MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK KUASI-STABIL DAN APLIKASI TERHADAP DATA PENDUDUK INDONESIA HARYO GONDOMONO

(1)

MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK KUASI-STABIL DAN APLIKASI

TERHADAP DATA PENDUDUK INDONESIA

HARYO GONDOMONO

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

(2)

ABSTRACT

HARYO GONDOMONO. Quasi-Stable Model of Population Growth and Application of Indonesian Population Data. Supervised by HADI SUMARNO and ALI KUSNANTO.

The population of a nation always changes over time. Population changes can be caused by several factors, such as fertility, mortality, migration and marriage. In this paper two population models (stable and quasi-stable model), are compared.

The data used in this research are the 2000 and 2005 Indonesia population data. Model of stable population growth assumes that fertility and mortality rate are constant during projection period. Meanwhile, model quasi-stable population growth assumes that mortality rate changes. Projected results will be compared with census data, and an error value will be obtained.

The result of this research shows that for Indonesian data, model of quasi-stable with decreasing mortality level assumption, has a better result as compared to that of stable population model. It is shown by a small error value of about 0.017%.

Keywords: quasi-stable, quasi, stable, population, population growth, quasi-stable model of population growth and application of Indonesian population data.

(3)

ABSTRAK

HARYO GONDOMONO. Model Pertumbuhan Penduduk Kuasi-Stabil dan Aplikasi terhadap Data Penduduk Indonesia. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan ALI KUSNANTO.

Jumlah penduduk suatu bangsa mengalami perubahan pada setiap waktu. Perubahan jumlah penduduk dapat diakibatkan oleh beberapa faktor, antara lain fertilitas, mortalitas, migrasi dan perkawinan. Karya ilmiah ini bertujuan untuk membandingkan model pertumbuhan penduduk stabil dan quasi-stabil.

Data yang digunakan pada karya ilmiah ini adalah data penduduk Indonesia yang diperoleh dari sensus pada tahun 2000 dan 2005. Model stabil mengasumsikan tingkat fertilitas dan tingkat mortalitas konstan sepanjang waktu proyeksi, sedangkan pada model quasi-stabil terjadi perubahan tingkat mortalitas. Hasil proyeksi akan dibandingkan dengan data sensus, dan akan diperoleh nilai galatnya.

Hasil analisis menunjukkan bahwa dalam model quasi-stabil untuk data Indonesia dengan asumsikan terjadinya penurunan tingkat mortalitas memiliki hasil yang lebih baik dibandingkan dengan model penduduk stabil, yang ditunjukkan dengan nilai galat yang kecil, yaitu 0.017%. Kata kunci: kuasi-stabil, kuasi, stabil, populasi, pertumbuhan penduduk, model pertumbuhan penduduk kuasi-stabil dan aplikasi terhadap data penduduk Indonesia.

(4)

MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK KUASI-STABIL DAN APLIKASI

TERHADAP DATA PENDUDUK INDONESIA

HARYO GONDOMONO

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

(5)

Judul :

Model Pertumbuhan Penduduk Kuasi-Stabil dan Aplikasi Terhadap Data Penduduk Indonesia

Nama :

Haryo

Gondomono

NRP :

G54050995

Menyetujui:

Pembimbing I,

Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS

NIP. 1959026 198501 1 001

Pembimbing II,

Drs. Ali Kusnanto, M.Si.

NIP. 19650820 199003 1 001

Mengetahui:

Ketua Departemen Matematika,

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19650505 198903 2 004

(6)

KATA PENGANTAR

Puji syukur atas kehadirat Allah SWT atas rahmat, rezeki, dan kekuatan yang telah diberikan sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul ”Model Pertumbuhan Penduduk Kuasi-Stabil dan Aplikasi Terhadap Data Penduduk Indonesia”. Penulisan karya ilmiah ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat guna mencapai gelar Sarjana Sciene.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin menghaturkan rasa hormat dan terima kasih atas bantuan dan dorongan moril maupun material dari pihak-pihak berikut:

1. Dr.Ir. Hadi Sumarno, Ms dan Drs. Ali Kusnanto, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk membimbing dan memberikan saran-saran perbaikan dalam proses penyelesaian karya ilmiah ini.

2. Dr.Ir. Budi Suharjo, Ms yang telah berkenan untuk menjadi dosen penguji.

3. Dr. Darsono P. dan Dra. Eko Lestariyanti, MPd selaku orang tua penulis yang telah memberikan kepercayaan, dan dorongan moril maupun marerial selama proses penulisan karya ilmiah ini. Saudara-saudaraku tercinta, mbak Ari Purwanti, SE, MAk. dan Dewi Utari, SSos, SE, MM.

4. Teman-teman mahasiswa matematika angkatan 42 yang telah bersama-sama menempuh pendidikan dan saling mendukung dalam proses belajar di Departemen Matematika IPB. Mahasiswa matematika 41, khususnya Mora, Faris, Udin, Iboy, atas segala dukungan, suka-duka.

5. Teman-teman dari Crew 279, khususnya Dorez, Robot, Pram, Sabrut, atas segala dukungan, doa dan motivasinya.

6. Teman-teman SMAN 61 Jakarta angkatan 2005 (special to anak-anak Hoek, Winny, Mayang) dan SLTPN 109 Jakarta angkatan 2002 (special to anak-anak Ducknet, Emak), atas segala doa dan dukungannya selama penulis mengerjakan karya ilmiah ini.

7. Adik-adik Matematika 43, khususnya untuk kontrakan al-kahfi, terima kasih atas dukungan dan bantuannya.

8. Seluruh dosen dan pegawai di lingkungan Departemen Matematika IPB yang telah membantu dalam menyelesaikan karya ilmiah ini.

9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang telah memberikan bantuan dan dukungan dalam penulisan karya ilmiah ini.

Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak kekurangan dan jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu diharapkan adanya kritik dan saran dari para pembaca. Penulis berharap karya ilmiah ini dapat memberikan kontribusi kepada ilmu pengetahuan, khususnya di bidang matematika.

Bogor, Oktober 2009

(7)

RIWAYAT HIDUP

Haryo Gondomono dilahirkan pada tanggal 07 Maret 1987, di Bekasi. Anak ketiga dari tiga bersaudara dari pasangan Darsono Prawironegoro dan Eko Lestariyanti. Penulis besar di kota Jakarta dan saat ini tinggal di Jalan Gamprit Remaja 2 No. 7 RT 003/02, Jatiwaringin, Pondok Gede, Bekasi, Jawa Barat.

Pada tahun 1999 penulis menyelesaikan pendidikan SDS BPS&K2 Klender. Penulis melanjutkan pendidikan ke SLTP Negeri 109 Jakarta pada tahun 1999. Pada tahun 2002, penulis melanjutkan pendidikan di SMA Negeri 61 Jakarta. Setelah lulus pada tahun 2005, penulis diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Ujian Seleksi Masuk IPB (USMI). Setelah menjalani setahun pada Tingkat Persiapan Bersama (TPB), penulis akhirnya memutuskan untuk memilih Departemen Matematika sebagai jurusan mayor dan Ilmu Komputer sebagai minor.

Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif dalam kegiatan mahasiswa yaitu sebagai pengurus Departemen Pengembangan Sumber Daya Mahasiswa (PSDM) GUMATIKA periode 2006/2007. Penulis juga aktif sebagai panitia pada beberapa acara, antara lain “Try Out SPMB Nasional” tahun 2006 sebagai Koordinator Logstran, “Matematika Ria” tahun 2006 sebagai Koordinator Logstran, “Ramah Tamah Civitas Matematika” tahun 2006 sebagai Koordinator Dana dan Usaha, “Pelatihan Web Design” tahun 2006 sebagai Ketua, “Welcome Ceremony Mathematics”.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ... vii

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II LANDASAN TEORI ... 1

2.1 Fertilitas ... 1

2.1.1 Definisi Crude Birth Rate ... 1

2.1.2 Definisi Age-Spesific Fertility Rate ... 1

2.1.3 Definisi Total Fertility Rate ... 2

2.1.4 Definisi Gross Reproduction Rate ... 2

2.1.5 Definisi Net Reproduction Rate ... 2

2.2 Mortalitas ... 2

2.2.1 Definisi Crude Death Rate ... 2

2.2.2 Definisi Age-SpecificMortality Rate ... 2

2.2.3 Definisi laju kematian sesaat ... 2

III MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK ... 3

3.1 Model Pertumbuhan Penduduk Stabil ... 3

3.2 Model Pertumbuhan Penduduk Kuasi-Stabil ... 4

IV APLIKASI MODEL TERHADAP PENDUDUK INDONESIA ... 5

4.1 Model Penduduk Stabil ... 6

4.2 Model Kuasi-Stabil ... 7

V KESIMPULAN DAN SARAN ... 10

5.1 Kesimpulan ... 10

5.2 Saran ... 10

DAFTAR PUSTAKA ... 11

(9)

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Populasi Wanita tahun 2000 ... 5

2 Nilai Galat pada Setiap Model ... 8

3 Data Penduduk tahun 1995 ... 13

6 Infant Mortality Rate and Life Expectancy, by Sex for Indonesia ... 16

7 Crude Birth and Death, Net Migration, and Growth Rates for Indonesia ... 16

(10)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Grafik Perbandingan Model Stabil vs Data Indonesia ... 6

2 Model Kuasi-Stabil (k=0.000133809) vs Data Indonesia ... 7

3 Model Kuasi-Stabil (k=0.00083228184) vs Data Indonesia ... 7

(11)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

4 Infant Mortality Rate and Life Expectancy, by Sex for Indonesia ... 16

5 Crude Birth and Death, Net Migration, and Growth Rates for Indonesia ... 16

6 Nilai µ(x) ... 17

7 Proses Perhitungan dengan Formulasi Model Kuasi-Stabil ... 18

8 Proses Mencari Nilai k yang terbaik ... 20

9 Pembuatan Plot Tahun 2005 per Satuan Umur dengan Menggunakan nilai k terbaik ... 21

10 Proses Perhitungan Jumlah Penduduk dengan Model Stabil ... 23

11 Proses Mencari Nilai r pada Model Stabil ... 24

12 Pembuatan Plot Perbandingan Masing-masing Model ... 25

(12)

1 I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Penduduk Indonesia hingga saat ini masih terus berkembang. Hal itu dapat dilihat dari selalu bertambahnya jumlah penduduk suatu negara dari tahun ke tahun. Semakin bertambahnya jumlah penduduk maka akan semakin banyak pula dampak yang terjadi karenanya, antara lain dampak terhadap ekonomi, sosial, dan politik. Pertumbuhan penduduk itu sendiri dipengaruhi oleh beberapa aspek, diantaranya adalah kelahiran, kematian, perkawinan, migrasi, dan mobilitas sosial. Oleh karena itu diperlukan sebuah model untuk menggambarkan pertumbuhan penduduk yang terjadi. Dengan model tersebut akan dapat diketahui perubahan yang akan terjadi pada tahun berikutnya. Hal ini bermanfaat bagi pihak-pihak yang bersangkutan untuk menentukan kebijakan-kebijakan atas dampak yang akan terjadi (Coleman, 2000).

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk memodelkan permasalahan pertumbuhan penduduk, antara lain metode populasi stasioner, stabil, ku1`asi-stabil, dan metode komponen cohort. Pada metode stasioner kurang dapat digunakan untuk model secara umum, karena perubahan yang terjadi pada setiap aspek di atas akan sama dengan nol. Hal tersebut memiliki kemungkinan yang kecil untuk ditemukan pada keadaan sekarang ini, oleh karena itu metode stasioner kurang

tepat untuk digunakan. Sedangkan untuk metode populasi stabil nilai dari laju kelahiran dan kematian adalah konstan. Metode komponen cohort merupakan proyeksi penduduk dengan cara membuat kelompok – kelompok orang yang memiliki kelompok umur yang sama, dan masing–masing kelompok umur memiliki intensitas kelahiran, kematian dan migrasi yang berbeda – beda (Pool, 2004). Karena Indonesia mengalami perubahan angka harapan hidup pada setiap tahunnya, maka penduduk Indonesia dinyatakan belum stabil. Karena penduduk Indonesia belum dapat dikatakan stabil, maka pada karya ilmiah ini akan dibahas model kuasi-stabil yang akan diterapkan pada penduduk Indonesia.

1.2 Tujuan

Tujuan utama dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk membandingkan model pertumbuhan penduduk stabil dengan model pertumbuhan penduduk kuasi-stabil. Secara spesifik tujuan tugas akhir ini adalah:

1. Menentukan model pertumbuhan

penduduk stabil dan kuasi-stabil.

2. Mengaplikasikan model pertumbuhan penduduk stabil dan kuasi-stabil dengan menggunakan data penduduk Indonesia. 3. Membandingkan model pertumbuhan

penduduk stabil dengan model pertumbuhan penduduk kuasi-stabil.

II

LANDASAN TEORI

2.1 Fertilitas

Fertilitas merupakan ukuran tingkat kesuburan atau reproduksi dari suatu kelompok individu, dalam hal ini tingkat kesuburan ditujukan pada wanita. Ada beberapa ukuran dari fertilitas, antara lain CBR, ASFR, TFR, GRR, dan NRR.

Definisi 2.1.1 (Crude Birth Rate)

Crude Birth Rate (CBR) atau dengan kata lain perkiraan angka kelahiran secara kasar yang merupakan suatu ukuran kelahiran yang sering digunakan, adapun cara perhitungannya sebagai berikut: ( ) z z c B b P z = (2.1) dengan z

B merupakan jumlah kelahiran hidup dalam jangka waktu z dan P z( ) merupakan jumlah populasi penduduk yang diambil

dalam suatu waktu dalam jangka waktu z, sedangkan z

c

b merupakan CBR.

[Haberman, 1998;Brown, 1997]

Definisi 2.1.2 (Age-Spesific Fertility Rate)

Umur-Spesific Fertility Rate merupakan ukuran fertilitas yang lebih spesifik bila dibandingkan dengan CBR. Karena dalam ukuran fertilitas ini mempertimbangkan umur.

( ) z z x x w x B f P z = _(2.2) dengan z x

f merupakan tingkat fertilitas wanita umur x pada waktu z, z

x

B merupakan jumlah kelahiran dari wanita usia x dalam jangka waktu z, dan w( )

x

P z adalah jumlah penduduk wanita usia x dalam jangka waktu z.

(13)

2

Definisi 2.1.3 (Total Fertility Rate) Total Fertility Rate (TFR) merupakan jumlah dari ukuran fertilitas Umur-Spesific Fertility Rate(ASFR). TFR dapat dinyatakan sebagai berikut:

,

z x x

TFR

f

β α =

=

∑

(2.3)

dengan α dan β merupakan batas bawah dan batas atas umur wanita reproduksi.

