Tesis ALGORITMA ADAPTIVE COVARIANCE RANK UNSCENTED KALMAN FILTER UNTUK ESTIMASI KEADAAN PADA PERSAMAAN AIR DANGKAL. Oleh:

(1)

ALGORITMA ADAPTIVE COVARIANCE RANK

UNSCENTED KALMAN FILTER

UNTUK ESTIMASI KEADAAN

PADA PERSAMAAN AIR DANGKAL

Oleh

:

Habib Hasbullah

NRP. 1209201707

Dosen Pembimbing

:

Dr. Erna Apriliani, M.Si

Tesis

(2)

Abstrak

• Unscented Kalman filter (UKF) adalah estimator non linear yang secara

khusus sesuai untuk

masalah sistem non linear kompleks. Dalam

unscented

Kalman

filter

(UKF),

kovarian

error

diestimasi

dengan

mempropagasi ke depan sebuah himpunan titik-titik sigma (sigma point)

yang merupakan contoh ruang keadaan pada lokasi terpilih secara

cerdas. Untuk sistem berdimensi besar, beban komputasi algoritma

unscented Kalman filter (UKF) juga besar.

• Tesis ini mengkaji sebuah versi aproksimasi dari unscented Kalman Filter

(UKF), yaitu algoritma adaptive covariance rank unscented Kalman Filter.

Dalam adaptive covariance rank unscented Kalman Filter, kovarian error

direpresentasikan dengan aproksimasi rank tereduksi dan tidak dalam

ukuran penuh. Teknik reduksi rank dilakukan dengan membentuk

dekomposisi nilai singular (singular value decomposition) dari matriks

akar kuadrat kovarian error.

• Algoritma adaptive covariance rank unscented Kalman Filter digunakan

untuk estimasi keadaan pada persamaan (model) air dangkal (shallow

water equation) nonlinear berbentuk saint Venant. Hasil simulasi yang

dilakukan menunjukkan bahwa estimasi keadaan menggunakan adaptive

covariance rank unscented Kalman Filter memberikan hasil estimasi yang

baik dan berimpit, baik dengan realnya maupun dengan full rank

unscented Kalman filter. Reduksi rank dapat dilakukan sampai dengan

rank ke 20 dari full rank 40.

(3)

Latar Belakang



Unscented

Kalman

filter

(UKF)

adalah

salah

satu

metode

ensemble filter yang dikembangkan untuk menaksir keadaan

pada sistem non linear.



Beberapa hasil penelitian, antara lain: Rudi (2007), Kandepu, dkk

(2008), Baehaqi (2009), menunjukkan bahwa estimasi keadaan

menggunakan unscented Kalman filter (UKF) pada beberapa

masalah sistem non linear memberikan hasil yang estimasi akurat

(baik) dibandingkan dengan extended Kalman filter (EKF) maupun

ensemble Kalman filter (EnKF). Tetapi waktu komputasi UKF

cenderung lebih lama dibanding EKF.



Berdasarkan hal-hal di atas penulis mengkaji sebuah algoritma

filter tereduksi dari UKF yang diharapkan lebih efesien dan efektif

serta mudah diimplementasikan, yaitu adaptive covariance rank

unscented Kalman filter.



Algoritma ini digunakan untuk estimasi keadaan pada persamaan

air dangkal non linear berbentuk saint Venant.

(4)

Perumusan Masalah

1. Bagaimanakah bentuk algoritma adaptive

covariance rank untuk unscented Kalman

filter?

2. Bagaimanakah

efektifitas

dan

efesiensi

algoritma

adaptive

covariance

rank

unscented Kalman filter untuk estimasi

keadaan

pada

persamaan

(model)

air

(5)

Batasan Masalah

1. Algoritma adaptive covariance rank untuk unscented

Kalman filter ini diterapkan (disimulasikan) untuk

estimasi variabel keadaan pada persamaan air dangkal

(shallow water equation) nonlinear satu dimensi.

Bentuk persamaan air dangkal yang digunakan adalah

bentuk persamaan saint Venant.

