BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Air Conditioner (AC)
2.1.1 Sejarah Air Conditioner
Pengetahuan tentang fungsi pendinginan udara sudah berkembang sejak zaman Romawi. Makanan yang disimpan di tempat dingin akan tahan lebih lama dibandingkan dengan di tempat panas. Pada udara dingin, pergerakan bakteri lebih lambat, sehingga proses pembusukan berjalan lebih lama. Oleh karena itu, orang- orang di zaman itu menyimpan makanan di ruangan bawah tanah atau di dalam sumur. Pada musim dingin penduduk di daerah utara memotong es dari danau-danau yang membeku. Mereka menyimpannya dalam sebuk gergaji atau bangunan pendingin lalu menjualnya kepada penduduk di daerah selatan pada musim panas.
Pada akhir abad ke-18, musim dingin di daerah utara mengalami kenaikan temperatur. Pada masa-masa inilah orang mulai mengembangkan mesin pendingin untuk mencetak es. Kemudian muncullah alat yang dikenal dengan istilah “kotak es”. Alat ini digunakan untuk mengawetkan makanan.
Alat pendingin yang dilengkapi freezer (sekarang kita menyebutnya kulkas). Baru mulai dibuat orang pada awal abad ke-19. Sejak itu, sistem pendingin berkembang dengan pesat. Orang tidak hanya menggunakan sistem pendingin untuk mengawetkan makanan, melainkan juga untuk pengondisian udara (Air Conditioning).
Lonjakan produksi dalam industri refrigerasi dan air conditioning terjadi mulai tahun 1930-an. Refrigerasi di USA pada tahun 1940 mengambil bagian lebih dari 13% (energi) dari total perdagangan peralatan mesin saat itu. Perdagangan refrigerasi saat itu setidaknya bisa diklasifikasikan menjadi empat bagian, yaitu: refrigerasi untuk rumah tangga menempati urutan pertama, yang diikuti oleh refrigerasi untuk industri, air conditioning, dan refrigerasi komersial.
Pada tahun 1960, diperkirakan ada 50 juta rumah yang tersambung aliran listrik di USA, 49 juta (98%) diantaranya memiliki refrigerator. Setelah tahun 1960, perdagangan freezer untuk industri tercatat melebihi refrigerator untuk rumah tangga. Perdagangan unit pendingin lainnya seperti untuk gudang, tempat tinggal, mobil dan kereta, total nilainya mencapai milyaran dollar per tahun di tahun 1960 an.
Sejalan dengan kebutuhan dan perkembangannya, variasi aplikasi refrigerasi dan air conditioning terus bertambah. Angkutan untuk produk-produk dan industri makanan dan minuman serta pertanian dan peternakan-perikanan juga mendorong meningkatnya perkembangan perdagangan dalam industri refrigerasi air conditioning. Di bidang industri, refrigerasi mampu membantu meningkatkan efisiensi sistem, dan juga mampu menjadi solusi bagi proses-proses industri yang membutuhkan temperatur rendah. Demikian pula air conditioning, menjadi solusi bagi proses-proses industri yang membutuhkan pengaturan kondisi udara tertentu. Dalam bidang medis, refrigerasi dan air conditioning bukan hanya mengambil peran yang terkait dengan instrumen medis, namun juga penanganan obat-obatan serta zat-zat lainnya yang memerlukan perlakuan pada temperatur tertentu, bahkan juga proses-proses operasi medis.
2.1.2 Pengoptimalan Air Conditioner (AC)
Untuk mengoptimalkan kinerja AC sebagai alat pendingin ruangan ada beberapa cara yang dapat dilakukan antara lain :
1. Menentukan koefisien kinerja, atau yang lazim dikenal dengan COP (Coefficient of Performance).
COP adalah rasio antara jumlah panas (dalam satuan kw) yang dipindahkan dari evaporator untuk setiap satuan energy yang dikonsumsi (kw). Atau dengan kata lain COP adalah rasio antara kapasitas dari compressor (kw) dan setiap ton freon yang dipanaskan (TR) yang bisa diserap oleh evaporator
EER adalah rasio antara kapasitas panas yang digunakan untuk mendinginkan (dalam BTU) per jam dan konsumsi energi (dalam watt). Semakin tinggi nilai COP dan EER maka akan mengakibatkan semakin hemat AC yang digunakan. 3. Memilih ukuran AC yang tepat.
Beberapa langkah untuk menentukan ukuran AC 1) Hitung luas ruangan yang akan di pasang AC.
2) Berdasarkan luas ruangan tersebut, pilih kapasitas dasar AC yang dinyatakan dalam BTU/jam dengan menggunakan tabel berikut : Tabel 2.1. Kapasitas AC
Luas Lantai (ft2) BTU / jam
Tembok Tebal Tembok Biasa
100 4550 5300 125 5150 6100 150 5700 6800 175 6200 7500 200 6500 8100 250 7550 9300 300 8300 10400 400 9700 12400 500 11000 14250 Catatan 1 ft = 0,3048 meter Kapasitas AC berdasarkan PK: AC 0.5 PK = ± 5.000 BTU/jam AC 0.75 PK = ± 7.000 BTU/jam AC 1.0 PK = ± 9.000 BTU/jam AC 1.5 PK = ± 12.000 BTU/jam AC 2.0 PK = ± 18.000 BTU/jam
3.) Untuk menentukan kapasitas AC yang dibutuhkan maka kapasitas dasar AC seperti pada tabel di atas harus dikoreksi dengan suatu faktor yang besarnya tergantung pada:
a. Posisi tembok/dinding ruangan yang terpanjang, jika tembok menghadap ke timur faktor koreksi adalah 0,95.
b. Tinggi langit-langit ruangan. Bila langit-langit tingginya melebihi 10 ft (sekitar 3 meter) maka faktor koreksinya adalah 1,1.
c. Ruang tidak terkena cahaya langsung misalnya karena adanya peneduh yang cukup lebar dan bila AC umumnya digunakan pada malam hari, maka faktor koreksinya adalah 0,8.