[Brown, 1997]

Definisi 2.1.4 (Gross Reproduction Rate) Jumlah wanita dari ASFR dapat dikatakan sebagai Gross Reproduction Rate (GRR). Pada ukuran ini tingkat reproduksi tidak memperhatikan unsur kematian. Dan GRR dapat didefinisikan sebagai:

,

_,

w z x x

GRR

f

β =α

=

∑

_(2.4) dengan w z, x

f

adalah tingkat fertilitas wanita usia x terhadap bayi dengan jenis kelamin wanita pula dalam jangka waktu z.

[Brown, 1997]

Definisi 2.1.5 (Net Reproduction Rate) Net Reproduction Rate (NRR) adalah ukuran reproduksi yang memperhatikan faktor kematian, yaitu laju kematian sesaat (µx).

Sehingga NRR menyatakan tingkat reproduksi bersih dari wanita selama masa reproduksinya. , 0 0

( ),

w z w x x x w x w

NRR

f

p

NRR

GRR

p

NRR

GRR S

x

β =α

=

∑

0 0

( )

exp(

),

x w w x y

S

x

=

p

=

− µ

∫

dy

(2.5) dengan 0 w

xp peluang bayi wanita akan

bertahan hidup sampai usia ke-x, dan

µ

_x merupakan laju kematian. Secara umum, populasi akan bertambah, menuju stabil, atau berkurang, bergantung apakah NRR lebih besar, sama, atau bahkan kurang dari. NRR merupakan sebuah ukuran pertumbuhan dari suatu populasi tanpa memperhitungkan perpindahan penduduk.

2.2 Mortalitas

Mortalitas merupakan tingkat kematian dari suatu kelompok individu. Ukuran yang

biasa digunakan dari mortalitas, antara lain Crude Death ,ASMR.

Definisi 2.2.1 (Crude Death Rate)

CDR atau dengan kata lain perkiraan angka kematian secara kasar.merupakan suatu ukuran kematian yang sering digunakan, adapun cara perhitungannya sebagai berikut:

, ( ) z z c D d P z = (2.6)

dengan Dz merupakan jumlah kematian dalam jangka waktu z dan

P z

( )

merupakan jumlah populasi penduduk yang diambil dalam suatu waktu dalam jangka waktu z, sedangkan dzc

merupakan CDR.

[Haberman, 1998;Brown, 1997]

Definisi 2.2.2 (Age-Spesific Mortality Rates)

Umur-Spesific Mortality Rates merupakan ukuran mortalitas yang lebih spesifik bila dibandingkan dengan CDR. Karena dalam ukuran mortalitas ini mempertimbangkan umur. , ( ) z x n x x D m P z = (2.7)

dengan nmx merupakan tingkat mortalitas

umur x pada waktu z, Dzxmerupakan jumlah

kematian pada usia x dalam jangka waktu z, dan Px(z) adalah jumlah penduduk usia x

dalam jangka waktu z.

[Brown, 1997]

Definisi 2.2.3 (Laju Kematian Sesaat) Dalam ilmu aktuaria, laju kematian sesaat mewakili tingkat kematian pada usia tertentu yang diukur pada dasar tahunan. Ini adalah konsep yang sama dalam tingkat kegagalan, juga disebut bahaya fungsi, dalam teori keandalan. Pada tabel hayat juga dipertimbangkan probabilitas seseorang yang akan meninggal pada usia (x) ke (x+1), yang disebut qx. Dalam kasus kontinu, dapat juga

dipertimbangkan probabilitas bersyarat dari seseorang yang mencapai usia (x), meninggal pada usia (x) sampai (x+∆x) sebagai berikut:

( ) ( ) (1 ( )) X X X F x x F x x F x + ∆ − ∆ − , (2.8)

dimana F(x) merupakan fungsi distribusi yang kontinu pada variabel usia kematian acak, X. Jika diasumsikan ∆x cenderung menuju nol, maka akan didapat fungsi dari laju kematian sebagai berikut:

'( ) ( ) 1 ( ) X X F x x F x µ = − . (2.9)

(14)

3 III

MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK

Pemodelan adalah satu dari beberapa teknik yang sering digunakan untuk membuat model dari suatu obyek amatan. Model itu sendiri adalah gambar atau abstraksi dari suatu obyek atau formula dalam bahasa lambang dari keadaan nyata dan sistem nyata, atau penyederhanaan yang menggambarkan fenomena suatu obyek atau kegiatan yang menunjukan relasi atau interaksi baik langsung maupun tidak langsung dari aksi atau reaksi yang dinyatakan dalam bentuk sebab akibat. Karena itu model merupakan tiruan dari keadaan yang diselidiki. Model tidak mungkin berisikan semua aspek, karena sistem nyata memiliki banyak karekteristik yang selalu berubah dan juga tidak semua faktor atau variabel relevan dianalisis. Sedangkan dalam pemodelan asumsi banyak diberikan, sehingga menyebabkan keterbatasan pemakaian model yang dihasilkan. Jika terjadi perubahan pada asumsi maka akan menyebabkan perubahan pada model, ynag tentu saja akan memberikan solusi yang berbeda pula (www.lizenhs.wordpress.com).

Proyeksi penduduk bukan merupakan ramalan jumlah penduduk, tapi suatu perhitungan ilmiah yang didasarkan pada asumsi dari komponen-komponen laju pertumbuhan penduduk.

3.1 Model Pertumbuhan Penduduk Stabil Jika B(t) merupakan jumlah kelahiran hidup pada waktu t dan B(t)dt adalah jumlah kelahiran dalam selang waktu t ke t + dt, maka dapat dikatakan jumlah kelahiran bayi dalam satu tahun adalah:

1

0

( ) .

B=

∫

B t dt (3.1) Sedangkan bila B(t+n) adalah jumlah kelahiran hidup yang terjadi dalam selang waktu t ke t+n maka dapat dituliskan jumlah bayi pada waktu t+n sebagai berikut,

( ) ( ) nrb.

B t+n =B t e (3.2) Dengan

r

_b adalah laju kelahiran bayi,

0

b

r

≠

, dan n > 0 adalah waktu. Persamaan di atas dapat dibuktikan sebagai berikut,

Bukti : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b B t t B t r B t t B t t B t r B t t + ∆ = + ∆ + ∆ − = ∆ 0 ( ) ( ) lim ( ) 1 ( ) b _t b B t t B t r B t t dB r B t dt ∆ → + ∆ − = ∆ = 1 ( ) ln ( ) ( ) ( ) ln( ( ) ( )) ( ) ( )

|

b t n t n b t t t n t n b _t _t b b nr r dt ds B s r t B s r t n r t B t n B t B t n e B t + + + + = = + − = + − + =

∫

( ) ( ) nrb. B t+n =B t e (3.3) [Haberman, 1998] Berdasarkan dari pembuktian di atas maka dapat disimpulkan bahwa jumlah kelahiran per tahun dipengaruhi oleh laju kelahiran bayi. Pada model penduduk stabil, dapat ditunjukan bahwa laju pertumbuhan penduduk

r

_p sama dengan laju kelahiran bayi

r

_b, dan model pertumbuhan penduduk pada waktu t (P(t)) dapat dinyatakan juga sebagai berikut:

( ) (0) nrb

P t =P e (3.4) jumlah penduduk yang lahir pada waktu t-x sampai umur x pada waktu t adalah B(t-x)S(x), dengan S(x) merupakan peluang bayi yang lahir dan bertahan hidup sampai umur x. Perhitungan differensial dari seseorang (wanita) yang hidup pada waktu t umur x sebagai berikut : ( ) ( ) ( ) = ( ) , b b r t x t r x B t x B t e B t e − − − − = (3.5) ( ) ( ) ( ) , x F t dx=B t−x S x dx (3.6) jadi total penduduk wanita pada waktu t adalah 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x P t F t dx P t B t x S x dx ∞ ∞ = = −

∫

0 ( ) ( ) r xb ( ) , P t B t e S x dx ∞ − =

_∫

(3.7) dan total penduduk wanita pada waktu t+n adalah 0 ( ) ( ) r xb ( ) . P t n B t n e S x dx ∞ − + =

_∫

+ (3.8)

(15)

4

Karena

_{B t}

(

+

_n

)

=

_{B t e}

( )

nrb_{maka diperoleh}

0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b nr r x nr r x P t n B t e e S x dx e B t e S x dx ∞ − ∞ − + = =

∫

( ) nrb. P t e = (3.9b)

Jadi dari pembuktian yang telah dilakukan di atas, maka didapat kesimpulan bahwa jumlah penduduk pada suatu selang waktu berubah sepanjang waktu, tetapi proporsi penduduknya pada selang waktu tersebut tidak berubah. Hal tersebut dapat juga dilihat pada persamaan untuk model penduduk stabil.

Seperti yang diketahui pada persamaan (3.5) bahwa jumlah penduduk untuk umur x sampai umur x+dx pada kurun waktu t adalah Fx(t)dx, dan untuk total penduduk pada waktu

t adalah P(t), maka akan diperoleh suatu persamaan baru untuk proporsi penduduk stabil umur x sampai x+dx pada kurun waktu t adalah: 0 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) rx x rx F t dx B t e S x dx P t B t e S x dx − ∞ − =

∫

(3.10)

karena B(t) bukan merupakan fungsi terhadap x, maka di atas dapat disederhanakan menjadi:

0 ( ) ( ) . ( ) ( ) rx x rx F t dx e S x dx P t e S x dx − ∞ − =

∫

(3.11)

Proporsi penduduk tidak stabil pada waktu t dan proporsi penduduk menurut umur pada penduduk stabil adalah konstan. Dalam kasus ini wanita yang menjadi pokok permasalahan yang memiliki fungsi fertilitas w

x

φ

, sehingga tingkat kelahiran pada kurun waktu t adalah

( ) rx ( ) w x

B t e− S xφ dx. Apabila diintegralkan terhadap variabel x untuk tingkat kelahiran populasi pada saat waktu t maka akan menghasilkan sebuah persamaan baru, yaitu:

0 ( ) ( ) rx ( ) w . x B t B t e S xφ dx ∞ − =

_∫

(3.12)

Dengan membagi kedua ruas dengan B(t), maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut: 0 ( ) 1. rx w x e S xφ dx ∞ − ₌

∫

(3.13a)

Jika batas atas dan bawah dari umur produktif diganti dengan α dan β, maka akan didapat

0

w x

φ = untuk x < α dan x > β, sehingga persamaan (3.13a) dapat dituliskan sebagai berikut: ( ) 1. rx w x e S x dx β α φ − ₌

∫

(3.13b)

3.2 Model Pertumbuhan Penduduk Kuasi-Stabil

Model pertumbuhan penduduk kuasi-stabil pernah digunakan oleh Hadi FS pada tesis yang berjudul Modifikasi Metode Rele untuk Model Penduduk Kuasi-Stabil. Pada model tingkat pertumbuhan penduduk stabil, diasumsikan fertilitas dan mortalitas konstan, tetapi pada model pertumbuhan penduduk kuasi-stabil diasumsikan fertilitas konstan, sedangkan mortalitas berubah. Berdasarkan intuisi dapat dilihat bahwa petumbuhan populasi dari kenaikan jumlah kelahiran dan penurunan mortalitas, oleh karena itu laju perumbuhan penduduk itu sendiri akan lebih besar dari laju pertumbuhan kelahiran bayi per tahunnya. Karena kedua laju pertumbuhan tersebut tidak sama, maka harus dibuatkan dua simbol yang berbeda, yaitu rp untuk laju pertumbuhan penduduk dan rb untuk laju pertumbuhan kelahiran bayi. Sehingga laju kelahiran bayi memiliki persamaan

(

)

( )

_nrb

.

B t

+

n

=

B t e

Karena pertumbuhan penduduk itu sendiri berubah setiap waktu dalam waktu t maka dapat dinotasikan rp(t). Sehingga persamaan (3.8) dapat dimodifikasi menjadi: ( ) ( ) exp[ ( ) ]. t n p t P t n P t r s ds + + = ⋅

_∫

(3.14)

Ringkasnya, pada populasi stabil rb= rp=r, sedangkan pada populasi kuasi-stabil rp(t) > rb untuk semua t jika laju kematian sesaat (µx)

mengalami penurunan, dan rp(t) < rb untuk semua t jika laju kematian sesaat (µx)

mengalami peningkatan.

Misalkan µu(a) dan µu(a+t) menyatakan

laju kematian sesaat dari seseorang pada usia x yang lahir pada waktu a dan a+t , berturut-turut, misalkan µu(a+t)= µu(a) – kt untuk

semua µ.

Oleh karena itu dapat dikatakan bahwa populasi kuasi-stabil didefinisikan oleh tiga parameter, yaitu laju pertumbuhan bayi rb, mortalitas awal µu(a), dan faktor perbaikan

kematian k, k >0. Yang dimaksud dengan perbaikan kematian adalah penurunan tingkat karena adanya beberapa faktor, diantaranya perbaikan kesehatan, dan penurunan angka kecelakaan. Maka dapat dinyatakan P(t) sebagai berikut:

(16)

5

0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) exp( ( ) ) ( ) exp( ( ) ) b b t x x r x u x r x u P t B t x S x dx B t e t x du dx B t e a t x a du dx µ µ ∞ − ∞ − ∞ − = − = − − = − + − −

∫

0 0 ( ) 0 0 ( ) exp( [ ( ) ( )] ) ( ) exp( ( ) ) b b x r x u x r x k t x a x u B t e a k t x a du dx B t e a du e dx µ µ ∞ − ∞ − − − = − − − − = −

∫

( ) 0 ( ) b ( ) . r x k t x a x a B t e S x e dx ∞ − − − =

_∫

(3.15)

Dengan menggunakan aturan turunan untuk perkalian P(t) terhadap t, maka diperoleh:

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b r x k t x a x a r x k t x a x a b r x k t x a x a r x k t x a x a d d P t B t e S x e dx dt dt d B t e S x e dx dt r B t e S x e dx kB t xe S x e dx ∞ − − − ∞ − − − ∞ − − − ∞ − − − ⎛ ⎞ =_⎜ _⎟⋅ + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = +

∫

( ) 0 _b ( ) ( ) _{r x}b ( )_{k t x a x} , a r P t kB t xe S x e dx ∞ − − − = +

_∫

(3.16)

rp(t) diperoleh dengan cara membagi persamaan (3.17) dengan (3.16) ( ) ( ) ( ) p d P t dt r t P t = ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b r x k t x a x a r x k t x a x a r P t kB t xe S x e dx B t e S x e dx ∞ − − − ∞ − − − + =

∫

b ( ), r kx t = + (3.17)

dimana

x t

( )

merupakan rata-rata dari umur pada populasi kuasi-stabil pada waktu t. Pada persamaan (3.17) diperoleh bahwa pada populasi kuasi-stabil terdapat variabel k, k >0 yaitu faktor perbaikan mortalitas. Hal tersebut yang menjadi perbedaan antara populasi stabil dengan populasi kuasi-stabil.

