Kata Pengantar. Bandung, Januari 2004 Penulis, Hasmawati

Kata Pengantar

Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi S-2 pada Departemen Matematika Program Pascasarjana Institut Teknologi Bandung.

Defisinisi-definisi dasar dari teori graf dan juga teorema-teorema yang saya anggap sudah lazim bagi pencintah matematika, tidak dis-ertakan dalam penulisan tesis ini. Untuk itu, pembaca diharapkan sudah memahami konsep dasar teory graf, atau bagi yang belum memahami disarankan untuk terlebih dahulu membaca buku ”Graph Theory, F.Harary (1996)”.

Rampungnya tesis ini berkat bimbingan Dr. Edy Tri Baskoro. Karena itu, dengan penuh rasa hormat kepada Beliau, saya ucapkan terima kasih.

Selain itu saya juga mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ketua jurusan beserta seluruh staf pengajar dan karyawan De-partemen Matematika ITB

2. Segenap pimpinan Universitas Hasanuddin atas pemberian izin studi lanjut dan bea siswa kepada penulis

3. Semua keluarga di Enrekang dan Takalar, atas doa dan dorong-annya

4. Teman-teman mahasiswa S-2 Matematika ITB, khususnya ang-katan 2001 atas kebersamaannya

5. Semua pihak yang telah membantu penulis menyelesaikan studi, yang tidak dapat disebutkan satu-persatu.

Saya sadar bahwa tesis ini hanya salah satu permasalahan dari berbagai permasalahan tentang bilangan Ramsey. walaupun demikian, izinkan saya untuk berharap agar tulisan ini bermanfaat bagi Anda, khususnya yang berminat dan menekuni teori Ramsey.

Akhir kata ’Alhamdulillahirrabbil Alamiin’ oleh karena keselu-ruhan aktivitas sampai rampungnya tesis ini berkat hidayah-Nya se-mata.

Bandung, Januari 2004 Penulis,

Abstrak

Untuk sebarang graf G dan H, bilangan Ramsey R(G, H) adalah bilangan bulat terkecil n sedemikian sehingga untuk setiap graf F dengan n titik harus memuat G atau komplemennya memuat H. Tesis ini membahas tentang bilangan Ramsey dari graf star terhadap graf roda yaitu R(Sn, Wm) untuk n < m. Akan ditunjukkan bahwa

R(S4, Wm) = m + 3 untuk m ≥ 6, R(S5, Wm) = m + 3 untuk m

genap yang lebih besar atau sama dengan 8, untuk m ≥ 8 yang lain, R(S5, Wm) = m + 4 , dan R(S6, Wm) = m + 5 untuk m ≥ 10. Jika

m ≥ 2n − 2 dan n ≥ 4, R(Sn, Wm) = n + m − 2 untuk n ganjil

berpasangan m genap, dan R(Sn, Wm) = n + m − 1 untuk yang

lainnya.

Abstract

For given grafs G and H, The Ramsey number R(G, H) is the smallest natural number n such that for every graph F of order n must contain G or the complement of F contains H. This paper shall study the Ramsey number of star versus wheels, namely R(Sn, Wm) for

n < m. We shall show that Ramsey numbers R(S4, Wm) = m + 3 for

m ≥ 6, R(S5, Wm) = m + 3 for m ≥ 8 even, otherwise R(S5, Wm) =

m + 4, and R(S6, Wm) = m + 5 for m ≥ 10. If m ≥ 2n − 2 and n ≥ 4,

the Ramsey numbers R(Sn, Wm) = m + n − 2 for n odd and m even,

otherwise R(Sn, Wm) = m + n − 1.

Daftar Isi

Kata Pengantar i Abstrak ii Abstract iii Daftar Isi iv 1 Pendahuluan 1 1.1 Latar Belakang . . . 1 1.2 Tujuan . . . 3 1.3 Sistematika Penulisan . . . 3 2 Landasan Teori 4 2.1 Definisi Dasar Dalam Graf . . . 4

2.1.1 Lingkaran (cycle) dan Komponen . . . 5

2.1.2 Jumlah dan Gabungan Dua Graf . . . 6

2.1.3 Graf Reguler . . . 6

2.1.4 Graf Bipartit, Graf Roda dan Graf Bintang . . 7

2.1.5 Teorema Bondy . . . 8

2.2 Bilangan Ramsey . . . 8

2.3 Batas Bawah Bilangan Ramsey . . . 10

3 Bilangan Ramsey Untuk Graf Bintang Terhadap Graf Roda 11 4 Simpulan dan Saran 20 4.1 Simpulan . . . 20

4.2 Saran . . . 21

BAB 1

Pendahuluan

1.1

Latar Belakang

Misalkan kita akan mengadakan suatu pertemuan dan di dalam pertemuan itu kita menginginkan terdapatnya empat orang saling kenal atau tiga orang tidak saling kenal. Agar keadaan ini ter-jamin, minimal berapa orangkah yang harus diundang ?. Untuk menjawab pertanyaan ini, teori yang eksistensinya telah ditunjukkan oleh F rank P lumton Ramsey dalam sebuah makalahnya pada tahun 1930, cukup membantu.

