TEORI HIMPUNAN (Kajian tentang Karakteristik, Relasi, Operasi dan Representasi Himpunan)

(Kajian tentang Karakteristik, Relasi, Operasi

dan Representasi Himpunan)

Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc

PS. Pendidikan Matematika FKIP PS. Sistem Informasi

1 _{Karakteristik Himpunan}

Karakteristik

Ekspresi Himpunan

2 _{Relasi dan Operasi Himpunan} Relasi Himpunan

Operasi Himpunan Diagram Venn

3 _{Kardinalitas dan Produk Kartesius} Kardinalitas

Produk Kartesius

Karakteristik

Ekspresi Himpunan

2 _{Relasi dan Operasi Himpunan}

Relasi Himpunan Operasi Himpunan Diagram Venn

3 _{Kardinalitas dan Produk Kartesius} Kardinalitas

1 _{Karakteristik Himpunan}

Karakteristik

Ekspresi Himpunan

2 _{Relasi dan Operasi Himpunan}

Relasi Himpunan Operasi Himpunan Diagram Venn

3 _{Kardinalitas dan Produk Kartesius}

Kardinalitas Produk Kartesius

Well-defined

Sebuah himpunan dikatakanwell-defined, jika secara definitif

dapat dinyatakan apakah suatu obyek merupakan elemen atau bukan elemen dari himpunan tersebut. Misalkan,

S={beberapa bilangan asli}, makaS bukan merupakan

himpunan yangwell-definedsebab tidak dapat dinyatakan

apakah 5∈Sataukah 56∈S. Berbeda jika dinyatakan,

S={empat bilangan asli pertama}, maka elemen-elemenS

Ekspresi

Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya. Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai{2,3,5}, atau{x|x

bilangan prima≤5}.

Sebuah himpunanStersusun atas elemen-elemen, dan jikaa merupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikan a∈S.

Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya. Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai{2,3,5}, atau{x|x

bilangan prima≤5}.

Sebuah himpunanStersusun atas elemen-elemen, dan jikaa

merupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikan

Ekspresi

Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya. Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai{2,3,5}, atau{x|x

bilangan prima≤5}.

Sebuah himpunanStersusun atas elemen-elemen, dan jikaa

merupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikan

a∈S.

Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang

1 _{kumpulan bunga putih}

2 _{kumpulan orang tinggi}

3 _{kumpulan warga negara RI}

4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ

5 _{kumpulan bilangan}

6 _{kumpulan orang miskin}

7 _{kumpulan anak pandai}

8 _{kumpulan gedung tinggi di Jember}

Mana yang merupakan himpunan?

1 _{kumpulan bunga putih}

2 _{kumpulan orang tinggi}

3 _{kumpulan warga negara RI}

4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ

5 _{kumpulan bilangan}

6 _{kumpulan orang miskin}

7 _{kumpulan anak pandai}

8 _{kumpulan gedung tinggi di Jember}

1 _{kumpulan bunga putih}

2 _{kumpulan orang tinggi}

3 _{kumpulan warga negara RI}

4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ

5 _{kumpulan bilangan}

6 _{kumpulan orang miskin}

7 _{kumpulan anak pandai}

8 _{kumpulan gedung tinggi di Jember}

Mana yang merupakan himpunan?

1 _{kumpulan bunga putih}

2 _{kumpulan orang tinggi}

3 _{kumpulan warga negara RI}

4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ

5 _{kumpulan bilangan}

6 _{kumpulan orang miskin}

7 _{kumpulan anak pandai}

8 _{kumpulan gedung tinggi di Jember}

1 _{kumpulan bunga putih}

2 _{kumpulan orang tinggi}

3 _{kumpulan warga negara RI}

4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ

5 _{kumpulan bilangan}

6 _{kumpulan orang miskin}

7 _{kumpulan anak pandai}

8 _{kumpulan gedung tinggi di Jember}

Mana yang merupakan himpunan?

1 _{kumpulan bunga putih}

2 _{kumpulan orang tinggi}

3 _{kumpulan warga negara RI}

4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ

5 _{kumpulan bilangan}

6 _{kumpulan orang miskin}

7 _{kumpulan anak pandai}

8 _{kumpulan gedung tinggi di Jember}

1 _{kumpulan bunga putih}

2 _{kumpulan orang tinggi}

3 _{kumpulan warga negara RI}

4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ

5 _{kumpulan bilangan}

6 _{kumpulan orang miskin}

7 _{kumpulan anak pandai}

8 _{kumpulan gedung tinggi di Jember}

Mana yang merupakan himpunan?

1 _{kumpulan bunga putih}

2 _{kumpulan orang tinggi}

3 _{kumpulan warga negara RI}

4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ

5 _{kumpulan bilangan}

6 _{kumpulan orang miskin}

7 _{kumpulan anak pandai}

8 _{kumpulan gedung tinggi di Jember}

1 _{kumpulan bunga putih}

2 _{kumpulan orang tinggi}

3 _{kumpulan warga negara RI}

4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ

5 _{kumpulan bilangan}

6 _{kumpulan orang miskin}

7 _{kumpulan anak pandai}

8 _{kumpulan gedung tinggi di Jember}

Mana yang merupakan himpunan?