4.) Bilamana ruangan yang akan didinginkan AC termasuk dapur, maka kapasitas AC harus ditambah besar 4000 BTU/jam, sebagai kompensasi dari penambahan beban panas dari peralatan masak yang digunakan di dapur.
4. Memilih kualitas freon yang lebih baik.
Freon memainkan peran yang penting dalam melakukan effisiensi sebuah sistem pendingin AC. Pemilihan Jenis Freon misalnya hidrokarbon dapat meningkatkan effisiensi sebuah sistem pendingin AC. Freon jenis ini lebih ringan sehingga membutuhkan listrik yang lebih rendah ketika AC dioperasikan. Selain itu Freon jenis ini juga ramah lingkungan dan dibuat dari bahan-bahan alami bukan sintesis sehingga aman untuk dilepas ke udara tanpa perlu khawatir merusak lapisan ozon.
5. Melakukan Perawatan AC secara periodik.
Perawatan AC mutlak harus dilakukan agar usia pakai relatif lebih tahan lama. Secara keseluruhan perawatan AC bertujuan untuk memperpanjang usia pakai dan mengontrol biaya pemakaian konsumsi listrik. Beberapa tips perawatan AC yang perlu diperhatikan :
1. Tempatkan kondensor di tempat sejuk yang kering dengan sirkulasi udara yang cukup. Letakkan kondensor jauh dari sumber panas, maupun kontak langsung dengan sinar matahari.
2. Bersihkan debu dan kotoran dari kipas kondensor secara periodik.
3. Periksa kipas evaporator dan kondensor ketika timbul suara saat AC beroperasi. Suaru tersebut biasanya disebabkan oleh skrup yang tidak kencang.
4. Gunakan kapasitas AC yang tepat, tidak terlalu tinggi atau terlalu rendah. 5. Gunakan refrigran dengan kapasitas yang tepat sesuai dengan
spesifikasinya masing-masing.
6. Pilihlah AC dengan kemampuan mendinginkan yang paling tinggi namun dengan energi paling sedikit.
2.2 Perpindahan Panas
2.2.1 Defenisi Perpindahan Panas
Holman (1997) mengemukakan bahwa perpindahan panas (heat transfer) adalah ilmu untuk meramalkan perpindahan energi yang terjadi karena adanya perbedaan suhu di antara benda atau material. Ilmu perpindahan panas tidak hanya mencoba menjelaskan bagaimana energi kalor itu berpindah dari satu benda ke benda lain, tetapi juga dapat meramalkan laju perpindahan yang terjadi pada kondisi-kondisi tertentu.
2.2.2 Jenis-jenis Perpindahan Panas
Holman (1997) mengemukakan bahwa perpindahan panas terdiri dari 3 yaitu: 1. Koduksi atau hantaran
Jika pada suatu benda terdapat gradien suhu ( temperature gradient), maka menurut pengalaman akan terjadi perpindahan energy dari bagian bersuhu tinggi ke bagian bersuhu rendah. Kita katakana bahwa energy berpindah secara konduksi (conduction) atau hantaran dan bahwa laju perpindahan panas itu berbanding dengan gradient suhu normal.
𝑞𝑞 𝐴𝐴 ~
𝜕𝜕𝑘𝑘 𝜕𝜕𝜕𝜕
(2.1) Jika dimasukkan konstanta proporsionalitas (proportionality constant) atau tetapan sebandingan, maka:
𝑞𝑞 = −𝑘𝑘𝐴𝐴𝜕𝜕𝑘𝑘𝜕𝜕𝜕𝜕 (2.2) di mana:
q : laju perpindahan kalor
𝜕𝜕𝑘𝑘
𝜕𝜕𝜕𝜕 : gradient suhu kea rah peprindahan kalor
k : konduktivitas atau kehantaran termal (thermal
conductivity) benda
A : luas daerah yang normal (tegak-lurus) terhadap arah aliran panas (m2 atau ft2
tanda minus diselipkan agar memenuhi hukum kedua termodinamika, )
yaitu bahwa kalor mengalir ke tempat yang lebih rendah dalam skala suhu. 2. Konveksi
Sudah umum dketahui bahwa plat logam panas akan menjadi dingin lebih cepat bila ditaruh di depan kipas angin dibandingkan dengan bilamana ditempatkan di udara tenang. Kita katakan bahwa kalor dikonveksi atau diilir ke luar, dan proses ini dinamakan perpindahan kalor secara konveksi atau ilian.
Perpindahan kalor konveksi bergantung pada viskositas fluida disamping ketergantungannya kepada sifat-sifat termal fluida itu (konduktivitas termal, kalor spesifik, densitas). Hal ini dapat dimengerti karena viskositas mempengaruhi profil kecepatan, dank arena itu, mempengaruhi laju perpindahan energy di daerah dinding.
Jika suatu plat panas dibiarkan berada di udara sekitar tanpa ada sumber gerakan dari luar, maka udara itu akan bergerak sebagai akibat terjadinya gradien densitas di dekat plat. Peristiwa ini dinamakan konveksi alamiah (natural convection) atau konveksi bebas (free convection) untuk membedakannya dari konveksi paksa (forced convection) yang terjadi apabila udara itu dihembuskan diatas plat dengan kipas. Fenomena pendidihan dan pengembunan juga termasuk dalam kelompok masalah perpindahan kalor konveksi.
