TRANSFER M OM ENTUM
TINJAUAN M IKROSKOPIK
GERAKAN FLUIDA
Hingga sejauh ini kit a sudah mempelajari t ent ang mo ment um , gaya-gaya pada fluida st at ik, dan ihw al fluida bergerak dalam hal ner aca massa dan neraca ener gi.
Pada bagian ini kit a akan mem pelajari lebih dalam t ent ang profil kecepat an alir an fluida, gaya dor ong yang menyebabkan fluida ber gerak dan gaya yang mengham bat gerakan it u, dan mem pelajar i bagaimana laju alir fluida dipengaruhi oleh sifat -sifat fluida dan r angkaian pipanya.
Analisis sit uasi t er hadap fluida bergerak kit a m ulai dari ko nsepsi ger ak dan defor masi fluida sebagaimana t elah kit a bangun pada bagian aw al per kuliahan ini. Sekar ang mari kit a per hat ikan kembali gambar berikut .
Dan kit a t elah sampai ke persamaan
=
=
F
Bentuk awal Bentuk akhir
x
z
y
Sekar ang sit uasinya kit a gant i dengan aliran fluida dalam pipa, seper t i ber ikut .
Pipa ber jari-jar i R. Fluida ber ger ak di dalam pipa ke ar ah X posit if. Fluida memiliki densit as sebesar
ρ
dan mem iliki viskosit as sebesarµ
. Volume at ur (Cont rol Volume) unt uk fluida memiliki panjang sebesar L dan mengisi penuh pipa pada ar ah r.Kar ena fluida bergerak ke arah X posit if (ke kanan), it u sama saja dengan mengat akan bahw a pipa ber ger ak ke kiri. Kalau pipa bergerak ke kir i maka akan ada t ransfer moment um dari dinding pipa menuju ke pusat pipa melalui fluida; dan sebaliknya jika kit a meninjau fluida ber ger ak ke kanan maka akan ada t ransfer moment um dari dalam fluida menuju dinding pipa.
Dengan menggunakan asumsi bahw a ant ara fluida dengan per m ukaan pipa t idak t erjadi slip (fluida t idak t ergelincir ) dan fluida bergerak ke ar ah X posit if maka akan ada t r ansfer moment um ke ar ah r. Berapakah laju t ransfer moment um ke ar ah r ini? Sekarang fluida pada sist em gambar di at as kit a t injau dalam lingkup yang lebih kecil dengan mengam bil elemen fluida it u set ebal dr ke arah r sepert i ber ikut ini. Di sini diasumsikan fluidanya bersifat t ak-mampu mampat (incompressible).
L
r
x
R
p
2p
1Fluida: ρ , μ
Pada elemen volume fluida ini ber laku hukum kekekalan moment um , yang pada keadaan st edi dapat dit ulis sbb.
−
+ = 0
Ada momentum (gaya viskous) masuk ke elemen volume melalui permukaan dalam pada posisi r , yait u:
[ 2
.
]
Ada momentum (gaya inersia) masuk pada penampang 1, (pada x = 0), sebesar
.
=
.
/
. Ingat :=
∀
.
Jadinya:.
=
∀
=
.
Garis pusat pipa
X
r +
∆
r
r
∆
r
L
ELEM EN VOLUM E FLUIDA
1
2
S = 2
π
r
∆
r
Garis pusat pipa
X
r +
∆
r
r
∆
r
L
ELEM EN VOLUM E FLUIDA
1
2
Dan karena
=
dan
= 2
∆
,
maka:.
= ( 2
∆
.
) (
)
Jadi, moment um (gaya iner sia) pada t it ik 1 (x=0) adalah:
( 2
∆
.
) (
)
Kit a t uliskan:
[
2
∆
.
]
Ada gaya (t ekanan) t er hadap permukaan fluida pada penampang 1 (pada x=0), sebesar:
( 2
∆
)
Ada gaya (t ekanan) t er hadap permukaan fluida pada penampang 2 (pada x=L), sebesar:
−
( 2
∆
)
Ada momentum (gaya viskous) keluar dari elemen volume melalui permukaan luar pada posisi r+
∆
r , yait u:[ 2
.
]
∆
Ada momentum (gaya iner sia) keluar pada penam pang 2, (pada x = L), sebesar
[
2
∆
.
]
Sekar ang akan kit a jumlahkan semua gaya yang t elah diur aikan it u; kit a per oleh:
[ 2
.
] + [ 2
∆
.
]
+ ( 2
∆
)
−
( 2
∆
)
−
[ 2
.
]
∆−
[ 2
∆
.
]
= 0
Dan kit a susun kem bali:
[ 2
.
]
−
[ 2
.
]
∆+
[
∆
.
]
−
[
∆
.
]
+ ( 2
∆
) (
−
) = 0
Kar ena fluida diasumsikan ber sifat incompressible dan luas penam pang pada z = 0 sama dengan luas penam pang pada z = L, maka vz sama pada dua penam pang it u;
dan dengan demikian suku ke t iga dan suku ke empat pada per samaan di at as akan saling meniadakan. Persamaan t erakhir t er sebut menjadi:
[ 2
.
]
−
[ 2
.
]
∆=
−
( 2
∆
) (
−
)
at au:
[ 2
.
]
∆−
[ 2
.