1 _{kumpulan bunga putih}

2 _{kumpulan orang tinggi}

3 _{kumpulan warga negara RI}

4 kumpulan mahasiswa PSSI UNEJ

5 _{kumpulan bilangan}

6 _{kumpulan orang miskin}

7 _{kumpulan anak pandai}

8 _{kumpulan gedung tinggi di Jember}

9 kumpulan manusia yang pernah menginjakkan kaki di

Himpunan kosongkah?

1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku

2 _{himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul}

3 _{apakah{0}merupakan himpunan kosong}

Himpunan kosongkah?

1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku

2 _{himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul}

3 _{apakah{0}merupakan himpunan kosong}

Himpunan kosongkah?

1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku

2 _{himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul}

3 _{apakah{0}merupakan himpunan kosong}

Himpunan kosongkah?

1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku

2 _{himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul}

3 _{apakah{0}merupakan himpunan kosong}

Himpunan kosongkah?

1 himpunan segitiga yang mempunyai 2 sudut siku-siku

2 _{himpunan segitiga yang ketiga sudutnya tumpul}

3 _{apakah{0}merupakan himpunan kosong}

Think about it!

Apakah kumpulan pernyataan sehari-hari yang bernilai benar merupakan suatu himpunan?

Jika kita perhatikan pernyataan yang kita gunakan sehari-hari ternyata ada pernyataan yang belum pasti benar atau

Think about it!

Apakah kumpulan pernyataan sehari-hari yang bernilai benar merupakan suatu himpunan?

Jika kita perhatikan pernyataan yang kita gunakan sehari-hari ternyata ada pernyataan yang belum pasti benar atau

salahnya. Misalkan”ada makhluk hidup di planet Mars”atau

Himpunan Bagian

Sebuah himpunanBmerupakanhimpunan bagian(subset)

dari himpunanAdan dinotasikan ”B⊆A” atau ”A⊇B”, jika

setiap elemenBmerupakan elemenA.

Sejati dan Tak Sejati

Untuk setiap himpunanA,Adanφkeduanya merupakan himpunan bagian padaA. Adisebut sebagaihimpunan bagian tak sejati (improper subset), sedangkan himpunan bagian lainnya disebuthimpunan bagian sejati (proper subset)

Contoh

Sebuah himpunanBmerupakanhimpunan bagian(subset)

dari himpunanAdan dinotasikan ”B⊆A” atau ”A⊇B”, jika

setiap elemenBmerupakan elemenA.

Sejati dan Tak Sejati

Untuk setiap himpunanA,Adanφkeduanya merupakan

himpunan bagian padaA. Adisebut sebagaihimpunan bagian

tak sejati (improper subset), sedangkan himpunan bagian

lainnya disebuthimpunan bagian sejati (proper subset)

Himpunan Bagian

Sebuah himpunanBmerupakanhimpunan bagian(subset)

dari himpunanAdan dinotasikan ”B⊆A” atau ”A⊇B”, jika

setiap elemenBmerupakan elemenA.

Sejati dan Tak Sejati

Untuk setiap himpunanA,Adanφkeduanya merupakan

himpunan bagian padaA. Adisebut sebagaihimpunan bagian

tak sejati (improper subset), sedangkan himpunan bagian

lainnya disebuthimpunan bagian sejati (proper subset)

Contoh

MisalkanS={a,b,c}, makaS memiliki 8 macam himpunan

Himpunan Sama

HimpunanAdanBdikatakan sama (dinotasikanA=B) jika

dan hanya jikaA⊆BdanB⊆A

Contoh

1 HimpunanA={1,2,3,4}danB={3,2,4,1}adalah himpunan yang sama.

2 HimpunanP ={a_,b_,c}danQ={b_,a_,c_,b_,c}adalah himpunan yang sama.

Himpunan Sama

HimpunanAdanBdikatakan sama (dinotasikanA=B) jika

Himpunan Sama

HimpunanAdanBdikatakan sama (dinotasikanA=B) jika

dan hanya jikaA⊆BdanB⊆A

Contoh

1 HimpunanA={1_,2_,3_,4}danB={3_,2_,4_,1}adalah

himpunan yang sama.

2 HimpunanP ={a,b,c}danQ={b,a,c,b,c}adalah himpunan yang sama.

Himpunan Sama

HimpunanAdanBdikatakan sama (dinotasikanA=B) jika

Himpunan Sama

HimpunanAdanBdikatakan sama (dinotasikanA=B) jika

dan hanya jikaA⊆BdanB⊆A

Contoh

1 HimpunanA={1_,2_,3_,4}danB={3_,2_,4_,1}adalah

himpunan yang sama.

2 HimpunanP ={a,b,c}danQ={b,a,c,b,c}adalah

himpunan yang sama.