Transfer panas yang disebabkan konveksi melibatkan pertukaran energi antara suatu permukaan dengan fluida yang didekatnya. Suatu
pembedaan harus dibuat antara konveksi paksa (forced convection), dimana suatu fluida dibuat mengalir melalui suatu permukaan padat oleh suatu komponen eksternal (external agent) seperti kipas atau pompa, dan konveksi bebas atau konveksi alami, dimana fluida yang lebih panas atau lebih dingin didekat batas padatan akan menyebabkan sirkulasi karena adanya perbedaan densitas yang dihasilkan dari variasi temperatur di seluruh daerah dari fluida tersebut (Welty dkk, 2004).
Persamaan laju untuk transfer panas konvektif pertama kali dinyatakan oleh Newton pada tahun1701, dan disebut sebagai persamaan laju Newton atau hukum Newton tentang pendinginan. Persamaan ini adalah
𝑞𝑞
𝐴𝐴 = ℎ∆𝑘𝑘 (2.3)
dimana
𝑞𝑞 adalah laju transfer panas konvektif (W atau Btu/jam)
A adalah luas daerah yang normal (tegak-lurus) terhadap arah aliran panas (m2 atau ft2
∆𝑘𝑘 adalah beda temperatur antara permukaan dan fluida (K atau °𝐹𝐹)
)
h adalah koefisien transfer panas konvektif (W/m2.K atau Btu/jam ft2
3. Radiasi
°𝐹𝐹)
Berlainan dengan mekanisme konduksi dan konveksi, dimana perpindahan energi terjadi melalui bahan antara, kalor juga dapat berpindah melalui daerah-daerah hampa. Mekanismenya disini adalah sinaran atau radiasi elektromagnetik.
Pembahasan termodinamka menunjukkan bahwa radiator (penyinar) ideal, atau benda hitam (blackbody), memancarkan energi dengan laju yang sebanding dengan pangkat empat suhu absolut benda itu dan berbanding lurus dengan luas permukaan. Jadi,
𝑞𝑞𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 𝜎𝜎𝐴𝐴𝑘𝑘4 (2.4)
di mana: 𝜎𝜎 : konstanta proporsionalitas (konstanta Stefan-Boltzmann) dengan nilai 5,669 x 10-8 W/m2.K4
2.3 Optimasi
Modul optimization dapat digunakan di seluruh produk Comsol yang menyediakan solusi umum untuk menghitung solusi optimal untuk masalah rekayasa. Setiap model masukan, baik itu dimensi geometris, bagian bentuk, sifat material, atau distribusi bahan, dapat diperlukan sebagai variable control, dan setiap output model yang bias menjadi fungsi tujuan.
Simulasi adalah alat yang ampuh dalam sains dan teknik untuk memprediksi perilaku sistem fisik, khususnya yang diatur oleh persamaan diferensial parsial. Dalam banyak kasus satu atau beberapa simulasi tidak cukup untuk memberikan pemahaman yang cukup tentang sistem. masalah yang resolusi bergantung pada proses eksplorasi lebih sistematis yang disediakan oleh Modul Optimization dapat dibagi secara luas menjadi dua kelas yaitu:
1. Masalah Desain dengan satu tujuan. Di sini, masalahnya adalah untuk menemukan nilai-nilai variabel kontrol atau variabel desain yang menghasilkan kinerja terbaik dari model, dihitung dengan cara fungsi tujuan. Masalah semacam ini timbul, misalnya, dalam optimasi struktural, desain antena, dan optimasi proses. Dalam banyak kasus, meningkatkan fungsi tujuan adalah lebih penting daripada menemukan optimum mutlak.
2. Masalah Inverse, dan estimasi parameter tertentu dalam Persamaan Differensial Parsial. Berikut masalahnya adalah untuk menentukan nilai dari satu parameter yang menyediakan data simulasi yang paling cocok diukur datanya. Masalah tersebut muncul dalam aplikasi seperti simulasi geofisika, uji tak rusak, simulasi biomedis, dan asimilasi data cuaca. Kurva pas juga termasuk kategori ini.
Masalah dari jenis di atas sering dapat dirumuskan secara lebih umum sebagai masalah optimasi. Pengenalan Optimization, langkah studi Optimization,
dan Estimasi Parameter langkah studi di COMSOL Multiphysics berguna untuk memecahkan masalah desain serta masalah Inverse dan estimasi parameter.
Alur kerja dalam Modul Optimization cukup mudah dan dapat dijelaskan oleh langkah-langkah berikut:
1. Untuk optimasi klasik, tidak melibatkan model Multiphysics, menambahkan studi Stationary dan studi Optimasi langkah untuk model yang kosong. Menentukan parameter dan variabel global defenisi, kemudian menentukan sebuah fungsi tujuan, variabel kontrol, batas dan kendala pada langkah penelitian Optimization. Kendala dan tujuan ditulis sebagai fungsi eksplisit dari variabel kontrol.
2. Untuk optimasi Multiphysics, pertama kali membuat model yang berisi geometri dan fisika. Mendefinisikan parameter di bawah global definisi, atau dengan menambahkan variabel kontrol untuk menghubungkan dengan Optimization. Pastikan kedepan model memecahkan dengan benar untuk beberapa nilai yang layak dari variabel kontrol sebelum melanjutkan dengan mendefinisikan fungsi tujuan dan kendala, dan akhirnya memecahkan masalah optimasi.
Perhatikan bahwa jika masalah optimasinya hanya membutuhkan variabel kontrol skalar global, fungsi tujuan dan ekspresi kendala, semuanya dapat diatur dengan langsung pada langkah penelitian Optimization. Optimization hanya diperlukan jika variabel kontrol adalah bidang spasial, jika kendala harus diterapkan pada setiap mesh node secara individual, atau jika fungsi tujuan adalah dari kuadrat-mengetik lebih kompleks daripada kurva transien pas.
