ∆∆∆∆zA

Laju penurunan volume

Penurunan persamaan konsolidasi /

lanjutan

2. Deformasi elemen tanah (karena perubahan tegangan efektif) ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂∂∂∂ v t ∆∆∆∆zA Penam-pang A Potongan ∆∆∆∆z

Laju air meninggalkan elemen

Laju penurunan volume Elemen tanah

=

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ v z ∆∆∆∆zA ∂ε ∂ε∂ε ∂ε ∂∂∂∂ v t ∆∆∆∆zA

Penurunan persamaan konsolidasi

Asumsi: partikel/butiran tanah dan air tak termampatkan

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂ε

∂ε

∂ε

∂ε

∂∂∂∂

v

z

====

v

t

(3)

Persamaan tampungan

v k h z

v

==== −−−− ∂∂∂∂ ∂∂∂∂

Asumsi hukum Darcy

(4)

Penurunan persamaan konsolidasi /

lanjutan

3. Aliran air (karena konsolidasi)

z

v

∂∂∂∂ (4)

Note : karena aliran akibat konsolidasi maka head yang ditinjau yang berhubungan dengan excess pore pressure

h u

w =

Respon elastis εεεε v ==== mvσσσσ′′′′e (7)

Asumsi tanah bersifat elastis

Penurunan persamaan konsolidasi /

lanjutan

4. Hubungan tegangan-regangan tanah

Note : m_v harus dipilih hati-hati. Ini bukan konstanta umum. Untuk kondisi1-D dapat ditunjukkan sbb:

m C

e

v = _{+ ′}

∂∂∂∂v ∂ε∂ε∂ε∂ε ==== v

(3) Pers. tampungan

Penurunan persamaan konsolidasi

5. Prinsip tegangan efektif

σ_e′ = σ_e − u

Note: ini perubahan tegangan karena konsolidasi (8) ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂∂∂∂ v z ==== v t (3) Pers. tampungan v k h z v ==== −−−− ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ Hukum Darcy (4) Respon elastis εεεε v ==== m vσσσσ ′′′′e (7)

+

+

Persamaan Konsolidation 1-D

∂

k

∂

u

∂

u

∂σ

Penurunan persamaan konsolidasi /

lanjutan

∂

∂ γ

∂

∂

∂

∂

∂σ

∂

z

k

u

z

m

u

t

t

v

w

v

e

[

]

=

[

−

]

(10)

Very Permeable Pada very permeable boundary

u = 0

Penyelesaian persamaan konsolidasi /

lanjutan

1. Boundary conditions

Very Impermeable

u = 0

Pada very impermeable boundary Saturated Clay

∂∂∂∂ ∂∂∂∂

u

Pada

pembe-Penyelesaian persamaan konsolidasi /

lanjutan

2. Initial conditions (1-D) Perubahan tegangan Total=∆σ Pada pembe-banan cepat

u

==== σσσσ

_e Waktu Waktu Excess Pore Pressure

(10)

Penyelesaian persamaan konsolidasi /

lanjutan

3. Tanah homogen

∂

∂ γ

∂

∂

∂

∂

∂σ

∂

z

k

u

z

m

u

t

t

v w v e

[

]

=

[

−

]

c

u

z

u

t

t

v e

∂

∂

∂

∂

∂σ

∂

2 2

=

−

c

k

m

v v v w

=

γ

(13)

c_v = koefisien konsolidasi

c mempunyai units L2_{/T dan dapat diperkirakan dari oedometer}

Penyelesaian persamaan konsolidasi /

lanjutan

c

k

m

v v v w

=

γ

c_v mempunyai units L2_{/T dan dapat diperkirakan dari oedometer}

test (uji konsolidasi).

Koefisien perubahan volume m_v dapat diukur dari oedometer test (uji konsolidasi).

Harga k_v sulit diukur secara langsung untuk lempung tetapi dapat dicari dari hubungan dengan c_v.