Himpunan Berpotongan

HimpunanAdanBdikatakan berpotongan jika dan hanya jika

ada elemenAyang menjadi elemenB

Contoh

1 _A={_x|_x2−_8x+₁₂=₀}_danB={_x|_x2−₄=₀} berpotongan,

Himpunan Berpotongan

HimpunanAdanBdikatakan berpotongan jika dan hanya jika

ada elemenAyang menjadi elemenB

Contoh

1 _A={x|x2−_8x+₁₂=0}_danB={x|x2−₄=0} berpotongan,

Himpunan Berpotongan

HimpunanAdanBdikatakan berpotongan jika dan hanya jika

ada elemenAyang menjadi elemenB

Contoh

1 _A={x|x2−_8x+₁₂=₀}_danB={x|x2−₄=₀}

berpotongan,

Himpunan Berpotongan

HimpunanAdanBdikatakan berpotongan jika dan hanya jika

ada elemenAyang menjadi elemenB

Contoh

1 _A={x|x2−_8x+₁₂=₀}_danB={x|x2−₄=₀}

berpotongan,

2 _{P ={x|x}2_{−8x+12=0}danQ={1,3,5}tidak}

Himpunan Saling Lepas

HimpunanAdanBdikatakan lepas (dinotasikanA||B) jika

hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama.

Contoh

1 _A={x|x2_{−8x+12=0}danB={x|x}2_−4=0}tidak lepas,

Himpunan Saling Lepas

HimpunanAdanBdikatakan lepas (dinotasikanA||B) jika

hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama.

Contoh

1 _A={x|x2_{−8x+12=0}danB={x|x}2_−4=0}tidak lepas,

Himpunan Saling Lepas

HimpunanAdanBdikatakan lepas (dinotasikanA||B) jika

hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama.

Contoh

1 _A={x|x2_{−8x+12=0}danB={x|x}2_−4=0}tidak

lepas,

Himpunan Saling Lepas

HimpunanAdanBdikatakan lepas (dinotasikanA||B) jika

hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama.

Contoh

1 _A={x|x2_{−8x+12=0}danB={x|x}2_−4=0}tidak

lepas,

Himpunan Ekivalen

Dua himpunan berhinggaAdanBdikatakan ekuivalen jika

hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalah sama.

Contoh

1 HimpunanA={1,2,3,4}danB={a,b,c,d}adalah himpunan yang ekuivalen.

2 _HimpunanP ={a_,b,c}_danQ={p_,q,r,s}_adalah himpunan yang tidak ekuivalen.

Dua himpunan berhinggaAdanBdikatakan ekuivalen jika hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalah sama.

Contoh

1 HimpunanA={1,2,3,4}danB={a,b,c,d}adalah himpunan yang ekuivalen.

2 _HimpunanP ={a,_b,c}_danQ={p,_q,r,s}_adalah himpunan yang tidak ekuivalen.

Himpunan Ekivalen

Dua himpunan berhinggaAdanBdikatakan ekuivalen jika

hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalah sama.

Contoh

1 HimpunanA={1_,2_,3_,4}danB={a,b,c,d}adalah

himpunan yang ekuivalen.

2 _HimpunanP ={a,_b,c}_danQ={p,_q,r,s}_adalah himpunan yang tidak ekuivalen.

Dua himpunan berhinggaAdanBdikatakan ekuivalen jika hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalah sama.

Contoh

1 HimpunanA={1_,2_,3_,4}danB={a,b,c,d}adalah

himpunan yang ekuivalen.

2 _HimpunanP ={a,_b,c}_danQ={p,_q,r,s}_adalah

himpunan yang tidak ekuivalen.

Himpunan Ekivalen

Dua himpunan berhinggaAdanBdikatakan ekuivalen jika

hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut adalah sama.

Contoh

1 HimpunanA={1_,2_,3_,4}danB={a,b,c,d}adalah

himpunan yang ekuivalen.

2 _HimpunanP ={a,_b,c}_danQ={p,_q,r,s}_adalah

himpunan yang tidak ekuivalen.

3 _{HimpunanN ={x|x}2_{−8x+12=0}danM ={5,10}}

Exercise

1 _{JikaA={1,2,3,4}, berapa banyak himpunan bagian dari} A? Sebutkan!

Exercise

1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut! 2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar

Exercise

Exercise

3 _{JikaP={jajargenjang},Q={belahketupat},}

R={persegi}danT ={persegipanjang}pada bidang datar.

1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut! 2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar

Exercise 3 _{JikaP={jajargenjang},Q={belahketupat},}

R={persegi}danT ={persegipanjang}pada bidang datar.

Exercise

R={persegi}danT ={persegipanjang}pada bidang datar.

1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!

2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar

Exercise

R={persegi}danT ={persegipanjang}pada bidang datar.

1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut!

Exercise

R={persegi}danT ={persegipanjang}pada bidang datar.

1 tentukan relasi antar himpunan-himpunan tersebut! 2 tentukan diagram Venn untuk melukiskan relasi antar