Frei. W (2014) mengemukakan bahwa, bentuk Optimization adalah
min 𝜕𝜕∈ℝ 𝑓𝑓�𝑢𝑢(𝜕𝜕)�
Fungsi Objektif
Lihat juga : 𝜕𝜕𝐿𝐿 ≤ 𝜕𝜕 ≤ 𝜕𝜕𝑈𝑈 Variabel desain terikat sederhana 𝑝𝑝(𝜕𝜕) ≤ 0 Titik kendala pada variabel desain 𝑔𝑔�𝑢𝑢(𝜕𝜕)� = 0 Kendala umum persamaan
ℎ�𝑢𝑢(𝜕𝜕)� = 0 Kendala umum ketidaksamaan
2.4 Aliran Laminar dan Turbulen
Aliran viskos dapat dibedakan menjadi dua tipe yaitu aliran laminar dan turbulen. Dalam aliran laminar, partikel-partikel zat cair bergerak teratur mengikuti lintasan yang saling sejajar. Aliran laminar terjadi apabila kecepatan kecil dan/atau kekentalan besar. Pada aliran turbulen gerak partikel-partikel zat cair tidak teratur. Aliran ini terjadi apabila kecepatan besar dan kekentalan zat cair kecil (Triatmodjo, 1993 ).
Menurut Reynolds, ada tiga faktor yang mempengaruhi keadaan aliran yaitu kekentalan zat cair 𝜇𝜇 (mu), rapat massa zat cair 𝜌𝜌 (rho), dan diameter pipa D. Hubungan antara 𝜇𝜇, 𝜌𝜌, dan D yang mempunyai dimensi sama dengan kecepatan adalah 𝜇𝜇/𝜌𝜌𝜌𝜌.
Gambar 2.1. Aliran turbulen, transisi, dan laminar (Sumber: Munson et al, (2004)
2.5 Metode Elemen Hingga
Metode Elemen Hingga (MEH) adalah metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan teknik dan problem matematis suatu gejala phisis (Susatio, 2004).
Ide dasar dalam metode elemen hingga adalah untuk menemukan solusi dari masalah yang rumit dengan menggantinya menjadi yang sederhana. Karena masalah yang sebenarnya diganti dengan yang sederhana dalam mencari solusi,
akan hanya dapat menemukan solusi perkiraan bukan solusi yang tepat (Rao, 2011).
Metode elemen hingga melibatkan pemodelan struktur menggunakan elemen yang saling berhubungan kecil yang disebut elemen-elemen hingga (finite
elements). Sebuah fungsi perpindahan terkait dengan setiap elemen hingga. Setiap
elemen yang berhubungan terkait, langsung maupun tidak langsung, untuk setiap elemen lain melalui interfaces, termasuk node dan/atau garis batas dan/atau permukaan (surface), (Logan, 2007).
Allaire (1985) menyebutkan langkah-langkah dalam metode elemen hingga adalah sebagai berikut:
1. Merumuskan governing equations (persamaan pengatur) dan kondisi batas,
2. Membagi daerah analisis menjadi elemen-elemen (diskritisasi), 3. Memilih fungsi interpolasi,
4. Menentukan sifat elemen,
5. Merakit/menggabungkan persamaan global, 6. Solusi persamaan global,
7. Verifikasi solusi.
Persamaan dalam metode elemen hingga adalah
[𝐾𝐾]Φ���⃗ = 𝑃𝑃�⃗ (2.6)
di mana [𝐾𝐾] adalah kumpulan matriks kekakuan (stiffness matrix), Φ���⃗ adalah vektor perpindahan nodal (nodal displacement), dan 𝑃𝑃�⃗ adalah vektor dari gaya nodal (nodal force) untuk struktur lengkap (Rao, 2011).
2.5.1 Diskritisasi Domain
Langkah awal dari metode elemen hingga adalah membagi daerah/benda dalam bagian-bagian kecil (disebut elemen). Langkah ini disebut sebagai diskritisasi. Objek satu-dimensi dibagi ke segmen garis pendek (short). Badan dua-dimensi dapat dibagi menjadi segitiga, persegi panjang, segiempat, atau sub-daerah lain yang sesuai. Untuk elemen tetrahedral, elemen prismatik persegi panjang, elemen bentuk pie, dan masih banyak lagi yang bekerja pada permasalahan tiga-dimensi.
Gambar 2.2. Elemen satu-dimensi (Sumber: Rao, 2011)
Gambar 2.3. Elemen dua-dimensi (Sumber: Rao, 2011)
Gambar 2.4. Elemen tiga-dimensi (Sumber: Rao, 2011)
2.5.2 Fungsi Interpolasi (Elemen Simpleks Tiga-Dimensi)
Elemen Simpleks adalah pendekatan yang dilakukan dengan polinomial yang terdiri dari term (suku) konstan dan suku linier. Banyaknya koefisien dalam polinomial sama dengan dimensi dari koordinat ruang yang ada ditambah satu (Susatio, 2004).
Bentuk yang sangat populer dari fungsi interpolasi adalah bentuk Polinomial. Derajat dari polinomial dipilih bergantung pada banyaknya item yang diketahui dari fungsi kontinu pada setiap elemen. Terdapat tiga macam fungsi interpolasi yang dipakai dalam metode elemen hingga, yaitu: Simpleks, Kompleks, dan Multipleks (Susatio, 2004).
Biasanya polinomial digunakan sebagai fungsi interpolasi karena mudah untuk didiferensialkan dan diintegralkan. Setiap fungsi interpolasi polinomial akan selalu kontinu dalam suatu elemen, sehingga kondisi ini benar-benar berlaku untuk batas interelement. Elemen simpleks memiliki polinomial linear (Allaire, 1985).
