1
OPTIMALISALI KASUS PEMROGRAMAN LINEAR DENGAN METODE GRAFIK DAN SIMPLEKS
RISNAWATI IBNAS Jurusan Matematika,
Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM risnawati988@gmail.com
Info:
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Edisi: Januari – Juni 2014 Artikel No.: 1
Halaman: 1 - 8 ISSN: 2355-083X
Prodi Matematika UINAM
ABSTRAK
Metode grafik dan Metode simpleks merupakan suatu teknik penyelesaian dalam program linear yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam masalah yang berhubungan dengan masalah pengalokasian sumber daya yang optimal. Metode Grafik digunakan untuk mencari nilai optimal program linear khusus untuk dua variabel sedangkan untuk metode simpleks melibatkan banyak contrains (pembatas) dan mampu menyelesaian dua atau lebih variabel.
Kata Kunci: metode grafik, metode simplex, maksimum, minimum, pemrograman linear
1. PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari, ilmu mengenai riset operasi banyak digunakan dan diterapkan oleh manusia, terutama diterapkan pada bidang ekonomi yaitu pada dunia usaha. Setiap pelaku usaha atau pelaku ekonomi pasti melakukan apa yang disebut dengan prinsip ekonomi, yaitu dengan usaha atau modal yang sedikit mampu menghasilkan keuntungan yang besar, sehingga
muncullah masalah optimisasi. Masalah
optimisasi tersebut meliputi meminimumkan biaya atau memaksimumkan keuntungan dengan kapasitas sumber daya yang ada agar mampu mendapatkan hasil yang optimal.
Untuk mendapatkan penyelesaian optimal dari masalah tersebut, dikembangkanlah suatu cara yang disebut dengan program linear. Program linear merupakan suatu teknik perencanaan yang menggunakan model matematika dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif dari pemecahan masalah yang kemudian dipilih mana yang terbaik untuk menyusun strategi dan langkah-langkah kebijakan tentang alokasi sumber daya yang ada agar mencapai tujuan atau sasaran yang diinginkan secara optimal dengan melibatkan variabel-variabel linear. Dalam model program linear dikenal dua macam fungsi,
yaitu fungsi objektif (objective function) dan fungsi kendala (constraint function) yang linear. Penyelesaian dengan metode grafik atau
geometri dilakukan dengan jalan
menggambarkan fungsi-fungsinya (fungsi
kendala maupun fungsi tujuan) pada sistem sepasang sumbu silang, di mana sumber-sumber
horizontal dan vertikal masing-masing
mencerminkan jumlah setiap keluaran. Metode grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan masalah program linear yang berdimensi 2 × n atau m × 2, karena keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam menyampaikan sesuatu. Metode simpleks adalah sebuah cara untuk meneruskan dari suatu pemecahan dasar yang mungkin ke pemecahan dasar yang berdekatan yang mungkin sedemikian rupa, sehingga nilai fungsi obyektifnya tidak pernah berkurang. Hal ini biasanya menghasilkan sebuah pemecahan dasar yang mungkin untuk mana nilai fungsi obyektifnya adalah sebesar mungkin. Seperti halnya dengan metode aljabar, metode simpleks juga terlebih dahulu harus dilakukan standarisasi rumusan model, sebelum tahap penyelesaian awal dikerjakan. Fungsi-fungsi kendala yang masih berbentuk pertidaksamaan harus diubah dulu menjadi berbentuk persamaan dan prasyarat dari metode simpleks adalah eliminasi Gauss.
2
Penelitian ini memaparkan penyelesaian masalah program linear dengan dengan metode grafik apabila suatu masalah program linear hanya mengandung dua variabel keputusan saja, tetapi apabila melibatkan lebih dari dua kegiatan maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks. Metode simpleks merupakan suatu cara yang lazim digunakan untuk menentukan kombinasi optimal atau minimal dari tiga variabel atau lebih. Penelitian ini dibuat setelah mengkaji beberapa literatur dari beberapa buku dan jurnal yang telah terbit dengan tujuan agar pembaca mampu membentuk model matematika dari kasus program linear, Sebagai salah satu alat bantu dalam studi mengenai persoalan pengalokasian sumber-sumber secara optimal dan mencari keuntungan maksimum masalah program linear dengan metode grafik dan metode simpleks.
