ANALISIS MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK STABIL
DAN KUASI-STABIL
IKHSAN DIKA HANGGARA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2014
PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Model Pertumbuhan Penduduk Stabil dan Kuasi-Stabil adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2014 Ikhsan Dika Hanggara NIM G54070071
ABSTRAK
IKHSAN DIKA HANGGARA. Analisis Model Pertumbuhan Penduduk Stabil dan Kuasi-Stabil. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan RETNO BUDIARTI.
Model pertumbuhan penduduk merupakan hal yang penting dalam mengantisipasi persoalan ekonomi, social, dan politik dalam suatu bangsa yang diakibatkan oleh perubahan jumlah penduduk. Perubahan jumlah penduduk dapat dipengaruhi oleh faktor fertilitas, mortalitas , dan migrasi. Karya ilmiah ini bertujuan untuk memodelkan pertumbuhan penduduk stabil dan kuasi-stabil lalu mengaplikasikannya dalam penduduk Indonesia tahun 2000, 2005 dan 2010. Hasil proyeksi akan dibandingkan dengan data sensus lalu akan diperoleh nilai galatnya.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa model kuasi-stabil dengan adanya faktor perbaikan kematian lebih baik daripada model stabil. Berdasarkan model kuasi-stabil hasil proyeksi penduduk Indonesia tahun 2015 sebesar 255,236,560.
Keywords : pertumbuhan penduduk, kuasi-stabil, fertilitas, mortalitas.
ABSTRACT
IKHSAN DIKA HANGGARA. Analysis of Stable and Quasi-Stable Population Growth Models. Supervised by HADI SUMARNO and RETNO BUDIARTI.
Model of population growth is essential to anticipate problems in the economic, social and political in a nation that affected by the change of population. Changes in a population can be affected by factors of fertility, mortality, and migration. This paper aims to model stable and quasi-stable population growth and then applies these models to population of Indonesia for 2000, 2005 and 2010. The projection results is compared to the census data and then error value will be obtained.
The results showed that the quasi-stable model with mortality improvement factor is better than the stable model. Based on the quasi-stable model, prediction of population of Indonesia in 2015 is 255,236,560. Keywords: population growth, quasi-stable, fertility, mortality
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
ANALISIS MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK STABIL
DAN KUASI-STABIL
IKHSAN DIKA HANGGARA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULATAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR 2014
Judul Skripsi : Analisis Model Pertumbuhan Penduduk Stabil dan Kuasi-Stabil Nama : Ikhsan Dika Hanggara
NIM : G54070071 Disetujui Dr Ir Hadi Sumarno, MS Pembimbing I Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II Diketahui Dr Toni Bakhtiar, M Sc Ketua Departemen Tanggal Lulus : ………
PRAKATA
Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat dan karuia-Nya, sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurah kepada junjungan kita Nabi besar Muhammad SAW beserta keluarga. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluarga tercinta: Ibu dan Bapak (terima kasih atas doa, cinta, kasih sayang, nasehat, didikan dan motivasinya), kakak, adik, ponakan, dan seluruh keluarga keluarga besar bapak maupun ibu (terima kasih atas dukungan, hiburan dan motivasinya).
2. Bpk Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku dosen Pembimbing I, Ibu Ir. Retno Budiarti, MS selaku dosen Pembimbing II dan Bpk Dr. Paian Sianturi, MS selaku dosen penguji (terima kasih atas segala ilmu, nasehat, arahan serta bimbingan yang diberikan selama penyusunan karya ilmiah ini).
3. Segenap dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu dan nasehat yang telah diberikan).
4. Seluruh staf Departemen Matematika IPB (terima kasih atas segala pelayanan dan bantuan yang diberikan).
5. Teman-teman Matematika angkatan 44: Iip, Lukman, Puying, Oli, Aqil, Ikhsan, Pepi, Yogi, Iam, Eka, Aswin, Ayum, Ririh, Indin, Yuli, Wahyu, Endro, Ruhy, Ucu, Selvy, Yuyun, Titi, Deva, Wewe, Fikri, Sri, Fajar, Mutia, Rachma, Ayung, Cita, Tanty, Arina, Devi, Titi, Resha, Sari, Anis, Lilis, Imam, Aze, Ali, Zae, Tandhy, Tyas, Ima, Dora, Nunuy, Siska, Tita dan lainnya (terima kasih atas dukungan, do’a, semangat dan kebersamaannya).
6. Pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat disebutkan satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Agustus 2014
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 METODE 5HASIL DAN PEMBAHASAN 5
Model Penduduk Stabil 6
Model Penduduk Kuasi-Stabil 11
Aplikasi Model Penduduk Stabil 13
Aplikasi Model Penduduk Kuasi-Stabil 14
SIMPULAN DAN SARAN 16
Simpulan 16
Saran 16
DAFTAR PUSTAKA 17
LAMPIRAN 18
DAFTAR TABEL
1. Nilai galat pada setiap model 19
DAFTAR GAMBAR
1. Proyeksi model penduduk stabil 14
2. Proyeksi model penduduk kuasi-stabil 15
DAFTAR LAMPIRAN
1. Bukti Persamaan 15 19
2. Tabel Penduduk Indonesia tahun 2000 20
3. Tabel Penduduk Indonesia tahun 2010 21
4. Tabel Penduduk Indonesia tahun 2005 22
5. Tabel Nilai k 23
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Orang pertama yang mengemukakan teori mengenai penduduk adalah Thomas Robert Malthus yang hidup pada tahun 1886-1824. Pada Essay on Population tahun 1798 Malthus mengemukakan dua pokok pendapatnya yaitu penduduk dan bahan makanan adalah penting bagi kehidupan manusia, dan napsu manusia tidak dapat tertahan dan tidak terbatas atas dua hal tersebut. Dia mengemukakan pendapatnya bahwa pertumbuhan penduduk jauh lebih cepat dari pertumbuhan bahan makanan. Dalil yang dikemukakan Malthus yaitu jumlah penduduk meningkat secara geometrik (deret ukur) sedangkan kebutuhan hidup kian meningkat secara aritmatika (deret hitung), akibatnya pada suatu saat akan terjadi perbedaan yang besar antara jumlah penduduk dan kebutuhan hidup.