Gabungan

Gabungan himpunanAdanB(dinotasikanA∪B) adalah

himpunan semua elemenAatau semua elemenBatau elemen

keduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis

A∪B={x|x ∈A∨x ∈B}

1 _{JikaP={a,b,c,d}danQ={c,d,e,f}maka} P∪Q ={a,b,c,d,e,f}

2 A∪B danB∪Amerupakan dua himpunan yang sama. Buktikan!

Gabungan himpunanAdanB(dinotasikanA∪B) adalah

himpunan semua elemenAatau semua elemenBatau elemen

keduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis

A∪B={x|x ∈A∨x ∈B}

1 _{JikaP={a,b,c,d}danQ={c,d,e,f}maka} P∪Q ={a,b,c,d,e,f}

Gabungan

Gabungan himpunanAdanB(dinotasikanA∪B) adalah

himpunan semua elemenAatau semua elemenBatau elemen

keduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis

A∪B={x|x ∈A∨x ∈B}

1 _{JikaP={a,b,c,d}danQ={c,d,e,f}maka} P∪Q ={a,b,c,d,e,f}

2 A∪B danB∪Amerupakan dua himpunan yang sama. Buktikan!

Gabungan himpunanAdanB(dinotasikanA∪B) adalah

himpunan semua elemenAatau semua elemenBatau elemen

keduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis

A∪B={x|x ∈A∨x ∈B}

1 _{JikaP={a,b,c,d}danQ={c,d,e,f}maka} P∪Q ={a,b,c,d,e,f}

2 A∪B danB∪Amerupakan dua himpunan yang sama.

Gabungan

Gabungan himpunanAdanB(dinotasikanA∪B) adalah

himpunan semua elemenAatau semua elemenBatau elemen

keduanya. Secara notasi operasi gabungan dapat ditulis

A∪B={x|x ∈A∨x ∈B}

1 _{JikaP={a,b,c,d}danQ={c,d,e,f}maka} P∪Q ={a,b,c,d,e,f}

2 A∪B danB∪Amerupakan dua himpunan yang sama.

Buktikan!

3 Kedua himpunanAdanBmasing-masing merupakan

Irisan himpunanAdanB(dinotasikanA∩B) adalah himpunan

semua elemen persekutuan dari himpunanAdanB. Secara

notasi operasi irisan dapat ditulis

A∩B={x|x ∈A∧x ∈B}

1 _{JikaP={a,b,c}danQ={1,2}makaP∩Q=φ}

2 _{JikaP={a,b,c,d}danQ={c,d,e,f}maka} P∩Q ={c,d}

Irisan

Irisan himpunanAdanB(dinotasikanA∩B) adalah himpunan

semua elemen persekutuan dari himpunanAdanB. Secara

notasi operasi irisan dapat ditulis

A∩B={x|x ∈A∧x ∈B}

Irisan himpunanAdanB(dinotasikanA∩B) adalah himpunan

semua elemen persekutuan dari himpunanAdanB. Secara

notasi operasi irisan dapat ditulis

A∩B={x|x ∈A∧x ∈B}

1 _{JikaP={a,b,c}danQ={1,2}makaP∩Q=φ} 2 _{JikaP={a,b,c,d}danQ={c,d,e,f}maka}

P∩Q ={c,d}

Irisan

Irisan himpunanAdanB(dinotasikanA∩B) adalah himpunan

semua elemen persekutuan dari himpunanAdanB. Secara

notasi operasi irisan dapat ditulis

A∩B={x|x ∈A∧x ∈B}

Irisan himpunanAdanB(dinotasikanA∩B) adalah himpunan

semua elemen persekutuan dari himpunanAdanB. Secara

notasi operasi irisan dapat ditulis

A∩B={x|x ∈A∧x ∈B}

1 _{JikaP={a,b,c}danQ={1,2}makaP∩Q=φ} 2 _{JikaP={a,b,c,d}danQ={c,d,e,f}maka}

P∩Q ={c,d}

3 _{A∩B danB∩Amerupakan dua himpunan yang sama.}

Irisan

Irisan himpunanAdanB(dinotasikanA∩B) adalah himpunan

semua elemen persekutuan dari himpunanAdanB. Secara

notasi operasi irisan dapat ditulis

A∩B={x|x ∈A∧x ∈B}

Komplemen suatu himpunanA(dinotasikanA1atauAc) adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi

bukan elemenA. Secara notasi operasi komplemen dapat

Komplemen

Komplemen suatu himpunanA(dinotasikanA1atauAc) adalah

himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi

bukan elemenA. Secara notasi operasi komplemen dapat

Komplemen suatu himpunanA(dinotasikanA1atauAc) adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi

bukan elemenA. Secara notasi operasi komplemen dapat

Komplemen

Komplemen suatu himpunanA(dinotasikanA1atauAc) adalah

himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi

bukan elemenA. Secara notasi operasi komplemen dapat

Komplemen suatu himpunanA(dinotasikanA1atauAc) adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi

bukan elemenA. Secara notasi operasi komplemen dapat

Komplemen

Komplemen suatu himpunanA(dinotasikanA1atauAc) adalah

himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi

bukan elemenA. Secara notasi operasi komplemen dapat

Selisih himpunanAdanB(dinotasikanA−B) adalah

himpunan semua elemenAyang bukan elemenB. Secara

notasi operasi selisih dapat ditulis

A−B ={x|x ∈A∧x 6∈B}

Contoh

1 _{JikaP={a,b,c}danQ={1,2}makaP−Q=P}

Selisih

Selisih himpunanAdanB(dinotasikanA−B) adalah

himpunan semua elemenAyang bukan elemenB. Secara

notasi operasi selisih dapat ditulis

Selisih himpunanAdanB(dinotasikanA−B) adalah

himpunan semua elemenAyang bukan elemenB. Secara

notasi operasi selisih dapat ditulis

A−B ={x|x ∈A∧x 6∈B}

Contoh

1 _{JikaP={a,b,c}danQ={1,2}makaP−Q=P} 2 _JikaP={a,_b,c,d}_danQ={c,_d,e,f}_maka

Selisih

Selisih himpunanAdanB(dinotasikanA−B) adalah

himpunan semua elemenAyang bukan elemenB. Secara

notasi operasi selisih dapat ditulis

Selisih himpunanAdanB(dinotasikanA−B) adalah

himpunan semua elemenAyang bukan elemenB. Secara

notasi operasi selisih dapat ditulis

A−B ={x|x ∈A∧x 6∈B}

Contoh

1 _{JikaP={a,b,c}danQ={1,2}makaP−Q=P} 2 _JikaP={a,_b,c,d}_danQ={c,_d,e,f}_maka

Jumlah

Jumlah himpunanAdanB(dinotasikanA+B) adalah

himpunan semua elemenAatau semua elemenBtetapi bukan

elemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis

Jumlah himpunanAdanB(dinotasikanA+B) adalah

himpunan semua elemenAatau semua elemenBtetapi bukan

elemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis

A+B ={x|(x ∈A∨x ∈B)∧(x 6∈A∩B)}

1 JikaA={x|x2−8x +12=0}danB={x|x2−4=0} makaA+B={−2,6}

Jumlah

Jumlah himpunanAdanB(dinotasikanA+B) adalah

himpunan semua elemenAatau semua elemenBtetapi bukan

elemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis

Jumlah himpunanAdanB(dinotasikanA+B) adalah

himpunan semua elemenAatau semua elemenBtetapi bukan

elemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis

A+B ={x|(x ∈A∨x ∈B)∧(x 6∈A∩B)}

1 JikaA={x|x2−8x +12=0}danB={x|x2−4=0}

makaA+B={−2,6}

Jumlah

Jumlah himpunanAdanB(dinotasikanA+B) adalah

himpunan semua elemenAatau semua elemenBtetapi bukan

elemen keduanya. Secara notasi operasi jumlah dapat ditulis

Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antar

beberapa himpunan adalah dengan menggunakandiagram

Venn

Misalnya himpunan semestanya adalahS ={1,2,3, ...,10}. Misalkan pulaA={2,4,7,9},B={1,4,6,7,10}, dan C={3,5,7,9}. Tentukan:

1 _A∪B

2 _A∩C

Diagram Venn

Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antar

beberapa himpunan adalah dengan menggunakandiagram

Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antar

beberapa himpunan adalah dengan menggunakandiagram

Venn

Misalnya himpunan semestanya adalahS ={1,2,3, ...,10}. Misalkan pulaA={2,4,7,9},B={1,4,6,7,10}, dan

C={3,5,7,9}. Tentukan:

1 _A∪B 2 _A∩C

Diagram Venn

Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antar

beberapa himpunan adalah dengan menggunakandiagram

Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antar

beberapa himpunan adalah dengan menggunakandiagram

Venn

Misalnya himpunan semestanya adalahS ={1,2,3, ...,10}. Misalkan pulaA={2,4,7,9},B={1,4,6,7,10}, dan

C={3,5,7,9}. Tentukan:

Diagram Venn

Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antar

beberapa himpunan adalah dengan menggunakandiagram

Cara yang efektif menggambarkan relasi atau operasi antar

beberapa himpunan adalah dengan menggunakandiagram

Venn

Misalnya himpunan semestanya adalahS ={1,2,3, ...,10}. Misalkan pulaA={2,4,7,9},B={1,4,6,7,10}, dan

C={3,5,7,9}. Tentukan:

MisalkanAdanBdua himpunan yang berpotongan,n(A) =a,

n(B) =b, dann(A∩B) =x, maka

n(A∪B) = n(A−B) +n(B−A) +n(A∩B)

= (a−x) + (b−x) +x

= a+b−x

Persoalan

Di sebuah warung makan datang 100 tamu. 65 tamu memesan pecel, 58 tamu memesan soto, dan semua tamu memesan paling sedikit satu soto atau pecel.

Persoalan ini dapat dikembangkan untuk kasus yang melibatkan tiga himpunanA,B,C. Jikan(A) =a,n(B) =b,

n(C) =c,n(A∩B) =x,n(B∩C) =y,n(A∩C) =z, dan

n(A∩B∩C) =p, coba anda hitungn(A∪B∪C)!

Dari 75 mahasiswa yang tinggal di sebuah asrama, 47 orang memiliki radio, 18 orang memiliki tv, 39 orang memiliki tape, 10 orang memiliki radio dan tv, 12 orang memiliki tv dan tape, 30 orang memiliki radio dan tape, dan 6 orang memiliki ketiganya. a. Berapa yang hanya memiliki tape?

Pengembangan

Persoalan ini dapat dikembangkan untuk kasus yang melibatkan tiga himpunanA,B,C. Jikan(A) =a,n(B) =b,

n(C) =c,n(A∩B) =x,n(B∩C) =y,n(A∩C) =z, dan

n(A∩B∩C) =p, coba anda hitungn(A∪B∪C)!

