HIMPUNAN
Himpunan
Jenis-jenis
himpunan
Himpunan kosong & semesta
DEFINISI HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan objek yang memenuhi sifat tertentu.
Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota dilambangkan dengan “ϵ”
Anggota-anggota yang membentuk himpunan adalah berbeda.
CARA PENYAJIAN HIMPUNAN
1. Enumerasi
Menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal.
Contoh:
a) C = {Joy, Sadness, Disgust, Fear, Anger}
b) F = {facebook, Instagram, twitter, path, linkedIn, snapchat}
c) W = {R, SAS, Tableau, SPSS, Minitab, Matlab}
2. Simbol-simbol baku
Simbol baku untuk himpunan antara lain:
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan asli (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Menuliskan syarat keanggotaan himpunan, dengan notasi:
{x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}
Contoh:
a) A adalah himpunan bilangan prima lebih kecil dari 15, maka:
{x | x adalah bilangan prima lebih kecil dari 15}, atau
{x | x < 15, x ϵ N}
4.
Diagram Venn
Himpunan semesta, yang beranggotakan seluruh objek yang penting atau merupakan topik
pembicaraan, direpresentasikan dengan bentuk
kotak
.
Di dalam kotak tersebut terdapat
lingkaran
-lingkaran untuk merepresentasikan himpunan.
Kadang tanda
titik
dipergunakan pula untuk menggambarkan elemen himpunan.
HIMPUNAN BERHINGGA
Jika himpunan A memiliki n buah elemen yang berbeda, maka A adalah himpunan berhingga (finite set).
Kardinalitas
HIMPUNAN KUASA (POWER SET)
Himpunan kuasa dari A adalah himpunan dari seluruh subset A dan dinotasikan dengan P(A).
Kardinalitas dari P(A) dinotasikan dengan |P(A)| atau n(P(A)).
Rumus kardinal dari P(A) adalah:
( )
( ( )) 2
n A
HIMPUNAN KOSONG
Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong.
Dinotasikan sebagai atau {}.
Contoh:
a) A = {x | x adalah bilangan prima genap kurang dari 2}; n(A) = 0
HIMPUNAN SEMESTA
Himpunan semesta (S) disebut juga himpunan universal (U).
Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a merupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikan a S.
Contoh:
HIMPUNAN BAGIAN (SUBSET)
Sebuah himpunan
A
merupakan
himpunan bagian
(subset)
dari himpunan B jika dan
hanya jika setiap elemen A merupakan elemen
B
.
Dalam hal ini dikatakan bahwa B
superset
dari A
Notasi:
𝐴 ⊆ 𝐵
Diagram Venn:
U
A
Contoh himpunan bagian:
TEOREMA 1.
Untuk sembarang himpunan
A
berlaku hal-hal sebagai berikut:
1)
A adalah himpunan bagian dari
A
itu sendiri (yaitu,
A
A
).
2)
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari
A
(
A
).
A dan A A, maka danA disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.
Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A.
A Bberbeda dengan A B
i. A B: Aadalah himpunan bagian dari Btetapi AB. DemikianA adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dariB.
Contoh: {1} dan {2,3} adalah proper subset dari {1,2,3}
ii. A B: digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari
HIMPUNAN SALING LEPAS (DISJOINT)
Himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika hanya jika kedua himpunan itu tak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama.
OPERASI HIMPUNAN
1.
Irisan (intersection)
Irisan himpunan
A
dan
B
adalah himpunan semua elemen
persekutuan
dari
himpunan
A
dan
B
.
Notasi:
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵
Contoh:
a)
Jika A = {2, 3, 4, 5, 6} dan B = {2, 4, 6, 8, 10}, maka:
𝐴 ∩ 𝐵 = {2, 4, 6}
2.
Gabungan (Union)
Gabungan himpunan
A
dan
B
adalah himpunan semua elemen
A
atau semua elemen
B
atau
elemen keduanya
.
Notasi:
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐵
Contoh:
a)
Jika P = {a, b, c, d} dan Q = {c, d, e, f } maka P
Q = {a, b, c,d, e, f }
3.
Komplemen (complement)
Komplemen suatu himpunan
A
adalah himpunan semua elemen dalam semesta pembicaraan tetapi
bukan elemen
A
.
Notasi:
𝐴
𝑐= ҧ𝐴 = 𝑥|𝑥 ∈ 𝑈, 𝑥 ∉ 𝐴
Contoh:
a)
Misalkan
: U = {1, 2, 3, …, 10} .
Jika A = {1, 2, 3, 4}, maka A
c= {5, 6, 7, 8, 9, 10}.
b)
𝑆
𝑐= 𝜙 𝑑𝑎𝑛 𝜙
𝑐= 𝑆
c)
𝐴
𝑐 𝑐= 𝐴
4.
Selisih
Selisih dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya merupakan
elemen A dan bukan elemen B.
Notasi:
𝐴 − 𝐵 = 𝑥| 𝑥 𝜖 𝐴, 𝑥 ∉ 𝐵
Contoh:
5.
Perkalian Kartesian (cartesian product)
Cartesian products
dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya
semua
pasangan berurutan yang mungkin terbentuk
dengan komponen pertama dari
himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.
Catatan untuk perkalian kartesian:
1. Jika Adan B merupakan himpunan berhingga, maka: n(A×B) = n(A).n(B)
2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong.
TEOREMA ALJABAR HIMPUNAN
Misal S himpunan semesta dan A,B, dan C adalah subhimpunan dari S maka berlaku sifat berikut:
1. Hukum asosiatif (associative law)
(A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C)
2. Hukum komutatif (commutative law)
A B = B A
A B = B A A B = B A
3. Hukum distributif (distributive law)
A (B C) = (A B) (A C)
4. Hukum identitas (identity law) A = A
A S = A
5. Hukum komplemen (complement law) A Ac = S
A Ac =
6. Hukum idempoten (idempotent law) A A = A
A A = A
7. Hukum ikatan (bound law) A S = S
8. Hukum penyerapan (absorption law)
A (A B) = A
A (A B) = A
9. Hukum involusi (involution law)
A’’ = A
10. Hukum 0/1(1/0 law)
c = S Sc=
11. Hukum De Morgan untuk himpunan (De Morgan’s laws for sets)
(A B)c= Ac Bc
REFERENSI
kur2003.if.itb.ac.id/file/Himpunan.doc
