MATEMATIKA DASAR (Kardinalitas)

(1)

MATEMATIKA DASAR

(Kardinalitas)

Antonius Cahya Prihandoko

Universitas Jember Indonesia

(2)

Outline

1 Kardinalitas

2 _{Produk Kartesius}

(3)

Outline

1 Kardinalitas

(4)

Outline

1 Kardinalitas

(5)

(6)

Kardinalitas

Definisi

Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunan adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut. Kardinalitas himpunan A dinotasikan|A|

Contoh

Jika A= {e,f,g,h}maka|A| =4

(7)

Kardinalitas

Definisi

Contoh

Jika A= {e,f,g,h}maka|A| =4

(8)

Kardinalitas

Definisi

Contoh

(9)

Kardinalitas

Definisi

Contoh

(10)

Kardinalitas

Power Set

Misalkan A adalah sebuah himpunan. Power set (himpunan kuasa) dari himpunan A adalah himpunan semua subset dari A, dan dinotasikan P(A)

Contoh

Misalkan S = {a,b,c}, maka P(A) = { φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c}, {b,c},{a,b,c} }.

(11)

Kardinalitas

Power Set

Misalkan A adalah sebuah himpunan. Power set (himpunan kuasa) dari himpunan A adalah himpunan semua subset dari A, dan dinotasikan P(A)

Contoh

Misalkan S = {a,b,c}, maka P(A) = { φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},

(12)

Kardinalitas

Teorema

Misalkan A adalah sebuah himpunan dengan n elemen. Maka A memiliki 2nsubset.

Bukti

Misalkan A= {x1,x2, ...,xn}. Untuk menyusun sebuah subset B pada

A kita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemen dari A secara berurutan dan memutuskan apakah element tersebut

merupakan anggota atau bukan anggota dari B. Ada 2 kemungkinan untuk suatu elemen xi, apakah xi ∈B ataukah xi 6∈B. Indeks i

bergerak dari 1 hingga n, sehingga total subset yang terbentuk adalah 2×2×2× ... ×2=2n

(13)

Kardinalitas

Teorema

Misalkan A adalah sebuah himpunan dengan n elemen. Maka A memiliki 2nsubset.

Bukti

Misalkan A= {x1,x2, ...,xn}. Untuk menyusun sebuah subset B pada

A kita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemen dari A

secara berurutan dan memutuskan apakah element tersebut

merupakan anggota atau bukan anggota dari B. Ada 2 kemungkinan untuk suatu elemen xi, apakah xi ∈B ataukah xi 6∈B. Indeks i

bergerak dari 1 hingga n, sehingga total subset yang terbentuk adalah 2×2×2× ... ×2=2n

(14)

(15)

Produk Kartesius

Definisi

Produk Kartesius dari dua himpunan A dan B didefinisikan sebagai

A×B= {(x,y)|x ∈A,y ∈B} More generally

Produk Kartesius dari n himpunan A1,A2, ...,Andidefinisikan sebagai

(16)

Produk Kartesius

Definisi

Produk Kartesius dari dua himpunan A dan B didefinisikan sebagai

A×B= {(x,y)|x ∈A,y ∈B} More generally

Produk Kartesius dari n himpunan A1,A2, ...,Andidefinisikan sebagai

(17)

Produk Kartesius

Produk Kartesius dan Komputasi

Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusan dengan strings dari karakter-karakter yang didefinisikan berdasarkan aturan tertentu

Misalnya

Pada beberapa komputer, kode pengguna yang mengidentifikasi seorang pengguna yang terdaftar harus berisikan 3 huruf, diikuti 3 digit angka, dan diakhiri dengan sebuah huruf. Misalnya XYZ 123A.

(18)

Produk Kartesius

Produk Kartesius dan Komputasi

Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusan dengan strings dari karakter-karakter yang didefinisikan berdasarkan aturan tertentu

Misalnya

Pada beberapa komputer, kode pengguna yang mengidentifikasi seorang pengguna yang terdaftar harus berisikan 3 huruf, diikuti 3 digit angka, dan diakhiri dengan sebuah huruf. Misalnya XYZ 123A.

(19)

Produk Kartesius

Jika

L adalah himpunan semua huruf dan D adalah himpunan semua digit

angka, maka himpunan semua kode pengguna yang valid adalah

L×L×L×D×D×D×L Kode pengguna

XYZ 123A berkorespondensi dengan elemen(X,Y,Z,1,2,3,A)dalam himpunan L×L×L×D×D×D×L.

Catatan

Perbedaan penulisan XYZ 123A dengan(X,Y,Z,1,2,3,A)hanya pada notasi saja dan bukan secara prinsip.

(20)

Produk Kartesius

Jika

XYZ 123A berkorespondensi dengan elemen(X,Y,Z,1,2,3,A)dalam

himpunan L×L×L×D×D×D×L.

Catatan

(21)

Produk Kartesius

Jika

XYZ 123A berkorespondensi dengan elemen(X,Y,Z,1,2,3,A)dalam

himpunan L×L×L×D×D×D×L.