IV

APLIKASI MODEL TERHADAP PENDUDUK INDONESIA

Dalam bab ini akan diperlihatkan hasil simulasi dari model matematis yang telah dijelaskan di atas. Kemudian hasil dari simulasi dengan menggunakan software Mathematica 7.0 tersebut akan dibandingkan dengan data yang ada pada kondisi

sebenarnya, yaitu dengan data penduduk indonesia. Pada karya ilmiah ini data penduduk yang dijadikan acuan untuk perhitungan adalah data penduduk Indonesia pada tahun 2000.

Tabel 1. Populasi wanita tahun 2000

Umur Populasi wanita

0 – 4 11.286.663 5 – 9 10.730.466 10 – 14 10.483.347 15 – 19 10.591.934 20 – 24 10.326.572 25 – 29 9.458.310 30 – 34 8.286.038 35 – 39 7.578.665 40 – 44 6.821.886 45 – 49 5.561.111 50 – 54 3.756.367 55 – 59 3.591.664 60 – 64 3.147.530 65 – 69 2.362.196

(17)

6

70 – 74 1.495.429 75 – 79 901.062 80 ++ 657.052 Total 107.036.292 Jumlah kelahiran 4.215.500

Sumber: U.S. Census Bureau, International Data Base

4.1 Model Penduduk Stabil

Struktur usia dan pertumbuhan dari suatu populasi ditentukan oleh tingkat kelahiran, kematian, dan migrasi. Pada populasi stabil tidak ada perubahan struktur usia.

Pada subbab ini akan dibuat model berdasarkan formula sebagai berikut :

1. _P₍₂₀₀₅₎=_P₍₂₀₀₀₎_e5⋅rb_, 2. 5 0 (2005) rb (2000) r xb ( ) . P e B e S x dx ∞ − =

_∫

dan akan dibandingkan dengan data sebenarnya. Nilai rb dapat dilihat pada

Lampiran (4) Tabel (6), dengan persamaan r=CBR-CDR. 0 0 ( ) exp( ) exp( ), x x w y i i S x dy = = − µ

_∫

≈ −

∑

µ dan

nilai µ diperoleh dengan menggunakan

persamaan

(

1 1

)

1 1 ˆ 1 , 2 x x x x e e e µ ≈ ⎡⎢ + + − − ⎤⎥ ⎣ ⎦ yang

dapat dilihat pada Lampiran (5) Tabel (7). Sedangkan ei diperoleh dari angka harapan

hidup penduduk Indonesia pada tahun 2000.

Pada gambar 1, dapat dilihat bahwa hasil proyeksi model 1 lebih bagus daripada model 2, karena model 1 memiliki galat 1,326% sedangkan model 2 memiliki galat 64,5%. Model 1 berbeda dengan model 2, mengakibatkan bahwa asumsi dari angka harapan hidupnya bernilai konstan kurang

tepat. Kalau angka harapan hidup dipaksakan untuk konstan, maka nilai dari rb harus

berubah menjadi 0,04106937.

4.2 Model Kuasi-Stabil

Gambar 1. Grafik perbandingan model stabil vsdata Indonesia Model 2 Data Indonesia Model 1

(18)

7

Menurut pembahasan pada subbab di atas, maka metode stabil kurang bagus untuk menggambarkan kondisi penduduk di Indonesia. Oleh karena itu pada subbab ini akan dibahas mengenai aplikasi tentang metode kuasi-stabil untuk penduduk Indonesia. Pada metode ini faktor yang sangat berpengaruh untuk memproyeksikan total penduduk wanita di Indonesia adalah k, yaitu faktor perbaikan kematian. Kematian itu sendiri dapat disebabkan oleh beberapa faktor, antara lain kecelakaan, kematian normal, kematian mendadak, penyakit (Mustafa Al-kik, 1965; www.who.int). Ada tiga faktor utama penyebab kecelakaan anatara lain adalah faktor manusia, kendaraan, dan lingkungan. Kematian normal yang dimaksud disini adalah kematian yang melalui proses menua secara perlahan. Sedangkan untuk kematian mendadak adalah kematian yang terjadi tanpa melalui sakit atau kecelakaan, seperti bunuh diri, ibu yang meninggal pada saat melahirkan dan kematian neonatal. Kematian neonatal adalah kematian bayi yang berumur 0 sampai 28 hari setelah hidup atau bayi berumur 1 bulan (Mc Donald 1990, diacu dalam Sapriana 2006). Dan yang terakhir disebabkan oleh penyakit, penyakit-penyakit

yang banyak menyebabkan kematian antara lain penyakit jantung koroner, stroke, infeksi saluran pernapasan bawah (influenza), penyakit paru obstruktif kronik, diare, HIV/AIDS, TBC, kanker, gagal ginjal (www.who.com). Ada juga beberapa faktor yang dapat menurunkan tingkat kematian, diantaranya adalah perbaikan yang dilakukan untuk mengurangi jumlah kecelakaan, yaitu dengan memberikan pengetahuan untuk pengguna jalan, memperbaiki infrastruktur. Selain itu, menurut berita yang dilansir, Reuters ada 5 faktor yang menyebabkan kematian dini, antara lain adalah seks yang tidak aman, alkohol, kekurangan gizi, sanitasi buruk dan tekanan darah tinggi. Jika kelima faktor di atas dapat dicegah, maka angka harapan hidup dapat meningkat untuk 5 tahun ke depan (www.Liputan6.com).

Nilai k ini yang nantinya akan dapat diubah – ubah untuk menemukan proyeksi yang terbaik bagi aplikasi ini. Dalam kehidupan nyata, nilai dari faktor perbaikan kematian dapat dipengaruhi dari beberapa aspek, diantaranya adalah dengan meningkatkan taraf hidup, memperbaiki aspek kesehatan, menurunkan tingkat kriminalitas, dll.

0

2

4

6

8 t

0

5.0 µ

107

1.0 µ

108

1.5 µ

108

2.0 µ

108 p

H

t

L

Dengan menggunakan nilai regresi dari persamaan µ(2005) = µ(2000)-k·5 dan data pada tahun 2000, maka akan diperoleh nilai k=0.000133809 atau dapat dilihat pada Lampiran (12). Nilai tersebut akan digunakan

pada persamaan (3.16) yang akan menghasilkan proyeksi penduduk bagi Indonesia. Dengan nilai k di atas, persamaan tersebut akan mendapatkan hasil proyeksi yang jauh berbeda dengan nilai sebenarnya. Kuasi-Stabil (k=0.000133809) Data Indonesia

Gambar 3. metode kuasi-stabil (k=0.000133809) vs data Indonesia

2000 2005

x

(19)

8

Dengan mengubah nilai k, maka akan diperoleh hasil yang cukup baik, dengan cara trial and error seperti yang ditampilkan pada Lampiran (10), sehingga diperoleh nilai k yang baru yaitu 0.00083228184.