Selain meningkatnya kebutuhan hidup akibat pertumbuhan penduduk, pertumbuhan penduduk juga dapat berdampak terhadap ekonomi sosial dan politik. Tingkat pertumbuhan penduduk seperti itu dipengaruhi oleh tiga faktor utama yaitu: kelahiran (fertilitas), kematian (mortalitas), dan perpindahan penduduk (migrasi). Peristiwa kelahiran di suatu daerah menyebabkan perubahan jumlah dan komposisi penduduk, sedangkan peristiwa kematian dapat menambah maupun mengurangi jumlah penduduk di suatu daerah. Mengurangi bagi yang ditinggalkan dan menambah bagi daerah yang didatangi. Selain penyebab langsung seperti kelahiran, kematian dan migrasi terdapat penyebab tidak langsung seperti keadaan sosial, ekonomi, budaya, lingkungan, dan politik. Pertumbuhan penduduk seperti dikemukakan di atas dapat dikatakan terlalu tinggi karena dapat menimbulkan berbagai persoalan. Oleh karena itu diperlukan sebuah model untuk menggambarkan pertumbuhan penduduk yang terjadi.
Pada negara-negara yang sedang berkembang biasanya mereka mengalami fase transisi demografi di mana angka kelahiran masih tinggi sementara angka kematian telah menurun. Kedua hal ini disebabkan karena kemajuan pelayanan kesehatan yang menurunkan angka kematian balita dan angka tahun harapan hidup. Ini terjadi pada fase kedua dan ketiga dalam proses kependudukan. Dhawie (2011) menyebutkan bahwa umumnya ada empat tahap proses transisi yaitu:
Tahap 1: Masyarakat pra-industri, di mana angka kelahiran tinggi dan angka kematian tinggi menghasilkan laju pertambahan penduduk rendah.
Tahap 2: Tahap pembangunan awal, di mana kemajuan dan pelayanan kesehatan yang lebih baik menghasilkan penurunan angka kelahiran. Laju pertumbuhan penduduk naik.
Tahap 3: Tahap pembangunan lanjut, di mana terjadi penurunan angka kematian balita, urbanisasi, dan kemajuan pendidikan mendorong banyak pasangan muda berumah tangga menginginkan jumlah anak lebih sedikit hingga menurunkan
2
angka kelahiran. Pada tahap ini laju pertambahan penduduk mungkin masih tinggi tetapi sudah mulai menurun.
Tahap 4: Kemantapan dan stabil, di mana pasangan-pasangan berumah tangga melaksanakan pembatasan kelahiran dan mereka cenderung bekerja di luar rumah. Banyaknya anak cenderung hanya 2 atau 3 saja hingga angka pertambahan penduduk sangat rendah atau bahkan mendekati nol.
Tujuan Penelitian
Tujuan utama dari penelitian ini adalah melakukan analisis pada model pertumbuhan penduduk. Secara spesifik adalah sebagai berikut:
1. Memodelkan penduduk stabil. 2. Memodelkan penduduk kuasi-stabil.
3. Mengaplikasikan model pada penduduk Indonesia.
TINJAUAN PUSTAKA
FERTILITAS
Fertilitas merupakan indikator reproduksi dari seorang wanita atau sekelompok individu yang pada umumnya dikenakan pada seorang wanita atau sekelompok wanita.
Dalam ilmu demografi terdapat beberapa ukuran fertilitas, berikut beberapa ukuran fertilitas yang dikenalkan oleh Brown (1997).
Crude Birth Rate (CBR) atau angka kelahiran kasar, merupakan ukuran kelahiran yang sering digunakan, CBR dapat dihitung dengan cara:
,
dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan P(t) merupakan jumlah penduduk pada waktu t.
Pada CBR ini jumlah kelahiran tidak dikaitkan langsung dengan penduduk wanita, melainkan dikaitkan dengan jumlah penduduk secara keseluruhan. Untuk itu, diperlukan ukuran fertilitas yang lebih spesifik yaitu General Fertility Rate (GFR) yang merupakan rasio jumlah kelahiran hidup terhadap jumlah wanita umur reproduksi. Umur Reproduksi adalah umur di mana wanita masih dapat hamil dan melahirkan bayi.
,
dengan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan merupakan jumlah penduduk wanita umur reproduksi pada waktu t.
Rasio Anak-Wanita (Child-Woman Ratio) merupakan ukuran fertilitas yang diperoleh dari sensus penduduk (Palmore 1978, diacu dalam Hadi 2008), CWR ini dinyatakan dengan rasio jumlah anak umur selang [c,d] tahun terhadap wanita umur reproduksi selang[h,k] tahun dinyatakan dalam rumus:
3 ,
, ,
dengan , merupakan jumlah penduduk selang umur [c,d] tahun dan , merupakan jumlah penduduk wanita selang umur reproduksi [h,k] tahun.