Dari 75 mahasiswa yang tinggal di sebuah asrama, 47 orang memiliki radio, 18 orang memiliki tv, 39 orang memiliki tape, 10 orang memiliki radio dan tv, 12 orang memiliki tv dan tape, 30 orang memiliki radio dan tape, dan 6 orang memiliki ketiganya. a. Berapa yang hanya memiliki tape?

b. Berapa yang tidak memiliki satupun?

Buktikan

1 _A⊂(A∪B)

2 _{JikaA∪B=φmakaA=φdanB=φ.}

3 (A∩B)⊂A

4 A⊂Bjika hanya jika(A∪B) =B

5 _(A−B)⊂A

6 _{(A−B)∩B=φ}

7 _{M ⊂N jika hanya jikaM−N =φ}

Buktikan

1 _A⊂(A∪B)

2 _{JikaA∪B=φmakaA=φdanB=φ.}

3 (A∩B)⊂A

4 A⊂Bjika hanya jika(A∪B) =B

5 _(A−B)⊂A

6 _{(A−B)∩B=φ}

7 _{M ⊂N jika hanya jikaM−N =φ}

Buktikan

1 _A⊂(A∪B)

2 _{JikaA∪B=φmakaA=φdanB=φ.} 3 (A∩B)⊂A

4 A⊂Bjika hanya jika(A∪B) =B

5 _(A−B)⊂A

6 _{(A−B)∩B=φ}

7 _{M ⊂N jika hanya jikaM−N =φ}

Buktikan

1 _A⊂(A∪B)

2 _{JikaA∪B=φmakaA=φdanB=φ.} 3 (A∩B)⊂A

4 A⊂Bjika hanya jika(A∪B) =B

5 _(A−B)⊂A

6 _{(A−B)∩B=φ}

7 _{M ⊂N jika hanya jikaM−N =φ}

Buktikan

1 _A⊂(A∪B)

2 _{JikaA∪B=φmakaA=φdanB=φ.} 3 (A∩B)⊂A

4 A⊂Bjika hanya jika(A∪B) =B

5 _(A−B)⊂A

6 _{(A−B)∩B=φ}

7 _{M ⊂N jika hanya jikaM−N =φ}

Buktikan

1 _A⊂(A∪B)

2 _{JikaA∪B=φmakaA=φdanB=φ.} 3 (A∩B)⊂A

4 A⊂Bjika hanya jika(A∪B) =B

5 _(A−B)⊂A 6 _{(A−B)∩B=φ}

7 _{M ⊂N jika hanya jikaM−N =φ}

Buktikan

1 _A⊂(A∪B)

2 _{JikaA∪B=φmakaA=φdanB=φ.} 3 (A∩B)⊂A

4 A⊂Bjika hanya jika(A∪B) =B

5 _(A−B)⊂A 6 _{(A−B)∩B=φ}

7 _{M ⊂N jika hanya jikaM−N =φ}

Buktikan

1 _A⊂(A∪B)

2 _{JikaA∪B=φmakaA=φdanB=φ.} 3 (A∩B)⊂A

4 A⊂Bjika hanya jika(A∪B) =B

5 _(A−B)⊂A 6 _{(A−B)∩B=φ}

7 _{M ⊂N jika hanya jikaM−N =φ}

Buktikan

1 _A⊂(A∪B)

2 _{JikaA∪B=φmakaA=φdanB=φ.} 3 (A∩B)⊂A

4 A⊂Bjika hanya jika(A∪B) =B

5 _(A−B)⊂A 6 _{(A−B)∩B=φ}

7 _{M ⊂N jika hanya jikaM−N =φ}

Definisi

Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunan

adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut.

Kardinalitas himpunanAdinotasikan|A|

Contoh

JikaA={e,f,g,h}maka|A|=4

Definisi

Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunan

adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut.

Kardinalitas himpunanAdinotasikan|A|

Contoh

JikaA={e,f,g,h}maka|A|=4

Definisi

Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunan

adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut.

Kardinalitas himpunanAdinotasikan|A|

Contoh

JikaA={e,f,g,h}maka|A|=4

Definisi

Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunan

adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut.

Kardinalitas himpunanAdinotasikan|A|

Contoh

JikaA={e,f,g,h}maka|A|=4

Power Set

MisalkanAadalah sebuah himpunan. Power set(himpunan

kuasa)dari himpunanAadalah himpunan semua subset dari

A, dan dinotasikanP(A)

Contoh

Power Set

MisalkanAadalah sebuah himpunan. Power set(himpunan

kuasa)dari himpunanAadalah himpunan semua subset dari

A, dan dinotasikanP(A)

Contoh

MisalkanS={a,b,c}, makaP(A) ={φ,{a},{b},{c},{a,b},

Teorema

MisalkanAadalah sebuah himpunan dengannelemen. Maka

Amemiliki 2nsubset.

Bukti

MisalkanA={x1,x2, ...,xn}. Untuk menyusun sebuah subsetB

padaAkita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemen dariAsecara berurutan dan memutuskan apakah element tersebut merupakan anggota atau bukan anggota dariB. Ada 2 kemungkinan untuk suatu elemenxi, apakahxi ∈Bataukah

xi 6∈B. Indeksibergerak dari 1 hinggan, sehingga total subset

yang terbentuk adalah

MisalkanAadalah sebuah himpunan dengannelemen. Maka

Amemiliki 2nsubset.