F. Ramsey menunjukkan bahwa apabila diberikan bilangan asli a dan b maka terdapat bilangan asli n sedemikian sehingga jika sisi-sisi graf lengkap Kn diwarnai dengan warna hitam atau merah

maka senantiasa memuat suatu subgraf Ka hitam atau subgraf Kb

merah. Bilangan n ini disebut bilangan Ramsey (Ramsey numbers), dengan notasi R(Ka, Kb). Selanjutnya bilangan Ramsey R(Ka, Kb)

Pada permasalahan di atas, jika setiap orang dinotasikan se-bagai suatu titik dan setiap dua orang saling kenal dinotasikan seba-gai suatu sisi dengan warna hitam, sedangkan setiap dua orang tidak saling kenal dinotasikan sebagai suatu sisi dengan warna merah, maka empat orang saling kenal identik dengan K4 hitam dan tiga orang

tidak saling kenal identik K3dengan warna merah. Dengan demikian,

apabila dikaitkan dengan teori Ramsey, minimal banyaknya orang yang harus diundang sama halnya dengan menentukan bilangan Ram-sey R(K4, K3). Sayangnya, sampai saat ini nilai eksak R(Kn, Km)

belum diketahui kecuali untuk n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 berpasangan den-gan m = 3 dan n = 4, 5 berpasanden-gan denden-gan m = 4 (S.P. Radzis-zowski,2002)[8].

Secara umum penentuan bilangan Ramsey klasik sangat sulit. Akibatnya, pada perkembangan selanjutnya objek dalam masalah ini tidak terbatas pada graf lengkap saja, tetapi diperluas pada ben-tuk graf yang lain yaitu: triangle versus other graphs, path versus other graph, cycles versus complete graph, books versus other graph dan lain-lain (S.P Radziszowski,2002)[8]. Hendry [6] menunjukkan R(W3, W5) = 19, S.A.Bur and Erdos [9] menunjukkan R(C3, Wm) =

2m + 1, m ≥ 5. S.A.Burr[10], menunjukkan R(K2,3, K2,3) = 10. E.T.

Baskoro, Surahmat, S.M. Nababan and M. Miller[4], menunjukkkan R(Tn, W4) = 2n − 1 untuk n ≥ 4 dan R(Tn, W5) = 3n − 2 untuk

n ≥ 3. I Wayan Sudarsana [7], menunjukkkan R(S2,3, K2,q) = q + 4

untuk q ≥ 2, R(S2,3, K1,q) = (n + m − 1)r + 1 untuk q=(n+m-1)r-(n+m-2),r≥ 1, n ≥ 2, m ≥ 3, dan R(S2,3, K1,q) =  q + 4 untuk q = 4r − 3, r ≥ 1, q + 3 untuk q lainnya.

Walaupun telah banyak hasil yang diperoleh mengenai bilan-gan Ramsey R(G, H) untuk sebarang graf Gdan H, namun masih tersisa banyak kasus diantaranya R(Sn, Wm). Surahmat dan Edy T.

Baskoro[12], telah menunjukkan bahwa R(Sn, W5) = 3n − 2 dan

R(Sn, W4) =



2n − 1, untuk n ganjil n ≥ 3, 2n + 1, untuk n genap.

1.2

Tujuan

Dari latar belakang permasalahan yang diuraikan di atas maka tujuan dari penulisan tesis ini adalah menentukan bilangan Ramsey R(Sn, Wm) untuk n < m dan n ≥ 4.

1.3

Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan dari tesis ini adalah:

1. Bab 1 Pendahuluan, pada bab ini dibahas tentang latar be-lakang, tujuan, dan sistematika penulisan tesis.

2. Bab 2 Teori Pendukung, pada bab ini dibahas tentang definisi dasar dalam graf, bilangan ramsey, dan batas bawah bilangan Ramsey. nilai eigen

3. Bab 3, Bilangan Ramsey untuk graf bintang terhadap graf roda. 4. Bab 4 Simpulan dan saran.

BAB 2

Landasan Teori

Pada bab ini akan diuraikan tentang definisi dasar dalam graf, lingkaran, graf bintang, graf roda, graf reguler, graf ladder, definisi bilangan Ramsey, teorema Bondy dan beberapa teorema pendukung yang berkaitan langsung dengan inti bahasan tulisan ini.

2.1

Definisi Dasar Dalam Graf

Semua graf yang dikemukakan dalam tulisan ini adalah graf berhingga dan sederhana.

Misalkan G suatu graf dengan himpunan titik V (G) dan him-punan sisi E(G). Didefinisikan |G| = |V (G)| . Graf G adalah komple-men dari graf G, yaitu graf dengan himpunan titik V (G) dan dua titik bertetangga di G jika dan hanya jika dua titik tersebut tidak bertetangga di G.

Graf H(V0, E0) disebut subgraf dari G jika V0 ⊆ V (G) dan E0⊂ E(G). Untuk sebarang himpunan S ⊂ V (G), subgraf terinduksi oleh S adalah subgraf maksimal dari G dengan himpunan titik S,

yang dinotasikan sebagai G[S].

Jika e = uv ∈ E(G) dengan u, v ∈ V (G), maka u disebut bertetangga dengan v, demikian juga sebaliknya, dan titik u juga v dikatakan terkait (incident) dengan e. Untuk sebarang subhimpunan B ⊂ V (G), didefinisikan NB(v) = {u : uv ∈ E(G)}. Lebih lanjut,

derajat v dinotasikan δ(v) adalah |NB(v)| .