Ukuran fertilitas selanjutnya adalah Age-Specific Fertilty Rate (ASFR) merupakan ukuran fertilitas pada wanita umur tertentu. Fakta empiris menunjukkan bahwa jumlah kelahiran selama jangka waktu tertentu bervariasi menurut umur ibu.
,
dengan merupakan jumlah kelahiran hidup dari wanita usia x pada waktu t dan merupakan jumlah penduduk wanita umur x pada waktu t, atau juga dapat ditulis:
,
dengan adalah tingkat fertilitas wanita umur x pada waktu t.
Sebagai total dari ukuran fertilitas ASFR di atas, maka Total Fertility Rate (TFR) dapat dinyatakan sebagai:
,
dengan h dan k merupakan batas bawah dan batas atas umur wanita reproduksi.
Jika ukuran-ukuran fertilitas di atas tidak membedakan jenis kelamin bayi maka ukuran reproduksi hanya memperhatikan bayi wanita yang secara langsung bertalian dengan pergantian generasi. Dalam hal ini dikenal dua ukuran reproduksi, yaitu Gross reproduction Rate (GRR) dan Net Reproduction Rate (NRR). Gross Reproduction rate (GRR) ini menyatakan tingkat reproduksi kasar yang tidak memperhatikan unsur kematian. GRR didefinisikan:
, ,
dengan , merupakan tingkat fertilitas wanita umur x terhadap bayi wanita (w) pada waktu t.
Sedangkan Net Reproduction Rate (NRR) merupakan ukuran reproduksi yang memperhitungkan unsur kematian, yaitu laju kematian sesaat (μ ) sehingga NRR menyatakan tingkat reproduksi bersih dari wanita selama masa reproduksinya. Hal ini berdasarkan fakta bahwa terdapat peluang wanita meninggal sebelum ia mengakhiri masa reproduksinya. Dengan demikian NRR dapat dinyatakan sebagai:
4
dengan merupakan peluang bayi wanita hidup sampai umur x. Secara umum, populasi akan bertambah, menuju stabil, atau berkurang, bergantung apakah NRR lebih besar, sama, atau bahkan kurang dari. NRR merupakan sebuah ukuran pertumbuhan dari suatu populasi tanpa memperhitungkan perpindahan penduduk.
MORTALITAS
Mortalitas merupakan tingkat kematian dari suatu kelompok individu. berikut beberapa ukuran mortalitas yang dikenalkan oleh Brown (1997).
Crude Death Rate (CDR) atau dengan kata lain perkiraan angka kematian secara kasar merupakan suatu ukuran kematian yang sering digunakan, adapun cara perhitungannya sebagai berikut:
,
dengan merupakan jumlah kematian dalam jangka waktu t dan P(t) merupakan jumlah populasi penduduk yang diambil dalam suatu waktu dalam jangka waktu t,
Spesific Mortality Rates merupakan ukuran mortalitas yang lebih spesifik bila dibandingkan dengan CDR. Karena dalam ukuran mortalitas ini mempertimbangkan umur, maka
,
dengan merupakan tingkat mortalitas umur x pada waktu t, merupakan jumlah kematian pada usia x dalam jangka waktu t, dan adalah banyaknya penduduk usia x dalam jangka waktu t.
The Force of Mortality atau laju kematian sesaat merupakan suatu ukuran tingkat kematian bagi penduduk tepat umur x dan dinotasikan dengan
1 1 ,
dengan merupakan peluang kematian seseorang yang hidup tepat pada umur x dan akan mati sebelum mencapai umur x+n, merupakan perbandingan antara jumlah rata orang yang hidup dengan jumlah rata-rata orang yang mati dari umur x hingga umur x+n, merupakan tingkat mortalitas umur x pada waktu t.
Jika periode waktu diubah untuk interval yang pendek dari umur ∆ maka laju kematian penduduk tepat umur x adalah
5 ∆
∆ ,
dengan adalah banyaknya orang yang bertahan hidup dari lahir hingga umur x, dan
1 .
Jika diasumsikan ∆ 0 maka limit adalah:
lim lim ∆ ∆ lim ∆ ∆ . lim ∆ ∆ . ln
METODE PENELITIAN
1. Sumber DataData penduduk Indonesia yang digunakan merupakan data yang diperoleh dari BPS untuk penduduk tahun 2000, 2005, dan 2010.
2. Langkah langkah penelitian
a. Mengkaji model stabil dan kuasi-stabil b. Dapat melakukan simulasi model kuasi-stabil c. Aplikasi model pada penduduk Indonesia
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemodelan sistem merupakan kumpulan aktivitas dalam pembuatan model di mana model merupakan perwakilan atau abstraksi dari sebuah obyek atau situasi aktual sutau penyederhanaan dari suatu realitas yang kompleks.
Model Pertumbuhan Penduduk
Ada beberapa model pertumbuhan penduduk dalam proyeksi penduduk, di antaranya model penduduk stasioner, model penduduk stabil, model penduduk kuasi-stabil dan metode komponen cohort. Model
6
penduduk stasioner merupakan suatu model penduduk di mana jumlah penduduk dianggap konstan sepanjang tahun dengan asumsi tingkat kelahiran sama dengan tingkat kematian, serta migrasi masuk sama dengan migrasi keluar. Model matematis dari penduduk stasioner ini dapat dinyatakan sebagai :
.
Artinya jumlah penduduk pada waktu t+n sama dengan jumlah penduduk dengan waktu ke t, dengan t=1,2,3,….