2. TINJAUAN PUSTAKA Konsep Dasar Program Linear
Pemrograman linear merupakan bagian dari riset operasional. Riset operasional adalah proses pencarian cara untuk menentukan tindakan yang terbaik atau optimal dari suatu pengambilan keputusan dalam situasi sumber-sumber daya yang terbatas.
Menurut Frederick S. Hilter dan Gerald J. Lieberman, pemrogram linear merupakan suatu
model matematis untuk menggambarkan
masalah yang dihadapi. Linear berarti bahwa semua fungsi matematis dalam model ini harus
merupakan fungsi linear. Programming
merupakan sinonim untuk kata perencanaan. Dengan demikian membuat rencana kegiatan— kegiatan untuk memperoleh hasil yang optimal, ialah suatu hasil untuk mencapai tujuan yang ditentukan dengan cara yang paling baik (sesuai dengan model matematis) diantara semua alternatif yang mungkin.
Model Pemrograman linear mempunyai tiga unsur utama, yaitu :
a) Variabel Keputusan, adalah variabel persoalan yang akan mempengaruhi nilai tujuan yang hendak dicapai. Didalam proses pemodelan, penemuan variabel keputusan tersebut harus dilakukan terlebih dahulu sebelum merumuskan fungsi tujuan dan kendalakendalanya.
b) Fungsi Tujuan. Dalam model pemrograman linear, tujuan yang hendak dicapai harus
diwujudkan kedalam sebuah fungsi
matematika linear. Selanjutnya, fungsi ini dimaksimumkan atau diminumkan terhadap kendala-kendala yang ada. Beberapa contoh tujuan yang hendak dicapai didalam pabrik manajemen adalah Pemaksimuman laba perusahaan, peminimuman biaya distribusi, dan lain sebagainya.
c) Kendala Kendala fungsional. Manajemen
menghadapi berbagai kendala untuk
mewujudkan tujuantujuannya.3
Bentuk umum tabel linear programming : SUMBER DAYA Kegiatan KAPASITAS 1 2 ... N 1 a11 a12 ... a1n b1 2 a11 a11 ... a21 b2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ m am1 am1 ... amn bm Z/unit C1 C2 ... Cn Tingkat Kegiatan X1 X2 ... X3 Model Matematis
Secara umum model matematis untuk kondisi maksimal dan minimasi terdapat perbedaan pada kendala. Untuk kasus maksimasi umumnya kendala berbentuk pertidaksamaan ≤,
sedangkan kasus minimasi berbentuk
pertidaksamaan ≥. 1 a. Kasus Maksimasi Maksimum : 𝑍 = 𝐶1𝑋1+ 𝐶2𝑋2+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑋𝑛 𝑎11𝑋1+ 𝑎12𝑋2+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑋𝑛 ≤ 𝑏1 𝑎21𝑋1+ 𝑎22𝑋2+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑋𝑛 ≤ 𝑏2 ⋮ 𝑎𝑚1𝑋1+ 𝑎𝑚2𝑋2+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑋𝑛 ≤ 𝑏2 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 ≥ 0
3 b. Kasus Minimum 𝑍 = 𝐶1𝑋1+ 𝐶2𝑋2+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑋𝑛 𝑎11𝑋1+ 𝑎12𝑋2+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑋𝑛 ≤ 𝑏1 𝑎21𝑋1+ 𝑎22𝑋2+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑋𝑛 ≤ 𝑏2 ⋮ 𝑎𝑚1𝑋1+ 𝑎𝑚2𝑋2+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑋𝑛 ≤ 𝑏2 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 ≥ 0
AsumsiAsumsi dalam Program Linear
Menurut Frederick S. Hilter dan Gerald J. Lieberman, terdapat empat asumsi dalam program linear, yaitu :
a) Proporsionalitas, naik atau turunnya nilai Z dan penggunaan sumber daya yang tersedia akan berubah berbanding lurus dengan perubahan tingkat kegiatan (X)
b) Aditivitas, bahwa untuk setiap fungsi, nilai fungsi total dapat diperoleh dengan
menjumlahkan kontribusi-kontribusi
individual masing-masing kegiatan.
c) Divisibilitas, Kadang-kadang variabel-variabel keputusan yang dihasilkan oleh setiap kegiatan tidak selalu menghasilkan angka fisik yang bulat (integer) tetai juga dapat berupa bilangan pecahan (non-integer).