] = ( 2
∆
) (
−
)
Kalau per samaan ini kit a bagi dengan
2
∆
dan kit a am bil limit unt uk∆
mendekat i nol; kit a peroleh:lim
∆ →
[
]
∆−
[
]
∆
=
(
−
)
Suku sebelah kiri t ak lain adalah t ur unan pert ama (first derivative) dar i t erhadap
;
dan(
−
) =
∆
. Dari it u kit a peroleh:(
) =
∆
(
) =
∆
Unt uk mem peroleh dist ribusi fluks moment um, per samaan ini kit a ingt egralkan:
(
) =
∆
Kit a peroleh:
=
∆
1
2
+
at au
=
∆
2
+
C1 adalah konst ant a int egr asi. Ber apakah nilai C1 ini? Ingat lah bahw a fluksi moment um bukanlah t ak berhingga pada posisi r = 0. Art inya, pada r = 0, ada nilainya dan ber hingga. Konsekuensi logisnya haruslah C1 = 0. Lalu kit a per oleh fluksi moment um pada fluida yang ber ger ak dalam pipa it u, yait u:
=
∆
(* )
ini menyat akan fluksi moment um ke arah r adial (jari-jar i), r, yang disebabkan oleh ber ger aknya fluida ke ar ah t angensial, x.
Selanjut nya kit a akan melihat profil kecepat an ger ak fluida pada arah x t erhadap posisi r .
=
−
(* * )
yang diperoleh dar i Hukum New t on t ent ang viskosit as. Kenapa di sini ada t anda minus? Kar ena berkurang jika bert ambah, at au dengan kat a lain,
/
ber nilai negat if, sedangkan t ak pernah negat if; dan begit u juga dengan
.
Dar i persamaan (* ) dan (* * ) kit a peroleh:
=
−
∆
2
dan diperoleh dengan mengint egr alkan persamaan t er sebut .
∫
=
−
∆∫
=
−
∆
4
+
C2 adalah konst ant a int egr asi. Berapakah nilai C2 ini? Kit a mem punyai informasi bahw a fluida yang ber sent uhan dengan perm ukaan pipa (art inya fluida yang ber ada pada posisi r = R) kecepat annya ke arah t angensial (ar ah x ) adalah nol. Secar a mat emat is kit a t ulis:
[
]
=
−
∆
4
+
= 0
Jelaslah bahw a:
=
∆
4
=
∆
4
−
∆
4
=
∆
4
1
−
Jika kit a plot hubungan ant ar a Vx dengan r akan kit a peroleh kurva per samaan kuadrat . Dimanakah let ak t it ik maksim um nya? Pert ama har uslah:
=
−
∆
2
= 0
yang mengharuskan pula r = 0. Pada r = 0, apakah kecepat annya maksimum at au minimum? Kit a harus menguji t ur unan ke dua (second derivat ive):
=
−
∆
2
< 0
Kar ena t urunan ke dua bernilai negat if (lebih kecil dar i nol), kit a am bil kesim pulan bahw a, kecepat an ger ak fluida ke ar ah x pada posisi r = 0 mer upakan kecepat an maksimum ; yait u sebesar:
,
=
∆
4
Terlihat bahw a kecepat an gerak fluida bergant ung pada
fakt or dari luar berupa
∆
p, dim ensi pipa berupa R dan L,
dan fakt or pada sifat fluida it u sendiri
berupa µ.
Per samaan Kurva ini diplot unt uk nilai ∆ dipasang sebesar 25 sat uan dan
nilai R (jar i-jari pipa) = 10 sat uan. Ilust r asi alir annya kira-kira sepert i pd gbr brkt . = ∆ −
R = 10
Dinding pipa Dinding pipa
Gam bar di baw ah ini adalah hasil kerja M ATLAB. Sumbu dat ar menunjukkan arah jari-jar i pipa dan sumbu t egak menunjukkan kecepat an ke arah x. Kecepat an maksimum berada pada posisi (0,0) di t engah-t engah bidang sumbu dat ar .
Sket sa koor dinat pipa unt uk grafik di at as adalah:
-10 -5 0 5
10 -10
-5 0
5 10
-5 0 5 10 15 20 25
r
r
V
x(r)
r-
r+
r+
r-
Hingga pada t ahap ini anda sudah mem peroleh:
Dist ribusi fluksi moment um=
∆
2
Dist ribusi kecepat an=
∆
4
1
−
Kecepat an maksimum,
=
∆
4
unt uk fluida newt on yang incom pressible di dalam pipa dat ar.
Nah, t er lihat bahw a kecepat an aliran fluida ke arah x ber gant ung pada posisi r; ar t inya kecepat an fluida it u bervariasi t erhadap r . Kalau begit u, ber apakah kecepat an rat a-rat anya? Kecepat an rat a-rat a adalah jumlah kecepatan di sem ua posisi r dan dibagi dengan luas penampang aliran.
Jumlah semua kecepat an it u adalah pada posisi r dari r = 0 hingga ke r = R unt uk
satu lingkaran penuh dari sudut θ = 0 derajat hingga θ = 360 derajat atau dari
θ = 0 hingga θ = 2
π
; yait u:Jumlah semua kecepatan =
Ingat bahw a adalah fungsi . Solusi dar i int egral ini adalah:
Jumlah semua kecepatan =
∆
8
Adapun luas penampang aliran (luas penampang pipa) adalah:yang apabila diselesaikan diperoleh:
Luas penampang aliran =
Dengan demikian, kecepat an r at a-r at a, <Vx>, aliran fluida dalam pipa adalah:
< v > =
∆
8
=
∆
8
Sudah kit a ket ahui pula bahwa:,
=
∆
4
Ar t inya, kecepat an rat a-rat a adalah set engah dari kecepat an maksim um.
= <
> .
2
=
∆
4
8
Per samaan t er akhir ini dikenal sebagai Per samaan
Hagen-Poiseuille
. Dar i ko nsepsi laju, jelas dikat akan bahw a:=
Pada aliran fluida ini, gaya dor ongnya adalah beda t ekanan,
∆
.
Dan dengan dem ikian ham bat annya adalah8
/
.
---
Sebagai lat ihan, berapa besar gaya yang diberikan
oleh fluida t erhadap dinding pipa??