Pada model komponen cohort jumlah penduduk berubah sesuai dengan pertumbuhan penduduk dengan asumsi bahwa tingkat mortalitas dan fertilitas berubah.
Model Penduduk Stabil
Jika B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan B(t)dt merupakan jumlah kelahiran dalm selang waktu sangat pendek yaitu t ke t+dt, maka jumlah kelahiran bayi dalam satu tahun adalah:
. (1)
Misalkan B(t) menyatakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan B(t+n) merupakan jumlah kelahiran dalam selang waktu dari t ke t+n dengan asumsi laju pertumbuhan jumlah bayi sebanding dengan jumlah bayi sebelumnya maka diperoleh formula bagi (b+n) sebagai berikut:
, (2)
di mana adalah laju kelahiran bayi, 0, dan 0 adalah waktu. Bukti: ∆ ∆ ∆ ∆ lim ∆ ∆ ∆ 1 1 I ln I ln 0
7 Bukti tersebut menunjukkan bahwa jumlah kelahiran per tahun dipengaruhi oleh laju kelahiran bayi . Jika adalah laju kelahiran bayi per tahun maka laju pertumbuhan penduduk pada penduduk stabil adalah sama dengan laju kelahiran bayi.
Bukti:
Misalkan P(t) merupkan jumlah penduduk pada waktu t, dan B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t, berdasarkan persamaan (2) maka jumlah kelahiran pada waktu t-x adalah:
, (3)
Dan jumlah penduduk yang lahir pada waktu t-x (bayi umur nol) sampai umur x pada waktu t adalah B(t-x)S(x), dengan S(x) adalah peluang bayi hidup sampai umur x. Jumlah penduduk yang hidup pada selang waktu t ke t+dt adalah jumlah bayi yang lahir pada waktu t-x dikalikan dengan peluang bayi hidup sampai umur x, dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut:
, (4)
Dengan demikian total penduduk wanita pada waktu t adalah
. (5)
Dan total penduduk wanita pada waktu t+n adalah:
. (6)
S(x) pada persamaan (5) sama dengan S(x) pada persamaan (6) dan dari persamaan (2) , maka diperoleh
S(x)dx
S(x)dx (7)
.
Dari hasil di atas terbukti bahwa laju pertumbuhan penduduk merupakan laju kelahiran bayi itu sendiri, dari persamaan (2) dan (7) terbukti bahwa P(t) dapat dinyatakan sebagai B(t).
Untuk selanjutnya akan dituliskan r sebagai laju pertumbuhan penduduk intrinsik model pertumbuhan penduduk stabil. Sehingga dalam model penduduk stabil persamaan (2) dapat dituliskan sebagai:
8
, (8)
Untuk penduduk stabil jumlah penduduk pada suatu selang umur berubah sepanjang waktu, tetapi proporsi penduduk selang tersebut tidak berubah.
Bukti:
Dari persamaan (4) di mana diketahui bahwa jumlah penduduk umur x sampai x+dx pada waktu t adalah , dan total penduduk pada waktu t adalah P(t), maka proporsi penduduk stabil umur x sampai x+dx pada waktu t adalah:
. 9 Karena B(t) bukan fungsi x, maka persamaan (9) menjadi:
. 10 Persamaan (10) di atas menyatakan bahwa proporsi penduduk pada suatu selang umur tertentu bukanlah merupkan fungsi dari t, sehingga terbukti proporsi penduduk pada selang tersebut tidak berubah.
Berikut akan dituliskan salah satu hal yang penting dalam model penduduk stabil, yaitu persamaan karakteristik penduduk stabil. Dari persamaan (3) dan (4) diperoleh jumlah penduduk (wanita, jika diasumsikan sebagai populasi wanita) yang hidup pada umur x pada waktu t:
.
Wanita pada persamaan tersebut memiliki fungsi fertilitas yang dituliskan sebagai , sehingga tingkat kelahiran pada waktu t diberikan sebagai:
.
Jika diintegralkan terhadap x untuk tingkat kelahiran populasi saat waktu t menghasilkan:
. (11)
Dengan membagi B(t) diperoleh:
9 Jika α dan β adalah batas bawah dan batas atas dari umur produktif, sehingga 0 untuk x<α atau x>β, mka persamaan (12) dapat dituliskan sebagai berikut:
1 . (13)
Laju kelahiran intrinsik dari populasi stabil dapat dinotasikan sebagai , merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t terhadap jumlah penduduk pada waktu t. Pada definisi diketahui bahwa
.
Bila kita memasukkan persamaan (5) maka laju kelahiran menjadi ,
1
. 14 Kita tahu bahwa jumlah penduduk yang mati pada tahun t adalah D(t), jadi
μ . Menurut definisi mortalitas didapat
. Dari persamaan (5) didapatkan
μ . Dari persamaan(14) selanjutnya diperoleh
μ . 15 Dari persamaan (14) dan (15) dan tidak terpengaruh oleh t, jadi dan selalu konstan setiap waktu.
10
μ ,
μ , dengan menggunakan integral parsial kita dapatkan
| .
Tetapi | dan 1, dari persamaan
(12) jadi kita mendapatkan bahwa .
Mencari Nilai r Berdasarkan Data Sensus
Pada model penduduk stabil banyaknya populasi didefinisikan oleh fertilitas dan mortalitas yang konstan terhadap proyeksi waktu. Meskipun fertilitas dan mortalitas diasumsikan stabil kedua hal tersebut dipresentasikan oleh angka kematian diskrit dan angka kelahiran diskrit yang berasal dari sensus dan data statistik. Dalam hal ini hasil karakteristik dan pendekatan r yang harus diselesaikan secara eksplisit.