d) Kepastian, semua parameter model nilai-nilai (dalam program linear) merupakan konstanta-konstanta yang diketahui. Dalam praktek, asumsi ini jarang dipenuhi secara tepat. Model program linear biasanya dirumuskan untuk memilih tindakan dimasa yang akan datang, sedangkan kondisi yang
akan datang itu sendiri membawa
kepastian.4
3. HASIL DAN PEMBAHASAN Metode Grafik
Dalam program linear, salah satu teknik yang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan program linear. Metode ini
menggunakan pendekatan grafik dalam
pengambilan keputusannya, dimana seluruh
fungsi kendala dibuat dalam satu bagian gambar kemudian diambil keputusan melalui grafik tersebut untuk menentukan nilai variabel keputusan yang optimum. Metode ini terbatas pada pemakaian untuk dua variabel.
Langkah-langkah pengerjaan untuk metode grafik :
a) Mengidentifikasikan variabel keputusan dan memformulasikan dalam simbol matematis. b) Mengidentifikasikan tujuan yang akan
dicapai dan kendala-kendala yang terjadi. c) Memformulasikan tujuan dan kendala ke
dalam fungsi model matematis
d) Membuat grafik untuk kendala-kendala yang ada dalam satu bagian. Untuk membuat grafik fungsi kendala yang berbentuk pertidaksamaan (≤ 𝑑𝑎𝑛 ≥) diubah terlebih dahulu kedalam bentuk persamaan (=) e) Menentukan area kelayakan solusi pada
grafik tersebut. Area layak dapat dilihat dari pertidaksamaan pada kendala. Apabila
kendala berbentuk ≤, maka daerah
arsiran/layak terjadi pada bagian
kiri/bawah/kiri bawah, tetapi apabila bentuk pertidaksamaan ≥, maka pengarsiran dilakukan kekanan/atas/kanan atas. Apabila berbentuk persamaan (=), maka daerah layak terjadi di garis tersebut (berimpit). f) Menentukan titik-titik variabel keputusan
pada area layak tersebut.
g) Memilih variabel keputusan dan titik-tiik tersebut.
Pergeseran garis tujuan, yaitu dengan membuat sebarang nilai tujuan (Z) dan membuat garis tujuan dari nilai tersebut kemudian dilakukan pergeseran. Untuk
masalah maksimasi, pergeseran
dilakukan dengan memilih titik terjauh dari titik origin, sedangkan untuk masalah minimasi dipilih titik terdekat dari titik origin.
Metode trial error, yaitu dengan
4
keseluruhan titik-titik variabel keputusan pada area layak kemudian dipilih hasil yang optimum (untuk maksimasi dipilih
hasil tertinggi untuk minimasi dipilih hasil terendah).
Flowchart Metode Grafik
Contoh soal : ( Siswanto, 2007. “ Latihan soal”)
Sebuah perusahaan angkutan nasional
menggunakan 3 macam ban yaitu radial, standard dan umum. Setiap tahun pemasok ban A mampu memasok 600 ban radial, 400 ban standard dan 200 ban umum. Sedangkan pemasok B setiap tahun mampu memasok 300 ban radial, 600 ban
standard, dan 200 ban umum. Kebutuhan minimum masing-masing jenis ban itu setiap tahun adalah 18000ban radial, 24000 ban standard dan 10000 ban umum. Biaya pesan yang harus dibayar oleh perusahaan kepada pemasok A dan B masing-masing Rp.4000 dan Rp. 30000,- untuk setiap kali pesan. Dengan menggunakan pendekatan geometri (metode MULAI
Identifikasi tujuan dari kendala
Formulasikan dalam model matematis
Membuat grafik kendala dalam satu gambar
Menentukan daerah layak dan titik koordinat
Memilih Variabel keputusan
Pergeseran garis tujuan
Metode trial error
Menentukan nilai optimum
SELESAI
TIDAK
5
grafik), tentukan jumlah pesanan ke masing-masing pemasok tersebut.