Suatu himpunan S ⊂ V (G) dikatakan saling bebas jika sebarang dua titik dari S tidak bertetangga, dan dua sisi e dan f dikatakan saling bebas jika tidak ada titik dari e yang bertetangga dengan titik-titik f .

2.1.1

Lingkaran (cycle) dan Komponen

J alan (walk) W pada suatu graf G adalah suatu barisan titik dan sisi yaitu W : v0, ..., vi−1, xi, vi, i = 1, 2, ..., n, yang dimulai dan

diakhiri oleh suatu titik, yang mana untuk setiap i, xiterkait dengan

vi−1 dan vi . J alan W ini, menghubungkan titik v0 dengan titik vn

yang kadang-kadang disingkat jalan v0− vn. Suatu jalan dikatakan

tertutup apabila v0= vn. Lintasan (path) dengan notasi Pnadalah

jalan yang setiap titiknya berbeda dan lintasan yang tetutup disebut lingkaran (cycle) yang dinotasikan Cn, n ≥ 3. Panjang suatu lintasan

adalah banyaknya sisi pada lintasan tersebut. Panjang lingkaran terbesar pada suatu graf G dinotasikan c(G), sedangkan panjang lin-tasan terkecil dinotasikan g(G).

Suatu graf dikatakan terhubung (connected) jika setiap pasan-gan titiknya dihubungkan oleh suatu lintasan. Misalkan H adalah sebarang subgraf dari G. Subgraf H disebut suatu komponen dari G

apabila H merupakan subgraf maksimal yang terhubung.

2.1.2

Jumlah dan Gabungan Dua Graf

Misalkan G1 adalah graf dengan himpunan titik V1 dan

him-punan sisi X1, sedang G2 adalah graf dengan himpunan titik V2

dan himpunan sisi X2. Gabungan G = G1∪ G2 adalah suatu graf

baru dengan himpunan titik V = V1 ∪ V2 dan himpunan sisi X

= X1∪X2. Sedangkan jumlah (join) G = G1+G2didefinisikan oleh

Zykov (1952) adalah suatu graf yang memuat V (G) = V1∪ V2 dan

E(G) = X1∪ X2∪ {uv : u ∈ V1, v ∈ V2} . Sebagai contoh, gambar 2.1

adalah graf P3+ K4. x x x x x x x S S S S S S S S S S S S S S S S S S           Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q         H H H H H H H H H H H H Gambar 2.1

2.1.3

Graf Reguler

Misalkan G adalah graf dengan himpunan titik V (G) dan him-punan sisi E(G). Derajat (degree) vi ∈ V (G) dinotasikan δ(vi)

adalah banyaknya sisi yang berujung pada vi. δ(G) = min{δ(v) : v ∈

V (G)} dan ∆(G) = maks{δ(v) : v ∈ V (G)}. Jika δ(G) = ∆(G) = k, maka G disebut graf reguler berderajat k. Misalkan |G| = n dan G adalah graf reguler berderajat n − 1, maka G disebut graf lengkap dengan notasi Kn. Graf Ladder Lh adalah graf terhubung

reguler berderajat 3 dengan 2h titik (h ≥ 3), yang dibangun oleh dua lingkaran Chditambah sisi baru yang menghubungkan titik-titik

dengan urutan label sama. Sebagai contoh, graf berikut adalah graf Ladder L5. s s s s s s s s s s 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 Gambar 2.2.

Teorema 2.1 Misalkan G adalah suatu graf dan vi ∈ V (G), i =

1, 2, ..., n. Jika q adalah banyaknya sisi pada G, makaP δ(vi) = 2q.

Lemma 2.1 Misalkan G adalah graf sebarang. Banyaknya titik yang berderajat ganjil pada G adalah genap.

2.1.4

Graf Bipartit, Graf Roda dan Graf Bintang

Misalkan G adalah graf sebarang dengan himpunan titik V dan himpunan sisi X. Graf G dikatakan graf bipartit apabila V dapat dipartisi kedalam dua subhimpunan V1 dan V2 sedemikian sehingga

untuk setiap x = uv ∈ X, ketika u ∈ V1maka v ∈ V2. Graf bipartit G

dengan n + m titik disebut graf bipartisi lengkap, jika G = Kn+ Km,

dengan notasi Kn,m. Graf G dikatakan graf roda jika G = K1 +

n + 1 titik dimana G = K1,n atau G = K1+ Kn. Graf bintang ini

dinotasikan dengan Sn.

Teorema 2.2 Misalkan G graf sebarang. Graf G adalah bibartisi jika dan hanya jika semua lingkarannya mempunyai panjang genap.

2.1.5

Teorema Bondy

Teorema Bondy adalah suatu teorema yang diperkenalkan oleh Bondy pada tahun 1971[2], yang didalamnya terdapat istilah pancyclic. Oleh karenanya, sebelum memberikan teorema Bondy, terlebih dahulu diberikan definisi mengenai graf yang pancyclic.

Definisi 2.1 Suatu graf G dengan titik n ≥ 3 dikatakan pancyclic jika G memuat lingkaran Cl untuk setiap l = 3, 4, ..., n.