Pertama kita akan mengasumsikan persamaan (13) menjadi fungsi diskret
. . 1 , 16 dengan adalah tingkat fertilitas wanita umur x pada waktu t, dan adalah umur rata-rata wanita didalam dimana x< < x+1 . adalah peluang bayi hidup sampai umur , dimana kita akan memberikan nilai .
Persamaan (16) dapat dipecahkan dengan menggunakan metode iterasi. Salah satu metode yang dapat digunkan adalah metode Newton-Raphson. Untuk menggunakan metode newton-Raphson dibutuhkan fungsi derivative dari persamaan (16). Ditandai sisi kiri dengan , kita mendapatkan
. . . 17 dengan mengganti nilai awal r ke dalam iterasi.
1
dihasilkan perkiraan nilai r yang secara konvergen mendekati nilai sebenarnya.
Jika kita membentangkan ke dalam deret Taylor dimana r=0, maka persamaan (16) menjadi
11 ∑ . ∑ . . ∑ . . … … . 1 . (18) Jika persamaan dipotong setelah didapatkan persamaan kuadratik
∑ ∑ 12 ∑ 12
1 . Nilai r dapat ditemukan dengan persamaan kuadratik.
Pada tinjauan pustaka telah dijelaskan bahwa NRR adalah jumlah bayi wanita yang dilahirkan oleh wanita selama masa reproduksinya. Atau dapat juga diintrepasikan sebagai jumlah bayi wanita yang akan menggantikan posisi wanita yang melahirkanya, dimana waktu yang dibutuhkan seorang bayi wanita untuk mencapai umur sama dengan umur ibunya saat melahirkanya disebut sex-specific of generation (Brown, 1997), yang dinotasikan sebagai T.
Sehingga jika B(t-T) adalah jumlah bayi wanita yang lahir pada waktu t-T maka pada T tahun kemudian B(t-T+T)=B(t) bayi wanita. Rasio antara bayi wanita tahun t dengan tahun t-T ini disebut tingkat reproduksi bersih (NRR), diperoleh persamaan
. Dari persamaan (3) kita peroleh :
1
ln 19
Model Penduduk Kuasi-Stabil
Pada model penduduk stasioner jumlah penduduk dianggap konstan sepanjang tahun dengan asumsi fertilitas sama dengan mortalitas. Sedangkan pada model penduduk stabil jumlah penduduk berubah menurut tingkat pertumbuhan penduduk (r) yang sama sepanjang tahun, dengan asumsi fertilitas dan mortalitas konstan serta faktor migrasi diabaikan.
Pada model penduduk kuasi-stabil diasumsikan fertilitas konstan sedangkan mortalitas berubah. Mortalitas selalu diperbaiki diindikasikan oleh laju kematian sesaat yang turun untuk semua umur, sehingga dari naiknya kelahiran dan turunnya kematian menunjukkan bahwa laju pertumbuhan penduduk lebih besar daripada laju kelahiran bayi. Sehingga laju pertumbuhan penduduk berubah menurut waktu t dinotasikan , oleh karena itu maka menurut persamaan (7) total penduduk pada tahun t+n menjadi:
12
exp (20)
Ringkasnya, pada penduduk stabil sedangkan penduduk kuasi-stabil untuk semua t jika laju kematian sesaat (μ turun dan untuk semua t jika laju kematian sesaat (μ naik.
Misalkan μ dan μ menyatakan laju kematian sesaat dari peduduk umur x, yang lahir pada waktu a dan a+t , dimisalkan pula:
μ μ untuk semua x , k >0 (21) Untuk penduduk kuasi-stabil didefinisikan oleh tiga parameter yaitu laju pertumbuhan bayi , mortalitas awal μ , dan faktor perbaikan mortalitas k, k>0. Dengan ketiga parameter tersebut maka jumlah penduduk pada waktu t dapat diperoleh. Banyaknya penduduk pada waktu t, P(t):
exp μ
exp μ
exp μ
exp μ
22 Dengan menggunakan aturan turunan untuk perkalian P(t) terhadap t, maka diperoleh:
13
. 23 diperoleh dengan membagi persamaan (23) dengan persamaan (22):
. 24 Dengan adalah umur rata-rata yang diperoleh dari penduduk kuasi-stabil pada waktu t. Persamaan (24) menunjukkan perbedaan antara penduduk stabil dengan penduduk kuasi-stabil pada pertumbuhan penduduknya, di mana pada pertumbuhan penduduk kuasi stabil mengandung k, k>0 yaitu faktor perbaikan mortalitas.
APLIKASI PERTUMBUHAN STABIL DAN KUASI
STABIL PADA PENDUDUK INDONESIA
Model Penduduk Stabil
Struktur usia dan pertumbuhan dari suatu populasi ditentukan oleh tingkat kelahiran, kematian, dan migrasi. Pada populasi stabil tidak ada perubahan struktur usia.
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mecari model pertumbuhan penduduk stabil dan akan dibuat model berdasarkan formula sebagai berikut :
1. Dengan menggunakan persamaan (7)
2005 2000 didapatkan nilai r sebesar 0.012247 2. Dengan menggunakan persamaan r = CBR-CDR didapatkan nilai r
sebesar 0.0129
3. Dengan menggunakan metode persamaan (16) didapatkan nilai r sebesar 0.013784
14
Pada Gambar 1, dapat dilihat hasil proyeksi metode 3 memiliki galat paling kecil di antara metode yang lain yaitu 1.646% , metode 2 2.075% dan metode 1 2.398%.