Untuk elemen tiga-dimensi adalah elemen tetrahedral (Gambar 2.4) dengan fungsi interpolasi linear berbentuk
𝜙𝜙(𝜕𝜕, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝛼𝛼1 + 𝛼𝛼2𝜕𝜕 + 𝛼𝛼3𝑦𝑦 + 𝑝𝑝4𝑧𝑧 (2.7)
Misalkan node diberi label 𝑖𝑖, 𝑗𝑗, 𝑘𝑘, dan 𝑙𝑙. Misalkan koordinat global untuk node 𝑖𝑖, 𝑗𝑗, 𝑘𝑘, dan 𝑙𝑙 diberikan oleh (𝜕𝜕𝑖𝑖, 𝑦𝑦𝑖𝑖, 𝑧𝑧𝑖𝑖), �𝜕𝜕𝑗𝑗, 𝑦𝑦𝑗𝑗, 𝑧𝑧𝑗𝑗�, (𝜕𝜕𝑘𝑘, 𝑦𝑦𝑘𝑘, 𝑧𝑧𝑘𝑘), dan (𝜕𝜕𝑙𝑙, 𝑦𝑦𝑙𝑙, 𝑧𝑧𝑙𝑙) serta
nilai nodal dari variabel medan 𝜙𝜙(𝜕𝜕, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) oleh Φ𝑖𝑖, Φ𝑗𝑗, Φ𝑘𝑘, dan Φ𝑙𝑙. Kondisi nodal
𝜙𝜙 = Φ𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑖𝑖 �𝜕𝜕𝛽𝛽, 𝑦𝑦𝛽𝛽, 𝑧𝑧𝛽𝛽� 𝛽𝛽 = 𝑖𝑖, 𝑗𝑗, 𝑘𝑘, 𝑙𝑙
Fungsi interpolasi untuk elemen simpleks tiga-dimensi adalah
𝜙𝜙(𝜕𝜕, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑁𝑁𝑖𝑖(𝜕𝜕, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)Φ𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑗𝑗(𝜕𝜕, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)Φ𝑗𝑗 + 𝑁𝑁𝑘𝑘(𝜕𝜕, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)Φ𝑘𝑘 + 𝑁𝑁𝑙𝑙(𝜕𝜕, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)Φ𝑙𝑙 = [𝑁𝑁(𝜕𝜕, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)]Φ���⃗(𝑒𝑒) (2.8) di mana [𝑁𝑁(𝜕𝜕, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)] = [𝑁𝑁𝑖𝑖(𝜕𝜕, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) 𝑁𝑁𝑗𝑗(𝜕𝜕, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) 𝑁𝑁𝑘𝑘(𝜕𝜕, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) 𝑁𝑁𝑙𝑙(𝜕𝜕, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)] (2.9) 𝑁𝑁𝛽𝛽(𝜕𝜕, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) =6𝑉𝑉1 �𝑝𝑝𝛽𝛽 + 𝑏𝑏𝛽𝛽𝜕𝜕 + 𝑝𝑝𝛽𝛽𝑦𝑦 + 𝑑𝑑𝛽𝛽𝑧𝑧� 𝛽𝛽 = 𝑖𝑖, 𝑗𝑗, 𝑘𝑘, 𝑙𝑙 (2.10) dan Φ ���⃗(𝑒𝑒) = � Φ𝑖𝑖 Φ𝑗𝑗 Φ𝑘𝑘 Φl
V adalah volume elemen tetrahedral 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑘𝑘 𝑙𝑙 yang diberikan oleh 𝑉𝑉 =16� 1 𝜕𝜕𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑧𝑧𝑖𝑖 1 𝜕𝜕𝑗𝑗 𝑦𝑦𝑗𝑗 𝑧𝑧𝑗𝑗 1 𝜕𝜕𝑘𝑘 𝑦𝑦𝑘𝑘 𝑧𝑧𝑘𝑘 1 𝜕𝜕𝑙𝑙 𝑦𝑦𝑙𝑙 𝑧𝑧𝑙𝑙 � (2.12) 𝑝𝑝𝑖𝑖 = � 𝜕𝜕𝑗𝑗 𝑦𝑦𝑗𝑗 𝑧𝑧𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑘𝑘 𝑦𝑦𝑘𝑘 𝑧𝑧𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑙𝑙 𝑦𝑦𝑙𝑙 𝑧𝑧𝑙𝑙 � 𝑝𝑝𝑗𝑗 = − � 𝜕𝜕𝑘𝑘 𝑦𝑦𝑘𝑘 𝑧𝑧𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑙𝑙 𝑦𝑦𝑙𝑙 𝑧𝑧𝑙𝑙 𝜕𝜕𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑧𝑧𝑖𝑖 � 𝑝𝑝𝑘𝑘 = � 𝜕𝜕𝑙𝑙 𝑦𝑦𝑙𝑙 𝑧𝑧𝑙𝑙 𝜕𝜕𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑧𝑧𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑗𝑗 𝑦𝑦𝑗𝑗 𝑧𝑧𝑗𝑗 � 𝑝𝑝𝑙𝑙 = − � 𝜕𝜕𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑧𝑧𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑗𝑗 𝑦𝑦𝑗𝑗 𝑧𝑧𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑘𝑘 𝑦𝑦𝑘𝑘 𝑧𝑧𝑘𝑘 � 𝑏𝑏𝑖𝑖 = − � 1 𝑦𝑦𝑗𝑗 𝑧𝑧𝑗𝑗 1 𝑦𝑦𝑘𝑘 𝑧𝑧𝑘𝑘 1 𝑦𝑦𝑙𝑙 𝑧𝑧𝑙𝑙 � 𝑏𝑏𝑗𝑗 = � 1 𝑦𝑦𝑘𝑘 𝑧𝑧𝑘𝑘 1 𝑦𝑦𝑙𝑙 𝑧𝑧𝑙𝑙 1 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑧𝑧𝑖𝑖 � 𝑏𝑏𝑘𝑘 = − � 1 𝑦𝑦𝑙𝑙 𝑧𝑧𝑙𝑙 1 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑧𝑧𝑖𝑖 1 𝑦𝑦𝑗𝑗 𝑧𝑧𝑗𝑗 � 𝑏𝑏𝑙𝑙 = � 1 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑧𝑧𝑖𝑖 