KALKULUS I Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Program Sarjana Matematika Universitas Brawijaya

KALKULUS I

Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Program Sarjana Matematika

Definisi: Misalkan A dan B adalah himpunan tak kosong.

Fungsi f dari A ke B adalah suatu ATURAN

yang MEMADANKAN SETIAP ELEMEN di

A dengan

tepat satu dan hanya satu elemen di

B

Dalam definisi tersebut,



_{A disebut DOMAIN / DAERAH ASAL/ DAERAH}

DEFINISI untuk fungsi f, dinotasikan dengan 𝒟

_𝑓



_{B disebut KODOMAIN / DAERAH KAWAN fungsi f}



_{DAERAH HASIL / DAERAH JELAJAH / RANGE}

adalah semua elemen di B yang berpasangan dengan

elemen di A, dinotasikan dengan ℛ

_𝑓

• Pada Kalkulus I hanya dipelajari fungsi REAL,

yaitu fungsi dengan domain dan kodomain

subhimpunan bilangan real. Dengan demikian

𝐴 ⊆ ℝ dan B ⊆ ℝ

• Bila daerah asal tidak disebutkan, ambillah daerah

asal ALAMI / NATURAL sebagai daerah asal,

yaitu 𝒟

_𝑓

= 𝑥 ∈ ℝ 𝑓(𝑥) ∈ ℝ

• Grafik fungsi f(x) adalah kumpulan titik-titik di

bidang koordinat Cartesius yang memenuhi

𝑦 = 𝑓 𝑥 . Grafik fungsi f(x) berupa kurva di

bidang koordinat yang TIDAK SALING

1.

Fungsi Identitas, yaitu f(x) = x

2.

Fungsi Ganjil, yaitu f(-x) = - f(x)

3.

Fungsi Genap, yaitu f(-x) = f(x)

4.

Fungsi harga mutlak 𝑓 𝑥 = 𝑥

5.

Fungsi yang memiliki asimtot. Asimtot

fungsi f adalah garis di bidang koordinat

yang DIDEKATI oleh grafik y = f(x).

6.

Fungsi bilangan bulat terbesar 𝑦 = 𝑥 =

bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau

sama dengan x.



Operasi Aljabar Fungsi



𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 , 𝒟

_𝑓±𝑔

= 𝒟

_𝑓

∩ 𝒟

_𝑔 

𝑓𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 , 𝒟

_𝑓𝑔

= 𝒟

_𝑓

∩ 𝒟

_𝑔  𝑓 𝑔

𝑥 =

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)

, 𝒟

_𝑔𝑓

= 𝒟

𝑓

∩ 𝒟

𝑔

∧ 𝑔(𝑥) ≠ 0.



Komposisi Fungsi:



𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔(𝑥 ), 𝒟

_𝑓∘𝑔

=?



𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥



_{Fungsi invers dari f(x), dinotasikan dengan 𝑓}

−1

𝑥 adalah

fungsi yang bersifat:(𝑓 ∘ 𝑓

−1

) 𝑥 = 𝑓

−1

∘ 𝑓 𝑥 = 𝑥



Grafik 𝑦 = 𝑓

−1

𝑥 simetris dengan grafik y = f(x) terhadap

garis y = x.

Operasi grafis terhadap suatu fungsi

Bila grafik fungsi f(x) diketahui maka dapat disketsa grafik fungsi baru yang diperoleh dari fungsi f(x) dengan melakukan beberapa operasi secara grafis (geometris)

NO. FUNGSI BARU OPERASI

1. f(x) + k, k > 0 Geser ke atas k satuan.

2. f(x+k), k > 0 Geser ke kiri k satuan.

3. - f(x) Cerminkan terhadap sumbu x.

4. f(-x) Cerminkan terhadap sumbu y.

5. | f(x) | Abadikan bagian grafik f(x) yang di atas sumbu x, bagian grafik yang di bawah sumbu x dicerminkan terhadap sumbu x. 6. f( | x | ) Abadikan bagian grafik f(x) yang di sebelah kanan sumbu y,

bagian grafik yang di sebelah kiri sumbu y dihapus, diganti dengan hasil pencerminan bagian sebelah kanan terhadap sumbu y.