Catatan

(22)

Produk Kartesius

Kadang kita perlu membentuk produk Kartesius dari sebuah himpunan dengan dirinya sendiri. Jika A sebuah himpunan, maka produk

Kartesius A×A× ... ×A (sebanyak n kali) dinotasikan An An= {(x1,x2, ...,xn)|∀i ∈ {1,2, ...,n}(xi ∈A)}

Contoh 1:

R2= {(x,y)|x,y ∈R} Contoh 2

Terkait dengan produk Kartesius{0,1}n_{. Elemen}

(1,0,0,1,0,1,1,1) ∈ {0,1}8_{. Kita dapat memandang}_{0,_1}n_sebagai

(23)

Produk Kartesius

Contoh 1:

R2= {(x,y)|x,y ∈R}

Contoh 2

(1,0,0,1,0,1,1,1) ∈ {0,1}8_{. Kita dapat memandang}_{0,_1}n_sebagai

(24)

Produk Kartesius

Contoh 1:

R2= {(x,y)|x,y ∈R}

Contoh 2

(1,0,0,1,0,1,1,1) ∈ {0,1}8_{. Kita dapat memandang}_{₀_,₁_}n_sebagai

(25)

(26)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Pengantar

Beberapa bahasa pemrograman, seperti Pascal, memungkinkan himpunan-himpunan direkam dalam lingkungan tipe data tertentu, dimana elemen-elemen dari himpunan tersebut masuk dalam salah satu tipe data yang disediakan dalam bahasa tersebut, seperti integers atau characters.

Pertanyaannya:

Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasi dalam sebuah komputer?

(27)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Pengantar

Beberapa bahasa pemrograman, seperti Pascal, memungkinkan himpunan-himpunan direkam dalam lingkungan tipe data tertentu, dimana elemen-elemen dari himpunan tersebut masuk dalam salah satu tipe data yang disediakan dalam bahasa tersebut, seperti integers atau characters.

Pertanyaannya:

Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasi dalam sebuah komputer?

(28)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Sebuah himpunan

selalu didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacu pada sebuah himpunan semesta S. Dalam konteks ini ada suatu

perkecualian terhadap aturan yang secara umum menyebutkan bahwa urutan elemen suatu himpunan tidak relevan, karena perlu

diasumsikan bahwa elemen-elemen dari himpunan semesta didaftar menurut urutan tertentu.

Setiap himpunan A

yang muncul dalam program dan didefinisikan dengan mengacu pada himpunan semesta S merupakan sub himpunan pada S. Lalu

(29)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Sebuah himpunan

selalu didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacu pada sebuah himpunan semesta S. Dalam konteks ini ada suatu

perkecualian terhadap aturan yang secara umum menyebutkan bahwa urutan elemen suatu himpunan tidak relevan, karena perlu

diasumsikan bahwa elemen-elemen dari himpunan semesta didaftar menurut urutan tertentu.

Setiap himpunan A

yang muncul dalam program dan didefinisikan dengan mengacu pada himpunan semesta S merupakan sub himpunan pada S. Lalu

(30)

Representasi Komputer untuk Himpunan

The answer:

A direpresentasikan dengan sebuah string n bits, b1b2...bn, dimana n

adalah bilangan kardinal dari S. Bit string b1b2...bn dapat dipandang

sebagai elemen(b1,b2, ...,bn)dalam{0,1}n. Bit tersebut ditentukan

berdasarkan aturan:

bi =1 jika elemen ke-i dari S berada dalam A

b_i =0 jika elemen ke-i dari S tidak berada dalam A dengan i bergerak dalam{1,2, ...,n}

(31)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

1 Tentukan representasi dari{2_,3_,5_,7}sebagai sebuah bit string! 2 _{Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string}

1001011011!

Jawab:

1 representasi bit string dari{2_,3_,5_,7}adalah 0110101000

2 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011 adalah

(32)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

1 Tentukan representasi dari{2_,3_,5_,7}sebagai sebuah bit string!

2 _{Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string}

1001011011! Jawab:

1 representasi bit string dari{2,3,5,7}adalah 0110101000 2 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011 adalah

(33)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

1001011011!

Jawab:

1 representasi bit string dari{2,3,5,7}adalah 0110101000

(34)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

1001011011!

Jawab:

1 representasi bit string dari{2_,3_,5_,7}adalah 0110101000 2 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011 adalah

(35)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

1001011011!

Jawab:

2 himpunan yang direpresentasikan oleh 1001011011 adalah {1,4,6,7,9,10}

(36)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

1001011011!

Jawab:

(37)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Operasi

irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalam bit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yang terlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama

Proses kalkulasi

untuk mendapatkan bit string dari A∩B disebut operasi bitwise and. untuk mendapatkan bit string dari A∪B disebut operasi bitwise or.

(38)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Operasi

Proses kalkulasi

untuk mendapatkan bit string dari A∩B disebut operasi bitwise and.

untuk mendapatkan bit string dari A∪B disebut operasi bitwise or.

(39)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Operasi

Proses kalkulasi

(40)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Operasi

Proses kalkulasi

(41)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Jika bit string untuk himpunan A adalah 00101110 dan bit string untuk himpunan B adalah 10100101. Maka tentukan bit string untuk:

A∩B, A∪B, dan A Jawab:

1 _{bit string untuk A}_∩_{B adalah 00100100}

2 _{bit string untuk A}∪_{B adalah 10101111} 3 _{bit string untuk A adalah 11010001}

Coba cek

kebenaran bit string tersebut dengan menggunakan operasi himpunan biasa

(42)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

1 _{bit string untuk A}_∩_{B adalah 00100100} 2 _{bit string untuk A}∪_{B adalah 10101111}

3 _{bit string untuk A adalah 11010001}

Coba cek

(43)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

2 _{bit string untuk A}∪_{B adalah 10101111} 3 _{bit string untuk A adalah 11010001}

Coba cek

(44)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

2 _{bit string untuk A}∪_{B adalah 10101111}

Coba cek

(45)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Coba cek

(46)

Representasi Komputer untuk Himpunan

Contoh

Coba cek

(47)

MATEMATIKA DASAR (Kardinalitas)