Bukti

MisalkanA={x1,x2, ...,xn}. Untuk menyusun sebuah subsetB

padaAkita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemen

dariAsecara berurutan dan memutuskan apakah element

tersebut merupakan anggota atau bukan anggota dariB. Ada 2

kemungkinan untuk suatu elemenxi, apakahxi ∈Bataukah

xi 6∈B. Indeksibergerak dari 1 hinggan, sehingga total subset

Definisi

Produk Kartesius dari dua himpunanAdanBdidefinisikan

sebagai

A×B={(x,y)|x ∈A,y ∈B}

More generally

Produk Kartesius darinhimpunanA1,A2, ...,Andidefinisikan

sebagai

Definisi

Produk Kartesius dari dua himpunanAdanBdidefinisikan

sebagai

A×B={(x,y)|x ∈A,y ∈B}

More generally

Produk Kartesius darinhimpunanA1,A2, ...,Andidefinisikan

sebagai

Produk Kartesius dan Komputasi

Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusan

denganstringsdari karakter-karakter yang didefinisikan

berdasarkan aturan tertentu

Misalnya

Pada beberapa komputer, kode pengguna yang

Produk Kartesius dan Komputasi

Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusan

denganstringsdari karakter-karakter yang didefinisikan

berdasarkan aturan tertentu

Misalnya

Pada beberapa komputer, kode pengguna yang

mengidentifikasi seorang pengguna yang terdaftar harus berisikan 3 huruf, diikuti 3 digit angka, dan diakhiri dengan

Jika

Ladalah himpunan semua huruf danDadalah himpunan

semua digit angka, maka himpunan semua kode pengguna yang valid adalah

L×L×L×D×D×D×L

Kode pengguna

XYZ123Aberkorespondensi dengan elemen

(X,Y,Z,1,2,3,A)dalam himpunanL×L×L×D×D×D×L.

Catatan

Perbedaan penulisanXYZ123Adengan(X,Y,Z,1,2,3,A)

Ladalah himpunan semua huruf danDadalah himpunan semua digit angka, maka himpunan semua kode pengguna yang valid adalah

L×L×L×D×D×D×L

Kode pengguna

XYZ123Aberkorespondensi dengan elemen

(X,Y,Z,1,2,3,A)dalam himpunanL×L×L×D×D×D×L.

Jika

Ladalah himpunan semua huruf danDadalah himpunan

semua digit angka, maka himpunan semua kode pengguna yang valid adalah

L×L×L×D×D×D×L

Kode pengguna

XYZ123Aberkorespondensi dengan elemen

(X,Y,Z,1,2,3,A)dalam himpunanL×L×L×D×D×D×L.

Catatan

Perbedaan penulisanXYZ123Adengan(X,Y,Z,1,2,3,A)

himpunan dengan dirinya sendiri. JikaAsebuah himpunan,

maka produk KartesiusA×A×...×A(sebanyak n kali)

dinotasikanAn

An={(x1,x2, ...,xn)|∀i ∈ {1,2, ...,n}(xi ∈A)}

Contoh 1:

R2={(x,y)|x,y ∈R}

Contoh 2

Kadang kita perlu membentuk produk Kartesius dari sebuah

himpunan dengan dirinya sendiri. JikaAsebuah himpunan,

maka produk KartesiusA×A×...×A(sebanyak n kali)

Terkait dengan produk Kartesius{0,1}n_{. Elemen}

(1,0,0,1,0,1,1,1)∈ {0,1}8_{. Kita dapat memandang{0,1}}n

himpunan dengan dirinya sendiri. JikaAsebuah himpunan,

maka produk KartesiusA×A×...×A(sebanyak n kali)

dinotasikanAn

An={(x1,x2, ...,xn)|∀i ∈ {1,2, ...,n}(xi ∈A)}

Contoh 1:

R2={(x,y)|x,y ∈R}

Contoh 2

Pengantar

Beberapa bahasa pemrograman, seperti Pascal,

memungkinkan himpunan-himpunan direkam dalam lingkungan tipe data tertentu, dimana elemen-elemen dari himpunan tersebut masuk dalam salah satu tipe data yang disediakan

dalam bahasa tersebut, sepertiintegersataucharacters.

Pertanyaannya:

Pengantar

Beberapa bahasa pemrograman, seperti Pascal,

memungkinkan himpunan-himpunan direkam dalam lingkungan tipe data tertentu, dimana elemen-elemen dari himpunan tersebut masuk dalam salah satu tipe data yang disediakan

dalam bahasa tersebut, sepertiintegersataucharacters.

Pertanyaannya:

Sebuah himpunan

selalu didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacu

pada sebuah himpunan semestaS. Dalam konteks ini ada

suatu perkecualian terhadap aturan yang secara umum menyebutkan bahwa urutan elemen suatu himpunan tidak relevan, karena perlu diasumsikan bahwa elemen-elemen dari himpunan semesta didaftar menurut urutan tertentu.

Setiap himpunanA

selalu didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacu

pada sebuah himpunan semestaS. Dalam konteks ini ada

suatu perkecualian terhadap aturan yang secara umum menyebutkan bahwa urutan elemen suatu himpunan tidak relevan, karena perlu diasumsikan bahwa elemen-elemen dari himpunan semesta didaftar menurut urutan tertentu.

