(Himpunan Terurut Parsial (Poset))
Antonius Cahya Prihandoko
University of Jember Indonesia
Outline
1 Himpunan Terurut Parsial
2 Himpunan Terurut Total
3 Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut
4 Himpunan Bagian Terurut Total
1 Himpunan Terurut Parsial
2 Himpunan Terurut Total
3 Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut
4 Himpunan Bagian Terurut Total
Outline
1 Himpunan Terurut Parsial
2 Himpunan Terurut Total
3 Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut
4 Himpunan Bagian Terurut Total
1 Himpunan Terurut Parsial
2 Himpunan Terurut Total
3 Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut
4 Himpunan Bagian Terurut Total
Outline
1 Himpunan Terurut Parsial
2 Himpunan Terurut Total
3 Himpunan Bagian dari Himpunan Terurut
4 Himpunan Bagian Terurut Total
Ingat
Urutan parsial atau partial order pada sebuah himpunan A adalah
suatu relasi yang bersifat:
1 refleksif
2 antisimetris 3 transitif
Jika relasi R pada A mendefinisikan suatu urutan parsial pada A, maka(a,b) ∈R dinyatakan dengan a≤b (dibaca a mendahului b)
Urutan parsial atau partial order pada sebuah himpunan A adalah
suatu relasi yang bersifat:
1 refleksif 2 antisimetris
3 transitif
Jika relasi R pada A mendefinisikan suatu urutan parsial pada A, maka(a,b) ∈R dinyatakan dengan a≤b (dibaca a mendahului b)
Ingat
Urutan parsial atau partial order pada sebuah himpunan A adalah
suatu relasi yang bersifat:
1 refleksif 2 antisimetris 3 transitif
Jika relasi R pada A mendefinisikan suatu urutan parsial pada A, maka(a,b) ∈R dinyatakan dengan a≤b (dibaca a mendahului b)
1 Jika A suatu himpunan tak kososng. Relasi ”subset” pada
keluarga himpunan 2Amerupakan urutan partial pada 2A.
2 Jika K sebarang himpunan bagian dariR, maka relasi ”≤” merupakan urutan parsial pada K .
3 Misal V = {A,B,C,D,E}dan diagram yang berarti x ≤y jika
x =y atau jika seseorang dapat pergi dari x ke y mengikuti arah
panah pada diagram berikut:
Contoh
1 Jika A suatu himpunan tak kososng. Relasi ”subset” pada
keluarga himpunan 2Amerupakan urutan partial pada 2A.
2 Jika K sebarang himpunan bagian dariR, maka relasi ”≤”
merupakan urutan parsial pada K .
3 Misal V = {A,B,C,D,E}dan diagram yang berarti x ≤y jika
x =y atau jika seseorang dapat pergi dari x ke y mengikuti arah
1 Jika A suatu himpunan tak kososng. Relasi ”subset” pada
keluarga himpunan 2Amerupakan urutan partial pada 2A.
2 Jika K sebarang himpunan bagian dariR, maka relasi ”≤”
merupakan urutan parsial pada K .
3 Misal V = {A,B,C,D,E}dan diagram yang berarti x ≤y jika
x =y atau jika seseorang dapat pergi dari x ke y mengikuti arah
panah pada diagram berikut:
Definisi
POSET
Suatu himpunan A bersama-sama dengan relasi urutan parsial R tertentu pada A disebut himpunan terurut parsial atau Partially
Ordered Set (POSET), yang dinyatakan sebagai(A,R)atau(A, ≤). Perhatikan notasi-notasi berikut:
a<b berarti a≤b dan a6=b (dibaca: a murni mendahului atau
murni membawahi b)
b≥a berarti a≤b (dibaca: b mengikuti atau mengatasi a) b>a berarti a<b (dibaca: b murni mengikuti atau murni mengatasi a)
POSET
Suatu himpunan A bersama-sama dengan relasi urutan parsial R tertentu pada A disebut himpunan terurut parsial atau Partially
Ordered Set (POSET), yang dinyatakan sebagai(A,R)atau(A, ≤). Perhatikan notasi-notasi berikut:
a<b berarti a≤b dan a6=b (dibaca: a murni mendahului atau
murni membawahi b)
b≥a berarti a≤b (dibaca: b mengikuti atau mengatasi a) b>a berarti a<b (dibaca: b murni mengikuti atau murni
Definisi
POSET
Suatu himpunan A bersama-sama dengan relasi urutan parsial R tertentu pada A disebut himpunan terurut parsial atau Partially
Ordered Set (POSET), yang dinyatakan sebagai(A,R)atau(A, ≤). Perhatikan notasi-notasi berikut:
a<b berarti a≤b dan a6=b (dibaca: a murni mendahului atau
murni membawahi b)
b≥a berarti a≤b (dibaca: b mengikuti atau mengatasi a)
b>a berarti a<b (dibaca: b murni mengikuti atau murni
POSET
Suatu himpunan A bersama-sama dengan relasi urutan parsial R tertentu pada A disebut himpunan terurut parsial atau Partially
Ordered Set (POSET), yang dinyatakan sebagai(A,R)atau(A, ≤). Perhatikan notasi-notasi berikut:
a<b berarti a≤b dan a6=b (dibaca: a murni mendahului atau
murni membawahi b)
b≥a berarti a≤b (dibaca: b mengikuti atau mengatasi a) b>a berarti a<b (dibaca: b murni mengikuti atau murni
Komparabel dan Urutan Invers
Dua anggota a dan b dari POSET dikatakan tidak komparabel
jika a≤b dan b≤a, yaitu jika tidak ada elemen yan mendahului
elemen lainnya.