Definisi 2.2 Suatu graf G dengan titik n ≥ 3 dikatakan weakly pan-cyclic jika G memuat Cl dengan g(G) ≤ l ≤ c(G).

Teorema 2.3 (Bondy[2],1971). Misalkan G adalah suatu graf den-gan n titik. Jika δ(G) ≥ n

2, maka G pancyclic atau G = Kn2,n2 untuk

n genap.

Lemma 2.2 (Brandt[11]). Setiap graf non-bipartisi G dengan n titik mempunyai δ(G) ≥n+2₃ adalah weakly pancyclic.

2.2

Bilangan Ramsey

Subbab ini akan membahas prinsip dasar teory Ramsey yang menyangkut bilangan ramsey klasik sebagai landasan munculnya teori

bilangan Ramsey yang umum. Prinsip dasar tersebut disajikan dalam bentuk teori sebagai berikut:

Teorema 2.4 Untuk sebarang graf G dengan enam titik, G atau G memuat K3.

Hasil dari teorema 2.4 ini, memicu munculnya pertanyaan yang lebih umum, yaitu: Berapakah bilangan bulat terkecil R(Kn, Km)

sedemikian sehingga untuk setiap graf G dengan R(Kn, Km) titik

memuat Km atau Kn. Nilai R(Kn, Km) disebut bilangan Ramsey

klasik. Pada bab 1, telah disinggung bahwa penentuan bilangan Ramsey klasik sangat sulit. Karenanya, objek masalahnya diper-luas yaitu menentukan bilangan Ramsey R(G, H) dengan G dan H adalah graf sebarang.

Diketahui graf G dan H. Graf F disebut graf (G, H) − elok, jika F tidak memuat G dan F tidak memuat H. Sebarang graf (G, H) − elok dengan n titik dinotasikan dengan (G, H, n) − elok.

Terdapat beberapa cara dalam mendefinisikan bilangan Ram-sey yang umum. Untuk lebih jelas, ikuti definisi-definisi berikut ini. Definisi 2.3 Misalkan G dan H adalah graf sebarang. Bilangan Ram-sey R(G,H) adalah bilangan asli terkecil n sehingga tidak ada graf (G,H,n)-elok.

Definisi 2.4 Misalkan F adalah suatu graf dengan |F | = n. Bilangan Ramsey R(G,H) untuk sebarang graf G dan H adalah bilangan bulat terkecil n sehingga F memuat G atau F memuat H.

Definisi 2.5 Misalkan r, g ≥ 2. Bilangan Ramsey R(r, g) adalah bi-langan bulat terkecil n sedemikian sehingga jika graf lengkap Kn

di-warnai dengan warna merah atau hitam, maka senantiasa memuat suatu subgraf Kr merah atau subgraf Kq hitam.

2.3

Batas Bawah Bilangan Ramsey

Suatu teorema dasar yang sangat penting dalam penentuan bilan-gan Ramsey, yaitu teorema yang pertama kali diperkenalkan oleh V.Chavatal dan F.Harary pada tahun 1972. Teorema tersebut mem-bahas mengenai batas bawah bilangan Ramsey R(G, H) dengan G dan H adalah graf sebarang. Sebelum sampai pada teorema ini, ter-lebih dahulu diberikan definisi bilangan kromatik dari suatu graf. Definisi 2.6 Bilangan kromatik suatu graf G dengnan n titik adalah bilangan asli terkecil k sedemikian sehingga apabila titik-titik dari G diwarnai dengan k warna maka setiap dua titik yang berdekatan di G mempunyai warna berbeda.

Bilangan kromatik suatu graf G, dinotasikan χ(G). Mudah me-nunjukkan bahwa χ(Kn) = n, χ(Sn) = 2, dan

χ(Wm) =



3 untuk m genap, m ≥ 4, 4 untuk m ganjil, m ≥ 3.

Teorema 2.5 Misalkan G dan H adalah graf sebarang, dan V adalah himpunan titik sedang χ adalah indeks kromatik. Batas bawah R(G, H) adalah (|V (G)| − 1)(χ(H) − 1) + 1 ≤ R(G, H).

BAB 3

Bilangan Ramsey

Untuk Graf Bintang

Terhadap Graf Roda

Bab ini membahas hasil utama dari inti bahasan tesis ini, yaitu bi-langan Ramsey R(Sn, Wm) dengan n < m dan n ≥ 4.

Definisi 3.1 Misalkan F adalah suatu graf dengan t titik. Graf F disebut ( Sn, Wm, t )−good graph jika F tidak memuat Sn dan

F tidak memuat Wm.

Definisi 3.2 Misalkan F adalah sebarang graf dengan r titik. Bilan-gan Ramsey R(Sn, Wm) adalah bilangan bulat terkecil r sedemikian

sehingga F memuat Sn atau F memuat Wm.

Berdasarkan teorema 2.5, diperoleh batas bawah bilangan Ramsey R(Sn, Wm), yaitu: 2n − 1 ≤ R(Sn, Wm) untuk m genap dan 3n − 2 ≤

Diberikan graf F = Cm−1∪ C3. Maka | F |= m + 2, F tidak

memuat S4 dan F tidak memuat Wm. Jadi F adalah (S4, Wm, m +

2) − good graph. Dengan demikian R(S4, Wm) ≥ m + 3.