Setiap himpunanA

yang muncul dalam program dan didefinisikan dengan

The answer:

Adirepresentasikan dengan sebuah stringnbits,b1b2...bn,

dimananadalah bilangan kardinal dariS. Bit stringb1b2...bn

dapat dipandang sebagai elemen(b1,b2, ...,bn)dalam{0,1}n.

Bit tersebut ditentukan berdasarkan aturan:

bi =1 jika elemen ke-idariSberada dalamA bi =0 jika elemen ke-idariStidak berada dalamA

MisalkanS={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

1 Tentukan representasi dari{2,3,5,7}sebagai sebuah bit string!

2 _{Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string} 1001011011!

Jawab:

1 _{representasi bit string dari{2,3,5,7}adalah 0110101000}

Contoh

MisalkanS={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

1 Tentukan representasi dari{2_,3_,5_,7}sebagai sebuah bit

string!

2 _{Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string} 1001011011!

Jawab:

1 _{representasi bit string dari{2,3,5,7}adalah 0110101000}

MisalkanS={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

1 Tentukan representasi dari{2_,3_,5_,7}sebagai sebuah bit

string!

2 _{Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string}

1001011011!

Jawab:

1 _{representasi bit string dari{2,3,5,7}adalah 0110101000}

Contoh

MisalkanS={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

1 Tentukan representasi dari{2_,3_,5_,7}sebagai sebuah bit

string!

2 _{Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string}

1001011011!

Jawab:

1 _{representasi bit string dari{2,3,5,7}adalah 0110101000}

MisalkanS={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

1 Tentukan representasi dari{2_,3_,5_,7}sebagai sebuah bit

string!

2 _{Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string}

1001011011!

Jawab:

Contoh

MisalkanS={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

1 Tentukan representasi dari{2_,3_,5_,7}sebagai sebuah bit

string!

2 _{Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string}

1001011011!

Jawab:

1 _{representasi bit string dari{2,3,5,7}adalah 0110101000}

2 _{himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011}

irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalam bit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yang terlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama

Proses kalkulasi

untuk mendapatkan bit string dariA∩Bdisebut operasibitwise and.

Operasi

irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalam bit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yang terlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama

Proses kalkulasi

untuk mendapatkan bit string dariA∩Bdisebut operasibitwise

and.

untuk mendapatkan bit string dariA∪Bdisebut operasibitwise or.

irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalam bit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yang terlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama

Proses kalkulasi

untuk mendapatkan bit string dariA∩Bdisebut operasibitwise

and.

untuk mendapatkan bit string dariA∪Bdisebut operasibitwise

Operasi

irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalam bit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yang terlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama

Proses kalkulasi

untuk mendapatkan bit string dariA∩Bdisebut operasibitwise

and.

untuk mendapatkan bit string dariA∪Bdisebut operasibitwise

or.

Jika bit string untuk himpunanAadalah 00101110 dan bit

string untuk himpunanBadalah 10100101. Maka tentukan bit

string untuk:

A∩B,A∪B, danA

Jawab:

1 _{bit string untukA∩Badalah 00100100}

2 _{bit string untukA∪Badalah 10101111}

3 _{bit string untukAadalah 11010001}

Contoh

Jika bit string untuk himpunanAadalah 00101110 dan bit

string untuk himpunanBadalah 10100101. Maka tentukan bit

string untuk:

A∩B,A∪B, danA

Jawab:

1 _{bit string untukA∩Badalah 00100100}

2 _{bit string untukA∪Badalah 10101111}

3 _{bit string untukAadalah 11010001}

Coba cek

Jika bit string untuk himpunanAadalah 00101110 dan bit

string untuk himpunanBadalah 10100101. Maka tentukan bit

string untuk:

A∩B,A∪B, danA

Jawab:

1 _{bit string untukA∩Badalah 00100100}

2 _{bit string untukA∪Badalah 10101111}

3 _{bit string untukAadalah 11010001}

Contoh

Jika bit string untuk himpunanAadalah 00101110 dan bit

string untuk himpunanBadalah 10100101. Maka tentukan bit

string untuk:

A∩B,A∪B, danA

Jawab:

1 _{bit string untukA∩Badalah 00100100}

2 _{bit string untukA∪Badalah 10101111}

3 _{bit string untukAadalah 11010001}

Coba cek

Jika bit string untuk himpunanAadalah 00101110 dan bit

string untuk himpunanBadalah 10100101. Maka tentukan bit

string untuk:

A∩B,A∪B, danA

Jawab:

1 _{bit string untukA∩Badalah 00100100}

2 _{bit string untukA∪Badalah 10101111}

3 _{bit string untukAadalah 11010001}

Contoh

Jika bit string untuk himpunanAadalah 00101110 dan bit

string untuk himpunanBadalah 10100101. Maka tentukan bit

string untuk:

A∩B,A∪B, danA

Jawab:

1 _{bit string untukA∩Badalah 00100100}

2 _{bit string untukA∪Badalah 10101111}

3 _{bit string untukAadalah 11010001}

Coba cek