Jika relasi R pada himpunan A mendefinisikan urutan parsial (refleksif, antisimetris dan transitif) maka relasi invers R−1juga mendefinisikan urutan parsial di A, dan disebut urutan invers.
Dua anggota a dan b dari POSET dikatakan tidak komparabel
jika a≤b dan b≤a, yaitu jika tidak ada elemen yan mendahului
elemen lainnya.
Jika relasi R pada himpunan A mendefinisikan urutan parsial (refleksif, antisimetris dan transitif) maka relasi invers R−1juga mendefinisikan urutan parsial di A, dan disebut urutan invers.
Urutan total pada himpunan A adalah urutan parsial di A dengan tambahan sifat trikotomi sebagai berikut:
a<b, a=b, atau a>b
untuk setiap anggota a,b∈A. Himpunan A bersama-sama dengan
urutan total tertentu di A disebut himpunan terurut total atau totally
Contoh
MisalRhimpunan bilangan riil (dengan urutan asal), maka setiap
dua elemen dalamRselalu komparabel, maka urutan parsial
padaRmerupakan urutan total.
Misal M = {1,2,3,4,5}dan didefinisikan relasi R sebagai ”kelipatan dari”, maka R merupakan urutan parsial, tetapi bukan urutan total, sebab 3 bukan kelipatan 2, 5 bukan kelipatan 3.
MisalRhimpunan bilangan riil (dengan urutan asal), maka setiap
dua elemen dalamRselalu komparabel, maka urutan parsial
padaRmerupakan urutan total.
Misal M = {1,2,3,4,5}dan didefinisikan relasi R sebagai ”kelipatan dari”, maka R merupakan urutan parsial, tetapi bukan urutan total, sebab 3 bukan kelipatan 2, 5 bukan kelipatan 3.
Jika relasi R mendefinisikan suatu urutan parsial pada A, dan B subset pada A, maka urutan parsial R di A akan menginduksi urutan parsial R0pada B secara alamiah:
Untuk a,b∈B,(a,b) ∈R0 atau a≤b berlaku di B jika hanya jika (a,b) ∈R atau a≤b juga berlaku di A.
Himpunan terurut(B,R0)disebut himpunan bagian (urutan parsial) dari himpunan terurut(A,R).
Definisi
Jika relasi R mendefinisikan suatu urutan parsial pada A, dan B subset pada A, maka urutan parsial R di A akan menginduksi urutan parsial R0pada B secara alamiah:
Untuk a,b∈B,(a,b) ∈R0 atau a≤b berlaku di B jika hanya jika (a,b) ∈R atau a≤b juga berlaku di A.
Himpunan terurut(B,R0)disebut himpunan bagian (urutan
Jika V = {A,B,C,D,E}mempunyai urutan seperti diagram berikut:
Misal A himpunan terurut parsial, maka urutan parsial pada A akan menginduksi urutan parsial pada subset-subsetnya, dan beberapa subset dapat memiliki urutan total.
Subset-subset{b,a,c},{e,a,c}, dan{e,d,c}merupakan himpunan bagian terurut total.
Subset-subset{b,a,e},{a,c,d}, dan{a,e,d}bukan merupakan himpunan bagian terurut total.
Totally Ordered Subset
Misal A himpunan terurut parsial, maka urutan parsial pada A akan menginduksi urutan parsial pada subset-subsetnya, dan beberapa subset dapat memiliki urutan total.