Beban terbagi rata q

Penyelesaian persamaan konsolidasi drainasi 2 arah

2H Z _{Lapisan lempung homogen yang dapat}

Persamaan Boundary Conditions c u z u t v ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ 2 2 ==== (14a)

Penyelesaian persamaan konsolidasi drainasi 2 arah

Kondisi mula u = 0 bila z = 2H untuk t > 0 u = 0 bila z = 0 untuk t > 0 u = q bila t = 0 untuk 0 < z < 2H (14 b,c) (14d)

0 ) sin( 1 2 2 dengan e Z q u _n T n v n =

_∑

∞

_α

−

α

α

Penyelesaian

Penyelesaian persamaan konsolidasi drainasi 2 arah

2 ) 2 1 ( H t c T H z Z dan n dengan v v n = = + =

π

α

(15)

Dimana

Tv = Faktor waktu / time factor

Cv = Koefisien Konsolidasi / dari oedometer

t = waktu

H = tebal lapisan = 2 d

d = jarak antar permukaan lapisan tanah

d = jarak antar permukaan lapisan tanah

d

d

H

OPEN LAYER

4

6

,

0

=

2

<

Tv

U

U

Untuk

π

085

,

0

)

1

log(

933

,

0

6

,

0

=

−

−

−

>

Tv

U

U

Untuk

T=0.8 0.5 0.3 0.2 0.1 0

1 Z=z/H

Penyelesaian persamaan konsolidasi drainasi 2 arah

2

0.0 0.5 1.0

u/q

Perhitungan penurunan

S

_vdz

H

m v e u dz

H

dari pers. ini dapat ditujukkan

=

∫

=

∫

₋

ε

σ

0

2

0

2

(

)

dari pers. ini dapat ditujukkan

S

S

U Tv

n Tv

n

e

∞

=

=

−

−

∞

∑

α

α

1

2

2

2

0

(

)

(16c)

10-3 ₁₀-2 ₁₀-1 _{1 10}

Faktor waktu T_v

0.00

0.25

Hubungan derajat Konsolidasi & waktu

0.50

0.75

1.00 U

Rumus pendekatan derajat konsolidasi

U

T

T

U

e

T

v v Tv v

====

≤≤≤≤

====

−−−−

−−−−

>>>>

4

0 2

1

8

0 2

2 2 ₄

ππππ

ππππ

ππππ

(

. )

(

. )

/

ππππ

4

6

,

0

=

2

<

Tv

U

U

Untuk

π

085

,

0

)

1

log(

933

,

0

6

,

0

=

−

−

−

>

Tv

U

U

Untuk

Derajat Konsolidasi rata-rata

• Pada prakteknya yang dipergunakan

adalah derajat konsolidasi rata-rata

lapisan tanah.

• Untuk u

_i

= konstan

• Selanjutnya hubungan U – T

_v

dibuat tabel

atau grafik.

∑∞ = −

−

=

0 2 2

2

1

m T M _v

e

M

U

Beban terbagi rata q

Penyelesaian persamaan konsolidasi drainasi 1 arah

H Z Lapisan lempung jenuh homogen

terletak di atas dasar kedap air (impermeable)

Impermeable

Persamaan Boundary Conditions

c

u

z

u

t

v

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

2 2

====

(18a)

Penyelesaian persamaan konsolidasi drainasi 1 arah

Keadaan mula

u=0 bila z = H untuk t > 0 u = 0 bila z = 0 untuk t > 0 u = q bila t = 0 untuk 0 < z < H (18b,c) (18d) ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ u z ==== 0

T=0.8 0.5 0.3 0.2 0.1 0

1 Z=z/H

Penyelesaian persamaan konsolidasi drainasi 1 arah

2

0.0 0.5 1.0

u/q

Variasi Excess pore pressure dengan kedalaman

Penyelesaian identik dengan drainasi 2 arah. Note, panjang maximum drainage path nya identik.