2. Bentuk simulasi yang dilakukan dengan

membandingkan efektifitas dan efesiensi beberapa

pengurangan (reduksi) rank pada algoritma adaptive

covariance rank unscented Kalman filter terhadap

algoritma full rank unscented Kalman filter (UKF).

(6)

Tujuan Penelitian

1. Mengkaji pembentukan algoritma filter tereduksi

untuk unscented Kalman filter (UKF).

2. Mengetahui tingkat akurasi dan efesiensi metode

filter tereduksi untuk unscented Kalman filter (UKF),

yaitu adaptive covariance rank unscented Kalman

filter yang digunakan untk estimasi keadaan pada

persamaan air dangkal (shallow water equation) non

linear satu dimensi dalam bentuk saint Venant.

(7)

Manfaat Penelitian

1. Memperoleh sebuah algoritma filter tereduksi yang

diharapkan dapat memperbaiki kinerja algoritma

unscented

Kalman

filter

(UKF),

yaitu

adaptive

covariance rank unscented Kalman filter

2. Sebagai metode alternatif bagi para peneliti bidang

estimasi

dengan

melihat

kesesuaian

dengan

(8)

Kajian Pustaka



Metode ini menggunakan transformasi unscented, yaitu suatu

metode untuk menghitung statistik (mean dan kovarian) yang

mengalami transformasi nonlinear.



Ide utama unscented Kalman filter (UKF) adalah untuk

mengaproksimasi mean keadaan dan kovariannya

menggunakan matriks titik-titik berbobot dari ruang keadaan

yang disebut titik-titik sigma



(9)

Unscented Kalman Filter



Misalkan diberikan sistem nonlinear waktu diskrit :

dengan :

= Keadaan sistem berdimensi

= Input,

= Noise Sistem berdimensi

dengan kovarian

= Fungsi dari Pengukuran

= Noise Pengukuran berdimensi

dengan kovarian

1 (

,

)

k

x

=

f x

₋

u

+

w

(

, )

k

z

=

h x k

+

v

k

x

L

w

L

v

L

k

u

k

w

k

z

k

v

w

k

R

v

k

R

(10)

Unscented Kalman Filter

• Implementasi dari unscented Kalman filter (UKF), secara

khusus memperhatikan sebuah sistem yang diperbesar

berdimensi

Dengan kovariannya

• Tetapi untuk kasus dengan noise sistem dan noise

pengukuran semata-mata aditif, tidak dibentuk sistem

diperbesar (

augmented

).

x w v

L

=

L

+

L

+

L

k

aug

k

x

w

v









=  









0

x k w k k v k

P

R









= 











(11)

Algoritma Unscented Kalman Filter (UKF)

Inisialisasi

Kalkulasi Sigma Point

Prediksi (

Time Update

)

(12)

Inisialisasi



_{[ ]}



0

0 ₀

0

0 ;

(

)(

)

;

0 ;

0 ˆ

ˆ

(

)(

)

.

T

x

aug

aug T

x

E x

P

E

x

P

E

x

=





=

_

−

_

 

 

=  

 

 





=

_

−

_

HOME

(13)

Kalkulasi Sigma Point



(0)

1 ( )

( )

1 ₁

(

)

( )

1 ₁

(

)

,

1,...,

(

)

,

1,...,

aug

k

aug

i

k

aug

i L

i

k

x

L

P

i

L

x

L

P

i

L

χ

λ

χ

λ

−

₋

+

−

₋

=

+

=

−

+

=

HOME

α

= Parameter penskalaan yang menentukan

penyebaran sigma point di sekitar mean

x

dengan 0

<α<

1 L =

Dimensi sistem diperbesar

( )

1 Kolom ke-i dari matriks kovarian

i

k

P

₋

=

P

2 (

L

)

L

, dengan

0 λ α

=

+

κ

−

κ

=

(14)

Tahap Prediksi (Time Update)