1 𝑦𝑦𝑗𝑗 𝑧𝑧𝑗𝑗 1 𝑦𝑦𝑘𝑘 𝑧𝑧𝑘𝑘 � 𝑝𝑝𝑖𝑖 = − � 𝜕𝜕𝑗𝑗 1 𝑧𝑧𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑘𝑘 1 𝑧𝑧𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑙𝑙 1 𝑧𝑧𝑙𝑙 � 𝑝𝑝𝑗𝑗 = � 𝜕𝜕𝑘𝑘 1 𝑧𝑧𝑘𝑘 𝜕𝜕𝑙𝑙 1 𝑧𝑧𝑙𝑙 𝜕𝜕𝑖𝑖 1 𝑧𝑧𝑖𝑖 � 𝑝𝑝𝑘𝑘 = − � 𝜕𝜕𝑙𝑙 1 𝑧𝑧𝑙𝑙 𝜕𝜕𝑖𝑖 1 𝑧𝑧𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑗𝑗 1 𝑧𝑧𝑗𝑗 � 𝑝𝑝𝑙𝑙 = � 𝜕𝜕𝑖𝑖 1 𝑧𝑧𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑗𝑗 1 𝑧𝑧𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑘𝑘 1 𝑧𝑧𝑘𝑘 � 𝑑𝑑𝑖𝑖 = − � 𝜕𝜕𝑗𝑗 𝑦𝑦𝑗𝑗 1 𝜕𝜕𝑘𝑘 𝑦𝑦𝑘𝑘 1 𝜕𝜕𝑙𝑙 𝑦𝑦𝑙𝑙 1 � 𝑑𝑑𝑗𝑗 = � 𝜕𝜕𝑘𝑘 𝑦𝑦𝑘𝑘 1 𝜕𝜕𝑙𝑙 𝑦𝑦𝑙𝑙 1 𝜕𝜕𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖 1 � (2.13)
𝑑𝑑𝑘𝑘 = − � 𝜕𝜕𝑙𝑙 𝑦𝑦𝑙𝑙 1 𝜕𝜕𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖 1 𝜕𝜕𝑗𝑗 𝑦𝑦𝑗𝑗 1 � 𝑑𝑑𝑙𝑙 = � 𝜕𝜕𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖 1 𝜕𝜕𝑗𝑗 𝑦𝑦𝑗𝑗 1 𝜕𝜕𝑘𝑘 𝑦𝑦𝑘𝑘 1 �
Gambar 2.5. Elemen simpleks tiga-dimensi (Sumber: Rao, 2011)
2.5.3 Menurunkan Elemen Matriks dan Vektor
Matriks karakteristik dan vektor karakteristik (juga disebut vektor gaya nodal) dari elemen hingga dapat diturunkan dengan menggunakan salah satu pendekatan berikut:
2.5.3.1 Direct Approach (Pendekatan Langsung)
Pendekatan langsung didasarkan pada menggunakan penalaran fisik langsung untuk membangun sifat elemen (yaitu, matriks karakteristik dan vektor) dalam bentuk variabel yang bersangkutan. Metode ini hanya berlaku untuk masalah yang sederhana, dan kesulitan tak teratasi muncul ketika mencoba menerapkan metode untuk masalah kompleks yang melibatkan elemen hingga dua dan tiga-dimensi. Dengan demikian, metode langsung tidak digunakan dalam analisis elemen hingga masalah praktis kebanyakan.
2.5.3.2 Variational Approach (Pendekatan Variasi)
Dalam metode ini, analisis elemen hingga ditafsirkan sebagai sarana perkiraan untuk memecahkan masalah variasional. Pendekatan variasional telah paling banyak digunakan dalam literatur dalam merumuskan persamaan elemen hingga. Keterbatasan utama dari metode ini adalah bahwa ia memerlukan masalah fisik atau teknik untuk dinyatakan dalam bentuk variasional, yang tidak mungkin dalam semua kasus.
2.5.3.3 Weight Residual Approach (Pendekatan Residu Tertimbang)
Metode residu tertimbang adalah teknik yang dapat digunakan untuk mendapatkan pendekatan solusi untuk persamaan diferensial linear dan nonlinear. Pendekatan residu tertimbang, prosedur penurunan, seperti metode Galerkin dan metode kuadrat terkecil (Least Squares), dapat digunakan untuk menurunkan persamaan elemen.
2.5.3.4 Strong Form dan Weak Form
Persamaan diferensial parsial yang mengatur keseimbangan benda padat dikatakan dari Strong form. Strong form dari persamaan, sebagai lawan dari weak
form, membutuhkan kontinuitas kuat dari variabel yang terkait bidang, yaitu
komponen perpindahan 𝑢𝑢, 𝑣𝑣, 𝑑𝑑an 𝑤𝑤 dalam kasus masalah mekanik yang solid. Biasanya, sangat sulit untuk menemukan solusi yang tepat dari Strong form dari persamaan diferensial parsial.