Selanjutnya nilai k tersebut kembali dimasukkan ke dalam persamaan

(5 0) 0 0 (2000) (2000) b exp( ( ) ) . x r x k x x u P B e µ a du e dx ∞ − − − =

_∫

−

_∫

Proyeksi yang dihasilkan dengan menggunakan k yang baru memiliki hasil yang cukup baik karena memiliki nilai galat yang semakin kecil, yaitu 0.017% pada tahun 2005 dan 1.291% pada tahun 1995, yang ditampilkan pada Gambar (4 ) dan Tabel (2).

0 20,000,000 40,000,000 60,000,000 80,000,000 100,000,000 120,000,000 1995 2000 2005 To ta l Pe nd uduk Tahun data proyeksi

Tabel 2. Nilai galat pada setiap model

Model Galat Stabil model 1 1.326% model 2 64.507% Kuasi-stabil k=0.000133809 49.439% Tahun 2005 k=0.00083228184 Tahun 1995 k=0.00083228184 0.017% 1.291% Selain menampilkan proyeksi agregat dalam

bentuk per tahun, akan diperlihatkan juga hasil proyeksi tahun 2000 menurut umur, seperti dapat dilihat pada gambar (5). Hasil ini juga kurang baik, dikarenakan pada model

karya ilmiah ini tidak ikut disertakannya faktor migrasi atau mobilitas sosialnya. Kemungkinan lain model kuasi – stabil perlu dikembangkan dengan membuat fertilitas yang semakin menurun.

(20)

9

Gambar 5. Model kuasi-stabil (k= 0.00083228184) per satuan umur Nilai simulasi

Nilai sebenarnya

P(t)

(21)

10 V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan pada karya ilmiah ini dapat diambil beberapa kesimpulan, antara lain:

1. Data penduduk Indonesia pada tahun 2000 dan 2005 tidak dapat digunakan untuk model pertumbuhan penduduk stabil, karena data penduduk Indonesia pada tahun tersebut tidak sesuai dengan asumsi – asumsi yang terdapat pada model pertumbuhan penduduk stabil. 2. Model pertumbuhan penduduk

kuasi-stabil mendapatkan hasil terbaiknya untuk penduduk Indonesia pada tahun 2005 pada perhitungan dengan nilai faktor perbaikan kematian (k) = 0.00083228184. Pengujian model dengan menggunakan data penduduk Indonesia tahun 2000 dan 2005 menghasilkan nilai error yang cukup kecil, yaitu 1.291% dan 0.017%. Dengan demikian model tersebut juga

dapat digunakan untuk memproyeksikan jumlah penduduk untuk tahun – tahun berikutnya.

3. Model ini masih memiliki keterbatasan setelah dilakukan proyeksi menurut umur yang mengindikasikan adanya perubahan fertilitas dari tahun ke tahun.

5.2 Saran

Dalam rangka melengkapi dan menyempurnakan hasil dari karya ilmiah mengenai model pertumbuhan penduduk kuasi-stabil, ada beberapa aspek yang perlu diperhatikan dan ditambahkan. Aspek – aspek tersebut antara lain aspek fertilitas, migrasi, perkawinan, mobilitas sosial, dan lain – lain, karena aspek – aspek tersebut berpengaruh langsung terhadap pertumbuhan penduduk di Indonesia.

(22)

11 DAFTAR PUSTAKA

Brown RL. 1997. Introduction to the

Mathematics of Demography. United States of America: ACTEX Pubilcations, Inc.

Coleman DA. 2000. Who’s afraid of low support ratios? a UK response to the UN Population Division report on ‘Replacement Migration’. New York: Department of Economic and Social Affairs.

Haberman R. 1998. Mathematical Models: Mechanical Vibrations, Populasi Dynamics, and Traffic Flow. Philadelphia. Society for Industrial Mathematics (SIAM).

Hadi FS CA. 2008. Modifikasi Metode Rele untuk Model Penduduk Kuasi-Stabil. Karya Akhir[Tesis]. Program Magister Matematika Institut Pertanian Bogor. Bogor. http://census.gov/ipc/www/idb/country.php [7 Maret 2009]. http://census.gov/ipc/www/idb/region.php [7 Maret 2009]. http://kesehatan.liputan6.com/berita/200910/ 249090/Penyebab.Kematian.Tertinggi.S eks.Alkohol.dan.Kegemukan [21 April 2009]. http://lizenhs.wordpress.com/2009/01/05/pe modelan-apaa-itu/ [21 April 2009]. http://who.int/mediacentre/factsheets/fs310/e n/ [21 April 2009].

Musthafa Al-kik. 1965. Baina Almain. http://media.isnet.org/islam/Quraish/Wa wasan/Kematian2.html [21 April 2009]. Pool I. 2004. “Demographic dividens”,

“windows of opportunity” and development: age-structure, population waves and cohort flows. Paris: CICRED Seminar.

Sapriana. 2006. Analisis Faktor Resiko Kejadian Kematian Neonatal di Rumah Sakit Umum Daerah Undata Palu Periode 2003-2005. Karya Ilmiah. Fakultas Kesehatan Masyarakat Universitas Hasanuddin. Makasar.

(23)

12

(24)

13

Lampiran 1

Tabel 3. Data penduduk tahun 1995

Umur

Populasi

Ratio Jenis kelamin

Total laki-laki Wanita

Total 197764151 98657640 99106511 99,5 0 – 4 22077583 11230156 10847427 103,5 5 – 9 21405689 10873205 10532484 103,2 10 – 14 21667134 10981376 10685758 102,8 15 – 19 21460874 10914890 10545984 103,5 20 – 24 19822866 10082346 9740520 103,5 25 – 29 17553457 9048134 8505323 106,4 30 – 34 15357048 7605618 7751430 98,1 35 – 39 13365741 6418454 6947287 92,4 40 – 44 10737327 5077610 5659717 89,7 45 – 49 7551690 3694209 3857481 95,8 50 – 54 7293155 3534200 3758955 94 55 – 59 6476297 3080743 3395554 90,7 60 – 64 5063768 2401646 2662122 90,2 65 – 69 3487552 1687470 1800082 93,7 70 – 74 2286116 1092499 1193617 91,5 75 – 79 1272621 572001 700620 81,6 80 – 84 617947 260233 357714 72,7 85 – 89 216347 84731 131616 64,4 90 – 94 45602 16377 29225 56 95 – 99 5058 1657 3401 48,7 100 + 279 85 194 43,8

(25)

14

Lampiran 2

Umur Populasi Ratio Jenis _kelamin

Total 213.829.469 106.793.177 107.036.292 99,8 0 - 4 22.975.789 11.689.126 11.286.663 103,6 5 - 9 21.818.471 11.088.005 10.730.466 103,3 10 - 14 21.295.039 10.811.692 10.483.347 103,1 15 - 19 21.486.616 10.894.682 10591.934 102,9 20 - 24 21.057.306 10.730.734 10.326.572 103,9 25 - 29 19.318.966 9.860.656 9.458.310 104,3 30 - 34 17.157.384 8.871.346 8.286.038 107,1 35 - 39 15.023.121 7.444.456 7.578.665 98,2 40 - 44 13.097.107 6.275.221 6.821.886 92,0 45 - 49 10.500.667 4.939.556 5.561.111 88,8 50 - 54 7.294.784 3.538.417 3.756.367 94,2 55 - 59 6.889.729 3.298.065 3.591.664 91,8 60 - 64 5.914.421 2.766.891 3.147.530 87,9 65 - 69 4.409.181 2.046.985 2.362.196 86,7 70 - 74 2.825.207 1.329.778 1.495.429 88,9 75 - 79 1.661.982 760.920 901.062 84,4 80 - 84 761.543 319.519 442.024 72,3 85 - 89 271.645 103.416 168.229 61,5 90 - 94 62.404 21.280 41.124 51,7 95 - 99 7.653 2.310 5.343 43,2 100 + 454 122 332 36,7