Teorema 3.1 Jika m ≥ 6, maka R(S4, Wm) = m + 3.

Bukti. Pandang graf F dengan order | F |= m + 3, m ≥ 6. Mis-alkan F tidak memuat S4. Akan ditunjukkan F memuat Wm. Ambil

sebarang x ∈ V (F ) dan tulis A = {v | vx /∈ E(F )}. Karena F tidak memuat S4, maka δ(x) ≤ 2, dan δ(v) ≤ 2, ∀v ∈ A.

Akibat-nya, | A |≥ m. Misalkan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka δ(T ) ≥ m − 3 ≥ m₂, karena m ≥ 6. Menurut teorema 2.3, T memuat Cm. Subgraf Cm bersama-sama dengan x membentuk Wm.

Dengan demikian F memuat Wm.

Selanjutnya akan diselidiki bilangan Ramsey graf bintang S5

ter-hadap Wm, untuk m genap maupun untuk m ganjil.

Perhatikan graf Ladder L5 dan graf L4 ∪ K4. Graf L5 tidak

memuat S5 dan komplemennya tidak memuat W8. Sedangkan graf

L4∪ K4 tidak memuat S5 dan L4∪ K4 tidak memuat W9. Dengan

demikian L5 adalah (S5, W8, 10) − good graph dan L4∪ K4 adalah

(S5, W9, 12)−good graph . Jadi R(S5, W8) ≥ 11 dan R(S5, W9) ≥ 13.

Teorema 3.2 R(S5, W8) = 11.

Bukti. Diberikan sebarang graf F dengan |V (F )| = 11. Andaikan F tidak memuat S5 dan F tidak memuat W8. Maka δ(x) ≤ 3 ∀x ∈

V (F ). Misalkan ada x ∈ V (F ) dengan δ(x) = 1. Tulis A = {v | vx /∈ E(F )} dan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka | A |≥ 9 dan δ(v) ≤ 3, ∀v ∈ A. Akibatnya, δ_A(v) ≥ 5. Menurut teorema 2.3,

T memuat C8. Titik x bersama-sama dengan C8 membentuk W8 di

F . Hal ini kontradiksi dengan F tidak memuat W8. Jadi tidak ada

x ∈ V (F ) dengan δ(x) = 1. Lebih lanjut, misalkan ada x ∈ V (F ) dengan δ(x) = 2. Tulis A0 = {v | vx /∈ E(F )} dan T0 _{adalah subgraf}

F yang diinduksi oleh A0. Maka | A0 |≥ 8 dan δ(v) ≤ 3, ∀v ∈ A0_.

Akibatnya, δ_A0(v) ≥ 4. Menurut teorema 2.3, T

0

memuat C8.

Akibat-nya, F memuat W8. Juga kontradiksi dengan F tidak memuat W8.

Berarti tidak ada x ∈ V (F ) dengan δ(x) = 2. Karena itu ∀x ∈ V (F ), δ(x) = 3. Menurut lemma 2.1, |V (F )| haruslah genap. Kontradiksi dengan |V (F )| = 11. Dengan demikian, pengandaian salah. Mestilah F memuat S5 atau F memuat W8. Jadi R(S5, W8) = 11.

Teorema 3.3 R(S5, W9) = 13.

Bukti. Pandang graf F dengan order | F |= 13.. Misalkan F tidak memuat S5. Akan ditunjukkan F memuat W9. Ambil sebarang titik

x ∈ V (F ). Maka δ(x) ≤ 3. Tulis A = {v | vx /∈ E(F ) dan misalkan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka | A |≥ 9 dan δ(v) ≤ 3, ∀v ∈ A. Akibatnya, δ_A(v) ≥ 5 ≥ 9₂. Menurut teorema 2.3, T memuat C9. Titik x bersama-sama dengan C9 membentuk W9 di F . Jadi

R(S5, W9) = 13.

Hasil dari teorema 3.2 dan 3.3 ini, ini memberikan petunjuk untuk menentukan bilangan Ramsey R(S5, Wm) untuk m yang lebih besar.

Namun sebelumnya akan diuraikan good graf dari S5 terhadap Wm

untuk m yang genap dan juga untuk m yang ganjil.

[1] Misalkan m genap. Tulis m = 2h. Maka graf Ladder Lh+1

tidak memuat Wm. Karena itu, Lh+1merupakan (S5, Wm, m + 2) −

good graph, untuk m genap.

[2] Misalkan m ganjil dan tulis m = 2h+1. Pandang graf F = Lh∪ K4dengan | F |= m + 3. Maka F tidak memuat S5dan F tidak

memuat Wm. Jadi F = Lh∪ K4 merupakan (S5, Wm, m + 3) − good

graph, untuk m ganjil.

Dengan demikian, R(S5, Wm) ≥ m + 3, untuk m genap dan

R(S5, Wm) ≥ m + 4, untuk m ganjil.