1) Forecast untuk tiap-tiap sigma point dengan

2) Hitunglah forecast vektor keadaan dan kovariannya

(

,

)

f

x

w

k

f

k

χ

=

χ χ

[

]

2 ( )

( )

0

2 ( )

( )

0 ( )

( )

(0)

2 ( )

( )

ˆ

(

)

ˆ

[(

)(

) ]

dengan bobot

dan

didefinisikan:

1

1 , 1,..., 2

2(

)

f

L

f

i

i f

k

i

L

x

i

i f

f

i f

f

T

k

c

k

i

k

c

k

c

i

k

c

x

E f

P

x

L

i

L

χ

ω χ

ω

χ

ω

λ

ω

λ

ω

α

β

λ

ω

λ

=

−

=

+

=

+ −

+

=

+

∑

HOME

(15)

Tahap Koreksi

1)

Memetakan sigma point forecast dalam ruang pengukuran

dengan forecast vektor pengukuran

2)

Menghitung kovarian

3)

Menghitung keadaan dan kovarian analisis.

4)

Membentuk Keadaan dan Kovarian diperbesar untuk iterasi

berikutnya.

( )

(

,

)

i

x

v

k

Z

=

h

χ χ

2 ( ) ( ) 0 L f i i k k k i

z

ω

Z

=

∑

2 ( ) ( ) ( ) 0 2 ( ) ( ) ( ) 0 1

[(

)(

) ]

ˆ

[(

)(

) ]

dengan matriks bobot

(

)

L zz i i f i f T k c k k k k i L xz i i f i f T k c k k k k i xz zz k k k

P

Z

z

Z

z

P

x

Z

z

K

P

ω

χ

= = −

=

−

=

−

=

∑

HOME

ˆ

(

)

f

a

f

k

a

x

zz

T

k

x

K z

z

P

K P K

=

+

−

=

−

(16)

Dekomposisi Nilai Singular

• Dekomposisi nilai singular (SVD) adalah menuliskan suatu

matriks dalam bentuk perkalian matriks diagonal yang berisi

nilai-nilai singularnya, dengan matriks yang berisi vektor-vektor

singular yang bersesuaian .

• Teorema (Golub & van Loan, 1993)

• Jika

suatu matriks real maka terdapat matriks

matriks

orthogonal

m n

A

∈

R

×

−

1 1 1 1 2

[ ,...,

]

dan

[ ,...,

]

sedemikian hingga

(

,...,

) dengan

min[ , ] dan

...

m n m n n n T p p

U

u

R

V

v

R

U AV

diag

σ

p

m n

σ

× ×

=

∈

=

∈

=

≥

≥ ≥

dapat dinyatakan sebagai dekomposisi matriks,

yaitu U, , danV, sehingga

m n

T

A

R

A

U V

×

∈

Σ

= Σ

(17)

Reduksi Rank

• Reduksi rank dilakukan berdasarkan pada teorema

sebagai berikut (Golub & van Loan, 1993):

• Reduksi rank dilakukan pada matriks diagonal

Σ

yang

entri-entri diagonalnya berupa nilai-nilai singular.

) 1

1 (

Misal SVD dari

adalah

. Jika

rank( ) dan

Maka

dengan

= nilai singular, dan vektor singula .

r

min

k m n T k T k i i i i k k rank A i k i i

A

R

A

U V

k

r

A

u v

A

u

v

σ

× = + =

∈

= Σ

< =

=

−

=

∑

(18)

Persamaan Air Dangkal

• Skema model air dangkal dapat digambarkan sebagai berikut:

• Persamaan air dangkal non linear yang digunakan berbentuk

saint Venant.