Solusi : Model matematis Fungsi Tujuan : 𝑀𝑖𝑛 4000𝑥 + 3000𝑦 600𝑥 + 300𝑦 ≥ 18000 400𝑥 + 600𝑦 ≥ 24000 200𝑥 + 200𝑦 ≥ 10000 𝑥, 𝑦 ≥ 0
Setelah memilih variabel keputusan dari titik-titik daerah feasible (daerah solusi), diperoleh biaya minimum sebesar 𝑅𝑝. 160.000 yang terjadi dengan memesan 10 unit ke pemasok jenis A dan 40 unit ke pemasok jenis B.
Metode Simpleks
Metode simpleks merupakan bagian dari program linear yang digunakan sebagai alat
untuk memecahkan permasalahan yang
menyangkut dua variabel keputusan atau lebih. Metode ini menggunakan pendekatan tabel yang dinamakan tabel simpleks. Proses eksekusi untuk
mendapatkan hasil optimum dengan
mengubahubah tabel simpleks sampai diperoleh hasil positif di seluruh elemen nilai baris 𝐶𝑗− 𝑍𝑗.
Kelebihan dari metode ini mampu menghitung dua atau lebih variabel keputusan apabila dibandingkan dengan metode grafik yang hanya
mampu mengaplikasikan dua variabel
keputusan.
Langkah-langkah pengerjaan metode simpleks :
a) Mengidentifikasikan variabel keputusan dan memformulasikan dalam simbol matematis. b) Mengidentifikasikan tujuan yang akan dicapai
dan kendala-kendala yang terjadi.
c) Memformulasikan tujuan dan kendala ke dalam fungsi model matematis
d) Mengubah pertidaksamaan " ≤ " pada kendala menjadi “=” dengan menambahkan variabel slack (S).
e) Memasukkan data fungsi tujuan dan kendala-kendala yang telah diubah tersebut kedalam tabel simpleks. Disamping itu juga menentukan nilai 𝐶𝑗, yaitu angka pada
masing-masing kolom yang akan dicari dikalikan dengan koefisien dasar (kd) dan kemudian mencari nilai 𝐶𝑗− 𝑍𝑗.
f) Mencari kolom kunci : negatif terbesar pada baris 𝐶𝑗− 𝑍𝑗.
g) Mencari baris kunci : positif terkecil pada indeks (indekss = 𝑏𝑗 pada masing-masing
6
baris dibagi angka pada kolom kunci di masing-masing baris).
a) Mencari angka kunci : pertemuan antara kolom kunci dan baris kunci.
b) Mengubah variabel keputusan pada baris kunci dengan variabel keputusan pada kolom kunci dan kemudian mengubah seluruh elemen pada baris kunci dengan cara membagi seluruh elemen tersebut dengan angka kunci.
c) Mengubah nilai-nilai pada baris lain (di luar
baris kunci) dengan menggunakan
pendekatan nilai baris yang baru=nilai-nilai baris yang lama dikurangi nilai-nilai pada
baris baru yang telah dikalikan dengan koefisien kolom kunci pada baris awal tersebut.
d) Memastikan seluruh elemen pada baris 𝐶𝑗−
𝑍𝑗 tidak ada yang bernilai negatif, apabila masih terdapat nilai negatif maka diulangi melalui langkah ke-f dan seterusnya.
e) Apabila seluruh elemen pada baris 𝐶𝑗− 𝑍𝑗 tidak ada bernilai negatif maka proses eksekusi telah selesai, nilai Z optimum dan besarnya variabel keputusan berada pada kolom tersebut (𝑍𝑗 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑗).
Flowchard Metode Simpleks
Mulai Identifikasi Tujuan dari kendala Formulasikan dalam model matematis Merubah pertidaksamaan pada kendala Memasukan kendala dalam tabel simpleks
Mencari kolom kunci
Mencari baris kunci
Melakukan perubahan pada baris kunci
Melakukan perubahan pada baris yang lain Mencari angka kunci
Seluruh elemen C(j)-Z(j)
Proses eksekusi selesai, Nilai Z dan variabel keputusan ada
pada Z(j) dan b(j)
Ya Tidak
Selesai
Contoh soal : ( Wijaya Andi, 2012. “ Latihan soal”)
1. TSR Co. Adalah perusahaan yang bergerak di bidang penghasil telepon genggam dengan model dan fitur yang serupa dengan Blackberry. Saat ini ada 3 produk yang diproduksi oleh TSR Co., yaitu : Toy Phone; Style Phone dan Ready Phone. Dimana harga untuk Toy Phone adalah Rp. 3.500.000., Stryle Phone adalaha Rp. 4.500.000., dan Rp.