Teorema 3.4 R(S5, Wm) =



m + 3, untuk m genap, m ≥ 8 m + 4, untuk m ganji, m ≥ 8 . Bukti. Perhatikan graf F dengan | F |= m + 3 dengan m genap. Andaikan F tidak memuat S5 dan F tidak memuat Wm. Maka

δ(x) ≤ 3 ∀x ∈ V (F ). Misalkan ada x ∈ V (F ) dengan δ(x) ≤ 2. Tulis A = {v | vx /∈ E(F )} dan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka | A |≥ m dan δ(v) ≤ 3, ∀v ∈ A. Sehingga mengak-ibatkan δ_A(v) ≥ m − 4 ≥ m₂. Menurut teorema 2.3,T memuat Cm.

Titik x bersama-sama dengan Cmmembentuk Wmdi F . Hal ini

kon-tradiksi dengan F tidak memuat Wm. Jadi tidak ada x ∈ V (F )

den-gan δ(x) ≤ 2. Berarti, ∀x ∈ V (F ), δ(x) = 3. Berdasarkan lemma 2.1, |V (F )| haruslah genap. Kontradiksi dengan |V (F )| = m + 3, ganjil. Dengan demikian, pengandaian salah. Mestilah F memuat S5 atau

F memuat W m. Jadi R(S5, Wm) = m + 3, untuk m genap.

Selanjut-nya, diberikan graf F dengan | F |= m + 4 untuk m ganjil. Andaikan F tidak memuat S5. Akan ditunjukkan F memuat Wm . Ambil

se-barang titik x ∈ V (F ). Maka δ(x) ≤ 3. Tulis B = {v | vx /∈ E(F ) dan misalkan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh B. Maka | B |≥ m dan δ(v) ≤ 3, ∀v ∈ B. Akibatnya, δ_B(v) ≥ m − 4 ≥ m₂.

Menu-rut teorema 2.3,T memuat Cm. Titik x bersama-sama dengan Cm

membentuk Wm di F . Jadi R(S5, Wm) = m + 4, untuk m ganjil.

Bahasan berikutnya adalah bahasan mengenai graf bintang S6

terhadap Wm. Bahasan ini akan dimulai dengan m = 7, kemudian

m = 8, dan seterusnya.

Perhatikan graf F = 3K5. Graf F ini tidak memuat S6dan

kom-plemennya tidak memuat W7, W9, dan W11. Mudah melihatnya

den-gan menggunakan teorema 2.2. Jadi graf 3K5 adalah (S6, Wn, 13) −

good graph, dengan n = 7, 9, dan 11. Dengan demikian R(S6, W7) =

R(S6, W9) = R(S6, W11) ≥ 16.

Teorema 3.5 R(S6, W7) = 16.

Bukti. Pandang graf F dengan order | F |= 16. Misalkan F tidak memuat S6. Akan ditunjukkan F memuat W7. Ambil sebarang titik

x ∈ V (F ). Maka δ(x) ≤ 4. Tulis A = {v | vx /∈ E(F ) dan misalkan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka | A |≥ 11 dan δ(v) ≤ 4, ∀v ∈ A. Akibatnya, δ_A(v) ≥ 6 ≥ 11₂. Menurut teorema 2.3,T memuat C7. Titik x bersama-sama dengan C7membentuk W7

di F . Jadi R(S6, W7) = 16.

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa R(S6, W9) = 16

dan R(S6, W11) = 16. Selanjutnya, bagaimana dengan R(S6, W8)?

Perhatikan graf F = K4,4∪K5. Graf F ini tidak memuat S6dan

kom-plemennya tidak memuat W8. Jadi K4,4∪ K5 adalah (S6, W8, 13) −

good graph. Dengan demikian R(S6, W8) ≥ 14.

Bukti. Diberikan graf F dengan |F | = 14. Andaikan F tidak memuat S6 dan F tidak memuat W8. Karena F tidak memuat S6, maka

∀x ∈ V (F ), δ(x) ≤ 4. Misalkan ada x ∈ V (F ) dengan δ(x) ≤ 3.Tulis A = {v | vx /∈ E(F )} dan misalkan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka | A |≥ 10 dan δ(v) ≤ 4, ∀v ∈ A. Akibatnya δ_A(v) ≥ 5 ≥ 10₂. Menurut teorema 2.3,T memuat C8. Jadi F memuat W8.

Hal ini kontradiksi dengan F tidak memuat W8. Dengan demikian,

tidak ada x ∈ V (F ) dengan δ(x) ≤ 3. Berarti ∀x ∈ V (F ), δ(x) = 4. Ambil sebarang x ∈ V (F ). Tulis B = {w | wx /∈ E(F ) dan misalkan T0 _{adalah subgraf F yang diinduksi oleh B. Maka | B |= 9 dan}

δ(w) = 4, ∀v ∈ B. Akibatnya δ_B(v) = 4 ≥ 9+2

3 . Menurut lemma 2.2,

T0 adalah bipartit atau weakly pancyclik, yaitu T0 memuat Cl dengan

g(T0) ≤ l ≤ c(T0). Mudah dilihat bahwa T0 bukan bipartit, karena | B |= 9 sedang δ_B(v) = 4. Selanjutnya akan ditentukan berapa g(T0) dan c(T0) untuk mengetahui apakah terdapat l = 8. Karena δ_T0(v) = 4 dan   T 0  = 9, maka c(T 0 ) ≥ 5.