0

0 (

)

dengan syarat batas

0; (0, )

( );

0; ( , )

( )

f

x

x L

h

u

h

B

A

uB

q

t

x

u

h

q

u

g

g S

S

u

t

x

A

h

u

t

u t

h L t

h t

x

₌

x

₌

∂

₊

∂

₊

∂

₌

∂

+

=

−

∂

=

∂

(19)

Metode Penelitian

MERUMUSKAN

MASALAH

PENELITIAN

MENGKAJI METODE

KF, UKF, DAN MODEL

SISTEM

MENGKAJI

PEMBENTUKAN

ALGORITMA ADAPTIVE

COVARIANCE RANK UKF

DISKRITISASI

MODEL

APLIKASI ALGORITMA

ADAPTIVE COVARIANCE

RANK UKF PADA MODEL

SIMULASI DAN

ANALISA

(20)

Pembahasan

Algoritma Adaptive Covariance Rank UKF

• Kovarian error forecast keadaan, Kovarian Cross keadaan dan

Pengukuran, dan Kovarian Pengukuran disederhanakan

notasinya:

• Membentuk dekomposisi nilai singular

2 ( ) ( ) ( ) 0 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 ( ) ( ) ( ) 0

ˆ ˆ

ˆ

[(

)(

) ]

ˆ ˆ

[(

)(

) ]

ˆ ˆ

ˆ

[(

)(

) ]

dengan

ˆ

_dan

ˆ

f L x i i f f i f f T T T k c k k k k k k k k k i L zz i i f i f T T T k c k k k k k k k k k i L xz i i f i f T T T k c k k k k k k k k k i k k k k

P

x

A

A A

P

Z

z

Z

z

P

x

Z

z

A

ω

χ

ω

χ

= = =

=

−

→

Ω

→

=

−

→ Ζ Ω Ζ → Ζ Ζ

=

−

→

Ω Ζ →

Ζ

=

Ω

Ζ = Ζ

∑

k

Ω

k (2 1) 1 1 2 1 2 1 1 2 1

ˆ

_{, dengan}

[ ,...,

]

,

[

,...,

]

,

dan

[ ,...,

]

,

min(

, (2

1))

x x x x T k k k k L L L L k L k p r L L k L x

A

U

V

U

u

R

V

v

R

r

L

σ

× × + + × + +

=

Σ

=

∈

Σ =

∈

=

∈

=

+

(21)

Pembahasan

Algoritma Adaptive Covariance Rank UKF

• Mereduksi rank matriks

yang dinyatakan dengan

1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1

0

0 .

.

; ;

.

0

0 .

.

x x x x x p p p p L p p p rk k L L L L p p p p p p p rk

u

U

R

u

v

V

σ

− − × × − − −

































=





∈

Σ =





∈































_



_





=



2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1

; dengan

.

L p L L L L p p

R

p

r

v

+ × + + + + −

















∈

<



























ˆ

k

A

ˆ

_rk

ˆ

T

_{, dengan}

rk rk rk rk

A

=

U

Σ

V

(22)

Algoritma Adaptive Covariance Rank UKF

• Diperoleh Aproksimasi reduksi rank kovarian error prediksi:

• Reduksi rank dilakukan pula pada kovarian noise sistem dan

kovarian noise pengukuran, sehingga diperoleh

aproksimasinya:

( )

0

2 ˆ

ˆ

(

)(

)

ˆ ˆ

=

ˆ ˆ

(

)

, dengan rank

ω χ

χ

=

−

≈

=

Σ

∑

f

L

x

i

i f

f

i f

f

T

k

c

k

i

T

k

T

rk

T

rk

P

x

A A

U

p

2 2

(

)

, dengan rank

(

)

, dengan rank

T T w w w w T k k k rk rk rk rk rk w T T v v v v v v v v T k k k rk rk rk rk rk v

R

Q

U

p

R

U

p

=

≈

=

Σ

=

≈

=

Σ

(23)

Algoritma Adaptive Covariance Rank UKF

• Sedangkan kovarian analisisnya :

(24)

Algoritma Adaptive Covariance Rank UKF

• Sigma point yang diperlukan dalam algoritma ini sebanding

dengan reduksi rank matriks kovarian error, yaitu:

• Sigma Point dihitung dengan formula berikut:

• Dengan bobot diberikan:



(0)

1 ( )

( )

1 ₁

(

)

( )

1 ₁

(

)