. sumbu terhadap n dicerminka sumbu bawah di yang grafik bagian a Selanjutny . satuan 1 bawah ke digeser lalu satuan, 3 kiri ke digeser grafik : langkah Langkah . 1 ) 3 ( 8 6 sebab , fungsi grafik dari diperoleh dapat 8 6 fungsi grafik Sketsa : Contoh 2 2 2 2 2 x x x y x x x y x y x x y             2 x y  1 ) 3 (  2   x y 2 ) 3 (   x y 1 ) 3 (  2   x y



ALJABAR

Fungsi yang diperoleh

dari fungsi konstan dan

fungsi indentitas melalui

operasi-operasi aljabar

+, −,∗,

,

1.

Fungsi Polinom

2.

Fungsi Rasional



TRANSENDEN

1. Fungsi Trigonometri 2. Fungsi Eksponensial 3. Fungsi Logaritma 4. Fungsi Hiperbolik



Limit fungsi di suatu titik



Limit-limit sepihak



_{Eksistensi Limit}



Limit yang nilainya tak berhingga



Limit di ketakhinggaan

LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK

Misalkan f(x) fungsi dengan daerah asal 𝒟_𝑓 ⊆ ℝ dan a ∈ ℝ, dengan a

tidak harus termuat di 𝒟_𝑓

Notasi dibaca

“limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L” atau

“f(x) mendekati L bila x mendekati a “ berarti bahwa

nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat dengan a, tetapi x tidak sama dengan a.

L

x

f

a x





(

)

lim

Perhatikan bahwa dalam definisi tersebut nilai fungsi f(x) di x = a, yaitu f(a), tidak harus terdefinisi karena kita hanya memandang x di sekitar a.

11

Situasi yang mungkin terjadi:

a x 0 L y f(x) a x 0 L y f(x) a x 0 L y f(x) f(a)

Contoh:

,

2

4

2

)

(

2

_







x

x

x

x

f

?

4

2

lim

2 2









_x

x

x 2 x 0 y f(x) 0,25

(

2

)

4

1

)

2

(

1

lim

)

2

)(

2

(

2

lim

4

2

lim

2 2 2 2

f

x

x

x

x

x

x

x x x





















  

Karena

_x



₂

maka

13          2 , 1 2 , 4 2 ) ( 2 x x x x x f Jika didefinisikan

1

)

2

(

4

1

4

2

lim

2 2













_x

f

x

x 2 x 0 y f(x) 0,25 1

           2 , 4 1 2 , 4 2 ) ( 2 x x x x x f Jika didefinisikan 2 x 0 y f(x) 0,25

)

2

(

4

1

4

2

lim

2 2

f

x

x

x











15

LIMIT SEPIHAK

Notasi

Dibaca

“limit f(x) bila x mendekati a dari kiri (kanan) sama dengan L” atau

“f(x) mendekati L bila x mendekati a dari kiri (kanan)“

berarti bahwa

Nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat dengan a dan x < a (x > a).

L

x

f

a x



 

(

)

lim

_











_

 a

f

x

L

x

)

(

lim

L

x

f

a x





(

)

lim

_{jika dan hanya jika}

_f

_x

_f

_x

_L

a x a x





  _ 

(

)

lim

(

)

lim

Contoh 1. Fungsi bilangan bulat terbesar

1 x 0 y f(x) 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 -1 -2 -3

















3

x

2

2,

2

x

1

,

1

)

(x

f

 

x

x

f

(

)



lim

(

)

?

2





f

x

x 2 ) ( lim sedangkan , 1 ) ( lim 2 2      f x x f x x

)

(

lim

)

(

lim

sebab

ADA,

TIDAK

)

(

lim

2 2 2

f

x

_x

f

x

_x

f

x

x  



 

Contoh 2.

lim

sin

?

0





_x

x



Bila



n



x  maka nol bulat tak bilangan , 1 n n x 

sehingga

sin





sin

n





0

x

, 2 2







n x  

Namun bila

,

bilangan

bulat

1

4

2

n

n

x





1

2

2

sin

sin









n





x

maka sehingga

Perhatikan bahwa bila 𝑛 → ∞ maka 𝑥 → 0, sehingga nilai 𝑠𝑖𝑛 𝜋

𝑥

1 x 0 y f(x) 1 -1 -1

x

x

f

y



(

)



sin



Berdasarkan contoh 1 dan contoh 2 dapat disimpulkan bahwa nilai limit fungsi di suatu titik tidak selalu ada. Hal ini disebabkan oleh

1. Nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan atau 2. Nilai fungsi berfluktuasi sangat cepat

19









₁

1

lim

1

x

x Contoh :

LIMIT YANG NILAINYA TAK BERHINGGA

DEFINISI

Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi di seluruh bilangan riil kecuali pada x = a sendiri. Maka

berarti bahwa nilai f(x) dapat dibuat positif (negatif) sebesar mungkin, dengan mengambil x cukup dekat dengan a, tetapi x tidak sama dengan

a.