Gravel

4m

Clay Final settlement=100mm

Soil Profile

Contoh 1: berapakah penurunan yang terjadi setelah 1 tahun

4m Clay Clay Sand 5m Impermeable Clay Final settlement=100mm c_v=0.4m2_/year Final settlement=40mm c_v=0.5m2_/year

Untuk lapisan atas, pada t = 1 tahun ; H = 0.5 x 4= 2 m

Dengan menggunakan grafik dengan T_v = 0.1

Penyelesaian

T v c v t H = = × = 2 0 1 2 2 0 1 .4 .

Dengan menggunakan grafik dengan T_v = 0.1 U = 0.36

maka

10-3 ₁₀-2 ₁₀-1 _{1 10}

Dimensionless Time T_v

0.00

0.25

Relation of degree of settlement and time

0.50

0.75

1.00 U

Untuk lapisan bawah, t = 1 th ; H = 5 m ( half closed layer )

Dengan menggunakan grafik dengan T_v = 0.02

T v

c v t

H

=

=

×

=

2

0 5

1

5 2

0 02

.

.

Dengan menggunakan grafik dengan T_v = 0.02 U = 0.16

maka

10-3 ₁₀-2 ₁₀-1 _{1 10} Dimensionless Time T_v 0.00 0.25 0.50 U Relation of degree of settlement and time

0.50

0.75

1.00 U

Gravel

8m

Clay Final settlement=500mm

Soil Profile

LATIHAN 1: berapakah penurunan yang terjadi setelah 5 tahun

8m Clay Clay Sand 4m Impermeable Clay Final settlement=500mm c_v=0.25m2_/th Final settlement=200mm c_v=0.45m2_/th

Contoh 2: uji laboratorium

Oedometer U=0.5 setelah 2 menit. Drainasi 2 arah, H = 5 mm

Hitung waktu untuk U= 0.5 pada lapisan lempung yang sama tebal 10 m, drainasi 1 arah

Oedometer

T

v

c t

c

c

v v v

=

₂

=

×

2

₂

=

80000

Oedometer Lapisan tanah

T_v (oedometer) = T_v (lapisan tanah)

maka t = 80000000 menit = 15,2 tahun

T

H

c

v

=

₂

=

₂

=

v

0 005

.

80000

T c t H c t c t v v v v = ₂ = ×₂ = × 10 100

LATIHAN-2 : uji laboratorium

Pada percobaan oedometer didapatkan pembacaan U=0.9 setelah 60 menit.

Sampel dengan drainasi 2 arah, dengan tebal H = 10 mm

Hitung waktu yang diperlukan untuk mencapai U= 0.9 pada lapisan lempung yang sama , dengan tebal 2 m, drainasi 2 lapisan lempung yang sama , dengan tebal 2 m, drainasi 2 arah

CARA MENENTUKAN

CARA MENENTUKAN KOEFISIEN KONSOLIDASI 1. CARA LOG WAKTU ( CASAGRANDE )

1 4 as ao do INITIAL COMPRESSION PRIMARRY CONSOLIDATION d d a 50 do SECONDARY CONSOLIDATION Log t ( menit ) t 50

PEMBACAAN DIAL GAUGE (MM)

2. METODE AKAR WAKTU ( TAYLOR )

ao

as

PEMBACAAN DIAL GAUGE

INITIAL COMPRESSION AKAR WAKTU t t 90 (menit ) 1 : 1,15 A B C AC = 1,15 AB PRIMARY CONSOLIDATION SECONDARY COMPRESSION a90 af

GRAFIK TEORI

O U ( DERAJAD KONSOLIDASI ) t 0 1 1 0,9 _{A B C}

Dari grafik konsolidasi teoritis didapatkan

Untuk U = 50 % Tv = 0,196

Untuk U = 90 % Tv = 0,848

Dengan demikian didapatkan

Log Time Methode

50 2

196

,

0

t

d

Cv

=

Root Time Methode

50

t

90 2

848

,

0

t

d

Cv

=

Setiap jenis tanah mempunyai parameter berbeda, yang dapat diukur dari beberapa indikator sbb;