,

1,...,

(

)

,

1,...,

aug

k

aug

i

k

r

k

r

aug

i L

i

k

r

k

r

x

L

S

i

L

x

L

S

i

L

χ

λ

χ

λ

−

₋

+

−

₋

=

+

=

−

+

=

(0) (0) 2 ( ) ( )

1

1 , 1,..., 2

2(

)

k r c r i i k c r r

L

i

L

λ

ω

λ

ω

α

β

λ

ω

λ

=

+

=

+ −

+

=

+

r w v

L

= +

p

+

p

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

Pendiskritan Model

• Persamaan air dangkal didiskritkan dengan metode beda hingga. Metode

beda hingga yang digunakan adalah

forward in time center in space.

• Diperoleh persamaan dalam bentuk diskrit:

• Dalam hal ini ruang keadaan di grid menjadi 20, sehingga terdapat 40

(30)

• Selanjutnya dengan

i=1, . . ., 20

, diperoleh persamaan ruang keadaan

waktu diskrit

• Persamaan pengukurannya adalah:

Dalam hal ini variabel ketinggian (

h

) sebagai variabel yang diukur.

(

, )

k

(31)

(32)

Hasil Simulasi Rank 36

Hasil Simulasi Rank 30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3.5 4 4.5 5 5.5 6 Posisi x_i K et inggi an A lir an

Estimasi Ketinggian Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF ACR-UKF Rank 36 nilai real UKF 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 Posisi x i K ec epat an A li ran

Estimasi Kecepatan Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF ACR-UKF Rank 36 real UKF 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 4 4.5 5 5.5 6 6.5 Posisi x_i K et inggi an A lir an

Estimasi Ketinggian Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF ACR-UKF Rank 30 nilai real UKF 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 Posisi x_i K ec epat an A lir an

Estimasi Kecepatan Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF ACR-UKF Rank 30 real

(33)

Hasil Simulasi Rank 20

Hasil Simulasi Rank 18

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 5 5.5 6 6.5 7 7.5 Posisi x_i K et inggi an A lir an

Estimasi Ketinggian Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF ACR-UKF Rank 20 nilai real UKF 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 Posisi x i K ec epat an A li ran

Estimasi Kecepatan Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF ACR-UKF Rank 20 real UKF 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Posisi x_i K et inggi an A lir an

Estimasi Ketinggian Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF ACR-UKF Rank 18 nilai real UKF 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 10 12 Posisi x_i K ec epat an A lir an

Estimasi Kecepatan Aliran dengan Menggunakan UKF dan Adaptive Rank UKF ACR-UKF Rank 18 real

(34)

Nilai Singular Full Matriks Kovarian Error

Ke -

Nilai

Ke -

Nilai

1 1.0e+004 *3.6577

21 1.0e+004 *0.0000

2 1.0e+004 *0.0023

22 1.0e+004 *0.0000

3 1.0e+004 *0.0004

23 1.0e+004 *0.0000

4 1.0e+004 *0.0003

24 1.0e+004 *0.0000

5 1.0e+004 *0.0003

25 1.0e+004 *0.0000

6 1.0e+004 *0.0003

26 1.0e+004 *0.0000

7 1.0e+004 *0.0002

27 1.0e+004 *0.0000

8 1.0e+004 *0.0002

28 1.0e+004 *0.0000

9 1.0e+004 *0.0002

29 1.0e+004 *0.0000

10 1.0e+004 *0.0002

30 1.0e+004 *0.0000

11 1.0e+004 *0.0002

31 1.0e+004 *0.0000

12 1.0e+004 *0.0002

32 1.0e+004 *0.0000

13 1.0e+004 *0.0001

33 1.0e+004 *0.0000

14 1.0e+004 *0.0001

34 1.0e+004 *0.0000

15 1.0e+004 *0.0001

35 1.0e+004 *0.0000

16 1.0e+004 *0.0001

36 1.0e+004 *0.0000

17 1.0e+004 *0.0001

37 1.0e+004 *0.0000

18 1.0e+004 *0.0001

38 1.0e+004 *0.0000

19 1.0e+004 *0.0001

39 1.0e+004 *0.0000

20 1.0e+004 *0.0001

40 1.0e+004 *0.0000

(35)