Misalkan c(T0) = 5. Tulis C5: v1, v2, ..., v5, v1dan B0= B/V (C5) =

{v6, v7, v8, v9}. Ambil sebarang titik di B0, katakanlah v6.

Kasus 1. v6 bertetangga dengan semua titik yang lain di B0.

Karena δ(v6) = 4, maka v6 masih harus tekait dengan salah satu

titik di C5, katakanlah v1. Titik v7, v8,dan v9juga masih harus terkait

dengan paling sedikit satu titik di C5. Titik yang mungkin hanyalah

v1,karena dengan titik yang lain akan membentuk Cl, dengan l >

5. Misalkan v7 terkait dengan v1, maka v8 dan v9 tidak boleh lagi

terkait ke v1, karena δ(v1) = 4. Berarti harus terkait dengan titik

titik manapun akan membentuk Cldengan l > 5. Jadi kasus ini tidak

mungkin terjadi.

Kasus 2. Terdapat titik lain di B yang tidak bertetangga dengan v6.

Maka v6 harus terkait dengan titik-titik di C5, sebanyak paling

sedikit dua yang saling tidak berdekatan. Karena |V (C5)| = 5, maka

v6 hanya mungkin bertetangga dengan paling banyak dua titik di C5,

katakanlah N (v6) = {v2, v4, v7, v8}. Akibatnya, titik v7 dan v8 masih

harus terkait dengan paling sedikit satu titik di C5yang tidak berdekatan

v2 dan v4. Hal ini, juga tidak mungkin karena titik v1 dan v3

berte-tangga dengan v2sedangkan titik v5bertetangga dengan v4. Jadi kasus

kedua ini, juga mustahil terjadi. Jadi c(T0) 6= 5. Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa c(T0) 6= 6 dan c(T0) 6= 7. Dengan demikian c(T0) = 8 atau c(T0) = 9. Jika c(T0) = 8, masalah selesai. Lebih lanjut, misalkan c(T ) = 9. Karena δ(vi) = 4, ∀i = 1, 2, ..., 9,

maka ∀i, vi masih harus bertetangga dengan vk dan vj, k 6= j dan

k, j 6= i − 1, i + 1. Akibatnya, terbentuk suatu lingkaran Cl yang tidak

memuat vi−1dan vi+1. Dengan kata lain terbentuk Cl dengan l ≤ 7.

Jadi g(T0) ≤ 7. Karena T0 adalah weakly pancyclik, maka disim-pulkan T0 memuat C8. Titik x bersama-sama dengan C8 membentuk

W8di F . Kontradiksi dengan F tidak memuat W8. Dengan demikian

pengandaian salah. Haruslah F memuat S6atau F memuat W8. Jadi

R(S6, W8) = 14.

Teorema berikutnya adalah perumuman bilangan Ramsey S6

Diberikan graf F = 4 − regular dengan |F | = m + 4, m ≥ 10. Graf F tidak memuat S6dan F tidak memuat Wm. Jadi R(S6, Wm) ≥

m + 5 untuk m ≥ 10.

Teorema 3.7 Jika m ≥ 10, maka R(S6, Wm) = m + 5.

Bukti. Diberikan suatu graf F dengan| F |= m + 5. Misalkan F tidak memuat Sn. Akan ditunjukkan F memuat Wm. Misalkan

x ∈ V (F ). Maka δ(x) ≤ 4. Tulis A = {v | vx /∈ E(F ) dan misalkan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka | A |≥ m dan δ(v) ≤ 4, ∀v ∈ A. Akibatnya, δ_A(v) ≥ m − 5 ≥ m₂. Menurut teorema 2.3, T adalah pancyclik atau Km

2, m

2 untuk m genap. Karenanya T memuat

Cm. Jadi F memuat Wm.

Berdasarkan teorema 3.2, teorema 3.7, dan teorema 3.9, diper-oleh teorema yang lebih umum tentang bilangan Ramsey R(Sn, Wm)

dengan n < m.

Perhatikan graf F = (n−2)−regular utnuk n ganjil dan m genap dengan |F | = m + n − 3, m ≥ 2n − 2 dan n ≥ 4. Graf F tidak memuat Sn dan F tidak memuat Wm. Jadi R(Sn, Wm) ≥ m + n − 2 untuk m

genap dan n ganjil. Lebih lanjut, untuk n dan m yang lain graf F = (n−2)−reguler dengan |F | = m+n−2, m ≥ 2n−2 dan n ≥ 4, F tidak memuat Sn dan F tidak memuat Wm. Jadi R(Sn, Wm) ≥ m + n − 1

untuk sebarang m dan n kecuali pasangan n ganjil dan m genap. Teorema 3.8 Jika m ≥ 2n − 2 dan n ≥ 4, maka

R(Sn, Wm) =



m + n − 2, untuk n ganjil dan m genap, m + n − 1, untuk hal yang lain,

Bukti. Pandang graf F dengan | F |= m + n − 2, n ganjil dan m genap. Misalkan F tidak memuat Sn dan F tidak memuat Wm.