Model Kuasi-Stabil
Menurut pembahasan di atas, maka metode stabil kurang bagus untuk menggambarkan kondisi penduduk di Indonesia. Oleh karena itu akan dibahas mengenai aplikasi tentang metode kuasi-stabil untuk penduduk Indonesia. Pada metode ini faktor yang sangat berpengaruh untuk memproyeksikan total penduduk wanita di Indonesia adalah k, yaitu faktor perbaikan kematian. Kematian itu sendiri dapat disebabkan oleh beberapa faktor, antara lain kecelakaan, kematian normal, kematian mendadak, penyakit. Ada tiga faktor utama penyebab kecelakaan antara lain adalah faktor manusia, kendaraan, dan lingkungan. Kematian normal yang dimaksud di sini adalah kematian yang melalui proses menua secara perlahan. Sedangkan untuk kematian mendadak adalah kematian yang terjadi tanpa melalui sakit atau kecelakaan, seperti bunuh diri, ibu yang meninggal pada saat melahirkan dan kematian neonatal. Kematian neonatal adalah kematian bayi yang berumur 0 sampai 28 hari setelah hidup atau bayi berumur 1 bulan (Mc Donald 1990, diacu dalam Sapriana 2006). Kematian dewasa umumnya disebabkan karena penyakit menular, penyakit degeneratif, kecelakaan atau gaya hidup yang beresiko terhadap kematian. Kematian bayi dan balita umumnya disebabkan oleh penyakit sistim pernapasan bagian atas (ISPA) dan diare, yang merupakan penyakit karena infeksi kuman. Faktor gizi buruk juga menyebabkan anak-anak rentan terhadap penyakit menular, sehingga mudah terinfeksi dan menyebabkan tingginya kematian bayi dan balita di sesuatu daerah. Faktor sosial ekonomi seperti pengetahuan tentang kesehatan, gisi dan kesehatan lingkungan, kepercayaan, nilai-nilai, dan kemiskinan merupakan faktor individu dan keluarga, mempengaruhi mortalitas dalam masyarakat. Tingginya kematian
200,000,000 205,000,000 210,000,000 215,000,000 220,000,000 225,000,000 230,000,000 235,000,000 240,000,000 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Gambar 1. Proyeksi Penduduk Stabil
Metode 1 Metode 2 Metode 3 Aktual
15 Ibu merupakan cerminan dari ketidak tahuan masyarakat mengenai pentingnya perawatan Ibu hamil dan pencegahan terjadinya komplikasi kehamilan(www.datastatistik-indonesia.com).
Nilai k akan dapat berubah-ubah dalam kehidupan nyata, nilai dari faktor perbaikan kematian dapat dipengaruhi dari beberapa aspek, di antaranya adalah dengan meningkatkan taraf hidup, memperbaiki aspek kesehatan, dan menurunkan tingkat kriminalitas.
Nilai k diperoleh berdasarkan 3 cara:
1. Menghitung nilai k berdasarkan rata-rata dari k(x) ∑
.
2. Menghitung nilai k dengan mengasumsikan bahwa nilai k merupakan fungsi linear terhadap umur. nilai k dihitung dengan menggunakan regresi.
3. Menggunakan k(x) yang asli
.
Berdasarkan masing-masing metode diperoleh tiga model untuk , yaitu
Metode 1 : k dihitung berdasarkan rata-rata dari k(x) dengan menggunakan metode ini didapatkan nilai k sebesar 0.0006966 dan nilai r sebesar 0.026504.
Metode 2 : k diasumsikan merupakan fungsi linear terhadap umur, dengan menggunakan metode ini didapatkan nilai
0.002984605 0.0000920777899848987 dengan nilai r sebesar 0.000791.
Metode 3 : menggunakan k(x) yang asli didapat nilai r sebesar 0.009437.
200,000,000 205,000,000 210,000,000 215,000,000 220,000,000 225,000,000 230,000,000 235,000,000 240,000,000 245,000,000 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Gambar 2. Proyeksi Penduduk Kuasi‐Stabil
Metode 1 Metode 2 Metode 3 Aktual
16
Pada Gambar 2 dapat dilihat bahwa proyeksi metode 1 paling mendekati dengan nilai yang sebenarnya, dengan galat sebesar 1.107% dan nilai k sebesar 0.000696.
Tabel 1. Nilai galat setiap model
Model Galat Stabil Metode 1 Metode 2 Metode 3 2.398% 2.075% 1.6457% Kuasi-stabil Metode 1 Metode 2 Metode 3 1.107% 5.1882% 3.116%
Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa model kuasi-stabil memiliki galat yang paling kecil yaitu pada model 1 sebesar 1.107%. Pada model ini masih mempunyai beberapa kelemahan yaitu tidak ikut disertakannya faktor migrasi, mobilitas sosial, serta angka harapan hidup yang selalu berubah-ubah setiap tahunnya.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan pada karya ilmiah ini dapat diambil beberapa kesimpulan, antara lain :
1. Data penduduk Indonesia tahun 2005 dan 2010 tidak dapat digunakan untuk model pertumbuhan stabil. Karena masih memiliki nilai galat yang cukup besar yaitu 1.646%.
2. Model kuasi-stabil mendapat hasil terbaik pada tahun 2010 nilai k= 0.0006966 dengan galat sebesar 1.107%.
3. Berdasarkan model kuasi-stabil metode 1 didapatkan hasil proyeksi penduduk Indonesia sebesar 235,236,560.
4. Model ini masih memiliki keterbatasan dalam mengindikasikan angka harapan hidup yang berubah-ubah dalam setiap tahunnya.