Subset-subset{b,a,c},{e,a,c}, dan{e,d,c}merupakan himpunan bagian terurut total.
Elemen Awal dan Elemen Akhir
Misal A adalah himpunan terurut.
Elemen a∈A disebut elemen awal dari A jika dan hanya jika a
mendahului setiap elemen dari A.
Elemen b∈A disebut elemen akhir dari A jika dan hanya jika b
Misal A adalah himpunan terurut.
Elemen a∈A disebut elemen awal dari A jika dan hanya jika a
mendahului setiap elemen dari A.
Elemen b∈A disebut elemen akhir dari A jika dan hanya jika b
Contoh
Pada himpunan terurut berikut:
tidak memiliki elemen awal, tetapi memiliki elemen akhir yaitu c.
Himpunan bilangan asli memiliki elemen awal, yakni 1, tetapi tidak memiliki elemen akhir.
Jika R merupakan relasi ”subset” pada himpunan 2A, maka (2A,R)merupakan POSET dan bukan TOSET. Elemen awal dari 2Aadalahπ dan elemen akhirnya adalah A.
Pada himpunan terurut berikut:
tidak memiliki elemen awal, tetapi memiliki elemen akhir yaitu c. Himpunan bilangan asli memiliki elemen awal, yakni 1, tetapi tidak memiliki elemen akhir.
Jika R merupakan relasi ”subset” pada himpunan 2A, maka (2A,R)merupakan POSET dan bukan TOSET. Elemen awal dari 2Aadalahπ dan elemen akhirnya adalah A.
Jika W = {x ∈ R|0<x <1}dan relasi R didefinisikan sebagai ”≤”, maka(W,R)merupakan TOSET, tetapi W tidak memiliki
Contoh
Pada himpunan terurut berikut:
tidak memiliki elemen awal, tetapi memiliki elemen akhir yaitu c. Himpunan bilangan asli memiliki elemen awal, yakni 1, tetapi tidak memiliki elemen akhir.
Jika R merupakan relasi ”subset” pada himpunan 2A, maka
(2A,R)merupakan POSET dan bukan TOSET. Elemen awal dari
2Aadalahπ dan elemen akhirnya adalah A.
Pada himpunan terurut berikut:
tidak memiliki elemen awal, tetapi memiliki elemen akhir yaitu c. Himpunan bilangan asli memiliki elemen awal, yakni 1, tetapi tidak memiliki elemen akhir.
Jika R merupakan relasi ”subset” pada himpunan 2A, maka
(2A,R)merupakan POSET dan bukan TOSET. Elemen awal dari
2Aadalahπ dan elemen akhirnya adalah A.
Jika W = {x ∈ R|0<x <1}dan relasi R didefinisikan sebagai
Elemen Maksi dan Elemen Mini
Misal A merupakan suatu himpunan terurut.
Suatu elemen a∈A disebut elemen maksi jika tidak ada elemen
A yang murni mengikuti a.
Suatu elemen b∈A disebut elemen mini jika tidak ada elemen A
Misal A merupakan suatu himpunan terurut.
Suatu elemen a∈A disebut elemen maksi jika tidak ada elemen
A yang murni mengikuti a.
Suatu elemen b∈A disebut elemen mini jika tidak ada elemen A
Contoh
Pada himpunan terurut berikut:
Elemen maksi adalah c dan elemen mini adalah b dan e.
Jika W = {x ∈ R|0<x <1}dan relasi R didefinisikan sebagai ”≤”, maka(W,R)merupakan TOSET, tetapi W tidak memiliki baik elemen maksi maupun elemen mini.
Pada himpunan terurut berikut:
Elemen maksi adalah c dan elemen mini adalah b dan e. Jika W = {x ∈ R|0<x <1}dan relasi R didefinisikan sebagai
”≤”, maka(W,R)merupakan TOSET, tetapi W tidak memiliki baik
Batas Atas dan Batas Bawah
Misal B adalah subset dari suatu himpunan terurut parsial A.
Suatu elemen b∈A disebut batas bawah dari B jika untuk setiap
x ∈B, b≤x , yaitu b membawahi setiap elemen B.
Jika suatu batas bawah dari B mengatasi setiap batas bawah yang lain dari B, maka batas bawah itu disebut batas bawah
terbesar atau infrimum dari B dan dinotasikan dengan inf(B). Suatu elemen a∈A disebut batas atas dari B jika untuk setiap x ∈B, x ≤a, yaitu a mengatasi setiap elemen B.