Initial Compression Ratio

Primary Compression Ratio

f o s o o a a a a r − − = s p

a

a

a

a

r

−

−

=

100

Primary Compression Ratio ( Log Time Method )

Primary Compression Ratio ( Root Time Method )

Secondary Compression Ratio

f o p

a

a

r

−

=

) ( 9 ) ( 10 ₉₀ f o s p a a a a r − − =

)

(

1

_{o p} s

r

r

r

=

−

+

CONTOH SOAL

Dari hasil oedometer test didapatkan hasil sebagai berikut ; SG = 2,73 dengan tegangan bertambah dari 21,4 ke 42,9 t/m2. Tebal contoh tanah setelah 1440 menit terakhir 1360 mm dengan kadar air 35,9 % . Data pembacaan seperti

pada tabel dibawah Soal ;

Soal ;

1. Hitung koefisien konsolidasi (log time & roots time) 2. Hitung compression ratio

HASIL PEMBACAAN OEDOMETER WAKTU ( MENIT ) PEMBACAAN 0,00 5,00 0,25 4,67 0,50 4,62 WAKTU ( MENIT ) PEMBACAAN 25,00 3,49 36,00 3,28 49,00 3,15 1,00 4,53 2,25 4,41 4,00 4,28 9,00 4,01 16,00 3,75 25,00 3,49 64,00 3,06 81,00 3,00 100 2,96 200 2,84 400 2,76 1440 2,61

PENYELESAIAN / 45 , 0 365 1440 4 , 7 196 , 0 196 , 0 5 , 12 , log 4 , 7 2 8 , 14 lintasan 8 , 14 2 39 , 2 6 , 13 39 , 2 61 , 2 5 2 2 2 50 2 = = = = = = = + = = − = tahun m x x x d Cv menit t untuk t gambar Dari mm drainase Panjang mm i konsolidas selama rata Tebal mm tebal Perubahan 155 , 0 ) 757 , 0 088 , 0 ( 1 ) ( 1 757 , 0 61 , 2 5 98 , 2 79 , 4 088 , 0 61 , 2 5 79 , 4 5 / 45 , 0 10 5 , 12 100 2 6 50 = + − = − − = = − − = − − = = − − = − − = = = = p o s f o s p f o s o o r r r a a a a r a a a a r tahun m x t Cv

080

,

0

81

,

4

5

/

46

,

0

10

365

1440

3

,

53

40

,

7

848

,

0

848

,

0

3

,

53

30

,

7

,

2 6 2 90 2 90 90

=

−

=

=

=

=

=

=

r

th

m

x

x

x

t

d

Cv

mm

t

t

didapatkan

t

gambar

Dari

135

,

0

)

785

,

0

08

,

0

(

1

785

,

0

)

61

,

2

5

(

9

)

12

,

3

81

,

4

(

10

080

,

0

61

,

2

5

81

,

4

5

=

+

−

=

=

−

−

=

=

−

−

=

s p o

r

r

r

1 1 33 , 1 35 , 0 98 , 0 35 , 0 99 , 15 98 , 1 39 , 2 99 , 15 39 , 2 6 , 13 1 ; 98 , 0 73 , 2 359 , 0 ; ' ' 1 1 1 1 1 e e e mv e e e e H H Ho H e H e e e e ratio void Initial x SG w e ratio void Final o o o o o − − + = = + = = ∆ →→→ ∆ + = ∆ = + = ∆ + = →→ + = ∆ ∆ ∆ + = = = = σ σ det / 10 * 1 * * * 3600 * 24 * 365 10 * 7 * 45 , 0 / 10 7 5 , 21 35 , 0 33 , 2 1 1 10 3 2 2 3 2 3 ' ' 1 m m ton ton m th m mv Cv k ty permeabili Koefisien ton m x x e mv w o o − − − = = = = = − + = γ σ σ