Saran
Dalam rangka melengkapi dan menyempurnakan karya ilmiah mengenai model pertumbuhan kuasi-stabil beberapa aspek yang diperlukan. Seperti migrasi, mobilitas sosial serta angka harapan hidup yang berubah-ubah setiap tahunnya.
17
DAFTAR PUSTAKA
[BPS] Badan Pusat Stastistik (ID). [internet]. [diunduh 29 Des 2013].
Tersedia pada:http//www.datastatistik-indonesia.com
.
Brown RL. 1997. Introduction to the Mathematics of Demography. United States of America: ACTEX
Dhawie Christ. 2011. Teori Kependudukan. [internet].[diunduh 27 Des 2013]. Tersedia pada: http//christdhawie.blogspot.com/2011/07/teori-teori-kependudukan.html.
Gondomono H.2009. Model Pertumbuhan Penduduk Kuasi-Stabil dan
Aplikasi Terhadap Data Penduduk Indonesia [Skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor
Hadi FSC. 2008. Modifikasi Metode Rele untuk Model Penduduk Kuasi-Stabil [Tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Sapriana. 2006. Analisis Faktor Resiko Kejadian Kematian Neonatal di Rumah Sakit Umum Daerah Undata Palu Periode 2003-2005. Karya Ilmiah. Fakultas Kesehatan Masyarakat Universitas Hasanuddin. Makassar
18
Lampiran 1.
Uraian persamaan 16 Di ketahui :
Laju kematian sesaat :
Akan dibuktikan
.
S(X) adalah peluang hidup bayi sampai umur x. Bukti :
Jika , maka
Jadi
. ( 15.1 ) merupakan peluang penduduk umur 0 bertahan hidup sampai dengan umur x,
Dengan mnggunakan persamaan 15.1 didapat
.
. . exp 0
.
19 Lampiran 2.
Tabel 2. Data Penduduk Indonesia tahun 2000 Kelompok umur Populasi Total Laki-laki Perempuan 0-4 11,689,126 11,286,663 22,975,789 5-9 11,088,005 11,088,005 22,176,010 10-14 10,811,692 10,483,347 21,295,039 15-19 10,894,682 10,592,934 21,487,616 20-24 10,730,734 10,326,572 21,057,306 25-29 9,860,656 9,458,310 19,318,966 30-34 8,871,346 8,286,038 17,157,384 35-39 7,444,456 7,578,665 15,023,121 40-44 6,275,221 6,821,886 13,097,107 45-49 4,939,556 5,561,111 10,500,667 50-54 3,538,417 3,756,367 7,294,784 55-59 3,298,065 3,591,664 6,889,729 60-64 2,766,891 2,918,499 5,685,390 65-69 2,046,985 2,362,196 4,409,181 70-74 1,329,778 1,495,429 2,825,207 75+ 1,207,567 1,428,606 2,636,173 Total 106,793,177 107,036,292 213,829,469
Sumber: Data Sensus Penduduk 2005 - Badan Pusat Statistik Republik Indonesia
20
Lampiran 3.
Tabel 3. Data Penduduk Indonesia tahun 2010 Kelompok umur Populasi Total Laki-laki Perempuan 0-4 11,662,369 11,016,333 22,678,702 5-9 11,974,094 11,279,386 23,253,480 10-14 11,662,417 11,008,664 22,671,081 15-19 10,614,306 10,266,428 20,880,734 20-24 9,887,713 10,003,920 19,891,633 25-29 10,631,311 10,679,132 21,310,443 30-34 9,949,357 9,881,328 19,830,685 35-39 9,337,517 9,167,614 18,505,131 40-44 8,322,712 8,202,140 16,524,852 45-49 7,032,740 7,008,242 14,040,982 50-54 5,865,997 5,695,324 11,561,321 55-59 4,400,316 4,048,254 8,448,570 60-64 2,927,191 3,131,570 6,058,761 65-69 2,225,133 2,468,898 4,694,031 70-74 1,531,459 1,924,872 3,456,331 75-79 842,344 1,135,561 1,977,905 80-84 481,462 661,708 1,143,170 85-89 182,432 255,529 437,961 90-94 63,948 106,951 170,899 95+ 36,095 68,559 104,654 Jumlah 119,630,913 118,010,413 237,641,326
Sumber: Data Sensus Penduduk 2010 - Badan Pusat Statistik Republik Indonesia
Lampiran 4.