4.000.000., untuk Ready Phone. Untuk memproduksi sebuh Toy Phone dibutuhkan 2 unitt microchip R. Dan untuk memproduksi Ready Phone membutuhkan 2 unit microchip T; 1 unit microchip S dan 3 unit microchip R. Jumlah microchip yang tersedia untuk microchip T adalah sebanyak 20 unit; microchip S sebanyak 25 unit; dan microchip R sebanyak 30 unit. Dari data diatas, bantulah perusahaan untuk menentukan kombinasi
7
produk agar tercapai pendapatan maksimal, dan besarnya pendapatan maksimal tersebut.
Solusi :
Model matematis :
Maksimumkan (dalam jutaan) : 𝑍 = 3.5𝑥 + 4.5𝑦 + 4𝑧 Kendala-kendala : 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 ≤ 20 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 ≤ 25 2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 ≤ 30 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≤ 0
Dari fungsi kendala diatas, berubah menjadi :
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 𝑆1 = 20
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 𝑆2 = 25 2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 𝑆3 = 30
Fungsi tujuan menjadi : 𝑍 = 3,5 𝑋 + 4,5𝑌 + 4𝑍 + 0𝑆1 + 0𝑆2 + 0𝑆3 Tebel simpleks : Iterasi pertama : 𝑪𝒋 Variabel Dasar 𝒁𝒋 3,5 4,5 4 0 0 0 Indeks 𝒃𝒋 x y z 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 0 𝑺𝟏 20 2 1 2 1 0 0 - 0 𝑺𝟐 25 3 2 1 0 1 0 - 0 𝑺𝟑 30 2 2 3 0 0 1 - 𝑪𝒋 0 0 0 0 0 0 0 𝑪𝒋− 𝒁𝒋 0 -3.5 -4.5 -4 0 0 0 Iterasi terakhir : Kesimpulan :
Karena seluruh elemen pada baris 𝑪𝒋− 𝒁𝒋 tidak ada yang bernilai negatif, maka penyelesaian telah optimal. Besarnya keuntungan maksimal perusahaan TSR Co. Adalah Rp. 60.625.000.- dengan tingkat produksi Style Phone 11,25 unit dan Ready Phone sebanyak 2,5 unit. Dari tabel diatas seluruh sumber daya habis terpakai (scarce) dan tidak ada sumber daya yang berlebihan (aboundanmt).
4. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan dari penelitian diatas dapat diambil kesimpulan bahwa :
1. Metode Grafik, hanya dapat dilakukan untuk masalah program linear dengan dua variabel, sedangkan
2. Metode simpleks, dapat dilakukan untuk masalah program linear baik untuk dua atau lebih variabel, dengan langkah awal yaitu memformulasikan masalah kedalam
𝑪𝒋 Variabel Dasar 𝒁𝒋 3,5 4,5 4 0 0 0 Indeks 𝒃𝒋 x y z 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑺𝟑 0 𝑺𝟏 3,75 1,25 0 0 1 0,25 -0,75 - 4,5 𝑦 11,25 1,75 1 0 0 0,75 -0,25 - 4 z 2,5 -0,5 0 1 0 -0,5 0,5 - 𝑪𝒋 60,625 5,875 4,5 4 0 1,375 0.875 𝑪𝒋− 𝒁𝒋 60,625 0 0 0 0 1,375 0.875
8
program linear, menambahkan variabel slack atau surplus pada kendala untuk memperoleh bentuk standar, kemudian lakukan-langkah metode simpleks.
5. DAFTAR PUSTAKA
Hiller, Frederick, R. And Lieberen, Gerald. 1994. “Introduction to Opertions Research” USA : McGrow-Hill Companies
Lusiana, 2006. Penyelesaian Program Linier
dengan Metode Simpleks. Skripsi S-1
Metematika UNAND, tidak diterbitkan. Siswanto, 2007. Operation Research, Erlangga,
Jakarta.
Taha Hamdy A., 1996. Riset Operasi Suatu
Pengantar” Jilid 1.Bina Rupa Aksara ,Jakarta.
Wijaya Andi, 2012, Pengantar Riset Operasi Edisi 2. Mitra Wicana Media, Jakarta.