Rata-Rata Error Estimasi

Waktu Komputasi Algoritma

ALGORITMA

KETINGGIAN

KECEPATAN

UKF

0,24087

0,261657

ADAP

T

IVE

CO

V

ARI

ANCE

RANK

UK

F

Rank 36

0,235767

0,25470

Rank 30

0,254133

0,264552

Rank 20

0,259491

0,270505

Rank 18

27,44600

1,167964

SIMULASI

KE-

UKF

ACR-UKF

RANK 36

RANK 30

RANK 20

RANK 18

1 1,29680

1,67500

1,68250

1,63520

1,54354

2 1,35180

1,72350

1,69860

1,59250

1,57120

3 1,31350

1,78320

1,75710

1,58120

1,61510

4 1,30870

1,66180

1,71160

1,66540

1,52540

5 1,28900

1,61610

1,65210

1,55420

1,62140

6 1,28060

1,79930

1,69580

1,54850

1,54250

7 1,35200

1,56800

1,63270

1,68750

1,51240

8 1,28780

1,64650

1,70120

1,59800

1,52750

9 1,30500

1,67150

1,63650

1,62340

1,56170

10 1,35060

1,68790

1,61430

1,64230

1,54270

RATA-RATA

1,31358

1,68328

1,67824

1,61282

1,55634

(36)

Kesimpulan

1. Algoritma adaptive covariance rank unscented Kalman filter

merupakan algoritma filter tereduksi dari unscented Kalman filter.

Dalam adaptive covariance rank unscented Kalman filter, mariks

kovarian error dinyatakan dalam bentuk rank tereduksi dan tidak

dalam ukuran penuh. Teknik reduksi (pemotongan) rank yang

digunakan adalah dekomposisi nilai singular (singular value

decomposition).

2. Hasil simulasi yang telah dilakukan menggunakan algoritma adaptive

covariance rank unscented Kalman filter dan unscented Kalman filter

pada persamaan air dangkal non linear dalam bentuk saint venant

dengan dimensi sistem 40 menunjukkan bahwa nilai estimasi untuk

ketinggian dan kecepatan aliran nilai selisihnya sangat kecil terhadap

nilai realnya atau errornya sangat kecil. Reduksi rank dapat dilakukan

sampai dengan 50% atau reduksi rank 20 dengan hasil yang berimpit

dengan estimasi menggunakan unscented Kalman filter.

3. Hasil simulasi algoritma adaptive covariance rank unscented Kalman

filter pada persamaan air dangkal non linear dengan dimensi sistem

40 (20 grid) tidak mengurangi waktu komputasi full rank unscented

Kalman filter (UKF).

(37)

Daftar Pustaka

Albab, I. (2009), Reduksi Rank pada Akar Kuadrat Ensemble Kalman Filter, Tugas Akhir, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

Ambadan, J.T. dan Tang, Y. (2009), “Sigma-Point Kalman Filter Data Assimilation Methods for Strongly Nonlinear Systems”, Journal of The Atmospheric Sciences, Vol. 66, No. 2, hal. 261-285.

Apriliani, E. (2002), A Rank Reduction on The Square-Root Information Filter and The Modified Reduced Rank

Square Root Covariance Filter for A Vector Noise System, Disertasi Ph.D, Institut Teknologi Bandung,

Bandung.

Apriliani, E. dan Sanjaya, B. A. (2007), Reduksi Rank pada Matriks-Matriks Tertentu, Laporan Penelitian, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

Baehaqi, A. (2009), Estimasi Variabel Keadaan pada Non Isothermal Continuous Stirred Tank Reactor dengan

Metode Unscented Kalman Filter dan Ensemble Kalman Filter, Tesis Magister, Institut Teknologi Sepuluh

Nopember, Surabaya.