)

(

lim





a

f

x

x













_

_



(

)

lim

f

x

a x

20 1 _x 0 y 2 1 1 ) (   x x f 1

Perilaku limit yang bernilai tak hingga (baik positif

21

Situasi yang mungkin terjadi:

    ( ) lim f x a x y x 0 a f(x)     ( ) lim f x a x x 0 y a f(x)     ( ) lim f x a x 0 y a f(x)     ( ) lim f x a x x 0 a f(x) x 0 y a f(x)    ( ) lim f x a x x 0 y a f(x) x    ( ) lim f x a x

Jika

sekurang-kurangnya satu

di antara keenam

situasi tersebut terjadi pada grafik fungsi f(x)

maka garis

x = a

disebut

asimtot tegak

dari

grafik y = f(x).

1

1

lim

1

1

lim

sebab

ADA,

TIDAK

1

1

lim

1

1

lim

1

1

lim

1 1 1 1 1























        

x

x

x

x

x

x x x x x Contoh :

Garis x = 1 adalah asimtot tegak dari grafik 𝑦 = 1

23

LIMIT DI KETAKHINGGAAN

)

(

lim

f

x

x

















 

lim

f

(

x

)

x

Notasi

disebut limit f(x) di ketakhinggaan, mengkaji bagaimana perilaku nilai

f(x) manakala x membesar positif (negatif).









 





 

ada

tidak

)

(

lim

f

x

L

x Contoh: 1 . _lim_ x2 1   x 2 1 2 lim 1 2 lim . 2         x x x x x ada tidak cos lim . 3    x x

24

Situasi yang mungkin terjadi:

x 0 f(x) y    lim f (x) x y x 0 f(x) y    lim f (x) x x 0 f(x)    lim f (x) x x 0 L f(x) y L x f x   lim ( ) x 0 L f(x) y L x f x   lim ( ) x 0 f(x) ada tidak ) ( lim    f x x

25 Contoh: 6 5 1 ) ( 2 _{ }   x x x x f                      lim ( 3)( 2) 3 ) 2 )( 3 ( 1 lim 6 5 1 lim ) ( lim . 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x f x x x x                      lim ( 3)( 2) 3 ) 2 )( 3 ( 1 lim 6 5 1 lim ) ( lim . 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x f x x x x

Maka garis x = 2 adalah asimtot tegak dari grafik y = f(x). Demikian pula halnya dengan garis x = 3.







1 0 0



0 0 0 6 5 1 1 1 lim 6 5 1 1 1 lim 6 5 1 lim . 3 2 2 2 2 2 2 2            _{ }       _        _{ }       _           x x x x x x x x x x x x x x x x

Garis y = 0 adalah asimtot datar dari grafik y = f(x).

Jika maka garis y = L disebut asimtot datar dari grafik y = f(x). L x f L x f x x     

26 6 5 1 2 _{ }   x x x y Asimtot datar Asimtot tegak

27 Teorema-teorema tentang limit











( )



lim ( ) lim d. 0 ) ( lim asalkan , ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim c. ) ( lim ). ( lim ) ( ) ( lim b. ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim a. maka ada, ) ( lim dan ) ( lim nilai dan konstanta suatu Jika 1. x f k x kf x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f k a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x                            L x g L x h f(x) a a x x h x g x f a x a x a x       

 lim ( ) , maka lim ( )

lim jika dan ) di mungkin kecuali ( sekitar di nilai untuk ) ( ) ( ) ( Jika : Apit Prinsip . 2

28 Trik menentukan limit di suatu titik

1. Jika memungkinkan, substitusikan a ke f(x), alias hitung f(a) 2. Jika timbul masalah lakukan manipulasi yang memungkinkan

nilai limit ditentukan, atau gunakan prinsip apit, atau periksa limit-limit sepihak.

