Impuls dan Rata rata Waktu Sebuah

Impuls dan Rata-rata Waktu Sebuah Gaya

Impuls I dari gaya adalah vektor yang didefinisikan oleh

I = ∫ F dt

Luas dibawah kurva f terhadap t adalah besarnya impuls gaya.Dengan menganggap bahwa F adalah gaya neto dan gerakan menggunakan hukum kedua newton F = dp/dt, kita dapat melihat bahwa impuls sama dengan perubahan momentum total selama selang waktu itu:

I = ∫ F dt = ∫ dp

dt dt

= p

t – pi = ∆p

Dari persamaan di atas kita dapat melihat bahwa satuan impuls adalah newton sekon atau kilogram-meter per sekon.

Untuk gaya umum F, impuls bergantung pada waktu ti dan tf tetapi gaya-gaya yang terjadi

dalam tumbukan adalah nol kecuali dalam selang waktu yang sangat singkat sepeti ditunjukkan pada gambar 7-30. Untuk gaya-gaya ini , impuls tidak bergantung pada selang waktu asalkan ti adalah tiap waktu sebelum tumbukan tf adalah sembarang waktu sesudahnya. Untuk jenis gaya inilah impuls sangat berguna.

Rata-rata waktu sebuah gaya untuk selang ∆t = tf – ti didefinisikan sebagai

F rata-rata = _{∆ t}1

∫ Fdt =

_{∆ t}I

Gaya rata- rata adalah gaya konstan yang memberikan impuls yang sama seperti gaya sesungguhnya dalam selang waktu ∆t. F rata-rata ditunjukkan dalam gambar 7-31.Seringkali

perhitungan gaya rata-rata pada tumbukan berguna untuk membandingkannya dengan gaya-gaya lain, seperti gaya-gaya gesek atau gaya-gaya gravitasi.

Gambar 7-30 Gambar 7-31

F F

F rata-rata

ti ∆t tf t ti ∆t tf t

Sebutir telur bermassa 50 g menggelinding dari sebuah meja yang tingginya 1 m dan pecah di lantai .(a) carilah impuls yang dikerjakan lantai pada telur. (b) Dengan mengansumsikan bahwa telur menempuh 2 cm setelah pertama kali menyentuh lantai, perkirakan waktu tumbukan dan gaya rata-rata yang dikerjakan lantai pada telur.

(a) Kita dapat menemukan kelajuan telur tepat sebelum menyentuh lantai dari rumus percepatan konstan v2 _{= 2 gy, dengan g adalah percepatan gravitasi, dan y adalah jarak}

jatuhnya telur. Untuk y = 1 m.

v2 _{= 2 gy = 2(9,81 m/s}2_{)(1 m) = 19,6 m}2_/s2

Kelajuannya adalah

v ¿

√

19,6 m/s ≈ 4,4 m/s

Momentum telur tepat sebelum menyentuh lantai berarah ke bawah dan besarnya adalah

pi = mv = (0,5 kg) (4,4 m/s)

= 0,22 kg m/s

Karena momentum akhir sama dengan nol, perubahan momentum adalah 0,22 kg m/s dalam arah ke atas. Jadi, impuls yang dikerjakan lantai pada telur adalah ke atas dan besarnya 0,22 kg m/s = 0,2 N.s.

(b) Dengan mengambil 1₂ (4,4 m/s) = 2,2 m/s untuk kelajuan rata-rata telur selama

tumbukan ,waktu tumbukan ditaksir sebesar ∆t = ∆ y

V rata−rata =

0,02m

2,2m/s

= 0,009 s = 9 ms

Gaya rata-rata adalah

F rata-rata = ∆(mv)

∆ t =

(0,05kg)(4,4m/s)

0,009s = 24 N

Nilai ini kira-kira 50 kali berat telur

Dorongan Jet

Ambillah F eks sebagai gaya eksternal neto yang bekerja pada roket, m adalah massa roket

(ditambah bahan bakar yang belum terbakar di dalamnya) dan v adalah kelajuan roket relatif terhadap bumi pada saat t (gambar 7-32a). Pada saat berikutnya t + ∆t ,roket telah mengeluarkan gas bermassa |∆m| (gambar 7-32b).Kita gunakan tanda nilai absolut karena massa gas yang dikeluarkan sama besarnya dengan perubahan massa roket ∆m, yang bernilai negatif. Jadi pada saat t + ∆t roket mempunyai massa m - |∆m| dan bergerak dengan kelajuan v + ∆v. Jika gas yang di buang dengan kelajuan ukeluar relatif terhadap roket,kecepatannya

pada saat t + ∆t relatif terhadap bumi adalah v – u keluar. Momentum awal pada saat t adalah pi

= mv

dt ∨¿ dinamakan dorongan roket :

Fdorongan = ukeluar

|

dm

dt

|

(a) Contoh :

Roket saturnus V yang digunakan dalam program apollo pendaratan di bulan mempunyai

massa awal mi sebesar 2,85 × 106 kg,berat kosong 27 persen,laju pembakaran

|

dm

dt

|

sebesar 13,84 × 103 _{kg/s dan dorongan F}

dorongan sebesar 34 ×106 N.carilah (a) kelajuan

pembuangan , (b) waktu pembakaran tb, (c) percepatan awal pada peluncuran , (d)

percepatan pada saat bahan bakar habis tb, dan (e) kelajuan akhir roket.

(a) Kelajuan pembuangan

(b) Karena berat kosong adalah 27 persen, massa bahan bakar yang terbakar adalah 73 persen dari massa awal atau mbahan bakar = (0,73)(2,85 × 106 _{kg) = 2,08 × 10}6 _kg.

Waktu yang diperlukan untuk membakar bahan bakar sebanyak ini dengan laju 13,84 × 103 _{kg/s adalah}

(d) Pada saat bahan bakar habis ,massa akhirnya adalah mf = (0,27)(2,85 ×106_{kg ) =7,7}

dv

dt = -g +

ukeluar

mi

|

dm dt

|

= -9,81 m/s2 ₊ 2,46km/s

7,7×106_kg

(13,84 ×10

3 kg/s)

= -9,81 m/s2 _{+ 44,26 m/s}2

= 34,4 m/s2 _{≈ 3,5 g}

(e) Kelajuan akhir roket adalah vf = + u keluar ln mi_mi - gtb

= (2,46 km/s) ln mi

0,27mi – (9,81 m/s2)(150 s)