Persamaan diturunkan menggunakan prinsip energi, seperti prinsip energi minimum potensial, atau metode residual tertimbang, seperti metode Galerkin, biasanya dari weak form. Persamaan weak form biasanya dalam bentuk integral dan memerlukan kontinuitas lemah pada variabel bidang. Karena kebutuhan yang lebih lemah pada variabel bidang dan bentuk integral dari persamaan yang mengatur, formulasi didasarkan pada weak form yang diharapkan mengarah pada suatu himpunan persamaan untuk sistem diskrit yang menghasilkan hasil yang lebih akurat, terutama untuk sistem yang melibatkan geometri yang kompleks. Oleh karena itu, jenis weak form dari formulasi adalah lebih disukai untuk mendapatkan suatu solusi pendekatan. Dengan demikian, metode elemen hingga,
berdasarkan weak form dari formulasi seperti prinsip energi atau pendekatan residual tertimbang, telah menjadi sangat populer. Contoh berikut menunjukkan keuntungan dari formulasi weak form.
Contoh:
Persamaan yang mengatur defleksi balok, 𝑤𝑤(𝜕𝜕), diberikan oleh
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕4𝑤𝑤4 = 𝑝𝑝(𝜕𝜕) (C.1) di mana 𝑝𝑝(𝜕𝜕) adalah gaya didistribusikan sepanjang balok. Untuk balok kantilever dikenakan beban akhir dan momen akhir seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.8, mencari defleksi balok menggunakan metode Galerkin dengan solusi diasumsikan
𝑤𝑤�(𝜕𝜕) = 𝐶𝐶𝑓𝑓(𝜕𝜕) = 𝐶𝐶(3𝜕𝜕2𝑙𝑙 − 𝜕𝜕3) (C.2)
di mana 𝑓𝑓(𝜕𝜕) adalah fungsi trial dan 𝐶𝐶 adalah konstanta. Juga, menunjukkan keuntungan dari formulasi weak.
Gambar 2.8. Kantilever beam dikenakan beban dan momen (Sumber: Rao, 2011)
Solusi:
Karena beban didistribusikan 𝑝𝑝(𝜕𝜕) = 0 untuk balok yang ditunjukkan pada Gambar 2.10, persamaan yang mengatur (governing equation) menjadi
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕4𝑤𝑤4 = 0 (C.3)
Dalam metode Galerkin, konstanta 𝐶𝐶 dalam solusi diasumsikan ditemukan dengan menggunakan hubungan
� 𝑅𝑅(𝜕𝜕)𝑓𝑓(𝜕𝜕)
𝑙𝑙 0
di mana 𝑅𝑅(𝜕𝜕) adalah residu dan 𝑓𝑓(𝜕𝜕) = 3𝜕𝜕2𝑙𝑙 − 𝜕𝜕3 adalah fungsi bobot/tertimbang yang diberikan oleh persamaan (C.2). Persamaan (C.4) dapat ditulis kembali sebagai
� 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕4𝑤𝑤�4 𝑓𝑓(𝜕𝜕)
𝑙𝑙 0
= 0 (C.5)
Karena turunan keempat 𝑤𝑤�(𝜕𝜕) adalah nol, akan dikurangi orde turunan tertinggi 𝑤𝑤�(𝜕𝜕) dengan mengintegrasikan per bagian (integral by parts) persamaan (C.5):
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑓𝑓(𝜕𝜕)𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕3𝑤𝑤�3� 0 𝑙𝑙 − � 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝜕𝜕𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕3𝑤𝑤�3 𝑑𝑑𝜕𝜕 𝑙𝑙 0 = 0 (C.6)
Integrasi suku kedua di sisi kiri dari persamaan (C.6) per bagian menghasilkan persamaan � 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕2𝑓𝑓2𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕2𝑤𝑤�2 𝑑𝑑𝜕𝜕 𝑙𝑙 0 = �−𝐸𝐸𝐸𝐸𝑓𝑓(𝜕𝜕)𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕3𝑤𝑤�3� 0 𝑙𝑙 + 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝜕𝜕𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕2𝑤𝑤�2� 0 𝑙𝑙 � (C.7)
Kondisi batas menghasilkan
𝑓𝑓(𝜕𝜕 = 0) = 0,𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝜕𝜕(𝜕𝜕 = 0) = 0, 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕2𝑤𝑤�2(𝜕𝜕 = 1) = 𝑀𝑀0,
𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕3𝑤𝑤�3 (𝜕𝜕 = 𝑙𝑙) = 𝑃𝑃0
(C.8)
Dengan menggunakan dua kondisi pertama persamaan (C.8), persamaan (C.7) dapat dinyatakan sebagai
� 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕2𝑓𝑓2𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕2𝑤𝑤�2𝑑𝑑𝜕𝜕 𝑙𝑙 0 = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑓𝑓(𝜕𝜕)𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕3𝑤𝑤�3� 𝑙𝑙 − 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝜕𝜕𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕2𝑤𝑤�2� 𝑙𝑙 (C.9)