(26)

15

Lampiran 3

Umur Populasi Ratio Jenis _kelamin

Total 228.895.746 114.461.886 114.433.860 100,0 0 – 4 22.734.213 1.1575.227 11.158.986 103,7 5 – 9 22.750.245 1.1564.830 11.185.415 103,4 10 – 14 21.707.805 1.1029.587 10.678.218 103,3 15 – 19 21.107.428 1.0725.215 10.382.213 103,3 20 – 24 21.065.107 1.0706.293 10.358.814 103,4 25 – 29 20.502.567 1.0492.412 10.010.155 104,8 30 – 34 18.873.036 9667.698 9.205.338 105,0 35 – 39 16.791.234 8694.721 8.096.513 107,4 40 – 44 14.722.028 7285.692 7.436.336 98,0 45 – 49 12.822.064 6114.372 6.707.692 91,2 50 – 54 10.169.712 4745.575 5.424.137 87,5 55 – 59 6.920.487 3318.119 3.602.368 92,1 60 – 64 6.329.753 2980.720 3.349.033 89,0 65 – 69 5.200.329 2380.306 2.820.023 84,4 70 – 74 3.628.901 1635.620 1.993.281 82,1 75 – 79 2.099.284 944.467 1.154.817 81,8 80 – 84 1.025.270 437.579 587.691 74,5 85 – 89 350.747 132.621 218.126 60,8 90 – 94 83.416 27.438 55.978 49,0 95 – 99 11.359 3.209 8.150 39,4 100 + 761 185 576 32,1

(27)

16

Lampiran 4

Tabel 6. Infant Mortality Rate (IMR) dan Angka Harapan Hidup, berdasarkan Jenis kelamin

Tahun IMR Laki-IMR laki IMR Wanita Angka harapan hidup Angka harapan hidup laki-laki Angka harapan hidup wanita IMR both sexes IMR

laki-laki wanita IMR

2000 40,9 47,3 34,3 68,0 65,6 70,4 196.133 115.901 80.232 2001 39,5 45,7 33,1 68,3 65,9 70,8 189.052 111.810 77.242 2002 38,2 44,2 31,9 68,6 66,2 71,1 182.010 107.925 74.085 2003 36,9 42,8 30,8 68,9 66,5 71,5 175.044 103.861 71.183 2004 36,4 42,0 30,5 67,5 65,7 69,3 171.417 101.564 69.853 2005 34,5 40,0 28,6 69,6 67,1 72,1 161.304 95.928 65.376

Lampiran 5

Tabel 7. CBR dan CDR, Migrasi Bersih, dan Rata-rata Pertumbuhan Indonesia

Tahun Kelahiran per 1,000 populasi Kematian per 1,000 populasi Migrasi bersih per 1,000 populasi Laju pertumbuhan penduduk (percent) Laju pertumbuhan

(percent) Kelahiran Kematian

Pertumbuhan alami 2000 22,4 6,4 -1,4 1,60 1,46 4.791.918 1.374.923 3.416.995 2001 22,0 6,4 -1,4 1,57 1,43 4.781.283 1.386.225 3.395.058 2002 21,7 6,4 -1,4 1,53 1,39 4.763.404 1.397.119 3.366.285 2003 21,3 6,3 -1,3 1,49 1,36 4.742.461 1.409.800 3.332.661 2004 20,9 7,0 -1,3 1,39 1,25 4.714.446 1.582.029 3.132.417 2005 20,5 6,3 -1,3 1,42 1,29 4.680.918 1.435.176 3.245.742

(28)

17

Lampiran 6 Tabel 8. Nilai µ(x) X µ(x) 0 0,007471 1 0,007471 5 0,001189 10 0,000587 15 0,000672 20 0,001009 25 0,00132 30 0,001596 35 0,001985 40 0,002633 45 0,003744 50 0,005534 55 0,008267 60 0,012795 65 0,020819 70 0,035042 75 0,059822 80 0,099097 85 0,161918 90 0,2656 95 0,435946 100 0,435946

(29)

18

Lampiran 7 Proses perhitungan dengan formulasi metode kuasi-stabil (menggunakan Software Mathematica 7) b1[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747)]*Exp[(t-x-0)*x*k] b2[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b3[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b4[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059))]*Exp[ (t-x-0)*x*k] b5[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b6[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b7[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b8[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b9[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b10[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b11[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b12[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b13[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)) ]*Exp[(t-x-0)*x*k] b14[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b15[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279)+(5*0.02082))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b16[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0

(30)

19

0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279)+(5*0.02082)+(5*0.03504))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b17[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279)+(5*0.02082)+(5*0.03504)+(5*0.05982))]*E xp[(t-x-0)*x*k] b18[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279)+(5*0.02082)+(5*0.03504)+(5*0.05982)+(5* 0.09910))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b19[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279)+(5*0.02082)+(5*0.03504)+(5*0.05982)+(5* 0.09910)+(5*0.16192))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b20[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.00 067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.00199 )+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+( 5*0.01279)+(5*0.02082)+(5*0.03504)+(5*0.05982)+(5*0 .09910)+(5*0.16192)+(5*0.26560))]*Exp[(t-x-0)*x*k] b21[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279)+(5*0.02082)+(5*0.03504)+(5*0.05982)+(5* 0.09910)+(5*0.16192)+(5*0.26560)+(5*0.43595))]*Exp[ (t-x-0)*x*k] b22[x_,t_,k_]:=4791918*Exp[-0.016*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279)+(5*0.02082)+(5*0.03504)+(5*0.05982)+(5* 0.09910)+(5*0.16192)+(5*0.26560)+(5*0.43595)+0.4359 5)]*Exp[(t-x-0)*x*k]

(31)

20

Lampiran 8 Proses mencari nilai k yang terbaik (menggunakan Software Mathematica 7) Manipulate[Total[p[0,k]],{k,0.000133809,0.001,0.00000000001}]

k

0.0008322Ö

82

(32)

21

Lampiran 9 Pembuatan Plot tahun 2005 per satuan umur dengan menggunakan nilai k yang terbaik (menggunakan Software Mathematica 7)