Jika suatu batas atas dari B mengatasi setiap batas atas yang lain dari B, maka batas atas itu disebut batas atas terkecil atau suprimum dari B dan dinotasikan dengan sup(B).
Misal B adalah subset dari suatu himpunan terurut parsial A.
Suatu elemen b∈A disebut batas bawah dari B jika untuk setiap
x ∈B, b≤x , yaitu b membawahi setiap elemen B.
Jika suatu batas bawah dari B mengatasi setiap batas bawah yang lain dari B, maka batas bawah itu disebut batas bawah
terbesar atau infrimum dari B dan dinotasikan dengan inf(B).
Suatu elemen a∈A disebut batas atas dari B jika untuk setiap x ∈B, x ≤a, yaitu a mengatasi setiap elemen B.
Jika suatu batas atas dari B mengatasi setiap batas atas yang lain dari B, maka batas atas itu disebut batas atas terkecil atau
Batas Atas dan Batas Bawah
Misal B adalah subset dari suatu himpunan terurut parsial A.
Suatu elemen b∈A disebut batas bawah dari B jika untuk setiap
x ∈B, b≤x , yaitu b membawahi setiap elemen B.
Jika suatu batas bawah dari B mengatasi setiap batas bawah yang lain dari B, maka batas bawah itu disebut batas bawah
terbesar atau infrimum dari B dan dinotasikan dengan inf(B).
Suatu elemen a∈A disebut batas atas dari B jika untuk setiap
x ∈B, x ≤a, yaitu a mengatasi setiap elemen B.
Jika suatu batas atas dari B mengatasi setiap batas atas yang lain dari B, maka batas atas itu disebut batas atas terkecil atau
Misal B adalah subset dari suatu himpunan terurut parsial A.
Suatu elemen b∈A disebut batas bawah dari B jika untuk setiap
x ∈B, b≤x , yaitu b membawahi setiap elemen B.
Jika suatu batas bawah dari B mengatasi setiap batas bawah yang lain dari B, maka batas bawah itu disebut batas bawah
terbesar atau infrimum dari B dan dinotasikan dengan inf(B).
Suatu elemen a∈A disebut batas atas dari B jika untuk setiap
x ∈B, x ≤a, yaitu a mengatasi setiap elemen B.
Jika suatu batas atas dari B mengatasi setiap batas atas yang lain dari B, maka batas atas itu disebut batas atas terkecil atau
Contoh
Misal V = {a,b,c,d,e,f,g}merupakan himpunan terurut dengan diagram:
Jika W = {b,c,e}maka
1 batas atas dari W adalah c, a dan d .
2 batas atas terkecil (sup(W)) = c 3 batas bawah dari W adalah g
Misal V = {a,b,c,d,e,f,g}merupakan himpunan terurut dengan diagram:
Jika W = {b,c,e}maka
1 batas atas dari W adalah c, a dan d .
2 batas atas terkecil (sup(W)) = c
3 batas bawah dari W adalah g
Contoh
Misal V = {a,b,c,d,e,f,g}merupakan himpunan terurut dengan diagram:
Jika W = {b,c,e}maka
1 batas atas dari W adalah c, a dan d .
2 batas atas terkecil (sup(W)) = c
Misal V = {a,b,c,d,e,f,g}merupakan himpunan terurut dengan diagram:
Jika W = {b,c,e}maka
1 batas atas dari W adalah c, a dan d .
2 batas atas terkecil (sup(W)) = c
3 batas bawah dari W adalah g
Himpunan yang Similar
Suatu himpunan terurut A dikatakan similar dengan himpunan terurut
B dan dinyatakan A=B jika dan hanya jika ada fungsi f :A⇒B yang
satu-satu dan onto, serta untuk setiap a1,a2∈A berlaku
a1<a2⇔f(a) <f(b)
Misal A= {1,2,5,10}adalah himpunan terurut dengan relasi ”faktor
dari” dan B = {t,u,v,w}juga himpunan terurut dengan diagram sebagai berikut:
maka A dan B merupakan dua himpunan yang similar karena terdapat fungsi f :A⇒B dimana f = {(1,v), (2,u), (5,w), (10,t)}
Contoh
Diketahui A= {1,2,3, ...}dan N = {−1, −2, −3, ...}merupakan
himpunan terurut dengan urutan alamiah ”x ≤y ”.
Kita perhatikan bahwa 1≤2 tetapi−1≥ −2 dan tidak ada elemen
awal dari N, sehingga tidak terdapat fungsi similar f . Jadi A tidak similar dengan N.
Bagaimana jika A0adalah himpunan dari 10 elemen pertama A dan N0