Maka δ(x) ≤ n−2 ∀x ∈ V (F ). dengan tidak mengurangi perumuman pembuktian, dimisalkan ada x ∈ V (F ) dengan δ(x) ≤ n − 3. Tulis A = {v | vx /∈ E(F )} dan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka | A |≥ m dan δ(v) ≤ n − 2, ∀v ∈ A. Akibatnya, δ_A(v) ≥ m − (n − 1) = m − n + 1 ≥ m₂. Menurut teorema 2.3, T memuat Cm. Titik x bersama-sama dengan Cmmembentuk Wmdi F . Hal ini

kontradiksi dengan F tidak memuat Wm. Jadi tidak ada x ∈ V (F )

dengan δ(x) ≤ n − 3. Karena itu, ∀x ∈ V (F ), δ(x) = n − 2. Dengan kata lain, setiap titik di F berderajat ganjil. Karenanya, |V (F )| haruslah genap. Kontradiksi dengan |V (F )| = m + n − 2, ganjil. Dengan demikian, pengandaian salah. Mestilah F memuat Sn atau

F memuat W m. Jadi R(Sn, Wm) = m + n − 2, untuk m genap dan n

ganjil.Selanjutnya, diberikan graf F dengan | F |= m + n − 1 untuk m dan n yang lain. Andaikan F tidak memuat Sn. Akan ditunjukkan

F memuat Wm . Ambil sebarang titik x ∈ V (F ). Maka δ(x) ≤

n − 2. Tulis A = {v | vx /∈ E(F ) dan Misalkan T adalah subgraf F yang diinduksi oleh A. Maka | A |≥ m dan δ(v) ≤ n − 2, ∀v ∈ A. Akibatnya, δ_A(v) ≥ m − n + 1 ≥ m₂. Menurut teorema 2.3, T adalah pancyclik atau Km

2, m

2untuk m genap. Jadi T memuat Cm. Titik

x bersama-sama dengan Cmmembentuk Wmdi F .Dengan demikian

R(Sn, Wm) = m + n − 1, untuk sebarang n dan m kecuali pasangan

BAB 4

Simpulan dan Saran

4.1

Simpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab terdahulu, diberikan simpu-lan sebagai berikut:

1. R(S4, Wm) = 3 + m, untuk m ≥ 6. 2. Untuk m ≥ 10, R(S5, Wm) =  m + 3, untuk m genap, m ≥ 8 m + 4, untuk m ganji, m ≥ 8 . 3. R(S6, Wm) = 5 + m, untuk m ≥ 10. 4. Jika m ≥ 2n − 2, dan n ≥ 4, R(Sn, Wm) = 

m + n − 2, untuk n ganjil dan m genap, m + n − 1, untuk hal yang lain,

5. Jika 4 ≤ n < m < 2n − 2, bilangan Ramsey R(Sn, Wm) tidak

4.2

Saran

Karena keterbatasan penulis, maka formula yang umum dari bilangan Ramsey R(Sn, Wm) apabila 4 ≤ n < m < 2n − 2, belum diperoleh

kecuali untuk nilai n dan m yang tertentu seperti R(S5, W6) = 11,

R(S5, W7) = 13, R(S6, W7) = R(S6, W9) = 16 dan R(S6, W8) = 14.

Daftar Pustaka

[1] Biggs N, Algebraic Graph Theory, 2rd ed, Cambridge Mathe-matical Library 1993.

[2] Bondy J.A, Pancyclic Graph, J.Combin Theory, ser.B11(1971), 80-84.

[3] Chartrand G and Lesniak L, Graph and Digraphs, 3rd_ed,

Chap-man & Hall/CRC, 1996.

[4] E.T.Baskoro, Surahmat, S.M.Nababan, and M.Miller, On Ram-sey Numbers for all tree versus Wheels of Five or Six Vertices, Graphs and Combinatorics(2002)18:717-721.

[5] Harary F, Graph Theory , Addison-Wesley Publishing Company, 1969.

[6] Henry G.R.T, The Ramsey Numbers R(K2 + K3, K4) and

R(K1+ C4, K4), Util. math. 35,40-54(1989) adendum in 36,

25-32(1989).

[7] I Wayan Sudarsana, Bilangan ramsey Untuk Graf Bintang Ganda Versus Bipartit lengkap, Tesis Magister, 2003.

[8] Radziszowski.S.P, Small ramsey Numbers, department of Com-puter Science Rochester Institute of Technology, july 2002.

[9] S.A. Burr and P. Erdos, Generalization of a Ramsey Numbers of K2,n, in Graph Theory, Algorithm and Aplications (Y. Alavi,

F.R.K, Chung, R.L.Graham, and D.F. Hsu eds), SIAM Philadel-phia(1989), 207-211.

[10] S.A. Burr, Diaginal Ramsey Numbers for Small graph, Journal of Graph Theory 7(1983), 67-69.

[11] S. Brandt, Sufficient Conditions for graph to Contain All Sub-graphs of given Types, Ph.D thesis, Freie Universitat, Berlin, 1994.

[12] Surahmat and Baskoro.E.T, On the Ramsey Number of Path or Star Versus W4and W5, Proc, Twelfth Australian Workshop

on Combinatorial Algorithims, bandung, Indonesia, 14-17, July (2001).

[13] V. Chavatal and F. Harary, Generalized Ramsey theory for Graph, III, Small of diagonal numbers, Pacific J, Math.41(1972),335-345.