Gloria, O.H. (2005), Numerical Simulation of Shallow Water Equations and Some Physical Models in Image

Processing, Disertasi Ph.D, Universitat Pompeu Fabra, Barcelona.

Golub, H. G. dan Loan, C. F. V. (1993), Matrix Computations (second edition), The John Hopkins University Press, London.

Grewal, M.S. dan Andreas, A.P. (2001), Kalman Filtering: Teory and Practice Using Matlab, John Wiley & Sons, Inc., New York.

Julier, S. (2002), “The Scaled unscented transformation”, Proceedings of IEEE American Control Conference, Vol. 6, hal. 4555-4559.

Julier, S.J, Uhlmann, J. K. dan Durrant-Whyte, H. (1995), “A new approach for filtering nonlinear systems”,

Proceedings of the 14th IEEE American Control Conference, Seattle, WA, hal. 1628–1632.

Julier, S.J. dan Uhlmann, J. K. (1997), "A New Extension of the Kalman Filter to Nonlinear Systems”, Int.

Symposium Aerospace/Defense Sensing, Simulation and Controls,Orlando, FL.

Kalman, R. E. (1960), “A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problem”, Transactions of the

ASME-Journal of Basic Engineering, Vol. 82 (Seri D), hal. 34-45.

Kalnay, E. (2003), Atmospheric Modeling, Data Assimilation, and Predictability, Cambridge University Press, Cambridge.

Kandepu, R., Foss, B. dan Imsland, L. ( 2008), “Applying the unscented Kalman filter for nonlinear state estimation”, Journal of Process Control, Vol. 18, hal. 753-768.

Kleinbaurer, R.(2004), Kalman Filtering Implementation with Matlab, Study Report of Study Geodesy and Geoinformatics at Universitat Stuttgart, Helsinki University of Technology, Helsinki.

(38)

Daftar Pustaka

Lee, D. J. (2005), Nonlinear Bayesian Filtering with Applications to Estimation and Navigation, Disertasi Ph.D, Texas A&M University, Texas.

Magnus, J.R. dan Neudecker, H. (1999), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and

Econometrics, John Wiley and Sons Ltd., Chichester.

Masduki, A. dan Apriliani, E. (2008), “Estimation of Surabaya River Water Quality Using Kalman Filter Algorithm”, The Journal for Technology and Science, Vol. 19, No. 3, hal. 87-91.

Ortega, G. H. (2005), Numerical Simulation of Shallow Water Equations and Some Physical Models in Image

Processing, Tesis Ph.D., Universitas Pompeu Fabra, Barcelona.

Padilla, L. E. dan Rowley, C. W. (2010), “An adaptive-covariance-rank algorithm for unscented Kalman filter”,

submitted to the 49th_{IEEE Conference on Decision and Control, Department of Mechanical and Aerospace}

Engineering, Princeton University, Princeton.

Que, Y.T. dan Xu, K., (2005), “The Numerical Study of Roll-Waves in Inclined Open Channels”, International

Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol. 50, hal. 1003–1027.

Rudi, (2007), Estimasi Variabel Keadaan Sistem dengan Model Pengukuran Taklinear Menggunakan Extended

Kalman Filter dan Unscented Kalman Filter, Tesis Magister, Institut Teknologi Sepuluh Nopember,

Surabaya.

Setiadji, (2008), Aljabar Linear, Graha Ilmu, Yogyakarta.

van der Merwe, R. (2004), Sigma point Kalman filters for probabilistic inference in dynamic state space models, Disertasi PhD, Oregon Health and Science University, Oregon.

van der Merwe, R. and Wan, E. A. (2001), “Efficient Derivative-Free Kalman Filters for Online Learning”,

Prosiding European Symposium on Artificial Neural Networks (ESANN 2011), hal. 205-210.

Xiong, K, Liu, L. D. dan Zhang, H. Y. (2009), “Modified unscented Kalman filtering and its application in autonomous satellite Navigation”, Jurnal Aerospace Science and Technology, Vol. 13, hal. 238-246.

(39)