pp2005=p[5,0.00083228184]; mm1=pp2005[[1]]; mm2=Total[{pp2005[[2]],pp2005[[3]],pp2005[[4]],pp2005[[5]]}]/4; mm3=Total[{pp2005[[6]],pp2005[[7]],pp2005[[8]],pp2005[[9]],pp2005[ [10]]}]/5; mm4=Total[{pp2005[[11]],pp2005[[12]],pp2005[[13]],pp2005[[14]],pp2 005[[15]]}]/5; mm5=Total[{pp2005[[16]],pp2005[[17]],pp2005[[18]],pp2005[[19]],pp2 005[[20]]}]/5; mm6=Total[{pp2005[[21]],pp2005[[22]],pp2005[[23]],pp2005[[24]],pp2 005[[25]]}]/5; mm7=Total[{pp2005[[26]],pp2005[[27]],pp2005[[28]],pp2005[[29]],pp2 005[[30]]}]/5; mm8=Total[{pp2005[[31]],pp2005[[32]],pp2005[[33]],pp2005[[34]],pp2 005[[35]]}]/5; mm9=Total[{pp2005[[36]],pp2005[[37]],pp2005[[38]],pp2005[[39]],pp2 005[[40]]}]/5; mm10=Total[{pp2005[[41]],pp2005[[42]],pp2005[[43]],pp2005[[44]],pp 2005[[45]]}]/5; mm11=Total[{pp2005[[46]],pp2005[[47]],pp2005[[48]],pp2005[[49]],pp 2005[[50]]}]/5; mm12=Total[{pp2005[[51]],pp2005[[52]],pp2005[[53]],pp2005[[54]],pp 2005[[55]]}]/5; mm13=Total[{pp2005[[56]],pp2005[[57]],pp2005[[58]],pp2005[[59]],pp 2005[[60]]}]/5; mm14=Total[{pp2005[[61]],pp2005[[62]],pp2005[[63]],pp2005[[64]],pp 2005[[65]]}]/5; mm15=Total[{pp2005[[66]],pp2005[[67]],pp2005[[68]],pp2005[[69]],pp 2005[[70]]}]/5; mm16=Total[{pp2005[[71]],pp2005[[72]],pp2005[[73]],pp2005[[74]],pp 2005[[75]]}]/5; mm17=Total[{pp2005[[76]],pp2005[[77]],pp2005[[78]],pp2005[[79]],pp 2005[[80]]}]/5; mm18=Total[{pp2005[[81]],pp2005[[82]],pp2005[[83]],pp2005[[84]],pp 2005[[85]]}]/5; mm19=Total[{pp2005[[86]],pp2005[[87]],pp2005[[88]],pp2005[[89]],pp 2005[[90]]}]/5; mm20=Total[{pp2005[[91]],pp2005[[92]],pp2005[[93]],pp2005[[94]],pp 2005[[95]]}]/5; mm21=Total[{pp2005[[96]],pp2005[[97]],pp2005[[98]],pp2005[[99]],pp 2005[[100]]}]/5; mm22=pp2005[[101]]; LL1=Plot[mm1,{x,0,1},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL2=Plot[mm2,{x,1,4},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL3=Plot[mm3,{x,5,9},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL4=Plot[mm4,{x,10,14},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL5=Plot[mm5,{x,15,19},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL6=Plot[mm6,{x,20,24},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL7=Plot[mm7,{x,25,29},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL8=Plot[mm8,{x,30,34},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL9=Plot[mm9,{x,35,39},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL10=Plot[mm10,{x,40,44},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL11=Plot[mm11,{x,45,49},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL12=Plot[mm12,{x,50,54},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL13=Plot[mm13,{x,55,59},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL14=Plot[mm14,{x,60,64},PlotStyle→{Thick,Red}];

(33)

22

LL15=Plot[mm15,{x,65,69},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL16=Plot[mm16,{x,70,74},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL17=Plot[mm17,{x,75,79},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL18=Plot[mm18,{x,80,84},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL19=Plot[mm19,{x,85,89},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL20=Plot[mm20,{x,90,94},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL21=Plot[mm21,{x,95,99},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL22=Plot[mm22,{x,99,100},PlotStyle→{Thick,Red}]; LL=ListPlot[pp2005,Joined→True]; Show[LL,LL1,LL2,LL3,LL4,LL5,LL6,LL7,LL8,LL9,LL10,LL11,LL12,LL13,LL 14,LL15,LL16,LL17,LL18,LL19,LL20,LL21,LL22,AxesOrigin→Automatic]

(34)

23

Lampiran 10 Proses perhitungan jumlah penduduk dengan metode stabil (menggunakan Software Mathematica 7) s1[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747)] s2[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747))] s3[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119))] s4[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059))] s5[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.00 067))] s6[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.00 067)+(5*0.00101))] s7[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.00 067)+(5*0.00101)+(5*0.00132))] s8[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.00 067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160))] s9[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.00 067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.00199) )] s10[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263))] s11[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374))] s12[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553))] s13[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)) ] s14[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279))] s15[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279)+(5*0.02082))] s16[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279)+(5*0.02082)+(5*0.03504))]

(35)

24

s17[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279)+(5*0.02082)+(5*0.03504)+(5*0.05982))] s18[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279)+(5*0.02082)+(5*0.03504)+(5*0.05982)+(5* 0.09910))] s19[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279)+(5*0.02082)+(5*0.03504)+(5*0.05982)+(5* 0.09910)+(5*0.16192))] s20[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279)+(5*0.02082)+(5*0.03504)+(5*0.05982)+(5* 0.09910)+(5*0.16192)+(5*0.26560))] s21[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.00 067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.00199) +(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+(5* 0.01279)+(5*0.02082)+(5*0.03504)+(5*0.05982)+(5*0.09 910)+(5*0.16192)+(5*0.26560)+(5*0.43595))] s22[x_,n_,r_]:=Exp[n*r]*4791918*Exp[-r*x]*Exp[-(0.00747+(4*0.00747)+(5*0.00119)+(5*0.00059)+(5*0.0 0067)+(5*0.00101)+(5*0.00132)+(5*0.00160)+(5*0.0019 9)+(5*0.00263)+(5*0.00374)+(5*0.00553)+(5*0.00827)+ (5*0.01279)+(5*0.02082)+(5*0.03504)+(5*0.05982)+(5* 0.09910)+(5*0.16192)+(5*0.26560)+(5*0.43595)+0.4359 5)]

Lampiran 11 Proses mencari nilai r pada metode stabil (menggunakan Software Mathematica 7)

Manipulate[Total[stabil[0,r]],{r,0.016,0.05,0.00001}]

r

0.0410694

(36)

25

Lampiran 12 Pembuatan Plot perbandingan masing – masing metode tahun={0,1,2,3,4,5}; thn={-5,0,1,2,3,4,5}; stabil[n_]:=107036292*Exp[n*0.016] stab=stabil[tahun]; kuasi=Total[p[tahun,0.000133809]]; kuasi1=Total[p[thn,0.00083228184]];

gbr1a=ListPlot[real,AxesLabel→{t,p[t]},Joined→True];

gbr1=ListPlot[stab,AxesLabel {t,p[t]},Joined→True,PlotStyle→{Dashe d,Red}]

gbr2=ListPlot[kuasi,AxesLabel→{t,p[t]},Joined→True,PlotStyle {Dash ed,Red}]

gbr4=ListPlot[kuasi1,AxesLabel→{t,p[t]},Joined True,PlotStyle→{Das hed,Red}] gbr5=ListPlot[P[tahun,0.016],AxesLabel→{t,p[t]},PlotRange→{{0,8},{ 0,2.2*10^8}}] Show[gbr5,gbr1,gbr1a] Show[gbr4,gbr1a] Show[gbr1a,gbr2]

(37)

26

Lampiran 13 Menghitung nilai k dengan menggunakan regresi (Microsoft Excel)

SUMMARY OUTPUT Regression Statistics Multiple R 0,999990928 R Square 0,999981856 Adjusted R Square 0,999980949 Standard Error 0,00056965 Observations 22 ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1 0,357686478 0,357686 1102266 6,81E-49

Residual 20 6,49002E-06 3,25E-07

Total 21 0,357692968

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Lower 95,0% Upper 95,0%

Intercept -0,00066905 0,000138199 -4,84117 9,91E-05 -0,00096 -0,00038 -0,00096 -0,00038