Tabel 4. Data Penduduk Indonesia tahun 2005
Kelompok
umur Laki-laki Perempuan Total e0 lx Lx Tx S ASFR
0-4 9,983,140 9,608,600 19,591,740 66.1816700 100,000 474,013 6,463,380 0.9480270 - 5-9 11,370,615 10,739,089 22,109,704 68.3435200 92,702 462,184 5,989,366 0.9243680 - 10-14 11,238,221 10,614,026 21,852,247 65.4472000 92,220 460,266 5,527,182 0.9205320 - 15-19 10,370,890 9,958,783 20,329,673 60.8844700 91,873 458,081 5,066,916 0.9161620 51 20-24 9,754,543 10,150,607 19,905,150 56.1083900 91,338 454,081 4,608,835 0.9098910 131 25-29 9,271,546 9,821,617 19,093,163 51.5044900 90,610 451,030 4,153,889 0.9020600 143 30-34 8,709,370 9,054,955 17,764,325 47.0000200 89,767 446,472 3,702,860 0.8929440 99 35-39 8,344,025 8,428,967 16,772,992 42.5310900 88,782 440,986 3,256,387 0.8819710 66 40-44 7,401,933 7,347,511 14,749,444 38.0922000 87,564 434,125 2,815,402 0.8682510 19 45-49 6,418,712 6,190,218 12,608,930 33.6981500 86,025 425,077 2,381,276 0.8501540 4 50-54 5,266,079 4,851,176 10,117,255 29.3728300 83,921 412,421 1,956,200 0.8248430 - 55-59 3,813,793 3,563,361 7,377,154 25.1631300 80,927 394,279 1,543,778 0.7885570 - 60-64 2,800,974 2,918,499 5,719,473 21.1275300 76,612 367,369 1,149,499 0.7347380 - 65-69 1,990,762 2,192,385 4,183,147 17.2913000 70,074 326,650 782,130 0.6533000 - 70-74 1,470,205 1,570,199 3,040,404 13.7568200 60,190 267,202 455,480 0.5344030 - 75+ 1,408,711 1,462,776 2,871,487 10.5974800 46,128 188,279 188,279 0.3765570 - 21
Lampiran 5
Tabel 5. Nilai k pada metode 1 dan 2
Kelompok umur Laki-laki Perempuan e0 S µ( 2000) µ (2005) k 0-4 9,983,140 9,608,600 66.1816700 0.9480270 0.007471 0.018376463 -0.002181093 2.299777868 0.919911147 5-9 11,370,615 10,739,089 68.3435200 0.9243680 0.001189 0.013557291 -0.002473658 6.170721031 0.822762804 10-14 11,238,221 10,614,026 65.4472000 0.9205320 0.000587 0.003882443 -0.000659089 9.073096236 0.725847699 15-19 10,370,890 9,958,783 60.8844700 0.9161620 0.000672 0.001085975 -8.2795E-05 10.81598557 0.618056318 20-24 9,754,543 10,150,607 56.1083900 0.9098910 0.001009 0.00110504 -1.92079E-05 11.4116678 0.507185236 25-29 9,271,546 9,821,617 51.5044900 0.9020600 0.00132 0.001731169 -8.22339E-05 11.03415562 0.401242023 30-34 8,709,370 9,054,955 47.0000200 0.8929440 0.001596 0.002184254 -0.000117651 9.948202513 0.306098539 35-39 8,344,025 8,428,967 42.5310900 0.8819710 0.001985 0.002567957 -0.000116591 8.438416333 0.225024436 40-44 7,401,933 7,347,511 38.0922000 0.8682510 0.002633 0.003063777 -8.61554E-05 6.767374887 0.15923235 45-49 6,418,712 6,190,218 33.6981500 0.8501540 0.003744 0.003800298 -1.12595E-05 5.141148614 0.108234708 50-54 5,266,079 4,851,176 29.3728300 0.8248430 0.005534 0.004987534 0.000109293 3.696194107 0.070403697 55-59 3,813,793 3,563,361 25.1631300 0.7885570 0.008267 0.006973298 0.00025874 2.505835934 0.043579755 60-64 2,800,974 2,918,499 21.1275300 0.7347380 0.012795 0.010072971 0.000544406 1.586952888 0.025391246 65-69 1,990,762 2,192,385 17.2913000 0.6533000 0.020819 0.015205855 0.001122629 0.920322541 0.013634408 70-74 1,470,205 1,570,199 13.7568200 0.5344030 0.035092 0.024033025 0.002211795 0.471601231 0.006504845 75+ 1,408,711 1,462,776 10.5974800 0.3765570 0.099097 0.035450126 0.012729375 0.200086214 0.002581758 22 22
Lampiran 6
Mencari nilai regresi dari nilai k terhadap umur x
SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0.646993195 R Square 0.418600195 Adjusted R Square 0.377071637 Standard Error 0.002673856 Observations 16 ANOVA df SS MS F Significance F
Regression 1 7.20657E‐05 7.20657E‐05 10.07981542 0.006749507
Residual 14 0.000100093 7.14951E‐06
Total 15 0.000172159
Coefficients
Standard
Error t Stat P‐value Lower 95% Upper 95% Lower 95.0% Upper 95.0%
Intercept ‐0.002986455 0.001338893 ‐2.230540875 0.042586464 ‐0.005858094 ‐0.000114816 ‐0.005858094 ‐0.000114816
X Variable 1 9.20778E‐05 2.9002E‐05 3.174872505 0.006749507 2.98746E‐05 0.000154281 2.98746E‐05 0.000154281
24
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Wonogiri pada 6 Desember 1989 sebagai anak pertama dari dua bersaudara, anak dari bapak Mursid dan ibu Wiwin Wahyuni.
Tahun 2001 penulis menyelesaikan pendidikannya di SDN Sanan II. Tahun 2004 penulis menyelesaikan pendidikannya di SMPN 1 Cangkringan Sleman DIY. Tahun 2007 penulis menyelesaikan pendidikannya di SMAN 3 Depok dan pada tahun yang sama penulis berkesempatan untuk melanjutkan studinya di IPB. Penulis memilih mayor Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan, seperti organisasi himpunan profesi Departemen Matematika yaitu Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika), BEM FMIPA IPB,Koperasi Mahasiswa dan Lembaga DKM Al - Hurriyah. Penulis juga pernah terlibat dalam berbagai kegiatan mahasiswa, antara lain sebagai panitia penyelenggara Spirit, AC-fest, pesta Sains dan masih beberapa acara mengenai Leadership Training.