)

(

lim

f

x

a x Contoh 1. lim4 4 4 4 0        x x 2 1 ) 1 ( 1 lim ) 1 )( 1 ( 1 lim 1 2 1 lim 1 2 1 1 lim . 2 1 1 2 1 2 1                                           x x x x x x x x x x x x

29 ? sin lim . 3 2 0          x x x

1

sin

1









x

Jawab: karena maka

2

2

sin

x

2

.

x

x

x









0

lim

)

(

lim

2 0 2 0







 

x

x

x

x Diketahui bahwa maka

 

0

sin

lim

0

sin

lim

0

lim

sin

lim

lim

2 0 2 0 2 0 2 0 2 0























    

x

x

x

x

x

x

x

x

x x x x x

30 4. f(x) = [ x ] + [-x] lim ( ) ? 2   f x x 1 x 0 y 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 -1 -2 -3                     3 x 2 1, (-3) 2 2 , 0 2 2 2 x 1 , 1 ) 2 ( 1 ) (x x f ) ( lim 1 ) ( lim ) ( lim 2 2 2 x f x f x f x x x         

31 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

ada tidak tan lim , 0 cos lim , 1 sin lim , 0 tan lim , 1 cos lim , 0 sin lim 2 2 2 0 0 0                x x x x x x x x x x x x y = tan x

32

0

sin

lim

,

0

sin

lim

,

1

sin

lim

0







    

x

x

x

x

x

x

x x x

2.5 KEKONTINUAN

Definisi: fungsi f(x) yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a dikatakan kontinu di x = a jika

)

(

)

(

lim

f

x

f

a

a

x





Dengan perkataan lain:

f(x) kontinu di x = a jika f(a) terdefinisi

Nilai limitnya di x = a ada

Nilai limit sama dengan nilai fungsinya, yaitu

)

(

)

(

lim

)

(

lim

f

x

f

x

f

a

a x a x





  _ 

2 x 0 y f(x) 0,25 Contoh            2 , 4 1 2 , 4 2 ) ( 2 x x x x x f

)

2

(

4

1

4

2

lim

2 2

f

x

x

x









 Jadi f(x) kontinu di x = 2.

Akibat: jika f

kontinu

di x = a

maka

_lim

_f

₍

_x

₎

ada

a

Teorema fungsi kontinu:

1. Jika f dan g kontinu di x = a, dan k suatu konstanta, maka fungsi-fungsi f + g, f – g, kf, fg, dan f/g ( jika ) juga kontinu di x = a. 2. fungsi polinom kontinu di ℝ, sedangkan fungsi rasional kontinu di

daerah definisinya.

3. Jika g kontinu di x = a dan f kontinu di g(a), maka fungsi kontinu di x = a. 0 ) (a  g ) )( ( f  g x riil. bilangan setiap di kontinu ) ( agar dan tentukan , 3 , 2 3 0 , 0 , 1 ) ( Jika 2 x f b a x x x b ax x x f              Contoh:

36 Jawab:

karena f(x) berupa polinom untuk x < 0, 0 < x < 3, dan x > 3, maka

f(x) pasti kontinu untuk x pada selang-selang tersebut. Jadi cukup

diperiksa kekontinuan f(x) di x = 0 dan di x = 3

Agar f(x) kontinu di x = 0:

• f(0) terdefinisi, yaitu f(0) = 1

• Nilai limitnya di x = 0 ada dan nilai limitnya di x = 0 sama dengan f(0), yaitu

1 0 . 1 yaitu ), 0 ( ) ( lim ) ( lim 2 0 0        _  b a f x f x f x x _{b = 1}

Agar f(x) kontinu di x = 3:

• f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 5

• Nilai limitnya di x = 3 ada dan nilai limitnya di x = 3 sama dengan f(3), yaitu

4 9 5 1 9 5 9 5 5 3 . yaitu ), 3 ( ) ( lim ) ( lim 2 3 3                _  a a b a b a f x f x f x x

9

4



a

Teorema Nilai Antara (TNA):

misalkan f(x) kontinu pada selang tutup [a,b] dan f(a) < M < f(b). Maka terdapat c, a < c < b sedemikian sehingga f(c) = M.

a _x 0 M f(x) c _b f(b) f(a) y