Dari persamaan (C.2) dan Gambar 2.10 diperoleh 𝑓𝑓(𝑙𝑙) = 2𝑙𝑙3,𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑑𝑑𝜕𝜕(𝑙𝑙) = 3𝑙𝑙2, 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑2𝑤𝑤� 𝑑𝑑𝜕𝜕2(𝑙𝑙) = 𝑀𝑀0, 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑑𝑑3𝑤𝑤� 𝑑𝑑𝜕𝜕3 (𝑙𝑙) = 𝑃𝑃0 (C.10)
Integral pada persamaan (C.9) dapat dihitung dengan hubungan pada persamaan (C.2) sebagai � 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕2𝑓𝑓2𝑑𝑑𝑑𝑑𝜕𝜕2𝑤𝑤�2𝑑𝑑𝜕𝜕 𝑙𝑙 0 = � 𝐸𝐸𝐸𝐸(6𝑙𝑙 − 6𝜕𝜕)𝐶𝐶 𝑙𝑙 0 (6𝑙𝑙 − 6𝜕𝜕) 𝑑𝑑𝜕𝜕 = (12𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑙𝑙3)𝐶𝐶 (C.11)
Gunakan persamaan (C.10) dan (C.11) pada persamaan (C.9), konstanta C dapat ditemukan sebagai berikut:
𝐶𝐶 =6𝐸𝐸𝐸𝐸 +𝑃𝑃0 4𝐸𝐸𝐸𝐸𝑙𝑙𝑀𝑀0 (C.12) Maka, solusi pendekatan untuk defleksi balok menjadi
𝑤𝑤�(𝜕𝜕) = �6𝐸𝐸𝐸𝐸 +𝑃𝑃0 4𝐸𝐸𝐸𝐸𝑙𝑙�𝑀𝑀0 (3𝜕𝜕2𝑙𝑙 − 𝜕𝜕3) (C.13)
yang menghasilkan defleksi pada ujung bebas (𝜕𝜕 = 𝑙𝑙) sebagai
𝑤𝑤�(𝜕𝜕) =𝑃𝑃3𝐸𝐸𝐸𝐸 +0𝑙𝑙3 𝑀𝑀2𝐸𝐸𝐸𝐸0𝑙𝑙2 (C.14)
2.6 Metode Galerkin
Dalam hal ini bobot 𝑤𝑤𝑖𝑖 dipilih menjadi fungsi yang diketahui 𝑓𝑓𝑖𝑖(𝜕𝜕) dari fungsi trial dan 𝑝𝑝 integral berikut residu tertimbang ditetapkan sama dengan nol:
� 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑉𝑉 𝑉𝑉
= 0 (2.14)
Persamaan (2.23) menyatakan 𝑝𝑝 persamaan simultan di 𝑝𝑝 tidak diketahui, 𝐶𝐶1, 𝐶𝐶2, 𝐶𝐶3, … , 𝐶𝐶𝑝𝑝. Metode ini umumnya memberikan solusi pendekatan terbaik.
Berikut ini penurunan persamaan elemen hingga menggunakan pendekatan residu tertimbang dengan metode Galerkin:
Misalkan persamaan diferensial pengatur dari masalah ekuilibrium diberikan oleh
𝐴𝐴(𝜙𝜙) = 𝑏𝑏 dalam 𝑉𝑉 (2.15)
dan kondisi batas
𝐵𝐵𝑗𝑗(𝜙𝜙) = g𝑗𝑗, 𝑖𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑝𝑝 pada 𝑆𝑆 (2.16)
Metode Galerkin mengharuskan
� �𝐴𝐴 �𝜙𝜙� − 𝑏𝑏� 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑉𝑉 = 0 𝑉𝑉
, 𝑖𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑝𝑝 (2.17) di mana fungsi trial 𝑓𝑓𝑖𝑖 dalam solusi pendekatan
𝜙𝜙 = � 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑖𝑖=1
(2.18) diasumsikan memenuhi kondisi batas persamaan (2.25). Perhatikan bahwa 𝑓𝑓𝑖𝑖 didefinisikan atas seluruh domain dari persoalan. Persamaan (2.26) dapat berlaku untuk elemen 𝑒𝑒 sebagai
��𝐴𝐴�𝜙𝜙(𝑒𝑒)� − 𝑏𝑏(𝑒𝑒)�𝑁𝑁
𝑖𝑖(𝑒𝑒) ∙ 𝑑𝑑𝑉𝑉(𝑒𝑒) = 0, 𝑖𝑖 = 1, 2, 3 … , 𝑝𝑝 𝑉𝑉(𝑒𝑒)
(2.19)
di mana model interpolasi diambil dalam bentuk standar seperti 𝜙𝜙(𝑒𝑒)= �𝑁𝑁(𝑒𝑒)�Φ���⃗(𝑒𝑒)= � 𝑁𝑁
𝑖𝑖(𝑒𝑒)Φ𝑖𝑖(𝑒𝑒) 𝑖𝑖
(2.20) Persamaan (2.28) memberikan persamaan elemen hingga yang diperlukan untuk elemen khusus. Persamaan elemen ini harus dirakit untuk mendapatkan sistem atau persamaan secara keseluruhan (persamaan Global).
2.7 Comsol Multyphysics 5.2a
COMSOL adalah software simulasi elemen hingga, yang pada dasarnya dapat mensimulasikan berbagai aplikasi fisika dan teknik, seperti mensimulasikan perpindahan panas melalui struktur yang kompleks, kristal fotonik pada skala nano, lentur mekanik balok, aliran cairan, proses elektrokimia, fisika plasma dan lainnya.
COMSOL Multiphysics 4.2a merupakan ekspansi yang signifikan dari aplikasi software, fitur dan fungsi. COMSOL Multiphysics memiliki beberapa manfaat pemecahan masalah, menggunakan COMSOL dapat membantu memahami masalah dan dapat menguji berbagai karakteristik geometris dan fisik model. Model yang disajikan dalam konteks dunia fisik (fisika terapan) dan dieksplorasi dalam terang teknik analisis prinsip-prinsip utama. Seperti halnya metode lain dari solusi masalah, informasi yang terkandung dalam solusi dari simulasi komputer ini adalah baik sebagai koefisien bahan dan asumsi dasar yang digunakan dalam membangun model.
Keuntungan utama dalam menggabungkan simulasi komputer dan analisis prinsip-prinsip utama adalah bahwa penggguna dapat mencoba banyak pendekatan yang berbeda untuk solusi dari masalah yang sama yang diperlukan untuk mendapatkan solusi yang benar (atau setidaknya mendekati benar).
